Cap. 45-matematica-paiva

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Cap. 45-matematica-paiva

  1. 1. Capítulo45 Conce ito â n g u l o de r. òemrprano Consideremos uma reta r contidanum pÌanod. se i d mo e o u' s uhc o rl u fl o .d e p o n ro 'd e s s ( Os conjunlosde pontos o' e d" são chamêdos semiplanosde orig€Ìn .. de 2. Angulo geométrico Angulo geomélricoé à intersecção doìs semipÌanos de cujasorìgenssãorelasconcoÌrentes. liiii^L Ob 'cre q ue ne( es doi. c â .ú , Ì. m .,. o . á n g u l o .: O pontoO é chânâdo véÌÌice asserniretas e d e 0ã sãoos lâdosdo ângìÌo. DenotâreÌÌos ângulo o pelosínboloÁó8.
  2. 2. . ÂngüÌoÁô'B', de véÍìce O' e ladosoC e oE. 2.1, Interior de um ângulogeométrico s.. Um ponto é ponto interior â um ânguÌogeomeÌÍicoaÓB se. e sornente perlef(e a e!e ângulo nrasnão a um dos lddos ou óÀ ou dr=. . P é ponto interior âo ângulogeoméÍico ÁôBi . 0 não é ponto inlcÌior âo âneulogeométrico ÁOB.pojspeltence um ladodo àngulo. a O conjunto1 formadopor todosos ponlos inlerìoresde um ângutogeomélricoAOB é deDomnrado inte':iordo ângulo. 2.2. Exterior de um ângulogeométrico ÁO,Bse. e sornente peÌtenceâo plano que se, Um ponto é ponto €xteÍior â un ânguìo geométrìco contémÁôA rnasnão penenceâesse ânguÌo. . r.te p o nroereror ao ântJ u tsfuìrcl cú i rut' : . 0 não é ponlo erterìor ro ânguÌo gcomótrico geométÌico,4OBdcnonrinâdo por exleÌionsa um ângulo ó O conjunto,E formado todosos pontos ert€rior do ângulo. 3. Angulo replementarde um ângulogeométrico Sejam / o interior de uìn âDguÌogeonétrÌco ÀOB e.! o plano quecontémesscânguÌo.Châmâse "ângulo replementàr deÁOB" o conjunto dos ponios que peÍencem a o e não pertencem â /. lndrcandopoÍ rcp,,tO8ì o "eflen"nrdr do iÍ g!1o geométrico ÁÓ,8. temos:
  3. 3. 4. Ânguloraso que Seduâssemi-ÌeLâs foremopostas, então diremos o ânguÌo compreendìdo elasé raso. por ÀnguloÍasode eÍÈceo e kdoç OÀ e oB. 5. Ansulo de uma volta e ânsulo nulo SeduassemireÌâsforem coincidenÌes, entãodìremosque fìcam compreendidos elasum ângulo por deumavoÌtae um âqgLrÌo nulo. An g u l odeI mJ ôl a Je er.rce Oe l âdô' rÁ c O8. Àrgulo nuÌode vértice e lados e Olj O O;i Notâs l. O ângulo raso.o nulo, o de uma volta complctâc o Ìepleìnentâr um ânguÌogeomélriconào sào de ângulosgeométricos. pois não são inreÌsecções seìniplnnos. cujrs origeússãoremsconcorìenles. de 2. O tipo de ânguÌoque mâis nos interessa o ângulo geométrico. Por comodidâdc,dâqui pân a é 1ÌeDtc. omitiÌemos a palavrngeornétrico.chaììando o snÌplcsmcnlede ângulo, ou sejâ: 6. 0 grau, unidade medidade arco e ângulo de Seja Á7 urn arco contido nLuna cìrcunlbêncja c de cenllo o tal que o comprimento de it é igual a I d o c om pnm enr o e L , d Y . Delìnc se a ìnedidado ânsulo,4OB como sendo I srou (l'). ' Define-sea medidado arco,43 como sendo1 grêu (1"). Iülic,rido r medidado âDgulo,lôs por med(,4ÓB) a mcdjda rlo arcoíB- por rned(i3-), temosque: e 338
