O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1
Kelompok 8
Tri Kuntoro (1111017000055)
Sari Juniatun Nikmah (11140170000010)
Fitria Maghfiroh (11...
Peta Konsep
1. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
2. Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri
3. Persam...
a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini
dipenuhi oleh semua nilai dari sudut-sudut yang tidak
diketahui di...
Contoh
a. sin x csc x = 1 adalahidentitas,
Karenadipenuhiolehsemuanilaix,
dimanacscx terdefinisi
b. sin x = 0
adalahpersam...
Persamaan Trigonometri Sederhana
1. Penyelesaian persamaan sin x˚ = sin ˚ (xϵR)
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri...
Jika sin x˚ = sin ˚ (xϵR), maka :
x = + k.360˚ atau x = (180˚- ˚) + k.360˚, dengan kϵB
Catatan : x dalam derajat
Jika sin ...
Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka
penyelesaian persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚
dapat ditetapkan seba...
a. tan (180˚+ ˚) = tan ˚
b. tan ( ˚ + k.360˚) = tan ˚
Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka
penyelesaian persa...
2. cos 3x = cos 0, jika x dalam interval 0≤x≤ 2
3. tan 2x˚ = tan 20˚, jika x dalam interval 0≤x≤180˚
Jawab :
1. a. sin x˚ ...
2. cos 3x = cos 0, maka diperoleh
3x = 0 + k.2 3x = -0 + k.2
x = 0 + k. x = -0 + k.
untuk k=0 x=0
k=1 x=
k=2 x=
Jadi, himp...
Persamaan Trigonomerti yang Berbentuk
sin x˚=a, cos x˚, dan tan x˚=a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚=a,
...
Latihan Soal
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.
1. sin x˚=
2. cot (2x˚-6x˚) =
Jawab :
1. ...
Persamaan Trigonometri yang Berbentuk
sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
yang berb...
Jawab :
1. sin 3x˚ =
sin 3x˚ = sin 60˚, maka :
3x = 60˚ + k.360˚ atau 3x = (180˚-60˚) + k.360˚
x = 20˚ + k.360˚ 3x = 120˚ ...
2. cos 2x˚ =
cos 2x˚ = cos 60˚, maka :
2x = 60˚ + k.360˚ atau 2x = -60˚ + k.360˚
x = 30˚ + k.180˚ x = -30˚ + k.180˚
untuk ...
Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus
jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalia...
Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ......(3)
cos (α - β) = cos α ...
Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah
kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebal...
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS
RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β
Untuk menyelesaikan persamaan ...
Latihan Soal
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap
persamaan trigonometri berikut ini dalam
interval yang diberikan:
a...
Dari cos 5x˚ = 0 didapat :
cos 5x˚ = cos 90˚ atau cos 5x˚ = cos (-90˚)
5x˚ = 90˚ + k.360˚ 5x˚ = -90˚ + k.360˚
x˚ = 18˚ + k...
b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚
2 sin (x˚+75˚+x˚-15˚) cos (x˚+75˚-(x˚-15˚)) =
2 sin (x˚+30˚) cos 45˚ =
sin (x˚...
Persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan
tangen.
Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan
tangen akar-akarnya dapat d...
Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat
diselesaikan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. N...
Latihan soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0 ≤
x ≤ 360°
Jawab :
2 sin²x = 3...
Latihan Soal
Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x
adalah……..
Jawab :
2 sin²x – 7 sin x + 3 =...
Latihan Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o
≤ x ≤ 180o
Penyelesaian :
cos2 2x +...
Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8
Missal cos 2x = q
3q2 + 2q – 8 = 0
(3q-4) (q+2)
q = 4/3 ata...
Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat
Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunak...
Mengubah Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ Menjadi
Bentuk k cos (x - )˚ dan Bentuk k cos (x - )˚
Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ dapat...
1. Menentukan nilai k
Jika persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, diperoleh :
k²cos² ˚= a²
k²sin² ˚= b²
Selanjutnya, kita jum...
2. Menentukan besar sudut
Jika persamaan (2) dibagi dengan persamaan (1),
diperoleh :
k sin ˚ b sin ˚ b
k cos ˚ a cos ˚ a
...
Kuadran Tanda a, b b/a Tanda
I a>0, b>0 >0 >0
II a<0, b>0 <0 <0
III a<0, b<0 >0 >0
IV a>0, b<0 <0 <0
(-a,-b)
(a,b)
(a,-b)
...
