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指数分布とポアソン分布のいけない関係

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指数分布とポアソン分布について簡単に説明した後、それらは同じ事象を別々の視点から見たものであることを説明。さらにR言語を用いて実際にそれを確認。第20回R勉強会@東京(#TokyoR)(http://atnd.org/events/24629)でのトーク資料。

指数分布とポアソン分布のいけない関係

  1. 1. ポアソン分布と指数分布 のいけない関係 @teramonagi第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 2012/01/28
  2. 2. Agenda• 自己紹介• ポアソン分布ってなに?• 指数分布ってなに?• 2つの分布のいけない関係 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 2
  3. 3. 自己紹介
  4. 4. こういう者です◆職業:クオンツ(計量的に金融する)◆使う道具 データ・数理解析/プログラム C++/C#/R/Python/Excel/VBA…..◆最近の興味: 関数型言語・統計(科)学・確率論 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 4
  5. 5. ポアソン分布ってなに?
  6. 6. ポアソン分布ってなに?単位時間当りの生起確率• 単位時間:1時間・1秒間・(1m)等• 生起確率:事象が起こる確率 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 6
  7. 7. ポアソン分布ってなに?• 単位時間当り平均λ回起こる事象が 単位時間中にx回起こる確率は・・・  x px   e  x! x  0,1,2,... ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 7
  8. 8. ポアソン分布の例 ~1年間での1日あたりの交通事故死亡者数~ x 度数 0 119 1 152 2 68頻度 3 20 4 4 5 1 6 1 6以上 0 計 365 死亡者数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 8
  9. 9. ポアソン分布の特徴• 平均:λ、分散: λ• ただ1つλというパラメーターだけで特徴づけられる ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 9
  10. 10. ポアソン分布を計算してみる• 1時間に平均5人が訪れるWebサイ トがある。1時間に3人訪問者があ る確率を求める• λ=5、x=3を公式に代入> (5^3) / (3 * 2) * exp(-5)[1] 0.1403739(約14%!) ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 10
  11. 11. 稀な現象としてのポアソン分布• 高校で習った二項分布を思い出す• 表が出る確率がpのコインをN回投 げてx回表が出る確率は? px  N Cx p 1  p  x N x ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 11
  12. 12. 稀な現象としてのポアソン分布px  N Cx p 1  p  x N x ただし以下のようにp, λの積を固定N  , p  0   Np  x px   e  x! ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 12
  13. 13. ちなみにRだと(d,r,p,q)pois関数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 13
  14. 14. 指数分布ってなに?
  15. 15. 指数分布ってなに? 事象の生起間隔の確率• 生起間隔:ある事象が起こって次に また発生するまでの間隔 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 15
  16. 16. 指数分布ってなに?• 単位時間当り平均λ回起こる事象を 考える。その事象の発生間隔がt単 位時間である確率(密度)は・・・ pt   e  t t  0, 実数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 16
  17. 17. 指数分布の例 ~30歳のおっさんの平均余命の分布~確率(密度) 余命(年) ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 17
  18. 18. 指数分布を計算してみる• 1時間に平均5人が訪れるWebサイト がある。次の訪問者が来るまでの間隔 が12分である確率を求めよ• λ=5、t=12/60を公式に代入> 5 * exp(-5 * 12 / 60)[1] 1.839397(確率“密度“なんで1越えます) ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 18
  19. 19. 指数分布の特徴• 平均:1/λ、分散: 1/λ^2• ただ1つλというパラメーターだけで特 徴づけられる• 次に事象が発生するまでの時間は今 まで待った時間とは関係ない(無記憶 性) ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 19
  20. 20. ちなみにRだと(d,r,p,q)exp関数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 20
  21. 21. 2つの分布のいけない関係
  22. 22. 2つの分布のいけない関係 ポアソン分布単位時間当りの生起確率 指数分布事象の生起間隔の確率 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 22
  23. 23. 2つの分布のいけない関係 ポアソン分布単位時間当たり平均λ回 指数分布平均1/λ単位時間に一回 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 23
  24. 24. 2つの分布のいけない関係ある“事象”に対して ポアソン分布 単位時間当たり平均λ回回数に注目:ポアソン分布 指数分布時間に注目:指数分布 1/λ単位時間に一回 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 24
  25. 25. 同じ物(事象)を異なる視点から見てるわ けだね!
  26. 26. Rで確かめてみる• Rを使って指数分布を生成• 1単位時間に何回事象が発生する かをカウント• その頻度がポアソン分布に従うかを チェック! ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 26
  27. 27. アルゴリズムの流れー1指数分布に従う乱数生成 2 8 9 3 61  5 7 4 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 27
  28. 28. アルゴリズムの流れー2 作った乱数の合計が単位時間に何個入るかカウント1(単位時間) 1 +  2 +  3 ≧1 28 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR)
  29. 29. アルゴリズムの流れー2 作った乱数の合計がこの場合3番目の指数分布 単位時間に何個入るかカウントの値を足しちゃうと合計が1 1(単位時間)を越えるので、2とカウント  1 +  2 +  3 ≧1 29 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR)
  30. 30. アルゴリズムの流れー2’ 作った乱数の合計が単位時間に何個入るかカウント1(単位時間) 1 ≧1 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 30
  31. 31. アルゴリズムの流れー2’ 作った乱数の合計がこの場合1番目の指数分布 単位時間に何個入るかカウントの値が1を越えるので、0と 1(単位時間)カウント 1 ≧1 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 31
  32. 32. アルゴリズムの流れー31と2を繰り返して出てきたカウント値の統計量を計算 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 32
  33. 33. 結果のチェック(分布比較)頻度(確率) 訪問者数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 33
  34. 34. 結果のチェック(分布比較)頻度(確率) 指数分布からポアソン分布 を作成することができた! 訪問者数 ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 34
  35. 35. まとめ• ポアソン/指数分布について説明• ある“事象”に対して –“回数“に注目:ポアソン分布 –“時間”に注目:指数分布• Rでシミュレーションしてみた ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 35
  36. 36. Rのコード#1単位時間内に到着する訪問者数を数えるシミュレーションVisitorCounter <- function(lambda){ counter <- 0 time.arrival <- rexp(1, rate = lambda) while(time.arrival < 1) { counter <- counter + 1 #次の訪問者の到着時間を計算 time.arrival <- time.arrival + rexp(1, rate = lambda) } counter} ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 36
  37. 37. Rのコード#1単位時間あたりの訪問者数の平均値lambda <- 5#シミュレーション回数N <- 10^4#シミュレーション実施x <- sapply(1:N, function(i){VisitorCounter(lambda)})#表示barplot(rbind(table(x) / N, dpois(0:max(x), lambda)), col = c("violetred1", "slateblue4"), legend.text = c("Simulation", "Theoritical"), args.legend = list(x = "topright"), beside = TRUE ) ポアソン分布と指数分布のいけない関係@第20回R勉強会@東京(#TokyoR) 37
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