Ministério da EducaçãoUniversidade Tecnológica Federal do Paraná            Campus Medianeira ÁLGEBRA LINEAR – 2º Sem/2011...
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  1. 1. Ministério da EducaçãoUniversidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Medianeira ÁLGEBRA LINEAR – 2º Sem/2011 Profª Tássia Hickmann Medianeira 2011
  2. 2. UTFPR – Campus Medianeira 1 SUMÁRIO1 ESPAÇOS VETORIAIS.........................................................................................................4 1.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS.................................................................................................... 4 1.2 PROPRIEDADES DE ESPAÇOS VETORIAIS ............................................................................ 72 SUBESPAÇOS VETORIAIS .................................................................................................8 2.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS.................................................................................................... 8 2.2 INTERSEÇÃO E SOMA DE SUBESPAÇOS ..............................................................................103 COMBINAÇÃO LINEAR ...................................................................................................14 3.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS...................................................................................................14 3.2 GERADORES .............................................................................................................................154 DEPENDÊNCIA LINEAR...................................................................................................17 4.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS...................................................................................................17 4.2 PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA LINEAR.......................................................................185 BASE E DIMENSÃO ...........................................................................................................20 5.1 BASE...........................................................................................................................................20 5.2 DIMENSÃO ................................................................................................................................21 5.2.1 PROPRIEDADES .................................................................................................................21 5.3 DIMENSÃO DA SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS .........................................................23 5.3 COORDENADAS........................................................................................................................246 MUDANÇA DE BASE .........................................................................................................277 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS...........................................................................30 7.1 PRODUTO INTERNO.................................................................................................................30 7.2 MÓDULO DE UM VETOR.........................................................................................................32 7.2.1 PROPRIEDADES DO MÓDULO .........................................................................................33 7.3 DISTÂNCIA ENTRE VETORES ................................................................................................33 7.3.1 PROPRIEDADES DA DISTÂNCIA .....................................................................................33 Profª. Tássia Hickmann
  3. 3. UTFPR – Campus Medianeira 2 7.4 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ...........................................................................................34 7.5 VETORES ORTOGONAIS .........................................................................................................35 7.6 CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES ...............................................................................35 7.6.1 BASE ORTOGONAL ...........................................................................................................35 7.6.2 BASE ORTONORMAL ............................................................................................................368 TRANSFORMAÇÕES LINEARES .................................................................................... 40 8.1 EXEMPLOS GEOMÉTRICOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES ......................................41 8.1.1 EXPANSÃO OU CONTRAÇÃO UNIFORME .....................................................................42 8.1.2 REFLEXÃO EM TORNO DO EIXO x..................................................................................42 8.1.3 REFLEXÃO EM TORNO DA ORIGEM ..............................................................................43 8.1.4 ROTAÇÃO ...........................................................................................................................43 8.2 NÚCLEO E IMAGEM.................................................................................................................44 8.2.1 PROPRIEDADES DO NÚCLEO ..........................................................................................46 8.2.2 PROPRIEDADES DA IMAGEM ..........................................................................................46 8.2.3 ISOMORFISMO ...................................................................................................................47 8.3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR....................................................................48 8.3.1 PROPRIEDADES .................................................................................................................50 8.4 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................52 8.4.1 ADIÇÃO...............................................................................................................................52 8.4.2 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR....................................................................................52 8.4.3 COMPOSIÇÃO.....................................................................................................................539 OPERADORES LINEARES................................................................................................ 55 9.1 OPERADORES INVERSÍVEIS...................................................................................................55 9.1.1 PROPRIEDADES DOS OPERADORES INVERSÍVEIS ......................................................55 9.2 AUTOVALORES E AUTOVETORES ........................................................................................57 9.2.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ..................................................60 9.2.2 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO.......................................................................................60 Profª. Tássia Hickmann