Latihan Soal
Nyatakan bentuk cos x˚ + sin x˚ ke dalam bentuk k cos (x- )˚
Jawab :
cos x˚ + sin x˚ = k cos (x- )˚
cos x˚ + ...
Persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c
Dalam menyelesaikan persamaan bentuk a cos
x˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real ...
Langkah 1
a cos x˚ + b sin x˚ = c
Ubah ruas kiri menjadi bentuk k cos (x- )˚
dengan k = dan tan ˚ =
Langkah 2
Setelah meng...
Langkah 3
Nilai cos (x- )˚ antara -1 dan 1, sehingga cos (x- )˚ =
akan mempunyai penyelesaian jika
memenuhi persyaratan -1...
Langkah 4
Setelah persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c diubah
menjadi:
cos (x- )˚ = , kita lakukan penyelesaiannya
sebagai be...
Latihan Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚
- sin x˚ = -1 dalam interval 0≤x≤360˚
2. Tentukan himpunan peny...
Besar sudut :
tan ˚= = = dan terletak di kuadran IV
(a>0, b<0), ˚ = 330˚
Jadi, cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚)
Persamaan c...
2. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚
cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚
Diperoleh : k cos ˚= 1 a = 1
k sin ˚= ...
cos x˚ - sin x˚ = cos (x- ) = 1
cos (x- ) = 1
cos (x- ) =
cos (x- ) = cos
x - = + k.2 atau x-330˚ = + k.2
x = 2 + k.2 atau...
Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi
f(x) = a cos x˚ + b sin x˚
Dengan menggunakan aturan pengubahan bentuk
a cos x˚ + b sin ...
1. Nilai maksimum
ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚ = 1
cos (x- )˚ = 1
cos (x- )˚ = cos 0˚
x - = k.360
x = + k.360
...
Fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚
yang telah diubah ke dalam bentuk y = f(x) = k
cos (x- )˚ mempunyai :
1...
Jawab :
y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚ = k cos (x- )˚
a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚)
a cos x˚ + b sin x˚ =...
TERIMA KASIH
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Persamaan Trigonometri

154.281 visualizações

Publicada em

Persamaan Trigonometri
terdapat berbagai persamaan dari rumus-rumus dasar serta pembuktian persamaan dilengkapi dengan beberapa contoh soal

Publicada em: Educação
  • Entre para ver os comentários

Persamaan Trigonometri

  1. 1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1 Kelompok 8 Tri Kuntoro (1111017000055) Sari Juniatun Nikmah (11140170000010) Fitria Maghfiroh (11140170000018) Putri Eka Nur Oktavia (11140170000022)
  2. 2. Peta Konsep 1. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri 2. Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan Trigonometri 3. Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri 4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
  3. 3. a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui dimana fungsi-fungsi tersebut terdefinisi. b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaan ini hanya dipenuhi oleh beberapa nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui. Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri dari sudut- sudut yang tidak diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu: PERSAMAAN TRIGONOMETRI
  4. 4. Contoh a. sin x csc x = 1 adalahidentitas, Karenadipenuhiolehsemuanilaix, dimanacscx terdefinisi b. sin x = 0 adalahpersamaanbersyaratkarenatid akdipenuhiolehx = 1 4∏ atau½∏ Dalam bahasan ini kita akan menggunakan “persamaan” bukan “persamaan identik”
  5. 5. Persamaan Trigonometri Sederhana 1. Penyelesaian persamaan sin x˚ = sin ˚ (xϵR) Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚ = sin ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut. a. sin (180˚- ˚) = sin ˚ b. sin ( ˚ + k.360˚) = sin ˚ Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka penyelesaian persamaan trigonometri sin x˚ = sin ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut.
  6. 6. Jika sin x˚ = sin ˚ (xϵR), maka : x = + k.360˚ atau x = (180˚- ˚) + k.360˚, dengan kϵB Catatan : x dalam derajat Jika sin x˚ = sin A˚ (xϵR), maka : x = A + k.2 atau x = ( - A) + k.2 , dengan kϵB Catatan : x dalam radian 2. Penyelesaian persamaan cos x˚ = cos ˚ (xϵR) Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan- hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut. a. cos (- ˚) = cos ˚ b. cos ( ˚ + k.360˚) = cos ˚
  7. 7. Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka penyelesaian persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut. Jika cos x˚ = cos ˚ (xϵR), maka : x = + k.360˚ atau x = (- ) + k.360˚, dengan kϵB Catatan : x dalam derajat Jika cos x˚ = cos A˚ (xϵR), maka : x = A + k.2 atau x = -A + k.2 , dengan kϵB Catatan : x dalam radian 3. Penyelesaian persamaan tan x˚ = tan ˚ (xϵR) Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan x˚ = tan ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut.
