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Exercícios diversos e solução

Função Polinomial do Segundo Grau - Exercícios resolvidos

01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo
das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a:
 a) 3
 b) 5
 c) 7
 d) 8
 e) 9


RESPOSTA: D


02. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo
Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:
a) b2 = 4a
b) -b2 = 4a
c) b = 2a
d) a2 = -4a
e) a2 = 4b


RESPOSTA: A


03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das
abscissas:
 a) y = x2
 b) y = x2 - 4x + 4
 c) y = -x2 + 4x - 4
 d) y = -x2 + 5x - 6
 e) y = x - 3


RESPOSTA: C


04. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é:
a) -2 < x < 3 ou x > 5
b) 3 < x < 5 ou x < -2
c) -2 < x < 5
d) x > 6
e) x < 3


RESPOSTA: A


05. Os valores de x que satisfazem à inequação (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < 0 são:
a) x < -2 ou x > 4
b) x < -2 ou 4 < x < 5
c) -4 < x < 2 ou x > 4
d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4
e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4


RESPOSTA: D


06. (VIÇOSA) Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x2
- 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) (3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é:
 a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade;
 b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita;
 c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau;
 d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3;
e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x ∈ℝ.


RESPOSTA: E


07. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
a) mínimo, igual a -16, para x = 6;
b) mínimo, igual a 16, para x = -12;
c) máximo, igual a 56, para x = 6;
d) máximo, igual a 72, para x = 12;
e) máximo, igual a 240, para x = 20.
RESPOSTA: C


08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4).
O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de:
a) 7 peças
b) 10 peças
c) 14 peças
d) 50 peças
e) 100 peças


RESPOSTA: A


09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta
função é:
 a) 1
 b) 3
 c) 4
 d) 12
 e) 14


RESPOSTA: E


10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:


a) [0, 3]
b) [-5, 4]
c) ]-]4 ,∞
d) ]1 ,3−[ )δ
e) ]3 ,5−[ )ε


RESPOSTA: B



11) Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x 2 - 2 x - 3 .

Solução: Temos que resolver a equação do segundo grau x 2 - 2 x - 3 = 0 . Esta equação pode ser
resolvida com a "fórmula de Bhaskara ou Baskara" : x = (-b ±ÖD ) / 2a , onde D = b 2 - 4ac.

Calculando o discriminante D (delta), encontramos:     D = (-2) 2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.

Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1.

Assim, os valores de x que anula m    f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3.
Estes valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixo
x (eixo das abscissas).


12) Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: y = -x        2

+ 5x (onde x e y são medidos em hectômetros).
a) Determine, em metros, a altura máxima atingida pela       b) Calcule , em metros, o alcance do
bala.                                                        disparo.

Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax 2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a ¹ 0.
O valor máximo (ou mínimo) desta função é y = - D / 4a , onde D = b 2 - 4ac.

Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm =
625 m.

b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x 2 + 5x = 0.

Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x =
5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m.




Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm =
625 m.

b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x² + 5x = 0.

Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x =
5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m.


13) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40.
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?

Solução: O valor de y de uma função do segundo grau (quadrática) y = ax 2 + bx + c é máximo (ou
mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a.

Então, L(x) tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 peças
para que o lucro seja máximo.
De outro modo, observe que resolvendo a equação -x 2 + 14x - 40 = 0 , encontramos:

x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10.

Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças.

OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo diferencial . Calculando a
derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0 .
Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.


14) Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maiora das mulheres e 38, 40 e 41 para
a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula
para calcular y é: y = (5x + 28) / 4 . Com base nessa relação, responda:
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?
b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?
c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?

Solução: a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 4
= 152 / 4 = 38.

b) Para o comprimento x = 20 cm, temos o número y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 =
32

c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau (5x + 28)
/ 4 = 42. Daí vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28. Então, 5x = 140. Logo, o
comprimento x = 140 / 5 = 28 cm.




Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos

01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6


RESPOSTA: E


02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real
positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:
a) x = 3 e a = 1
b) x = -3 e a > 1
c) x = 3 e a < 1
d) x = -2 e a < 1
e) x = 2 e a > 1


RESPOSTA: D


03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a         b têm gráficos que se interceptam em:
a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto;
e) infinitos pontos.


RESPOSTA: D


04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:
a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.


RESPOSTA: A


05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil
unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O
número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:
 a) 900
 b) 1000
 c) 180
 d) 810
 e) 90


RESPOSTA: D


06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.


RESPOSTA: B


07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)


RESPOSTA: E


08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209


RESPOSTA: B


09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4


RESPOSTA: D


10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o
logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra
ERRO.
 Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça
ERRO pela primeira vez é:
 a) 2
 b) 3
 c) 4
 d) 5
 e) 6


RESPOSTA: D

1) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros
compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 =
0,3010).