  4. 4. UTFPR – Campus Medianeira 3 9.2.3 MATRIZES SEMELHANTES ..............................................................................................63 9.2.4 MATRIZES DIAGONALIZÁVEIS.......................................................................................64 9.3 OPERADOR ORTOGONAL .......................................................................................................65 9.3.1 PROPRIEDADES DE UM OPERADOR ORTOGONAL ......................................................65 9.4 OPERADOR SIMÉTRICO ..........................................................................................................66 9.5 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES..................................................................................67 Profª. Tássia Hickmann
  5. 5. UTFPR – Campus Medianeira 41 ESPAÇOS VETORIAIS Em várias partes da matemática, defrontamo-nos com um conjunto, tal que é, ao mesmo tempo,significativo e interessante lidar com “combinações lineares” dos objetos daquele conjunto. Por exemplo,no estudo de sistemas lineares, é bastante natural considerar combinações lineares das linhas de umamatriz. A grosso modo, a álgebra linear trata das propriedades comuns a sistemas algébricos constituídospor um conjunto mais uma noção razoável de uma “combinação linear” de elementos do conjunto. Nestetema estudaremos o ambiente dos Espaços Vetoriais que, como a experiência nos mostra, é a abstraçãomais útil deste tipo de sistema algébrico.1.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS Neste capítulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que será usado em todo o decorrer docurso. Porém, antes de apresentarmos a definição de espaço vetorial, passemos a analisar em paralelo doisobjetos: o conjunto formado pelas funções reais f :    , que será denotado por F   ;   e oconjunto das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais que denotaremos por M n    , ousimplesmente, por M n . A soma de duas funções f e g de F   ;   é definida como sendo a função f  g  F   ;   dada por  f  g  x   f  x   g  x  . Note também que se   R podemos multiplicar a função f pelo escalar  , da seguinte formaf x     f x  , resultando num elemento de F   ;   . Com a relação a M n , podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A  aij   n n eB  bij nn , colocando A  B  aij  bij nn , que é um elemento de M n . Com relação à multiplicação de um elemento A  aij   n n de M n por um escalar    , é  natural definirmos  A   aij n n , o qual também pertence a M n . O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adição de seus elementos emultiplicação de seus elementos por escalares, têm em comum? Vejamos: Profª. Tássia Hickmann
  6. 6. UTFPR – Campus Medianeira 5 Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos números reais que, com relação a quaisquerfunções f , g e h de F   ;   e para todo  ,    , são válidos os seguintes resultados: 1. f gg f ; 2. f   g  h    f  g   h; 3. Se  representa a função nula, isto é,  x   0 para todo x  R , então   f  f ; 4. A função  f definida por  f  x    f  x  para todo x  R é tal que  f  f   ; 5.  f     f ; 6.     f  f  f ; 7.   f  g   f  g ; 8. 1f  f . Agora, com relação a quaisquer matrizes A , B e C em M n e para todo  ,    , também sãoválidos os seguintes resultados: 1. A B  B  A; 2. A  B  C    A  B   C ; 3. Se  representa a matriz nula, isto é,   0 nn , então A    A ; 4.   Se A  aij n n  então a matriz  A definida por  A   aij  n n é tal que A   A   ; 5.  A    A ; 6.    A  A  A ; 7.   A  B   A  B ; 8. 1A  A . Podemos ver que tanto o conjunto das funções definidas na reta a valores reais como o dasmatrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicação por escalares adequadas apresentampropriedades algébricas comuns. Na verdade muitos outros conjuntos munidos de operações apropriadasapresentam propriedades semelhantes às acima. É por isso que ao invés de estudarmos cada um separadamente estudaremos um conjuntoarbitrário e não vazio, V , sobre o qual supomos estar definidas uma operação de adição, isto é, para cadau , v V existe um único elemento de V associado, chamado a soma entre u e v e denotado por u  v ,e uma operação de multiplicação por escalar, isto é, para cada u V e    existe um único elementode V associado, chamado de produto de u pelo escalar  e denotado por  u . Profª. Tássia Hickmann
  7. 7. UTFPR – Campus Medianeira 6 Definição: Diremos que um conjunto V como acima, munido de uma adição e de uma multiplicação por escalar é um espaço vetorial se para quaisquer u , v e w  V e para todo  ,    são válidas as seguintes propriedades: A. Com relação à adição: A1. u  v  v  u (comutatividade); A2. u  v  w  u  v   w (associatividade); A3. Existe um elemento 0  V tal que u  0  u para todo u  V ( 0 é chamado de elemento neutro da adição); A4. Para cada elemento u  V existe um elemento  u V tal que u   u   0 (  u é chamado de elemento oposto, ou inverso, da adição); M. Com relação à multiplicação: M1.  u    u , para todo u  V e para todo  ,    ; M2.    u  u  u , para todo u  V e para todo  ,    (distributividade); M3.  u  v   u  v , para todo u , v  V e para todo    ; M4. 1u  u , para todo u  V ( 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação).Observações: i. É comum chamarmos os elementos de um espaço vetorial de vetores, independentemente da natureza dos mesmos. Também chamamos de escalares os números reais quando estes desempenham o seu papel na ação de multiplicar um vetor; ii. O elemento 0 da propriedade (3) é único; iii. A rigor, a definição de espaço vetorial que demos acima se refere a espaços vetoriais reais, visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas números reais. A noção de espaço vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da definição acima com as devidas mudanças. Outro exemplo de espaço vetorial, além dos dois apresentados no início do texto, é o conjuntodos vetores como apresentados em Geometria Analítica munido da adição e da multiplicação por escalar.Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definição acima deve ser entendido de uma forma maisampla, sendo uma referência aos elementos de V independentemente de serem ou não vetores. Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números reais com aadição e multiplicação usuais. Mais geralmente, para cada n   , podemos transformar o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais,  , em um espaço vetorial definindo a adição de duas n-uplas n Profª. Tássia Hickmann