  8. 8. a. tan (180˚+ ˚) = tan ˚ b. tan ( ˚ + k.360˚) = tan ˚ Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka penyelesaian persamaan trigonometri tan x˚ = tan ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut. Jika tan x˚ = tan ˚ (xϵR), maka : x = + k.360˚ Catatan : x dalam derajat Jika tan x˚ = tan A˚ (xϵR), maka : x = A + k. Catatan : x dalam radian Latihan Soal Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini. 1. a. sin x˚ = sin 25˚ b. sin 2x˚ = sin 40˚, jika x dalam interval 0≤x≤360˚
  9. 9. 2. cos 3x = cos 0, jika x dalam interval 0≤x≤ 2 3. tan 2x˚ = tan 20˚, jika x dalam interval 0≤x≤180˚ Jawab : 1. a. sin x˚ = sin 25˚, maka diperoleh : x = 25˚ + k.360˚ atau x = (180˚-25˚) + k.360˚ x = 155˚ + k.360˚ Jadi, x = 25˚ + k.360˚ atau 155˚ + k.360˚ b. sin 2x˚ = sin 40˚, maka diperoleh : 2x = 40˚ + k.360˚ atau 2x = (180˚-40˚) + k.360˚ x = 20˚ + k.180˚ 2x = 140˚ + k.360˚ x = 70˚ + k.180˚ untuk k=0 x=20˚ atau untuk k=0 x=70˚ k=1 x=200˚ k=1 x=250˚ Jadi , himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {20˚, 70˚, 200˚, 250˚}
  10. 10. 2. cos 3x = cos 0, maka diperoleh 3x = 0 + k.2 3x = -0 + k.2 x = 0 + k. x = -0 + k. untuk k=0 x=0 k=1 x= k=2 x= Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {0, , } 3. tan 2x˚ = tan 20˚, maka diperoleh 2x = 20˚ + k.180˚ x = 10˚ + k.90˚ untuk k=0 x=10˚ k=1 x=100˚ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {10˚, 100˚}
  11. 11. Persamaan Trigonomerti yang Berbentuk sin x˚=a, cos x˚, dan tan x˚=a Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚=a, cos x˚=a, tan x˚=a, kita harus mengubah bagian ruas kanan, yaitu a dalam bentuk perbandingan trigonometri dasar. Dengan demikian, 1. sin x˚=a, diubah dahulu menjadi sin x˚= sin 2. cos x˚=a, diubah dahulu menjadi cos x˚= cos 3. tan x˚=a, diubah dahulu menjadi tan x˚= tan Setelah itu, persamaan-persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan cara-cara persamaan trigonometri dasar.
  12. 12. Latihan Soal Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini. 1. sin x˚= 2. cot (2x˚-6x˚) = Jawab : 1. sin x˚ = sin x˚=sin 30˚, maka diperoleh : x=30˚+k.36 atau x=(180˚-30˚)+k.360˚ x=150˚+k.360˚ 2. cot (2x˚-60˚) = tan (2x˚-60˚) = = tan (2x˚-60˚+ = tan 30, maka diperoleh : 2x-60˚ = 30˚ + k.180˚ 2x = 90˚ + k.180˚ x = 45˚ + k.45˚ Jadi, penyelesaiannya adalah x = 45˚ + k.90˚
  13. 13. Persamaan Trigonometri yang Berbentuk sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a, kita dapat melakukannya dengan terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan trigonometri tersebut menjadi bentuk persamaan trigonometri sederhana. Latihan Soal Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini. 1. sin 3x˚ = , 0≤x≤360˚ 2. cos 2x˚ = , 0≤x≤360˚
  14. 14. Jawab : 1. sin 3x˚ = sin 3x˚ = sin 60˚, maka : 3x = 60˚ + k.360˚ atau 3x = (180˚-60˚) + k.360˚ x = 20˚ + k.360˚ 3x = 120˚ + k.360˚ x = 40˚ + k.360˚ untuk k=0 x=20˚ atau untuk k=0 x=40˚ k=1 x=140˚ k=1 x=160˚ k=2 x=260˚ k=2 x=280˚ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {20˚, 40˚, 140˚, 160˚, 260˚, 280˚}
  15. 15. 2. cos 2x˚ = cos 2x˚ = cos 60˚, maka : 2x = 60˚ + k.360˚ atau 2x = -60˚ + k.360˚ x = 30˚ + k.180˚ x = -30˚ + k.180˚ untuk k=0 x=30˚ atau untuk k=1 x=150˚ k=1 x=210˚ k=2 x=330˚ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {30˚, 60˚, 210˚, 240˚}
  16. 16. Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian sinus dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh : Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ......... (1) Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β ..........(2) Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan : * 2 sin α cos β = Sin (α + β) + Sin (α - β) Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan : * 2 cos α sin β = Sin (α + β) - Sin (α - β) Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan Trigonometri
