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  1. 1. Gradiente: vetor coluna -> derivadas primeiras derivadas parciais de f(x) Matriz Hessiana: matriz - derivadas segundas PNL: função objetivo, restições de igualdade, restrições de desigualdade x = vetor de variáveis de decisão Restrições de igualdade e desigualdade: delimitam conjunto viável X = {X|g(x)=0,h(x)<=0} Programação quadratica: FO=quadratica, restrições=lineares min f(x) = c^T.x + x^T.Qx A.x=b x>=0 Q=matriz definida positiva Mínimo absoluto ou global: f(x*)<=f(x) Mínimo relativo ou local - raio d -> 0<=e<=d tal que 0<=|x-x*|<=e tem-se f(x*)<=f(x) PNL sem restrições: min f(x) condição necessária: grad_f(x*)=0 condição suficiente: hes_f(x*)>0 Matriz Hessiana deve ser definida positiva Matriz definida positiva = xT.A.x > 0 para todo x =/ 0 ou todos os autovalores são positivos ou todos os determinantes são positivos Otimização irrestrita unidimensional: min f(x) x0 = min se f'(x0)=0 Otimização irrestrita em várias dimensões: min f(x) x0 = min se grad_f(x0)=0 PNL com restrições de igualdade min f(x) s.a g(x)=0 Função Lagrangeana ou Lagrangeano L(x,lambda) = f(x) + lambda^T.g(x) = f(x) + somatório de (i=1 até p) de [lambda_i . g_i(x)] onde lambda = [lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n] -> multiplicadores de Lagrange Condição necessária: grad_L(x*, lambda) dL(x*, lambda)/dx_i = df(x*)/dx_i + somatório de (j=1 até p) de [lambda_j . dg_j(x*)/dx_i] = 0 dL(x*, lambda)/dx_i = g_i(x*) = 0 número de equações e variáveis = x+p grad_f(x*) + somatório de (j=1 até p) de [lambda*_j . grad_g_j(x*)] = 0 g(x*) = 0 Na solução o gradiente da FO pode ser escrito como combinação linear dos gradientes das funções de restrição. L(x,y) = f(x,y) + lambda * h(x,y) grad_L por x = 0 grad_L por y = 0 grad_L por lambda = 0
  2. 2. teste: grad_f(x) = - lambda * grad_h(x) PNL com restrições de desigualdade min f(x) s.a g(x) = 0 h(x) <= 0 Introdução das variáveis de folga -> passa a ser PNL com restrições de igualdade min f(x) s.a g_i(x) = 0 h_i(x) + v_i^2 = 0 Langrangeano: L(x, lambda, u, v) = f(x) + somatorio de (i=1 até p) de [lambda_i * g_i(x)] + somatorio de (i=1 até q) de [u_i * (h_i(x) + v_i^2)] Condições necessárias: dL/dx_i = df(x*)/dx_i + somatorio de (j=1 até p) de [lambda_j * dg_j(x*)/dx_i] + somatorio de (j=1 até q) de [u_j * dh_j(x*)/dx_i dL/dlambda_i = g_i(x*) = 0 dL/du_i = h_i(x*) + v_i^2 = 0 dL/dv_i = 2 * v_i * u_i = 0 No ponto x* alma restrições serão ativas [h_i(x*) = 0] e outras inativas [h_i(x*) <= 0] Restrições ativas: v_i = 0 , u_i > 0 com i=1, ... , l Restrições não ativas: v_i =/ 0 , u_i = 0 com i = l+1, ... , q Novas condições: dL/dx_i = df(x*)/dx_i + somatorio de (j=1 até p) de [lambda_j * dg_j(x*)/dx_i] + somatorio de (j=1 até q) de [u_j * dh_j(x*)/dx_i] dL/dlambda_i = g_i(x*) = 0 dL/du_i = h_i(x*) = 0 e u_i > 0 com i=1, ..., l dL/du_i = h_i(x*) < 0 e u_i = 0 com i=l+1, ..., q Condições impostas as restrições de desigualdade h_i(x*) <= 0 e u_i >= 0 i=1, ..., q somatório de (i=1 até q) de [u_i * h_i(x*)] = 0 Condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) grad_f(x*) + somatorio de (i=1 até p) de [lambda_i * grad_g_i(x*)] + somatorio de (i=1 até q) de [u_j * grad_h_i(x*)] g(x*)=0 h(x*)<=0 u>=0 u^T*h(x*)=0 Resolução: apenas condições ativas L(x, u1, u3) = f(x) + u1 * h1(x) + u3 * h3(x) grad_L por x1 = 0 grad_L por x2 = 0 grad_L por u1 = 0 grad_L por u3 = 0 FO: tradicionais - (minimização) custo de geração, perdads ativas, corte de carga,