Solução: Na Matemática financeira o regime de juros compostos é o mais usado. Neste regime o
montante M e o capital inicial C estão relacionados pela equação M = C(1 + i)n, onde n é o número de
meses. Como queremos M = 2C, segue que 2C = C(1,02)n. Daí, vem que (1,02)n = 2.
Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02. Mudando da base 1,02 para a base 10 (decimal), temos que:
n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses.
2) (Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de
hidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 é:
(A) 7             (B) 10-8                  (C) 1,0                 (D) 8              (E) 0


Solução: Sabemos que o logaritmo decimal de uma potência de base b real positiva e expoente a real é
igual ao produto do expoente a pelo logaritmo decimal da base b da potência, ou seja,
log ba = a log b.
Sabemos também que 1 / 10-8 = 108

Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1 / 10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. Logo,
(D) é a alternativa correta.


3) (PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela
média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares.
Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e o
desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula:




onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor
máximo de renda per capita no mundo.
Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB per capita aproximado de:


(A) 100 dólares    (B) 500 dólares     (C) 1000 dólares     (D) 5000 dólares      (E) 10000 dólares.


(dados log 2 @ 0,30; log 3 @ 0,48 ; log 5 @ 0,70).



Solução: Como 102 = 100 , 103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e log 1000 = 3.
Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log 5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 .
Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6.

Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com:
0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2) = (log x - 2) / 2,6 .
Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054 @ 4.
Como log x @ 4, concluimos que o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente e a opção
correta é a alternativa (E).


4) (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa ordem,
estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.

Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é a
razão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6.

Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 .


5) (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal
do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG.

Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 , a4 = 10q3 , ... , a8 =
10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q2× ...
×10q7 = 108×q1+2+3+...+7.

Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 108q28. Assim, log
(a1×a2×a3× ... ×a8) = log (108q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , pela
condição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = log108 +
log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36.

Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 1 ou q = -1.


6) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde
cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca
a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido
é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente
com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-
Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O
nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é a
intensidade do som.
a) Calcule nessa escala, o limiar de audição.
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa.

Solução: a) No limiar da audição a intensidade do som (em w/m2) é I = 10           -12
                                                                                         . Então, o nível (em db)
é:

G = 10 log (10   -12
                       / 10     ) = 10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0 decibéis.
                              -12




b) No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1, Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10
12
  ).

Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que G = 120 log (10) = 120 decibéis.


7) (FESP) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p,
onde p é o período em dias. O valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000 é:
(A) 9                     (B) 10                       (C) 11                    (D) 12


Solução: Temos que encontrar o valor de p na equação exponencial 500(2)0,75p = 256.000. Vamos usar
a seguinte propriedade: se 0 < a ¹ 1 e ax = ay , então x = y.

Segue que, 20,75p = 256000 / 500 = 512. Fatorando 512 , temos que 20,75p = 512 = 29. Logo: 0,75p = 9.

Assim, p = 9 / 0,75 = 900 / 75 = 12 dias (opção (D) ).