  17. 17. Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ......(3) cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β ......4) Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan : *2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β) Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan : * -2 sin α sin β = cos (α + b) - cos (α - β) Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai “rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “ dan kita rangkum sebagai berikut: 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β) 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)
  18. 18. Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya yaitu menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai perkalian sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan sebagai berikut: Misal a + b = A dan a - b= B, maka ½ (α + β) = ½ (α + β + α - β) = ½ (2 α) = α ½ (α - β) = ½ (α + β – α - β) = ½ (2 β) = β Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka diperoleh : sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β) cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β)
  19. 19. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus. Maka kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selisih dalam trigonometri. sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β) cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β) 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)
  20. 20. Latihan Soal Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut ini dalam interval yang diberikan: a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚ b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚ Jawab: a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚ 2 cos (8x˚+2x˚) cos (8x˚-2x˚) = 0 2 cos 5x˚ cos 3x˚ = 0 2 cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0 cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0
  21. 21. Dari cos 5x˚ = 0 didapat : cos 5x˚ = cos 90˚ atau cos 5x˚ = cos (-90˚) 5x˚ = 90˚ + k.360˚ 5x˚ = -90˚ + k.360˚ x˚ = 18˚ + k.72˚ x˚ = -18˚ + k.360˚ untuk k=0 x=18˚ atau untuk k=1 x=54˚ k=1 x=90˚ k=2 x=126˚ k=2 x=162˚ Dari cos 3x˚ = 0 didapat : cos 3x˚ = cos 90˚ atau cos 3x˚ = cos (-90˚) 3x˚ = 90˚ + k.360˚ 3x˚ = -90˚ + k.360˚ x = 20˚ + k.120˚ x˚ = -30˚ + k.120˚ untuk k=0 x=30˚ atau untuk k=1 x=90˚ k=1 x=150˚ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {18˚, 30˚, 54˚, 90˚, 126˚, 150˚, 162˚}
  22. 22. b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚ 2 sin (x˚+75˚+x˚-15˚) cos (x˚+75˚-(x˚-15˚)) = 2 sin (x˚+30˚) cos 45˚ = sin (x˚+30˚) = 2 cos 45 sin (x˚+30˚) = 2 . sin (x˚+30˚) = , diperoleh: sin (x˚+30˚) = sin 30˚ atau sin (x˚+30˚) = sin 150˚ x˚+30˚ = 30˚+k.360˚ x˚+30˚= 150˚+k.360˚ x˚ = 0 + k.360˚ x˚= 120˚+k.360˚ untuk k = 0 x= 0˚ atau untuk k= 0 x= 120˚ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {0˚, 120˚}
  23. 23. Persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan tangen. Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen akar-akarnya dapat ditentukan dengan cara: 1.Dengan memfaktorkan 2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna 3.Dengan menggunakan rumus ABC Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri
  24. 24. Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum. 2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan 3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac) b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}. Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, maka persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).