  8. 8. UTFPR – Campus Medianeira 7ordenadas, x   x1 ,... , xn  e y   y1 , ... , y n  , adicionando-se coordenada a coordenada, isto é,x  y   x1  y1 , ... , xn  y n  e o produto de uma n-upla x   x1 ,... , xn  por um escalar    porx  x1 , ... , xn  . É uma rotina bem simples verificar que desse modo  n é um espaço vetorial. Deixamos comoexercício esta tarefa. Vejamos mais um exemplo de espaço vetorial: Sejam n   e V  Pn (  ) , o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômiosde grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adição e a multiplicação por escalar daseguinte maneira:  Se p  x   a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n e q  x   b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n são elementos de Pn ( ) então p  x   q  x   (a0  b0 )  ( a1  b1 ) x  ( a2  b2 ) x 2  ...  ( an  bn ) x n ;  Se p  x   a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n é um elemento de Pn () e    então p x   (a0 )  (a1 ) x  (a 2 ) x 2  ...  (an ) x n1.2 PROPRIEDADES DE ESPAÇOS VETORIAIS Das oito propriedades que definem um espaço vetorial podemos concluir várias outras.Listaremos algumas destas propriedades na seguinte proposição:Proposição: Seja V um espaço vetorial sobre  . Temos i. Para qualquer    ,  0  0 ; ii. Para qualquer u  V , 0u  0 ;iii. Se  u  0 , então   0 ou u  0 ;iv. Para quaisquer    e u  V , ( )u   (u )  (u ) ; v. Para qualquer u  V ,   u   u ;vi. Se u  w  v  w , então u  v ;vii. Se u , v  V , então existe um único w V tal que u  w  v . Profª. Tássia Hickmann
  9. 9. UTFPR – Campus Medianeira 82 SUBESPAÇOS VETORIAIS2.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V , subconjuntos W que sejam elespróprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão chamados subespaços vetoriais de V . Istoacontece, por exemplo, com o  2 , o plano, onde W é uma reta deste plano que passa pela origem. Definição: Seja V um espaço vetorial sobre  . Dizemos que um subconjunto W  V é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: i. 0 W ; ii. Se u , v  W , então u  v  W ; iii. Se u  W , então  u  W , para todo    .Observações: 1. As condições da definição acima garantem que ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de W . Isto é suficiente para afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades A1 a M4 da definição de espaço vetorial, porque elas são válidas em V , que contém W ; 2. Obviamente 0 e V são subespaços vetoriais do espaço vetorial V , chamados subespaços triviais. Por exemplo, para V   2 , os subespaços triviais são: 0 , 0 e  2 , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem;Exemplos:  1) Verifiquemos que S   x , y , z   R 3 ; x  y  z  0 é um subespaço vetorial de  3 . Profª. Tássia Hickmann
  10. 10. UTFPR – Campus Medianeira 9 i. É claro que 0 , 0 , 0  satisfaz 0  0  0  0 . Logo  0, 0, 0   S ; ii. Se x , y , z  e u , v , w  S então x  u    y  v   z  w  x  y  z   u  v  w  0  0  0 e, portanto, x , y , z   u , v , w S ;iii. Se x , y , z  S então x  y  z    x  y  z    0  0 para qualquer    . Assim  x , y , z   S .2) Sejam V   2 e S   x , y    ; y  2x , ou seja, S   x , 2x  ; x   , isto é, S é o conjunto de 2vetores no plano que têm a segunda componente igual o dobro da primeira. Evidentemente S  , pois 0 , 0   S . Verifiquemos as condições (ii) e (iii) da definição desubespaço vetorial: ii. Tome u   x1 , 2 x1   S e v   x2 , 2 x2   S , temos que u  v  x1 , 2 x1    x2 , 2 x2    x1  x2 , 2 x1  x2   S , pois a segunda componente de u  v é o dobro da primeira.;iii. Agora, dado um    e u   x1 , 2 x1   S , temos que  u    x1 , 2 x1    x1 , 2( x1 )   S , pois a segunda coordenada de  u é o dobro da primeira. Portanto S é um subespaço vetorial de  2 . Este subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem. Ao tomarmos doisvetores u e v desta reta, o vetor soma u  v ainda é da reta. E se multiplicarmos um vetor u da reta porum numero real  , o vetor  u ainda estará na reta. O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a retaS   x , 4  2 x  ; x   não um subespaço vetorial do  2 . Se escolhermos os vetores u  1, 2 ev  2 , 0 de S, temos u  v  3, 2  S . Profª. Tássia Hickmann
  11. 11. UTFPR – Campus Medianeira 10  a b 3) Seja V  M 2    e S     M 2    ; a  d  0 e b  c  0  . Visivelmente segue que S é um  c d   a b subespaço de V. De fato, pode-se reescrever S     ; a , b    e verificando que:  b a    0 0 i.    S , para tanto basta tomar a  0 e b  0 ;  0 0 bd   ac bd  ii. Se v1   a  b   c  , v2   d S , então v1  v2   a  c     b  d  a  c S ;  b  a   d c   b  d a  c      iii. Se    v   a b   a b     S , então  v   S .  b  a   b  a  Deixamos como exercício a verificação de que os seguintes exemplos são subespaços vetoriaisdos respectivos espaços vetoriais.  4) O conjunto das funções contínuas f :  a , b    , denotado por C  a , b  ;  , tais que b  f ( x)dx  0 a é um subespaço vetorial de C  a , b  ;  . 5) O conjunto das matrizes simétricas de ordem n com coeficientes reais é um subespaço de M n    .  6) Tome B uma matriz fixa de M n    e S  A  M n    ; AB  0 , isto é, S é o conjunto dasmatrizes que, multiplicadas à esquerda por B, têm como resultado a matriz nula. Verifica-se facilmenteque S é um subespaço de M n    .7) Sejam m , n  com m  n . Então Pm    é um subespaço vetorial de P   . n2.2 INTERSEÇÃO E SOMA DE SUBESPAÇOS Sejam S1 e S 2 dois subespaços de V . A interseção S de S1 e S 2 , que se representa porS  S1  S 2 , é o conjunto de vetores v  V tais que v  S1 e v  S 2 . Profª. Tássia Hickmann