  3. 3. desvio de intercâmbio, número de controles recentes - (maximização) carga em um conjunto de barras da rede para análise de colapso de tensão, transferência de potência ativa entre áreas, transferência de potência ativa entre duas barras da rede para se definir a máxima capacidade de pedágio, (minimização) corte de carga - evita o colapso de tensão, injeção de potência ativa - localização de novas térmicas Restrições de Igualdade = equações do fluxo de potência Restrições de desigualdade = restrições operativas de tensão, fluxo, geração - limites físicos ou operacionais Controles = variáveis usada na condição da solução do FPO potência ativa gerada, módulo de tensão nas barras de geração, posição dos tap's de trafos LTC, potência reativa gerada ou alocada, fluxo de intercâmbio entre áreas, susceptância shunt de bancos de capacitores e reatores, ângulo de fase de trafos defasadores, carregamento dos circuitos, chaveamento shunt, fator de potência das interligações, restrições de segurança. Restrições de desigualdade - canalização Tensão - Vmin <= V <= Vmax Potência gerada - PGmin <= PG <= PGmax Restrições de desigualdade - funcionais Fluxo em circuuito (MVA) - Pij^2 + Qij^2 <= Sijmax^2 Cálculos análitos = raramente eficientes Derivada impossível ou pontos estacionários (x0) não pondem ser obtidos Métodos numéricos: aproximação da localização de ótimos locais -> tolerância aceitável Técnicas de busca do ponto ótimo - busca sequencial PNL sem restrições = resolução do conjunto de equações definidas pelas condições de otimalidade Solução indireta: geração de sequencia {X^k} a partir de um ponto inicial arbitrário x^0 novo ponto promove redução da FO Escolha da direção conveniente d^k e passo conveniente lambda^k x^(k+1) = x^k + lambda^k * d^k com k = 0, ..., n Escolha da direção e do passo: Passo = valor de lambda^k que minimize f(x) na direção escolhida problema de minimização unidirecional min f(x^k + lambda^k * d^k) Método de redução por intervalo - determina a posição do ponto minímo em um intervalo [a,b] de comprimento 2p Avaliação da função para valores consecutivos da variável lambda, espaçados de um valor p, a partir da condição inicial lambda_0 Algoritmo i=0 e lambda_0=0 Calcule f(lambda_i) Enquanto f(lambda_i+1) < f(lambda_i) -> Calcule [lambda_i+1 = lambda_i + p] e [f(lambda_i+1)] a = lambda_i-1 b = lambda_i+1 Métoda seção aúrea; intervalo onde está o ponto de mínimo, precisão e Divisão do intervalo [a,b] em três parte: nº aúreos (0.3820 e 0.6180) Função avaliada nos novos pontos (w e v) e o novo intervalo determinado Algoritmo
  4. 4. i=0, l_o=b-a, a_0=a e b_0=b Enquanto l_i<=e -> Calcule [w_i = a_i + 0.3820 * l_i] e [v_i = b_i + 0.6180 * l_i] Se f(w_i) < f(v_i) -> [a_i+1 = a_i] e [b_i+1 = v_i] Se não -> [a_i+1 = v_i] e [b_i+1 = b_i] [i = i+1] e [l_i = a_i - b_i] end lambda* = (a_i + b_i)/2 Método Gradiente - indica a direção de máximo crescimento Condição inicial x0 Sequência: x^(k+1) = x^k - lambda^k * grad_f(x*) Algoritmo escolha de x0 e e, i=0 Enquanto ||gradf(x^i)|| > e -> Calcule [grad_f(x^i)], faça d^i = - grad_f(x^i), calcule [lambda^i tal que f(x^i - lambda^i * d^i) = min_lambda f(x^i - lambda^i * d^i)], faça x^(i+1) = x^i + lambda^i * d^i Método de Neewton - aproximação da Fo por uma função quadrática f(x) =~ f(x0) + grad_f(x0) * (x-x0) + (1/2) * (x-x0)^T * grad^2_f(x0) * (x-x0) Mínimo de f(x) -> df(x)/dx = grad_f(x0) + grad^2_f(x0) * (x-x0) = 0 x^(i+1) = x^i - [grad^2_f(x^1)]^(-1) * grad_f(x^i) Funções