  25. 25. Latihan soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0 ≤ x ≤ 360° Jawab : 2 sin²x = 3 sin x - 1 2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0 2p² - 3p + 1 = 0 (2p- 1) (p -1) = 0 p = ½ p = 1 a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½ sin x = sin 30° x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360° k=0  x = 30° k = 0  x = 150° k=1  x= 390° k = 1  x = 510° b. Dari persamaan diperoleh sin x =1 sin x = sin 90° x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 k= 0  x = 90° k= 0  x = 90o k= 1  x = 450° k=1  x = 450o misal sin x = p Maka Hp = {30°, 90°,150°}
  26. 26. Latihan Soal Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah…….. Jawab : 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 ⇔2p² - 7xp+3 = 0 ⇔ (2p – 1)(p – 3)=0 ⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak) Maka, sin x =½ dan sin x = 3 Sin x = ½ = sin 30° x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360° Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150° dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°
  27. 27. Latihan Soal Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 180o Penyelesaian : cos2 2x + sin 2x – 1 = 0 (1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0 - sin2 2x + sin 2x = 0 sin2 2x – sin 2x = 0 sin 2x (sin 2x - 1) = 0 sin 2x = 0 atau sin 2x = 1 a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o Penyelesaiannya : Penyelesaiannya : 1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o x = 0o + k.360 x = 45o + k.180 k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o k = 1 --> x = 360o 2. 2x = 180o + k . 360 x = 90o + k . 180o k = 0 --> x = 90o k = 1 --> x = 270o Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o 45o 90o 180o
  28. 28. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8 Missal cos 2x = q 3q2 + 2q – 8 = 0 (3q-4) (q+2) q = 4/3 atau q = -2 syarat akar-akar yang ditentukan : D ≥ 0 D = b2 – 4ac D = 22 – (4.3.-8) D = 4 – (-96) D = 100  Memenuhi Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1} q1 = 4/3 > 1 q2 = -2 < -1 Keduanya tidak memenuhi Karna salah satu syarat tidak terpenuhi maka HP = { }
  29. 29. Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan. Perhatikan contoh dibawah ini. Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360° solusi ! Cos 2x – 10 sin x = -11 ⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11 ⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0 ⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0 ⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima) ⇔sin x = 1 = 90° x = 90° + k . 360° Untuk k = 0 maka x = 90° Jadi penyelesaianya adalah 90° Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen.
  30. 30. Mengubah Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ Menjadi Bentuk k cos (x - )˚ dan Bentuk k cos (x - )˚ Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ dapat diubah menjadi bentuk k cos (x - )˚ dengan k suatu skalar positif dan 0≤ ≤360˚. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚ a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚) a cos x˚ + b sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚ a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚ Dari persamaan diatas, koefisien cos x˚ di kiri harus sama dengan koefisien cos x˚ di ruas kanan, demikian pula keefisien sin x˚. Dengan demikian, kita dapat hubungkan : k cos ˚ = a ………………………..(1) k sin ˚ = b ………………………..(2)
  31. 31. 1. Menentukan nilai k Jika persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, diperoleh : k²cos² ˚= a² k²sin² ˚= b² Selanjutnya, kita jumlahkan kedua persamaan, diperoleh : k²cos² ˚= a² k²sin² ˚= b² k²cos² ˚ + k²sin² ˚ = a² + b² k² (cos² ˚ + sin² ˚) = a² + b² k² (1) = a² + b² k² = a² + b² k = ± , diambil k>0 Jadi, k =
  32. 32. 2. Menentukan besar sudut Jika persamaan (2) dibagi dengan persamaan (1), diperoleh : k sin ˚ b sin ˚ b k cos ˚ a cos ˚ a tan ˚ = Berdasarkan nilai k dan besar sudut yang telah didapat maka dapat kita simpulkan bahwa : 1. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚ berlaku hubungan k = dan tan ˚ = 2. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x + )˚ berlaku hubungan : k = dan tan ˚ = = =
  33. 33. Kuadran Tanda a, b b/a Tanda I a>0, b>0 >0 >0 II a<0, b>0 <0 <0 III a<0, b<0 >0 >0 IV a>0, b<0 <0 <0 (-a,-b) (a,b) (a,-b) (-a,b) Kuadran I Kuadran IVKuadran III Kuadran II
  34. 34. Latihan Soal Nyatakan bentuk cos x˚ + sin x˚ ke dalam bentuk k cos (x- )˚ Jawab : cos x˚ + sin x˚ = k cos (x- )˚ cos x˚ + sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚ Diperoleh : k cos ˚ = 1 a = 1 k sin ˚ = b = Nilai k k = = = = 2 Besar sudut ˚ : tan ˚ = = dan terletak di kuadran I (a>0, b<0) , ˚= 60˚ Jadi, cos x˚ + sin x˚ = 2 cos (x-60)˚
  35. 35. Persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c Dalam menyelesaikan persamaan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang tidak nol) diperlukan sejumlah langkah- langkah, di antara perubahan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x - )˚ akan di gunakan pula. Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang tidak real).