  12. 12. UTFPR – Campus Medianeira 11Proposição: A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S 2 de V é um subespaço vetorial de V .Demonstração: i. Como S1 e S 2 são subespaços, então 0  S1 e 0  S 2 , logo 0  S  S1  S 2 ; ii. Se u , v  S1 , então u  v S1 e se u , v  S 2 , então u  v S 2 , logo u  v  S  S1  S 2 ;iii. Para qualquer    , se v  S1 , então  v  S1 e se v  S 2 , então  v  S 2 , logo v  S  S1  S 2 .Pergunta: Com a notação usada na proposição acima, podemos afirmar que a união dos subespaços S1e S 2 , ou seja, S1  S 2 , é um subespaço vetorial de V ?Resposta: Não. Basta considerar V   2 , S1  x , y ; x  y  0 e S 2   x , y ; x  y  0. Noteque 1,  1  S1  S1  S 2 e 1 ,1  S 2  S1  S 2 , mas 1,  1  1,1  2 , 0   S1  S 2 . Se S1 e S 2 são dois subespaços de V e V é um subespaço de V que contenha S1 e S 2 , isto é,S1  S 2  V , então V deverá conter todos os elementos da forma u  v , onde u  S1 e v  S 2 . Istomotiva a seguinte definição:Definição: Sejam S1 e S 2 dois subespaços de V . Definimos a soma de S1 e S 2 comoS1  S 2  u  v ; u  S1 e v  S 2  .Proposição: Se S1 e S 2 dois subespaços de V , então S1  S 2 também é um subespaço de V .Demonstração: i. Como 0  S1 e 0  S 2 , logo 0  0  0  S1  S 2 ; ii. Sejam x , y  S1  S 2 , então x  u1  u 2 e y  v1  v2 , com u1 , v1  S1 e u 2 , v2  S 2 , então x  y  u1  v1   u 2  v2   S1  S 2 . Profª. Tássia Hickmann
  13. 13. UTFPR – Campus Medianeira 12iii. Sejam  e x  S1  S 2 , então x  u1  u 2 , onde u1  S1 e u2  S 2 , logo x   u1  u 2   u1  u2  S1  S 2 .Proposição: Sejam V um subespaço vetorial e S1 e S 2 dois subespaços de V . Então S1  S 2 é omenor subespaço vetorial de V que contém S1  S 2 . Em outras palavras, se V é um subespaço vetorialde V que contém S1  S 2 , então S1  S 2  S1  S 2  V .Definição: Sejam S1 e S 2 dois subespaços de V . Dizemos que S1  S 2 é a soma direta de S1 e S 2 seS1  S 2  0. Neste caso usaremos a notação S1  S 2 para representar S1  S 2 .Proposição: Sejam S1 e S 2 dois subespaços de V . Então V  S1  S 2 se, e somente se, cada vetorv  V admite uma única decomposição v  u1  u 2 , com u1  S1 e u 2  S 2 .Demonstração:  Por hipótese a decomposição existe, suponhamos que v  u1  u 2  v1  v2 , onde u1 , v1  S1 eu2 , v2  S 2 . Daí, u1  v1  v2  u2 , onde u1  v1  S1 e v2  u2  S 2 , tendo em vista que S1  S 2  0,temos que u1  v1  v2  u 2  0 , logo u1  v1 e v2  u 2 . Suponhamos que 0  v  S1  S 2 . Tomando u1  S1 e u 2  S 2 , teremos: u1  u 2  u1  v   u 2  v  .Devido à unicidade que diz na hipótese, devemos ter que u1  u1  v  e u 2  u 2  v  . Logo v  0 ,provando assim que S1  S 2  0 .Exemplo: O espaço 3 é a soma direta dos subespaços S1   x , 0,0  ; x   eS2   0, y , z  ; y , z   . É imediato que S1  S 2  0 , 0 , 0  . Por outro lado,   x , y , z   3 ,  x , y , y   x , 0 , 0  0 , y , z   S1  S 2 . Profª. Tássia Hickmann
  14. 14. UTFPR – Campus Medianeira 13Definição: Sejam S1 , ... , S n subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . A soma de S1 a Sn édefinida por S1  ...  S n  u1  ...  u n ; u i  S i Definição: Sejam S1 , ... , S n subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . Dizemos que a soma de S1a S n é uma soma direta se ^   Si   S1  ...  S i  ...  S n   0 , i  1 , ... , n   ^em que o termo S i deve ser omitido da soma. Neste caso usaremos a notação S1  ...  S n para denotara soma direita de S1 a S n .Exercício: Verifique que P2    pode ser escrito como a soma direta dos seguintes subespaços vetoriais: S1  a0 ; a0   , S 2  a1 x ; a1   e S3  a3 x 2 ; a3   .  Profª. Tássia Hickmann
  15. 15. UTFPR – Campus Medianeira 143 COMBINAÇÃO LINEAR3.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS Vimos no capítulo anterior que um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorialque é fechado com relação à adição de vetores e também com relação à multiplicação por escalar. Emoutras palavras, quando somamos dois vetores de um subespaço vetorial ou multiplicamos um vetor dosubespaço por um escalar, o resultado é um elemento deste subespaço. Quando combinamos repetidasvezes estas ações, temos o que chamamos de combinação linear entre vetores. Mais precisamente, adefinição que segue destaca isso: Definição: Sejam u1 , ..., u n elementos de um espaço vetorial V . Dizemos que u é uma combinação linear de u1 , ..., u n se existirem números reais  1 ,..., n tais que u  1u1  ...   n u n .Observação: Sejam S um subespaço vetorial de V . Se u1 ,..., un  S e 1 ,...,  n   então acombinação linear  1u1  ...   n u n  S .Exemplos:1) Em P2    , o polinômio p ( x )  2  x 2 é uma combinação linear dos polinômios p1 ( x)  1 ,p2 ( x)  x e p3 ( x)  x 2 . Basta ver que p ( x)  2 p1 ( x)  0 p 2 ( x)  p3 ( x) .2) Sejam os vetores v1   1, 2,1 , v2  1, 0, 2  , v3   2,  1, 0  em  3 . Expresse os vetoresu   8, 4,1 e v   0, 0, 0  como uma combinação linear de v1 , v2 , v3 .Solução: Desejamos encontrar escalares 1 ,  2 ,  3   tais que u   8, 4,1  1v1   2v2   3v3 (1)Da equação (1), determinamos o seguinte sistema de equações lineares:  1   2  2 3  8   21  3  4 ,    2 1  1 2cuja solução é 1  3,  2  1,  3  2 . Portanto podemos escrever u  3v1  v2  2v3 . Profª. Tássia Hickmann
  16. 16. UTFPR – Campus Medianeira 15 Analogamente para v   0, 0, 0  , temos agora o seguinte sistema:  1   2  2 3  0   21  3  0 ,    2 0  1 2que possui como única solução é a trivial, 1   2   3  0 . Logo, v  0v1  0v2  0v3 .3.2 GERADORESDefinição: Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V . Usaremos o símbolo S para denotar o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S . Em outras palavras u  S se existirem 1 ,...,  n   e u1 ,..., u n  S tais que u  1u1  ...   n u n .Proposição: Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V . Então S  é umsubespaço vetorial de V .Definição: Sejam V e S como acima. Diremos que S  é o subespaço vetorial gerado por S . SeS  u1 , ... , un  também usaremos a notação S   u1 ,..., un  .Proposição: Sejam S e T subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V . Temos 1. S  S  ; 2. Se S  T , então S   T  ; 3. Se S é um subespaço vetorial, então S  S  ; 4. S  T   S   T  .Definição: Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir um subconjunto finitoS  V tal que V  S  . São exemplos de espaços vetoriais finitamente gerados: Profª. Tássia Hickmann
  17. 17. UTFPR – Campus Medianeira 161. Pn     1, x , x 2 ,..., x n  ;  2.  n é gerado por e1  1, 0 ,..., 0  , e2  0 , 1 ,... , 0  , ... , en  0 ,..., 0 ,1 .Observação: Para o caso particular de S  , define-se S   0 .Exemplo: Determinar o subespaço de P2    gerado pelos vetores p1  x   x 2 e p2  x   x 2  x .Solução: Dado um p  x   ax 2  bx  c  P2    , este polinômio pertence ao subespaço geradopor p1  x   x 2 e p2  x   x 2  x se existirem escalares a1 , a2   tais que     ax 2  bx  c  a1 p1  x   a2 p2  x   a1 x 2  a2 x 2  x  a1  a2 x 2  a2 x .Mas isto ocorre se, e somente se, a1  a 2  a   a2  b  c  0 , logo p x   ax 2  bx .  0c   Portanto, o subespaço gerado pelos vetores p1  x  e p2 x  é ax 2  bx ; a , b   . Exercício: Sejam S1   x , y , z , t    4 ; x  y  z  t  0 e S2   x , y , z , t    4 ; x  y  z  t  0 .Encontre um número finito de geradores para os seguintes subespaços vetoriais: S1 , S 2 , S1  S 2 eS1  S 2 . Profª. Tássia Hickmann