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Exercicios resolvidos

  • 1. Exercícios diversos e solução Função Polinomial do Segundo Grau - Exercícios resolvidos 01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 RESPOSTA: D 02. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação: a) b2 = 4a b) -b2 = 4a c) b = 2a d) a2 = -4a e) a2 = 4b RESPOSTA: A 03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das abscissas: a) y = x2 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = -x2 + 4x - 4 d) y = -x2 + 5x - 6 e) y = x - 3 RESPOSTA: C 04. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é: a) -2 < x < 3 ou x > 5 b) 3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5 d) x > 6 e) x < 3 RESPOSTA: A 05. Os valores de x que satisfazem à inequação (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < 0 são: a) x < -2 ou x > 4 b) x < -2 ou 4 < x < 5 c) -4 < x < 2 ou x > 4 d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 RESPOSTA: D 06. (VIÇOSA) Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x2 - 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) (3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é: a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade; b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita; c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau; d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3; e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x ∈ℝ. RESPOSTA: E 07. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor: a) mínimo, igual a -16, para x = 6; b) mínimo, igual a 16, para x = -12; c) máximo, igual a 56, para x = 6; d) máximo, igual a 72, para x = 12; e) máximo, igual a 240, para x = 20.
  • 2. RESPOSTA: C 08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: a) 7 peças b) 10 peças c) 14 peças d) 50 peças e) 100 peças RESPOSTA: A 09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14 RESPOSTA: E 10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-]4 ,∞ d) ]1 ,3−[ )δ e) ]3 ,5−[ )ε RESPOSTA: B 11) Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x 2 - 2 x - 3 . Solução: Temos que resolver a equação do segundo grau x 2 - 2 x - 3 = 0 . Esta equação pode ser resolvida com a "fórmula de Bhaskara ou Baskara" : x = (-b ±ÖD ) / 2a , onde D = b 2 - 4ac. Calculando o discriminante D (delta), encontramos: D = (-2) 2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1. Assim, os valores de x que anula m f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3.
  • 3. Estes valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixo x (eixo das abscissas). 12) Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: y = -x 2 + 5x (onde x e y são medidos em hectômetros). a) Determine, em metros, a altura máxima atingida pela b) Calcule , em metros, o alcance do bala. disparo. Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax 2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a ¹ 0. O valor máximo (ou mínimo) desta função é y = - D / 4a , onde D = b 2 - 4ac. Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm = 625 m. b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x 2 + 5x = 0. Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m. Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm = 625 m. b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x² + 5x = 0. Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m. 13) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? Solução: O valor de y de uma função do segundo grau (quadrática) y = ax 2 + bx + c é máximo (ou mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a. Então, L(x) tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o lucro seja máximo.
  • 4. De outro modo, observe que resolvendo a equação -x 2 + 14x - 40 = 0 , encontramos: x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10. Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças. OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo diferencial . Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0 . Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 14) Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maiora das mulheres e 38, 40 e 41 para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para calcular y é: y = (5x + 28) / 4 . Com base nessa relação, responda: a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm? b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm? c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42? Solução: a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 4 = 152 / 4 = 38. b) Para o comprimento x = 20 cm, temos o número y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 = 32 c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau (5x + 28) / 4 = 42. Daí vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28. Então, 5x = 140. Logo, o comprimento x = 140 / 5 = 28 cm. Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos 01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é: a) 0 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: E 02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:
  • 5. a) x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1 RESPOSTA: D 03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em: a) nenhum ponto; b) 2 pontos; c) 4 pontos; d) 1 ponto; e) infinitos pontos. RESPOSTA: D 04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2: a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2); e) não intercepta o eixo dos x. RESPOSTA: A 05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 RESPOSTA: D 06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. RESPOSTA: B 07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre: a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log a d) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) RESPOSTA: E 08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 RESPOSTA: B 09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4
  • 6. d) 9 e) 5 e -4 RESPOSTA: D 10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: D 1) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010). Solução: Na Matemática financeira o regime de juros compostos é o mais usado. Neste regime o montante M e o capital inicial C estão relacionados pela equação M = C(1 + i)n, onde n é o número de meses. Como queremos M = 2C, segue que 2C = C(1,02)n. Daí, vem que (1,02)n = 2. Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02. Mudando da base 1,02 para a base 10 (decimal), temos que: n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses. 2) (Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 é: (A) 7 (B) 10-8 (C) 1,0 (D) 8 (E) 0 Solução: Sabemos que o logaritmo decimal de uma potência de base b real positiva e expoente a real é igual ao produto do expoente a pelo logaritmo decimal da base b da potência, ou seja, log ba = a log b. Sabemos também que 1 / 10-8 = 108 Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1 / 10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. Logo, (D) é a alternativa correta. 3) (PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula: onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo de renda per capita no mundo. Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB per capita aproximado de: (A) 100 dólares (B) 500 dólares (C) 1000 dólares (D) 5000 dólares (E) 10000 dólares. (dados log 2 @ 0,30; log 3 @ 0,48 ; log 5 @ 0,70). Solução: Como 102 = 100 , 103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e log 1000 = 3. Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log 5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 . Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6. Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com: 0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2) = (log x - 2) / 2,6 .
  • 7. Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054 @ 4. Como log x @ 4, concluimos que o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente e a opção correta é a alternativa (E). 4) (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc. Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é a razão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6. Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 . 5) (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG. Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 , a4 = 10q3 , ... , a8 = 10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q2× ... ×10q7 = 108×q1+2+3+...+7. Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 108q28. Assim, log (a1×a2×a3× ... ×a8) = log (108q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , pela condição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = log108 + log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36. Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 1 ou q = -1. 6) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber- Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é a intensidade do som. a) Calcule nessa escala, o limiar de audição. b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa. Solução: a) No limiar da audição a intensidade do som (em w/m2) é I = 10 -12 . Então, o nível (em db) é: G = 10 log (10 -12 / 10 ) = 10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0 decibéis. -12 b) No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1, Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10 12 ). Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que G = 120 log (10) = 120 decibéis. 7) (FESP) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p, onde p é o período em dias. O valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000 é: (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 Solução: Temos que encontrar o valor de p na equação exponencial 500(2)0,75p = 256.000. Vamos usar a seguinte propriedade: se 0 < a ¹ 1 e ax = ay , então x = y. Segue que, 20,75p = 256000 / 500 = 512. Fatorando 512 , temos que 20,75p = 512 = 29. Logo: 0,75p = 9. Assim, p = 9 / 0,75 = 900 / 75 = 12 dias (opção (D) ).