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何もないところから数を作る
2015/07/24 第4回プログラマのための数学勉強会
@taketo1024
今日のテーマ
「数とは何か」
「万物の根源は数である」
ピタゴラス
(BC 582∼496)
ピタゴラス
(BC 582∼496)
「万物の根源は数である」
自然数とその比
無理数などない
ピタゴラス
死刑
ピタゴラス
先生、これ無理数ですけど…
弟子A
1
1
2
ピタゴラス教団のシンボル
1 黄金比 φ 👈 これも無理数ww
ぐぬぬ…
ユークリッド
(BC 300∼?)
『原論』の著者で「幾何学の父」。
「数」はやはり自然数のことになっている。
古代ギリシャの滅亡と共にギリシャ数学は衰退、
イスラム世界に引き継がれ代数学が発展していく。
代数方程式の解としての「無理数」
' : 1 = 1 : ' 1 , '(' 1) = 1
, '2
' 1 = 0
' =
1 ±
p
5
2
13世紀頃、数学はヨーロッパに再輸入され次第に復活。
16世紀のルネッサンス期にはアラビア数字も採用され、
印刷技術の発展と共に急速に発展していく。
17世紀:科学革命の時代
ニュートン、ライプニッツによって微積分学が発明される。
位置や速度など連続的に変化する量を解析する手段が確立される。
アイザック・ニュートン
(1642 ∼ 1727)
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ
(1646 ∼ 1716)
連続的に変化する量としての「実数」
t
x
18世紀もさらに物理学への応用として微積分学が発展
していくが、「無限小」「極限」などが曖昧なままで
変な結果が色々と出てきた。
1X
n=0
( 1)n
= 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ...
= (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ...
= 0
= 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)...
= 1
0 = 1
「解析学に幾何学で要求するような完全な厳密さを与えよう」
コーシーとワイエルシュトラウスによって無限小や極限が定式化される。
→ 理系大学生殺しの εδ 論法の完成!
19世紀:数学の基礎と抽象化
"-
オーギュスタン=ルイ・コーシー
(1789 ∼ 1857)
カール・ワイエルシュトラス