  18. 18. UTFPR – Campus Medianeira 174 DEPENDÊNCIA LINEAR4.1 INTRODUÇÃO E EXEMPLOS No capítulo anterior ao estudarmos os geradores de um espaço vetorial procuramos encontrar umdeterminado conjunto de vetores de modo que qualquer vetor do espaço em questão pudesse ser escritocomo combinação linear dos vetores deste conjunto. Por exemplo, se v e w geram um espaço V entãopara qualquer u  V é possível encontrar escalares  e  satisfazendo u  v  w , ou seja, v  w  1u  0 Note que a combinação linear acima é nula, embora nem todos os escalares que aparecem na suaformação são nulos. Vejamos agora a seguinte situação: será possível encontrar escalares  ,  e  , não todos nulos,de modo que, em  3 tenhamos  1, 0 , 0   0 ,1, 0   0 , 0 ,1  0 , 0 , 0 ? A resposta é não. Isto significa que não é possível escrever nenhum dos vetores acima comocombinação linear dos outros dois. Num certo sentido, os vetores do primeiro exemplo guardam umacerta dependência entre um e outro enquanto que, no segundo exemplo, os três vetores são independentes. Vejamos, com as definições e exemplos que seguem como podemos tornar estes conceitos maisprecisos. Definição: Dizemos que uma sequência de vetores u1 ,..., un de um espaço vetorial V é linearmente independente (LI, abreviadamente) se a combinação linear  1u1  ...   n u n  0 só for satisfeita quando  1  ...   n  0 .Observação: Note que se  1  ...   n  0 , então  1u1  ...   n u n  0 , porém a recíproca nem sempreé válida. Basta ver que, por exemplo, em  2 temos 0 , 0   11,1  1 1,  1 , deste modo o conjunto devetores 1,1 ,  1,  1 não é LI. Profª. Tássia Hickmann
  19. 19. UTFPR – Campus Medianeira 18Definição: Dizemos que uma sequência de vetores u1 , ..., u n de um espaço vetorial V é linearmentedependente (LD, abreviadamente) se não for linearmente independente.Observações:1) A definição de dependência linear para a sequência u1 ,..., u n é equivalente a dizer que é possívelencontrar números reais 1 , ..., n não todos nulos tais que  1u1  ...   n u n  0 .2) Convencionamos que o conjunto vazio, , é LI, pois não sabemos apresentar valores distintos nesseconjunto.Exemplos:1) Os vetores 0, u1 , ... , u n  V , onde 0 é o elemento neutro de V , é uma sequência LD. Basta verificarque 1.0  0u1  ...  0u n  0 .2) Verifique se a sequência 1,1,1, 1,1, 0 e 1, 0 , 0  é linearmente independente em  3 .Solução: É preciso verificar as possíveis solução de  1,1,1   1,1, 0   1, 0 , 0  0 , 0 , 0 .Isto equivale a resolver o seguinte sistema de equações:       0      0,  0 o qual possui como única solução       0 . Logo os vetores 1,1,1, 1,1, 0 e 1, 0 , 0  são LI.Exercício: Sejam f  x   cos2 x  , g  x   cos 2  x  e h x   sen 2  x  , x   . Mostre que f , g e hsão linearmente dependentes em C1   ;   (conjunto das funções contínuas diferenciáveis f :    ).4.2 PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA LINEAR 1) Se u1 , ..., u n são LD. em um espaço vetorial V , então pelo menos um destes vetores se escreve como combinação linear dos outros; 2) Se u1 , ..., u n são LD, então qualquer sequência finita de vetores de V que os contenha, também será LD; Profª. Tássia Hickmann
  20. 20. UTFPR – Campus Medianeira 19 3) Se u1 , ... , u n , u n1 , ... , u m são linearmente independentes em um espaço vetorial V , então qualquer subseqüência destes vetores também é linearmente independente; 4) Se u1 , ..., u n são LI em um espaço vetorial V e u1 , ..., u n , u n1 é LD, então u n1 é combinação linear de u1 ,..., u n . 5) Sejam u1 ,..., u n vetores LI em um espaço vetorial V . Então cada vetor v  u1 , ... , u n se escreve de maneira única como v  1u1  ...   n u n , com 1 ,...,  n   . Profª. Tássia Hickmann
  21. 21. UTFPR – Campus Medianeira 205 BASE E DIMENSÃO5.1 BASE A noção de base de um espaço vetorial é muito simples. Ela consiste em escolher um conjunto degeradores que seja o menor possível, isto é, um conjunto que gere o espaço, mas que se deste conjunto forsubtraído qualquer elemento, o que resta não gera mais o espaço todo. Vejamos a definição precisa debase. Definição: Seja V  0 um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é uma sequência de vetores linearmente independentes B de V e que também gera V .Exemplos:1) Os vetores B  1, 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 ,1 formam uma base de  3 . Vê-se facilmente que os vetoresde B são LI, e que todo elemento  x , y , z   3 pode ser escrito comox , y , z   x1, 0 , 0  y 0 ,1, 0  z 0 , 0 ,1 .2) Os n  1 polinômios 1, t , t 2 , ..., t n formam uma base para Pn    .3) As matrizes  1 0   0 1   0 0   0 0  B    ,  ,   ,      0 0   0 0   1 0   0 1 formam uma base para M 2    .Teorema: Todo espaço vetorial V  0 finitamente gerado, admite uma base. Em outras palavras, háuma sequência de vetores LI de V formada por geradores.Demonstração: Como V  0 é finitamente gerado existem u1 , ... , u n  V tais que V  u1 ,..., u n  . Seu1 ,..., un forem LI, então esta sequência é uma base de V e não há nada mais a ser provado. Profª. Tássia Hickmann
  22. 22. UTFPR – Campus Medianeira 21 Suponhamos que u1 ,..., u n sejam LD. Como V  0, existe j   ,..., nj tal que u j  0 . Por 1simplicidade, podemos supor que u1  0 . Agora, se todo u j , j  2 ,..., n puder se escrever comocombinação linear de u1 , então V  u1  e B  u1 é uma base de V . Caso isto não ocorra, é porqueexiste algum u j , com 2  j  n tal que u1 , u j são LI. Por simplicidade, suponhamos que seja o u 2 , istoé, u1 , u 2 são LI. Bem, se todos os vetores u3 , ... , u n forem combinações lineares de u1 e u 2 entãoV  u1 ,u2  e u1 , u2 formam uma base de V . Podemos repetir este processo e como o número de elementos de B  u1 , ... , u n  é finito, elefinda. Desse modo, existe uma sequência de vetores LI dentre os vetores B que gera V . Esta sequênciaforma uma base de V .5.2 DIMENSÃOTeorema : Em um espaço vetorial V  0 finitamente gerado toda base possui o mesmo número deelementos. Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Se V  0 definimos a dimensão de V como sendo 0 . Se V  0 definimos a dimensão de V como sendo o número de elementos de uma base qualquer de V . Usaremos o símbolo dim V para designar a dimensão de V .Observação: Se um espaço vetorial não é finitamente gerado, dizemos que V possui dimensão infinita.5.2.1 PROPRIEDADES 1. Todo espaço de dimensão infinita possui uma infinidade de vetores linearmente independentes; 2. Em um espaço vetorial de dimensão m, qualquer sequência com mais de m elementos é linearmente dependente; 3. Todo subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita também tem dimensão finita; Profª. Tássia Hickmann
