Aula2 vibracoes

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Notas de aula - curso Dinâmica de Veículos - Universidade de Brasília

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Aula2 vibracoes

  1. 1. DINÂMICA DE VEÍCULOS 1/2014 Profa. Suzana Moreira Avila, DSc
  2. 2. Noções de Vibrações AULA 2
  3. 3. Sumário  Vibrações livres de Sistemas de um grau de liberdade (S1GDL)  Resposta de S1GDL a excitações harmônicas  Integração numérica da resposta do SIGDL
  4. 4. Vibrações livres de S1GDL • Vimos que um sistema de 1GDL é descrito pela seguinte equação de movimento (1) onde m, c e k representam, respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema. • Dividindo-se a equação (1) por m obtemos (2) )( ... tpkuucum  )(2 2 2 ... tp k uuu n nn           
  5. 5. Vibrações livres de S1GDL onde e onde (coeficiente de amortecimento crítico) é a freqüência natural de vibração com unidade em radianos por segundo é o fator de amortecimento m k n  2  crc c  n ncr k mc   2 2  n 
  6. 6. Vibrações livres de S1GDL • A freqüência natural de vibração e a taxa de amortecimento são parâmetros muito importantes na determinação da resposta de um S1GDL • Considere que o sistema descrito pela equação (1) seja submetido a um par de condições iniciais de deslocamento e velocidade 0 .. 0 )0( )0( uu uu  
  7. 7. Vibrações livres de S1GDL • A solução da equação (1), a resposta total, consiste na soma linear de duas partes distintas, uma resposta forçada relacionada à excitação e uma resposta natural associada às condições iniciais • Na literatura matemática a solução geral de uma EDO é a soma da solução particular mais a solução complementar )()()( tututu cp 
  8. 8. Vibrações livres de S1GDL • No caso de vibrações livres fazemos com que p(t)=0, a equação (2) toma a forma: • Considerando o amortecimento nulo, a equação de movimento livre não-amortecida é a seguinte: 02 2 ...  uuu nn  0 2 ..  uu n
  9. 9. Vibrações livres de S1GDL • A equação característica correspondente é • e suas raízes são • a solução geral então toma a forma • ou 022  ns  nis 2,1 titi nn eCeCu    21 tAtAu nn  sincos 21 
  10. 10. Vibrações livres de S1GDL • A1 e A2 podem ser obtidas a partir das condições iniciais, então temos • Teoricamente este movimento continuaria indefinidamente. Na prática todo sistema possui algum nível de amortecimento, que dissipa energia, e reduz a amplitude ao longo do tempo. t u tuu n n n    sincos 0 . 0         
  11. 11. Vibrações livres de S1GDL • Considere, portanto, a vibração livre de um S1GDL com amortecimento viscoso linear • Assumindo uma solução na forma • obtém-se a equação característica 02 2 ...  uuu nn  st Ceu  02 22  nnss 
  12. 12. Vibrações livres de S1GDL • Cujas raízes s1,2 são dadas por • A magnitude do fator de amortecimento caracteriza três casos distintos: • subamortecido: • criticamente amortecido: • Superamortecido: 12 2,1   nns 10   1 1
  13. 13. Vibrações livres de S1GDL • O caso mais comum na prática, é o caso subamortecido com taxas de amortecimento entre 0.5% e 5%. • Neste caso definimos a freqüência natural amortecida A evolução da resposta, neste caso, tem a forma 2 1   nD                    t uu tuetu D D n D tn     sincos)( 00 . 0
  14. 14. Vibrações livres de S1GDL
  15. 15. Resposta do SIGDL a excitações harmônicas • Caso não-amortecido (ζ=0) tpkuum  cos0 .. n nn r k p U tAtAt r U u              0 0 212 0 sincoscos 1
  16. 16. Resposta do SIGDL a excitações harmônicas
  17. 17. Resposta do SIGDL a excitações harmônicas • Caso amortecido • α é o ângulo de fase entre a resposta permanente e a excitação tpkuucum  cos0 ...          2 212/1 222 0 1 2 tan sincoscos 21 r r tAtAet rr U u DD tn           
  18. 18. Resposta do SIGDL a excitações harmônicas