  4. 4. Notâ UÍn aÌto de ÌÌedidâ 0' (zerognu) é denoÌninado ârco nulo. Exercícioresolvido ËÍ.: Na fielra, o comprimerto oo úFru- c ig'.r u '.o 2 _ J "m {, J .' .i c u ;,Á n .r d e .' n ,.n -r. c ilc ' , 1. .a m . did x o ín g u l oVOV e mg i d u .. , J a-F ,1 pofúi, rroisexìíem doÌsdcos na circunterência rfricanos o rco porúãl-e rão slmpìcsncntc con que:r = ] sddÒ-Ì a nedìda, sÌaus.,lo em arcoúFF. temos :oo" = so'. A nÌcdidado àÌsuÌo MdN é isual à medìdr do rÌco í7F ì Asiú. remos: med(MôN) - .cd(útÀl') : 8o'. 6.1. Submúltiplosdo grau Dois submúltiplosdo graü nrcrecenr dcslâcÌrìe: minuto e o segundo. o Minrto (l') Um minuto é iguaÌ a I 60 Segundo I (1") Unì segundo é iguaÌâ 60 6.2. O transferidor Pârâ medirmos um ângüÌoi em grausi usamos o Irr..i cri do . f.,e Ìn,Ir menl o rormJmenl e e aprescntâdo como ulÌ semicírculo (de plástico ou de madeirâ),grâduâdo 0'a 180". de 339
  5. 5. Exercício resolvido iÈãi,:i l-1"a. o aoguueôr dafisuracoú o âuxíio deumÍusferidor ColÒcâmos ccnlro do trarúeridor coincidindo o com o véÌÌi@ do ângulo. e a origem (tr1 coincìdindo coÌn um ponto de um Ìado do ângulÒ(coÍ- A ìeitua feita m escalânÒponÌo sobrco outrc lado do ârynlo é a medidadèsse ângulo.Observe escal. na = que:med(ÁoB) 35' 7. Operaçóes com medidasem graus,minutose segundos 7.1. Adição Na adição düâsmedidas graus, de em rninuÌos segündos, e somâmos, separâdamenre, os graus, os minutos os segundos. e Exercício resolvido Etetu$: + :ËÍi-iÌ:: 32":15'17'26.36'50". Resoluçâo + 32"45,17, 26'3ó'50', 58.81'67', Cono 60" = l', lodemos escreet6'1 : 1 1' = Logo.58"81'67" 5E'82'7'. Temos, aindâ, 60 = 1",oque nospeúÌè esfeveÌ82' = 1"22'. que Logo, 5a'82'7' : 59'22"7'. 7.2. Subtração Parasubtrâirmos umameúda de outÍâ em gÌâus,minutose segmdos,agimosdê seguinre mâneira: L se a medidaem ninutos (ou segundogdo minuendofor menoÍ que a conespondenre medìdado subhaendo, então"emplesÌamos"1' (ou l') da medidade unidadeimeúatamentesuperìoÌe â rransfor mamos 60' (ou 60'): ern it. quaÌÌdoâsmeúdasem graus,rninutose segundos minuendoforcm rnôioÌesou igüâisàsmedi, do dascoffespondentes subtraendo, do entãosubtraínos.separadamenÌe, graüs,os mìnurose os ssgun os 340 ì
  6. 6. Exercício resolvido 53'261?' 28'34'15'. Sj{ïi Eferuar Resolução 53'26',17', .:s..Ì+ ts t1', 52"46 28.3415" * Temosertão comor€spoúar24'52 2". 7.3. Multiplicaçãopor um núrnerointeiro poÌ Nâ Ínulliplicação de üma meúda eln gÌâüs,minutos e segundos rm nÌímeroìnÌeiÌo. mulÌipli pelo númeÌo;nteiro. câmos,sep.râdâmenÌe, graus.os minuios c os segundos os Exercícío resolvido 22' Efetuar 15'28"6' lF5r,r'ii 22.t5 28', 132"90'168', = = I comoÍesposrì: 33"32'48'. CÒno I 32'90 168" 132'92'4E' | 33'32 48",tenosentão 7.4. Dirisãopor um númerointeiro por minutos segundos uÌn númerc e inteiropositivo,por em ParadividìÌmosumâmedidâ graus. 23"26'48', | 3 modo: agimosdo seguÌnte L dividimos â Ìnedidâ em graus pelo número iÌteiro | 23'26'48" 2. ',7" (2 dìvisão ' 60' = 120')e somamos minutos os oblidos em o IL transfonnamos mìnutos rcstodessà aosminutos dividendo: do 23' (,-2' . oo) (z - 26' 48" ). rzo't 146' IIL dividìmos â nova medidaem minutospelo númeroinlelÌo: 23" (2 . 60') .- t ,ra'l 48' 146', 2', 341