  23. 23. UTFPR – Campus Medianeira 22 4. Se V é um espaço vetorial n -dimensional e u1 , ..., u n são vetores de V linearmente independentes, então estes vetores forma uma base para V .Exemplos:  1) dim  n  n  2) dim M nm     nm    3) dim Pn     n  1Teorema (Complemento): Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Se os vetores u1 , ... , u r são LIem V , com r  n , então existem u r 1 , ..., u n  V tais que u1 , ..., u r , u r 1 ,..., u n formam uma base de V .Exemplo: Encontre uma base do  3 contendo o vetor 1,1,  1 . Como a dimensão do  é 3 , precisamos encontrar mais dois vetores a , b , c  3Solução: ex , y , z  , que juntamente com 1,1,  1 sejam LI, ou seja, devemos ter que se  1 1,1,  1   2 a , b , c    3  x , y , z   0 , 0 , 0   1   2   3  0 .Isto é equivalente a mostrar que o sistema  1   2 a   3 x  0   1   2b   3 y  0     c   z  0  1 2 3tem única solução, ou ainda, que a matriz 1 a x   1 b y  1 c z  possua determinante diferente de zero. O seu determinante é xb  c   y a  c   z b  a  . Existe umainfinidade de valores pra que essa expressão seja diferente de zero, uma delas é tomar a , b , c   0 ,1,1e  x , y , z   0 , 0 ,1 . Profª. Tássia Hickmann
  24. 24. UTFPR – Campus Medianeira 235.3 DIMENSÃO DA SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAISProposição: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se U e W são dois subespaços vetoriaisde V , então dim U  W   dim U  dimW  dim U  W  .Corolário: Seja U um subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita V . Sedim U  dim V , então U  V .Observação: Note que se V , U e W são como na proposição acima e se além do mais tivermosV  U  W e dim U  dim W  dim V , então U W  0, isto é, a soma U  W não é direta.Exemplo: Sejam U   p  x   P3    ; p  0   p 1  0 e V   p  x   P3    ; p  1  0 . Encontreuma base para U , V , U  V e U  V .Solução:U : Temos p( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3 U  p0  p1  0  a0  0   a0  a1  a2  a3  0     p ( x )   a 2  a 3 x  a 2 x 2  a 3 x 3  a 2 x 2  x  a 3 x 3  x .   Desse modo, U  x 2  x , x 3  x , e estes polinômios são LI, pois como cada um tem graus distintos,  nenhum pode ser múltiplo do outro. Assim, B  x 2  x , x 3  x formam uma base para U .V: p( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  V  p 1  0  a 0  a1  a 2  a3  0  p ( x)  a0  a0  a2  a3 x  a 2 x 2  a3 x 3      p ( x)  a 0 1  x   a 2 x 2  x x  a3 x 3  x .  Deste modo V  1  x , x 2  x , x 3  x e estes polinômios são LI, pois como cada um tem graus distintos,  nenhum pode ser múltiplo do outro. . Assim, B  1  x , x 2  x , x 3  x formam uma base para V . Profª. Tássia Hickmann
  25. 25. UTFPR – Campus Medianeira 24  a0  0 2 3 U V : p ( x)  a 0  a1 x  a2 x  a3 x  U  V  a0  a1  a2  a3  0 a  a  a  a  0  0 1 2 3  a0  a2  0      p ( x)   a1 x 3  x . a1  a3    Logo U  V  x 3  x e B  x 3  x é uma base de U  V .U V :   Temos que dim U  V   2  3  1  4  dim P3    . Pelo corolário acima temos que  U  V  P3    , logo B  1, x , x 2 , x 3 é uma base de U  V .5.3 COORDENADAS Sejam V um espaço vetorial finitamente gerado e B uma base de V formada pelos vetoresu1 ,..., un . Como B é uma base de V , todo elemento de u  V se escreve como u  1u1  ...   n un ,com os coeficientes 1 ,...,  n   . Já sabemos que os coeficientes  1 ,..., n são unicamente determinados pelo vetor u . Estescoeficientes são denominados coordenas de u com relação à base B . Representaremos as coordenadasde u com relação à base como  1    uB     .    nExemplos:1) Mostre que os vetores 1,1,1, 0 ,1,1 e 0 , 0 ,1 formam uma base do  3 . Encontre as coordenadas de1, 2, 0   3 com relação à base B formada pelos vetores acima.Solução:   Já sabemos que dim  3  3 . Para verificar se os vetores acima formam uma base deV , basta verificar se eles são LI e eles são, pois o determinante da matriz 1 0 0    1 1 0  1 1 1    Profª. Tássia Hickmann
  26. 26. UTFPR – Campus Medianeira 25é 1  0 . Agora, 1, 2 , 0   1,1,1   0 ,1,1   0 , 0 ,1   ,   ,     é equivalente ao sistema   1  ,     2       0 cuja única solução é   1 ,   1 e   2 . Desse modo, as coordenadas de 1, 2 , 0 com relação àbase B são dadas por  1     1    2  2) Mostre que os polinômios 1, x , x 2  x formam uma base B para P2    . Encontre as coordenadas de1  x  x 2 com relação à base B . Encontre também as coordenadas deste mesmo polinômio com relaçãoà base C formada pelos polinômios 1, x , x 2 .Solução: Para verificar que 1, x , x 2  x forma uma base para P2    basta mostrar que cadap ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  P2    se escrever de maneira única como combinação linear de 1, x , x 2  x .  Isto é equivalente a mostrar que a equação p ( x)  1  x   x 2  x possui uma única solução ,  ,    3 . Assim, temos  a0  a1 x  a 2 x 2   1  x   x 2  x que é equivalente ao sistema   a0      a1 ,   a  2o qual possui uma única solução dada por   a0 ,   a1  a 2 e   a 2 . Com isso em mãos, vemos que as coordenadas de 1  x  x 2 com relação à base B são dadas por 1   2 . 1  Note que com relação à base C formada por 1, x , x 2 as coordenadas de 1  x  x 2 são dadas por Profª. Tássia Hickmann
  27. 27. UTFPR – Campus Medianeira 26 1   1 . 1   Profª. Tássia Hickmann
  28. 28. UTFPR – Campus Medianeira 276 MUDANÇA DE BASE Como vimos no último exemplo do capítulo anterior as coordenadas de um elemento de umespaço vetorial podem variar quando se consideram bases distintas. O que passaremos a estudar agora é como esta mudança ocorre, ou seja, como é possívelencontrar as coordenadas de um vetor com relação a uma base sabendo-se suas coordenadas com relaçãoa outra base. Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Sejam B e C bases de V formada pelos vetoresb1 , ..., bn e c1 , ..., cn , respectivamente. Como B é uma base, existem  ij   , 1  i , j  n tais que c1   11b1     n1bn  cn   1n b1     nn bn Dessa forma, as coordenadas de c1 , ..., cn , com relação à base B , são respectivamente,  a11   a1n      c1B     ,..., cnB     .      n1   nn  Reunimos estas informações sobre as coordenadas dos vetores da base C com relação à base Bna seguinte matriz  11   1n    M     , C B    n1   nn cujas colunas são formadas pelas coordenadas de c1 ,  , c n com relação à base B . A matriz M B é Cchamada de matriz mudança de base da base B para a base C . C Antes de mostrarmos a relação que existe entre M B e as coordenadas de um dado vetor comrelação às bases B e C , vejamos como podemos encontrar a matriz mudança de base em um exemplo no3 .Exemplo: Considere a base B de 3 formada pelos vetores 1, 0 ,1, 1,1,1 e 1,1, 2 . Consideretambém a base C formada pelos vetores 1, 0 , 0 , 0 ,1, 0  e 0 , 0 ,1 . Encontre M B . C Profª. Tássia Hickmann