quadráticas -> método converge em uma iteração d^i = - [grad^2_f(x^1)]^(-1) * grad_f(x^i) lambda^i = 1 Convergência muito rápida próximo ao ponto de solução -> região aproximadamente quadrática Regiões distantes -> lambda^i = min_lambda f(x^i - lambda * d^i) Métodos de soluções de PNL com restrições Métodos das penalidades: transforma em PNL sem restrições -> adição de termos a FO Penalidades exteriores ou interiores/barreiras Penalidade exteriores: F(x) = f(x) + w*p(x) p(x) = 0 se xE[a,b], (x-a)^2 se x<a, (x-b)^2 se x>b w = ponderação F(x) = f(x) + somatório de (i=1 até np) de [w_i * p_i(x)] pi(x) = min [0, h_i(p_i(x))]^2 Penalidades Interiores ou barreiras logaritmicas: F(x) = f(x) - u*[ln(x-a) + ln(-x+b)] u = parametro de barreira Método de pontos interiores - Karmarkar min f(z) h(z)=0 l<=z<=u z = variáveis de estado e controle l e u = limites inferiores e superiores min f(z) h(z)=0 z-u+su=0 z-l-sl=0 su e sl >= 0 -> variávies de folga
  5. 5. min f(z) - u*log(su) - u*log(sl) h(z)=0 z-u+su=0 z-l-sl=0 Lagrangeano: F(z) - u*log(su) - u*log(sl) - lambda*h(z) - pi_u*(z-u+su) - pi_l*(z-l-sl) grad_L = 0 grad^2_L x grad_x = - grad_L Função da barreira: manter as variáveis dentro do limite Fazer u -> 0 Algoritmo: Inicializar as variáveis -> testa convergência Se não: calcula e resolve o sistema de equações lineares -> calcula o máximo passo -> atualiza variáveis -> atualiza parametros de barreira -> testa convergência Sistema de 5 barras Curva Vc/Eth Curva Ic/Icurto Interseção entre Vc/Eth e Ic/Icurto = ponto crítico -> Pc/Pmax = máx Operação normal = interseção entre as curvas Vc/Eth com Pc/Pmax e Ic/Icurto com Pc/Pmax Conexão paralelo e série Paralelo = P absorvido depende de V P = V^2/Rp Ru = (Rp * Sb) / Vb^2 = (V/Vb)^2 * (Sb/P) Ru = Vu^2 / Pu Xu = (V/Vb)^2 * (Sb/Q) Xu = Vu^2/Qu Série: a corrente em X afeta a potência absorvida P I = V/(Rs+jXs) P+jQ = V.I* = V.V* / (Rs+jXs) = |V|^2 / (Rs+jXs) P^2 + Q^2 = |v|^4 / (Rs^2 + Xs^2) P+jQ = |V|^2 (Rs+jXs) / (Rs^2 + Xs^2) P+jQ = (Rs+jXs)(P^2+Q^2) / |V|^2 Rs+jXs = |V|^2 (P+jQ) / (P^2+Q^2) Ru+jXu = (Rs+jXs).Sb / Vb^2 Ru = Vu^2 Sb (Pwatt) / (P^2+Q^2) Xu = Vu^2 Sb (Qvar) / (P^2+Q^2) Zth = (Vl' - Vl) / (I-I')
  6. 6. min f(z) - u*log(su) - u*log(sl) h(z)=0 z-u+su=0 z-l-sl=0 Lagrangeano: F(z) - u*log(su) - u*log(sl) - lambda*h(z) - pi_u*(z-u+su) - pi_l*(z-l-sl) grad_L = 0 grad^2_L x grad_x = - grad_L Função da barreira: manter as variáveis dentro do limite Fazer u -> 0 Algoritmo: Inicializar as variáveis -> testa convergência Se não: calcula e resolve o sistema de equações lineares -> calcula o máximo passo -> atualiza variáveis -> atualiza parametros de barreira -> testa convergência Sistema de 5 barras Curva Vc/Eth Curva Ic/Icurto Interseção entre Vc/Eth e Ic/Icurto = ponto crítico -> Pc/Pmax = máx Operação normal = interseção entre as curvas Vc/Eth com Pc/Pmax e Ic/Icurto com Pc/Pmax Conexão paralelo e série Paralelo = P absorvido depende de V P = V^2/Rp Ru = (Rp * Sb) / Vb^2 = (V/Vb)^2 * (Sb/P) Ru = Vu^2 / Pu Xu = (V/Vb)^2 * (Sb/Q) Xu = Vu^2/Qu Série: a corrente em X afeta a potência absorvida P I = V/(Rs+jXs) P+jQ = V.I* = V.V* / (Rs+jXs) = |V|^2 / (Rs+jXs) P^2 + Q^2 = |v|^4 / (Rs^2 + Xs^2) P+jQ = |V|^2 (Rs+jXs) / (Rs^2 + Xs^2) P+jQ = (Rs+jXs)(P^2+Q^2) / |V|^2 Rs+jXs = |V|^2 (P+jQ) / (P^2+Q^2) Ru+jXu = (Rs+jXs).Sb / Vb^2 Ru = Vu^2 Sb (Pwatt) / (P^2+Q^2) Xu = Vu^2 Sb (Qvar) / (P^2+Q^2) Zth = (Vl' - Vl) / (I-I')

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