  7. 7. ry. tÌansformamos segundos Íesto dessâ em o divisão (2 . 60' : 120")e somâmos sesundos os obtldos âossegundos dividendo: do 23. 26' (2 ' 601 + l- 120't L46 )':- (-2' . 60') -- t-'/ (2 r6& V. finalmente,dividimos a nova medidaem segundos pelo númerointeiÌoi 23' /-2' (2 . 601 26 )r t2o't - r1í 481 3 r4 y s í l- ^ ,1 le. 60') - t2o', 16v Exercícios resolvidos , iÈiíi::ii stitu- oz"so'zo's. /_ 2 67. :. õ0/- só 2q I 'ut (-n. " r : ul s t , , 5 .õ ), at/ s0' :ÈÍi Dètemind a medidado ângÌÌo fomrdo pelosponrèiÍosdo relógìo às l0 h e 15úin. AnLe!de resolvemos ese lroblena. vmos fazeralgúúâs considerações. . A voÌÌa completado Dost adordo relógio ren 36ü , portâÍto os pontos coreslondenÌes aos úmercs l 2, 3,4, 5, 6. 7, 8. 9, 10, 11c 12dividema circunfe rênciàèm dozearcosd€ 30". j' 342 I
  8. 8. . Os deslocãmcÌtos pôntei.os proporcìG dos sao nais erlre si e lmbém sÃo Ìrroporcionais aÒ tetnpo,ou seja,em ó0 nin o ponlèìrc dos miNtos percoÍe 3600e o dashorâspercorc 3ü. As 10h l5 mìn,o ponteirc maiorestáÌocalizado exatameíte úo nútnero 3 do mostrador e o menor esrÁ enrre l0 e o I l. o '.{' 6 Para descÒbrìnos deslocmenro do ponÌelro lÌorâs, o Ì das desde t0 h atéas 10 h 15min, baía resol_ âs vomos â segurnle reSrade lrês: Teììpo Dèdocanenlo do ponÌeiro 150' 30 l5 LogÕ, = :150. ó0r Poídto, a medidâo pfocuradaé: o : 150" 7.5. . . d= 142,5.. LenbÌedo què I " = ó0 , podeúos escrever 0,5. : 30 . Assim podemosaprèsentd aresposLàtânbémsobafomà,d : 142.30. Exercícios btisicos ó . r: . d h g .ra.o lom plm P nl o o d o n Pv i i C u a.ì d .-^- .lo .o-nnmerro da . i,c O. Calcule nÈdìda ânguloMrN. â do B:zjiì!ì Um arcÒdc circu.íerêncià tem conpiimeúto t2 cDÌ e mede 60.. euâl o cohlrimerro .la cìcuníerência queconlém esse.rco? ,Bì$lìiit O comprimdto de umdci.cuníerênciâé 72 cm. Qual o comprimenro um a.co de 45.. coÌndo !e$a.ndc 343
  9. 9. l, 1c,Jo .dn g, u ..r 8. 5 ', Se ndo = 22' 3854 , Ë = l 3 ' 4 5 1 8 ' e C = 1 8 ' 1 3 ' 1 0caìcuìeÌ Á .)C B d)l Á â )A + B b)Á B 8.6 o. ir liodo. t i. e, J . , . 8.4 f) B :ó Calculc: a)12"+ ó'2r'12', 8.7 e) C :5 b)ó" 5'r2'26" c) 56'36 2{ : 7 Delemìne aúedidaÌde um ângulo lal qrc ì:37"3'36". ntares E xercícios compleme C.í ponteifosde um reló8io às I (ì h l0 ìÌin? QMI â medida.em Smus.do ânguìolòmado peLos C.2 QuaÌ ! medida,cnì g.aus,do ângulo fomado pcÌosponleiìo dÒrelógio às 2 h 15 nìnl C.3 Qual o dÈlôc.menÌo.eú eraus,do pontenÒdâ hoias. desde ds 7 n até Ò próiiDo nÌonÌcníoen que o se FonLeiÍos $biepõem? C.4 de A flgura ao lado ó um arco de circunferCncìa de c.ìcuÌc cento O. Como auxílìo uìnfxnsfelidor, amedida. enus-de$e âÌco. em C.5 UDacuNrde ünaesÌr.dâÌe!ì r forma dc unì arco decirconfeiéncid.DcÍle o lonlolJniciaÌ da cu^d, até o ìrontoB, t'nìal da.urvâ. r esÌr.dâ mud. sta diìcçào em 32'. Qurl a mcdìdado uconÈ em grns? 344
  10. 10. Questões dos vestibulares lli;ïtll j"ìt'ti!l (F.C-M.s-ro*-Sp) Às 9 h 10 min. o ângulotomâdo rElos ponteirosde um relóqio él b) 147.30, , 150' cr 145" d) ló0" e) n.d.a. r,'lcl u.u <puc é dividiilâ em setearcosde me.lidasisuâis. Dent* asâhemarivâs. vard o "i"cüfeÌênciâ que nais seaproxina da medidâde cadâum deses aÌcosé: b) 52. 9 5 f4 3 ' c) s1'25'47 d) 51' 25' t0, e) 53' iì/jíri;r (Fatec-SP) figura lem-s€o mosrrâdorde m rclógio {re raio 1. Seus Nâ ponreúos nücm 4 h 40 ft,n. A árca da rcgião hâchuada nâ fieu é: o )- 9 ,. 107r . I l,r (Lembrête: a árèade um círcdo .te raio Ì é dadãp€la fómula,4 = n/r.) 345

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