  19. 19. Integração numérica da resposta do SIGDL • Em muitos casos de análise a excitação dinâmica p(t) não possui uma expressão matemática bem definida como é o caso das excitações harmônicas. • Neste casos não é possível obter uma solução exata para a equação de movimento. • Lança-se mão portanto de algoritmos numéricos para integrar estas equações de movimento e obter a evolução da resposta no tempo. • Estes algoritmos são conhecidos na literatura como métodos de integração numérica “passo à passo”.
  20. 20. Integração numérica da resposta do SIGDL • Exemplos de métodos de integração numérica: 1. Soma simples 2. Regra Trapezoidal 3. Regra de Simpson
  21. 21. Análise Modal • A análise modal de um sistema de vários graus de liberdade (SVGL) fornece grandezas características do sistema que são as suas frequências naturais de vibração e respectivos modos de vibração associados. • Estas propriedades são intrínsecas ao sistema e estão relacionadas ao material e a geometria do mesmo. Profa. Suzana Moreira Avila
  22. 22. • A análise modal pode ser realizada experimentalmente através de testes onde o sistema é monitorado através de sensores, como por exemplo acelerômetros, e sofre uma perturbação externa como fonte de excitação. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  23. 23. • Frequências naturais e modos de vibração associados podem ainda ser determinados numericamente. • A solução do problema de vibração livre fornece estas características do sistema. • Não há ação de forças externas e o movimento é governado apenas pelas condições iniciais. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  24. 24. • Um sistema de vários graus de liberdade não- amortecido submetido a vibrações livres é governado pelas equações de movimento: 𝑴 𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝟎 (1) • O sistema é submetido ao conjunto de condições iniciais: 𝒖 = 𝒖 0 ; 𝒖 = 𝒖(0) (2) Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  25. 25. • Este sistema tem solução na forma: 𝒖 = 𝒖sin(𝜔𝑡 + 𝜙) (3) • Substituindo (3) em (2), obtem-se: −𝜔2 𝑴 𝒖 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑲 𝒖 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 =0 (4) • Que pode ser simplificado para o problema de autovalor Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  26. 26. • Que pode ser simplificado para o problema de autovalor 𝑲 − 𝜔2 𝑴 𝒖=0 (5) • Este problema possui solução trivial 𝒖=0 e somente possui soluções não triviais se 𝑲 − 𝜔2 𝑴 = 0 (6) • A eq. (6) é conhecida como equação característica. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  27. 27. • As raízes da equação característica determinam as n frequências naturais 𝜔 𝑛 (autovalores). • Para cada 𝜔 𝑛 tem-se um vetor 𝒖 correspondente (autovetor). • Os autovetores determinam os modos naturais de vibração 𝜙 𝑛. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  28. 28. • A matriz modal Φ é construída com n colunas, onde cada coluna corresponde a um modo de vibração do sistema. • O modo fundamental é aquele associado à frequência mais baixa. • Os outros modos são chamados de harmônicos. • O movimento do sistema é dado pela superposição dos harmônicos. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal
  29. 29. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal • Encontre as frequências naturais e os modos de vibração do sistema massa-mola abaixo. Considere k1 = 2k; k2 = k; m1 = 2m e m2 = m.
  30. 30. Profa. Suzana Moreira Avila Modos de vibração de uma placa biapoiada Santos (2009) f = 3,08 Hz f = 4,37 Hz f = 8,29 Hz
  31. 31. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal de um Chassi Automotivo tipo Escada Furtado (2013)
  32. 32. Profa. Suzana Moreira Avila Análise Modal de um Chassi Automotivo tipo Escada Furtado (2013)
  33. 33. Referências • CRAIG R.R., Structural Dynamics, An Introduction to Computer Methods, Wiley, 1981 – Capitulos 2 e 3 • Furtado D. C., Análise Estrutural de Chassis de Veículos Automotivos, Trabalho de conclusão de curso, FGA-UnB, 2013. • Santos M.D.S., Análise numérica do controle de vibrações em lajes de edifícios utilizando amortecedores de massa sintonizados, Dissertação de Mestrado, PECC-UnB, 2009.

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