  36. 36. Langkah 1 a cos x˚ + b sin x˚ = c Ubah ruas kiri menjadi bentuk k cos (x- )˚ dengan k = dan tan ˚ = Langkah 2 Setelah mengganti a cos x˚ + b sin x˚ = c dengan cos (x- )˚, persamaan menjadi: k cos (x- )˚ = c cos (x- )˚ =
  37. 37. Langkah 3 Nilai cos (x- )˚ antara -1 dan 1, sehingga cos (x- )˚ = akan mempunyai penyelesaian jika memenuhi persyaratan -1≤ ≤ 1 -1≤ ≤1 -k≤ ≤k - ≤c≤ IcI ≤ Jadi, syarat agar persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c mempunyai penyelesaian adalah: - ≤c≤ atau IcI ≤
  38. 38. Langkah 4 Setelah persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c diubah menjadi: cos (x- )˚ = , kita lakukan penyelesaiannya sebagai berikut: cos (x- )˚ = cos (x- )˚ = cos p˚ x- = p + k.360˚ atau x- = -p + k.360˚ x = ( +p) + k.360˚ atau x = ( -p) + k.360˚
  39. 39. Latihan Soal 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚ - sin x˚ = -1 dalam interval 0≤x≤360˚ 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚ - sin x˚ = 1 dalam interval -2 ≤x≤2 Jawab : 1. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚ cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚ Diperoleh : k cos ˚= b = k sin ˚= -1 b = -1 Nilai k : k= = = = 2
  40. 40. Besar sudut : tan ˚= = = dan terletak di kuadran IV (a>0, b<0), ˚ = 330˚ Jadi, cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚) Persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1 dapat ditulis sebagai : cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚) = -1 2 (cos x - 330) = -1 cos (x-330) = cos (x-330) = cos 120 x-330˚ = 120˚+k.360˚ atau x-330˚= -120˚+k.360˚ x = 450˚+k.360˚ atau x = 210˚+ k.360˚ untuk k = -1 x=90˚ untuk k = 0 x=210˚ Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1 adalah HP = {90˚, 210˚}
  41. 41. 2. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚ cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚ Diperoleh : k cos ˚= 1 a = 1 k sin ˚= -1 b = -1 Nilai k : k = = = Besar sudut : tan ˚= = = -1 dan terletak di kuadran IV (a>0, b<0), ˚= Jadi, cos x˚ - sin x˚ = cos (x- ) Persamaan cos x˚ - sin x˚ = 1 dapat ditulis sebagai :
  42. 42. cos x˚ - sin x˚ = cos (x- ) = 1 cos (x- ) = 1 cos (x- ) = cos (x- ) = cos x - = + k.2 atau x-330˚ = + k.2 x = 2 + k.2 atau x- = 210˚ + k.2 untuk k=-2 x=-2 untuk k=-1 x= k=-1 x=0 k=0 x= k=0 x=2 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ - sin x˚ adalah : HP = {-2 , , 0, , 2 )
  43. 43. Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi f(x) = a cos x˚ + b sin x˚ Dengan menggunakan aturan pengubahan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x- )˚, maka fungsi trigonometri : y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚ dapat diubah ke dalam bentuk : y = f(x) = k cos (x- )˚ dengan k = dan tan ˚ = Berdasarkan bentuk fungsi y = f(x) = k cos (x- )˚, kita dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum (nilai-nilai stasioner)
  44. 44. 1. Nilai maksimum ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚ = 1 cos (x- )˚ = 1 cos (x- )˚ = cos 0˚ x - = k.360 x = + k.360 2. Nilai minimum yminimum = -k = - dicapai untuk cos (x- )˚ = -1 cos (x- )˚ = -1 cos (x- )˚ = cos 180˚ x - = 180 + k.360 x = (180 + ) + k.360 Berdasarkan uraian tentang nilai maksimum dan minimum dari fungsi trigonometri dalam bentuk y = f(x) = k cos (x- )˚, maka dapat disimpulkan bahwa :
  45. 45. Fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚ yang telah diubah ke dalam bentuk y = f(x) = k cos (x- )˚ mempunyai : 1. Nilai maksimum ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚= 1 2. Nilai minimum yminimum = -k=- dicapai untuk cos (x- )˚=-1 Latihan Soal Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚
  46. 46. Jawab : y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚ = k cos (x- )˚ a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚) a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚ k cos ˚ = 2 a = 2 k sin ˚ = 3 b = 3 ymaksimum = k = = = yminimum = -k = - = - = -
  47. 47. TERIMA KASIH

×