  29. 29. UTFPR – Campus Medianeira 28Solução: Precisamos resolver 1, 0 , 0 11 1, 0 ,1   21 1,1,1   31 1,1, 2 0 ,1, 0   12 1, 0 ,1   22 1,1,1   32 1,1, 2 0 , 0 ,1   13 1, 0 ,1   23 1,1,1   33 1,1, 2 11   21   31 , 21   31 ,11   21  2 31   1, 0 , 0  12   22   32 , 22   32 ,12   22  2 32   0 ,1, 0 13   23   33 , 23   33 ,13   23  2 33   0 , 0 ,1 Um momento de reflexão nos poupará um pouco de trabalho neste ponto. Note que cada linhaacima representa um sistema de três equações com três incógnitas e que a matriz associada a cada umdestes sistemas é a mesma. O que muda são os nomes das variáveis e o segundo membro. Utilizandocomo variáveis x , y e z , basta resolvermos o seguinte sistema 1 1 1 x  a      0 1 1 y   b 1 1 2 z   c      onde a , b e c   . O sistema acima é equivalente a  1 1 1  x   a        0 1 1  y    b   0 0 1  z   c  a      cuja única solução é dada por x  a  b , y  a  b  c e z  c  a . Tomando a , b , c   1, 0 , 0  , obtemos  11 ,  21 , 31   1,1,  1 . Tomando a , b , c   0 ,1, 0  , obtemos 12 , 22 , 32    1,1, 0  . Tomando a , b , c   0 , 0 ,1 , obtemos 13 , 23 , 33   0 ,  1,1 .Desta forma obtemos  1 1 0    M C B  1 1  1 . 1 0 1   Vejamos agora como as coordenadas de um vetor se relacionam com respeito a duas bases de umespaço vetorial de dimensão finita. Sejam B e C bases de um espaço vetorial de dimensão finita V formadas, respectivamente,pelos vetores b1 , , bn e c1 , , cn . Dado um vetor v em V sejam Profª. Tássia Hickmann
  30. 30. UTFPR – Campus Medianeira 29  x1   y1      vB     e vC     . x  y   n  n C  as suas coordenadas com relação às bases B e C , respectivamente. Se M B   ij representa a matriz nde mudança de base de B para C , então como c j   i 1  ijbi , j  1,  , n , obtemos n n n  n  n  n  v   xi bi   y j c j   y j    ij bi       ij y j bi ,   i 1 j 1 j 1  i 1  i 1  j 1 onde na última igualdade invertemos a ordem da soma. Como os vetores b1 , ..., bn são LI, segue-se que nxi   j 1 ij y j , i  1 , , n . Porém, estas últimas n equações podem ser escritas na seguinte fórmulamatricial  11 12  1n   y1   x1                  ,       n1  n 2   nn   yn   xn ou, mais simplesmente C v B  M B vc Resumiremos este resultado na seguinte Proposição: Sejam B e C bases de um espaço vetorial de dimensão finita V . Se v B e vC representam as coordenadas de um dado vetor v  V com relação às bases B e C , respectivamente e C se M B é a matriz de mudança de base da base B para a base C então C v B  M B vc .Proposição: Sejam B , C e D bases de um espaço vetorial n dimensional. Temos D C D MB  MB MC . CProposição: Sejam B e C bases de um espaço vetorial de dimensão finita V . Então a matriz M B Bpossui inversa e esta inversa é dada por M C , a matriz de mudança da base C para a base B . Profª. Tássia Hickmann
  31. 31. UTFPR – Campus Medianeira 307 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Em Geometria Analítica, foi definido o produto escalar ou produto interno usual de dois vetoresno  2 e no  3 e foram estabelecidas, por meio deste produto, algumas propriedades geométricasdaqueles vetores. Agora se pretende generalizar o conceito de produto interno e, a partir dessageneralização, definir as noções de comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais mais genéricos.7.1 PRODUTO INTERNO Definição: Seja V um espaço vetorial sobre  . Chama-se produto interno, uma função de V  V em  que a todo par de vetores u , v   V  V associa um número real, indicado por u . v ou u , v . Ou mais explicitamente,  u , v  V temos , : V V   u , v  u,v obedecendo aos seguintes axiomas: P1. u ,v  v ,u ; P2. u  v,w  u,w  v,w ; P3. u , v   u , v ; P4. u ,u  0 e u ,u  0  0 .Exemplos:1) Verifique se a função , :  n  n     x , , x  ,  y ,  , y    x y 1 n 1 n 1 1    xn yn Profª. Tássia Hickmann
  32. 32. UTFPR – Campus Medianeira 31é um produto interno.Solução: Sejam u   x1 ,, xn  , v   y1 ,  , y n  e w   z1 , , zn    n , então P1. u , v  x1 y1    x n y n  y1 x1    y n x n  v , u ; P2. u  v , w   x1  y1 ,  , xn  y n  , z1 ,  , z n    x1  y1 z1     xn  y n z n ;   x1 z1    x n z n    y1 z1    y n z n   u,w  v,w P3.   x1 ,  , xn  ,  y1 ,  , y n   x1 ,  , xn  ,  y1 ,  , y n   x1 y1    xn y n ;    x1 y1    xn y n    u ,v P4. Se u   x1 ,  , xn   0 ,  , 0 , então u , u  x1 ,  , xn , x1 ,  , xn  2 2  x1   xn  0 .2) Verifique se a função f : 2  2     x , x  ,  y , y    x y  3x y 1 2 1 2 1 1 2 2é um produto interno.Solução: Tome u   0,1   2 . Temos que u , u  0,1 , 0,1  0.0  3.1.1  3  0 ,portanto f não é um produto interno, pois vimos que o axioma (P4) falhou.3) Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo a , b  ( C  a , b  ;  ). Se f e g  pertencem a V , b f , g   f x g  x dx a Profª. Tássia Hickmann
  33. 33. UTFPR – Campus Medianeira 32define sobre V um produto interno (a verificação dos quatro axiomas fica a cargo do leitor).Exercício: O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal de umamatriz e é denotado por tr A . Mostre que se A , B  M n , então A , B  tr B t A define um produto interno em M n . Definição: Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano.7.2 MÓDULO DE UM VETOR Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V , chama-se módulo, norma oucomprimento de v , o número real não negativo, indicado por v , definido por: v v,v .Exemplos:1) Se u   x1 , x2 , x3  for um vetor do 3 com produto interno usual, tem-se: u  u ,u  x1 , x2 , x3  , x1 , x2 , x3   2 2 2 x1  x2  x3 .  2) Se V  P    e p  x   x  1 e p  x   C  0,1 ;  com o produto interno definido no exemplo (3) 1anterior, temos que 1 1 1  x3   1 7 px   px , p x    px  dx   x  1 dx   x  x 2    1  1    2 2   . 0 0  3  3 3 0 Profª. Tássia Hickmann
  34. 34. UTFPR – Campus Medianeira 337.2.1 PROPRIEDADES DO MÓDULO Seja V um espaço vetorial euclidiano M1. v  0 ,  v  V e v  0  v  0 ; M2.  v   v ,  v  V e    ; M3. u , v  u v , u , v  V ; (desigualdade de Cauchy-Schwarz) M4. u  v  u  v , u , v  V . (desigualdade triangular)7.3 DISTÂNCIA ENTRE VETORES Num espaço euclidiano V definimos a distância entre u , v  V como d u , v   u  v .7.3.1 PROPRIEDADES DA DISTÂNCIA D1. d u , v   0 ,  u , v  V e d u , v   0  u  v ; D2. d u , v   d v , u  ; D3. d u , v   d u , w   d w , v  ,  u , v , w  V .Exemplo: Com relação ao produto interno usual, calcule a distância entre os vetores u  1,1 , 3 , 2 ev  2 , 2 , 1, 0 de  4 .Solução: d u , v   u  v  1  22  1  22  3  12  2  02  10 . Profª. Tássia Hickmann
