Cours d’Analyse - Topologie Leçon 2 - T. Masrour

1. Université My Ismaïl Meknès
Ecole Nationale Arts et Métiers
ENSAM 2013-2014
Cours d’Analyse 2
Semestre 1
T. Masrour
1
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

2. Leçon 2
2
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

3. 1. Espaces vectoriels normés EVN
1.2.Définition (norme)
Soit un espace vectoriel sur (
)
On définit une norme sur comme une application de
à valeurs réélles positives :
et qui vérifie les conditions suivantes:
1.3.Propriétés
A partir d’une norme sur E, on peut toujours construire une distance par la formule :
En effet, on a :
1.4.Exemples de normes.
1. Sur
on a les trois normes classiques :
2. Soit
norme sup :
l’ensemble des fonctions bornées de
dans lui-même, on le munit de la
3. On peut définir la même norme sur l’ensemble des fonctions continues
3
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

4. 2. Topologie engendrée par une distance
2.2.Définition (voisinage)
Soient
un espace normé et
, on appelle voisinage de
contient une boule ouverte
tout ensemble
avec
.
de
tel que
2.3.Propriétés
 Tout ensemble
 Toute
contenant un voisinage
de voisinages de
de
est aussi un voisinage de .
est aussi un voisinage de .
Preuve.
Soit
Soit
des voisinages de . On a alors :
pour tout ;
avec
. On a ainsi ,
Donc
Donc:
.
est un voisinage de .
cqfd.
On définit une structure sur qui à chaque élément lui fait associer l’ensemble
voisinages ouverts de .Cela définit une « Topologie » sur .
de tous les
est un espace topologique.
Soit une famille
On dit alors, que:
telle que pour tout
vérifiant
.
définit un système fondamental de voisinages de
2.4.Exemples :
forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n.
forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n..
4
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

5. 2.5.Exercice 1 (en séance de cours)
Montrer que tout espace métrique est séparé i.e.
et
t.q.
.
Correction :
5
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

6. 3. Ensembles Ouverts et Ensembles fermés
3.2.Définition « Ouverts »
Soit
un ensemble de l’espace métrique
On dit que
est un ouvert ssi
.
est voisinage de chacun de ses points i.e.:
.
3.3.Propriétés
sont des ouverts de
ouverts ouvert
ouverts ouvert
3.4.Preuve
 Preuve de
: immédiat.
 Preuve de
:
Soit
et
Montrons alors que
, où l’ensemble des indices est quelconque.
.
Or ceci est clairement vérifié puisque
implique qu’il existe au moins un
, et comme
est un ouvert, donc
enfin comme
il en découle que
 Preuve de
Soit
Montrons que
Soit
tel que
:
avec cette fois l’ensemble des indices fini i.e.
.
et est un ouvert, il existe alors
tel que
, alors comme l’ensemble des indices est fini
On vérifie, alors, facilement que
montre bien que
6
http://tawfik-masrour.blogspot.com
par exemples.
.
, et donc que
.
ce qui
Cqfd.
T. Masrour - Analyse 2

7. 3.5.Exercice 2
Monter que:
ssi
un ouvert contenant
tel que
Correction :
/ un ouvert
aussi voisinage de .
/
tq
or tout ensemble qui contient un voisinage de
est
, il suffit alors de prendre
3.6.Exercice 3
Montrer que toute boule ouverte est un ouvert.
Correction :
7
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

8. 3.7.Définition (fermé)
est un fermé ssi
est un ouvert.
3.8.Propriétés
sont des fermés de
fermés fermé
fermés fermé
(
sont des fermés)
3.2.Preuve (à faire en exercice en séance de cours)
8
http://tawfik-masrour.blogspot.com
T. Masrour - Analyse 2

9. 3.3.Remarques

ouverts
en général ouvert
Par exemples :
ouvert.

fermés
fermé
En efet , on sait que
A=
or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et
si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé !
Par exemples :
L’ouvert
et pourtant les
sont des fermés.
3.4.Exercice 3
 Montrer que
9
http://tawfik-masrour.blogspot.com
est un fermé. (à faire en séance de cours)
T. Masrour - Analyse 2