(1815 ∼ 1897)
「幾何学で要求するような完全な厳密さ」
経験や直観によらず、定義・公理から出発し、
論理的な手続きのみによって理論を展開していく方法。=
数列や関数の極限を扱うためには、
そもそも「実数」とは何かを定式化しなければいけない!
実数の公理
1. 四則演算(+, ­, , )ができる。
2. 実数同士で大小( )が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。
実数の公理
👆 この「連続性」が有理数との決定的な違い!
  しかしこの事実を定式化するのはとても難しい…
1. 四則演算(+, ­, , )ができる。
2. 実数同士で大小( )が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。
「連続性」の定式化
• R の空でない有界な部分集合は上限を持つ。
• R の上に有界な単調増加数列は収束する。
• R の有界な数列は収束部分列を持つ。
• 中間値の定理、最大値の定理が成り立つ。
• …
→ 実は全部同値になる。これが「定理」ではなく「公理」なのだ。
この辺でだいたいみんな数学に見放された気分になる。
難しい話はともかく…
実数の公理
1. 四則演算(+, ­, , )ができる。
2. 実数同士で大小( )が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。
→ 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義
していけば、解析学は曖昧さや矛盾なく作り上げていくことができる。
うーん…
一方的に「これは公理です」って言われるのは、
「これは仕様です」って言われるモヤモヤに似てる。
【朗報】
実数は有理数を「完備化」することで作れる!
じゃ有理数はどうやって作るの?
有理数は整数同士の割り算で作れる!
整数は?
整数は自然数を二つ繋げて作れる!
自然数は?
自然数は…
「空集合」から作る!!!
何もないところから数を作る
@taketo1024
2015/07/24 第4回プログラマのための数学勉強会
自然数を作るには、
まず自然数とは何かを定める必要がある。
自然数の公理
1. 最初の数 0 N が存在する
2. 任意の a N にはその「次」 a+ が存在する
3. a+ = 0 なる a は存在しない(N は 0 から始まる)
4. a b ならば a+ b+ (a+ は単射)
5. N では数学的帰納法が成立する
以上を満たす集合 N を自然数系と呼ぶ
フォン・ノイマンによる自然数系の構成
として順に作っていく。
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}
復習:集合の合併
={A, B, C} {D, E} {A, B, C, D, E}
={A, B, C} {} {A, B, C}
• 0 = {}
• 1 = 0+ = 0 {0} = {0}
• 2 = 1+ = 1 {1} = {0} {1} = {0, 1}
• 3 = 2+ = 2 {2} = {0, 1} {2} = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}
• 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}
• 0 = {}
• 1 = {0} = { {} }
• 2 = {0, 1} = { {}, { {} } }
• 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } }
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}
ね、簡単でしょう?
→ 難しい場合は、空集合を 猫 に置き換えて考えましょう。
• 0 = 🐱
• 1 = {0} = { 🐱 }
• 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真
• 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } }
• ...
1. 0 = 🐱 (空集合)
2. a+ = a {a}
簡単でしょう?
はじまりは何でもいいので、
空集合にしとけば何も用意しなくて済むってだけ。
自然数系に順序と演算を入れて行きましょう!
• 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• …
集合として 0 1 2 3 … となっている。
を とすれば自然数系には順序が入る。
• a + 0 = a
• a + (b+) = (a + b)+
和 a + b の定義
• a + 0 = a
• a + (b+) = (a + b)+
和 a + b の定義
3 + 2 = (3 + 1)+
= ((3 + 0)+ )+
= (3+ )+
= 4+
= 5
• a 0 = 0
• a (b+) = (a b) + a
積 a b の定義
3 × 2 = (3 × 1) + 3
= ((3 × 0) + 3) + 3
= (0 + 3) + 3
= 3 + 3
= 6
積 a b の定義
• a 0 = 0
• a (b+) = (a b) + a
…何やってんの?w
自然数はアルゴリズムで構成できるということ
ふざけたことを…
「空配列」を空集合と見て、
プログラムで実装しちゃいましょう。
struct N: Equatable, Printable {
private let val: [Any]
private init(_ val: [Any]) {
self.val = val
}
static var zero: N {
return N([])
}
}
postfix operator + {}
postfix func +(n: N) -> N {
return N(n.val + [n.val])
}
func +(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return n
} else {
return (n + m-)+
}
}
func *(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return N.zero
} else {
return (n * m-) + n
}
}
https://gist.github.com/taketo1024/d60e0b8ba479921f7b16
DEMO
何もないところから自然数が作れました!
作れた後は 0 が空集合だとかいうことは
忘れて、普通の自然数として扱っていい。
(普段プログラミングするときに機械語のこと考えないようなモン)
N0 1 2 3 4 5 6 7 …
次、整数 Z を作ります。
( Z はドイツ語の「数」を意味する Zahlen から)
N-N
0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
N を二つ 0 のところで貼り合わせて、
正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。
もっとカッコイイやり方:
N
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
N
0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方:
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方:
7
6
5
4
3
2
1
x - y = 0
x - y = 1
x - y = 2
x - y = 3
x - y = 4
x - y = 5
x - y = 6
x - y = 7
0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方:
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7
もっとカッコイイやり方:
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1-2-3-4-5-6-7
「直線上に並ぶ点たち」をまとめて一つの整数とすればいい。
👈 (n, 0) が n 0 に対応
(0, n) が n 0 に対応 👉
こうすることで演算が簡単に定まる:
例) 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8)
= (5, 8)
= (0, 3)
= -3
例)3 (-2) = (3, 0) + (0, 2)
= (3 0 + 0 2, 3 2 + 0 0)
= (0, 6)
= -6
Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ
直ぐな整数として扱っていい。
Z は +, ­, で閉じた「環」になる。
次、有理数 Q を作ります。
( Q はイタリア語の「商」を意味する Quoziente から)
Z (分子)
Z (分母)
Z (分子)
1
Z (分母)
2
34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = …
2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = …
1/2
「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q
Z (分子)
Z (分母)
(p, q) を q = 1 に射影したものが p/q と考えても良い。
Q
(5, 4)
5/4
演算は小学校で習った通りに定義する
例) 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5)
= (10, 15) + (9, 15) 👈 通分
= (19, 15)
= 19/15
例)3/4 2/7 = (3, 4) (2, 7)
= (3 2, 4 7)
= (6, 28)
= (3, 14) 👈 約分
= 3/14
Q は +, ­, , で閉じた「体」になる。
限りなく密に分布しているが、まだ無理数の穴が空いている。
Q
ではいよいよ、実数 R を作りましょう!
( R はもちろん Real Number の R)
Q に空いている無理数の穴はどうやったら埋められるか?
Q
⇡ep
2
0 1 2 3 4
Q の中で目標の無理数に近づいていく数列を考える。
Q
e
0 1 2 3 4
ex
=
1X
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ ...
ほぼチートだが、テイラー展開:
ex
=
1X
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ ...
e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
ほぼチートだが、テイラー展開:
より、 x = 1 として、
👈 有理数の無限和
e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
なので、有限部分和を取れば、
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...
Q
e
0 1 2 3 4
この数列は Q の中で e に近づいていくので、
この数列のことを e ってことにすればいい。
なんかずるい。
全ての無理数は有理数列の極限として表せるのか?
→ それは知らない。
そもそも「無理数」であることが分かってる数も一部。
ee
, e⇡
, ⇡e
などは無理数かどうかまだ知られていない。
じゃあダメじゃん。
人智を超えた「超越的」方法で作る
このような有理数列の「全体」を考え、色々な近づき方
でも同じところに落ち着いていくものをまとめたものを、
ひとつの実数ってことにする。
Q
e
0 1 2 3 4
カントールの実数論
コーシーが定めた連続・極限の概念を元に、
1872年に「コーシー列」の極限として実数を定式化した。
ゲオルク・カントール
(1845 ∼ 1918)
「デーデキント・カット」
Q の「切断」一つ一つを実数ということにする。
Q
e
0 1 2 3 4
もうひとつのやり方
切断
リヒャルト・デーデキント

(1831 ∼ 1916)
これらの構成法によって作られた「数」は、
「連続性」を満たすことが証明できる(とても難しい)
なぜこんなに難しいのか?
実数の公理
👆 当たり前だと思ってたこの性質がそれだけ特別だから!
1. 四則演算(+, ­, , )ができる。
2. 実数同士で大小( )が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。
ちなみに
R から 複素数 C を作るのは簡単。
R R に (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を入れるだけ。
R
iR C
z
w
zw
まとめ
φ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた!
しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。
まとめ
φ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた!
しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。
👆 これはどうやって作るの?
「空っぽの集合」は実在するのか?
→ 公理論的集合論 (1908)
公理ばっかりやん…
19世紀以降、
なぜ数学はどんどん公理化されていったのか?
数学の独立と自由のため。
(…と僕は思う)
前提条件を徹底的に明確にする代わりに、
何を前提とするかを選べる自由を得た。
公理系は自由に採用していい(作ってもいい)。
6 + 7 = 1 でも 1 / 0 = でも良い。
ユークリッドの公理を満たさない
「非ユークリッド幾何学」も19世紀に確立された。
厳密な論理の上に広がる自由で創造的な
数学の世界を楽しみましょう…!
Thanks!
Twitter: @taketo1024

Blog: http://taketo1024.hateblo.jp

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