  35. 35. UTFPR – Campus Medianeira 347.4 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES O cálculo do ângulo entre dois vetores é uma aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Seu , v  0 , pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, u,v u,v  u v   1. uv Relembremos, agora que x  a   a  x  a . Logo, voltando ao que tínhamos, u,v 1  1. uvLogo, existe um único   0 ,   tal que u,v cos    1. uv u,v E cos   , onde  é o ângulo entre os vetores u e v . uvExemplo: Seja V um espaço vetorial euclidiano e u , v  V . Determinar o cosseno do ângulo entre osvetores u e v , sabendo que u  3 , v  7 e u  v  4 5 . 2 2 2Solução: uv  u  v , u  v ou ainda, u  v  u  v , u  v  u  2 u , v  v .Assim temos, 4 5  2  32  2 u , v  7 2 80  9  2 u , v  49 u , v  11Logo, u,v 11 11 cos     . uv 3.7 21 Profª. Tássia Hickmann
  36. 36. UTFPR – Campus Medianeira 357.5 VETORES ORTOGONAISDefinição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores u , v  V são ortogonais, e serepresenta por u  v , se, e somente se, u , v  0 . 1Exemplo: Sejam V  P2    , p , q   px qx dx , px  x e qx  x 2 . Verifique se p , q são 1ortogonais. 1 1 1 1 x4Solução: p , q   p  x q  x dx   x.x dx   x dx  2 3  0. 1 1 1 4 1 Logo, pela definição p e q são ortogonais.Observação: O vetor 0  V é ortogonal a qualquer v  V .7.6 CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORESDefinição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetoresv1 , v2 , , vn   V é ortogonal, se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, vi , v j  0para i  j .Exemplo: No  3 , o conjunto 1, 2 ,  3 , 3 , 0 , 1 , 1,  5 ,  3 é ortogonal em relação ao produtointerno usual, pois: 1, 2 ,  3, 3 , 0 , 1  0, 3 , 0 ,1 , 1 ,  5 ,  3 0 e 1, 2 ,  3, 1,  5 ,  3  0.Teorema: Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A  v1 , v2 ,  , vn  é linearmente independente.7.6.1 BASE ORTOGONAL Diz-se que uma base v1 , v2 ,  , vn  de V é ortogonal se os seus vetores são dois a doisortogonais. Profª. Tássia Hickmann
  37. 37. UTFPR – Campus Medianeira 36 Assim, levando em conta o teorema anterior, se dim V  n , qualquer conjunto de n vetores nãonulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apresentado noexemplo anterior, 1 , 2 ,  3 , 3 , 0 , 1 , 1 ,  5 ,  3 , é uma base do R 3 .7.6.2 BASE ORTONORMAL Definição: Uma base B  v1 , v2 ,  , vn  de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é: 0 , se i  j vi , v j   . 1 , se i  jExemplo: Em relação ao produto interno usual, temos:1) B  1, 0  , 0 , 1 é uma base ortonormal do  ; 22) B  v1 , v2 , v3 , sendo v1   1 , 1 , 1  , v2    2 , 1 , 1  e v3   0 ,  1 , 1  é uma base        3 3 3  6 6 6  2 2ortonormal do  3 , pois v1 , v2  v1 , v3  v2 , v3  0 e v1 , v1  v2 , v2  v3 , v3  1 . vObservação: Sabemos que se v é um vetor não nulo, o vetor é unitário. Diz-se nesse caso, que v v vestá normalizado. O processo que transforma v em chama-se normalização. Assim, uma base vortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando cada vetor. Logo, se  vn v1 , v2 ,  , vn  é um conjunto ortogonal de vetores, então  v1 , v2  , ,   é um conjunto ortonormal  v1 v2  vn  de vetores. Profª. Tássia Hickmann
  38. 38. UTFPR – Campus Medianeira 377.7 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHIMIDT A demonstração do próximo teorema fornece um método para se conseguir uma base ortonormalde um espaço euclidiano a partir de uma base dada.Teorema: Todo espaço euclidiano de dimensão finita admite uma base ortonormal.Demonstração: A prova é por indução sobre a dimensão do espaço. Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se dim V  1 , então existe v1  V , tal queV  v1  . Como v1  0 , tomamos v1 u1  v1e, dessa forma, u1 é um conjunto ortonormal e V  v1  , ou seja, u1  forma uma base ortonormal paraV. v1 Se dim V  2 , então existem v1 , v2  V tais que V  v1 , v2  . Coloque u1  . Nosso v1trabalho se resume em encontrar um vetor ortogonal a u1 e que tenha norma 1. Primeiramente vamosencontrar um vetor ortogonal a u1 . Vamos tomar u 2  v2  v2 , u1 u1 . Note que u 2  0 , pois v1 e v2são linearmente independentes e u 2 é ortogonal a u1 , pois u1 , u 2  u1 , v2  v2 , u1 u1  u1 , v2  u1 , v2 , u1 u1  u1 , v2  v2 , u1 u1 , u1  u1 , v2  u1 , v2  0 u2 Resta agora normalizar u 2 , isto é, definimos u 2  , e então u2 v1 v2  v2 , u1 u1 u1  e u2  v1 v2  v2 , u1 u1formam uma base ortonormal de V . Dado n   , suponha que tenhamos provado o teorema para todos os espaços euclidianos dedimensão n  1 . Queremos provar que o mesmo é verdade para todo espaço euclidiano de dimensão n . Profª. Tássia Hickmann
  39. 39. UTFPR – Campus Medianeira 38 Se dim V  n  2 , então existem v1 , v2 ,  , vn  V que formam uma base de V . Note queU  v1 , v2 ,  , vn1  é um subespaço de V de dimensão n  1 . Desse modo, usando a nossa hipótese deindução, é possível tomar uma base ortonormal de U . Chamemos estes vetores da base ortonormal de Upor u1 , u 2 ,  , u n 1 . Como v n  U então o vetor u n  vn  vn , u1 u1    vn , u n1 u n1é não nulo e ortogonal a todos os elementos de U (e, portanto, ortogonal a u1 , u 2 ,  , u n1 ). Parafinalizar, tomamos como base de V os vetores u1 , u 2 ,  , u n1 , u n , onde u n v n  v n , u1 u1    vn , u n1 u n1 un   . u n v n  v n , u1 u1    vn , u n1 u n1Observação: No caso de um espaço euclidiano tridimensional, se v1 , v2 , v3 formam uma base, entãouma base ortonormal deste espaço pode ser dada pelos vetores v1 v2  v2 , u1 u1 v3  v3 , u1 u1  v3 , u 2 u 2 u1  , u2  e u3  . v1 v2  v2 , u1 u1 v3  v3 , u1 u1  v3 , u 2 u 2Exemplo: Encontre uma base ortonormal de P2    munido do produto interno 1 p , q   p  x q  x dx . 0Solução: Usaremos o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal a partir dabase formada pelos polinômios 1 , x , x 2 . Temos 1 1   12 dx  1 0e colocamos p1  x   1 . Seguindo o processo, definimos Profª. Tássia Hickmann
  40. 40. UTFPR – Campus Medianeira 39 x  x ,1 1 p2 x   , x  x ,1 1 1 1 1 2 x2 1  1 1onde x ,1   x.1dx   e x  x ,1 1    x   dx  . 0 2 0 2 0 2 12  1Assim, p2  x   12  x    3 2 x  1 .  2 x 2  x 2 ,1 1  x 2 , 3 2 x  1 3 2 x  1Por fim colocamos p3  x   , x 2  x 2 ,1 1  x 2 , 3 2 x  1 3 2 x  1 1 1 1 x3 1 3 2onde x ,1   x .1dx  2  , x 2 , 3 2 x  1  3  x 2 2 x  1dx  0 3 0 3 0 6 2 1 2 2 1  1 1e x 2  x 2 ,1 1  x 2 , 3 2 x  1 3 2 x  1  x 2  x     x2  x   dx  . 6 0 6 180  1Assim,  p3 x   180  x 2  x    5 6 x 2  6 x  1 . 6   Desta forma, uma base ortonormal para P2    é dada por  1  1 p1  x   1 , p2  x   12  x    3 2 x  1 , 2  p3 x   180  x 2  x    5 6 x 2  6 x  1 . 6    Profª. Tássia Hickmann

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