1. OPERATION RESEARH ( RISET OPERASI )
SILABUS :
Pengertian Riset Operasi
Linier Programming Metode Grafik
( LP )
Metode Simpleks
LP : Dualitas Maks = Min ( masalah ekonomi )
LP : Transportasi( Masalah pendstribusisn suatu produk
dari beberapa sumber dengan penawaran terbatas
menuju beberapa tujuan dengan biaya minimal )
LP : Penugasan ( Assignment Problem )
keputusan untuk menetukan jenis pekerjaan apa
harus dikerjakan oleh siapa atau alat apa
Pengertian Riset Operasi :
Input Organisasi
(Men, ( Wadah utk Output
Money , mencapai
Material ) tujuan ) ( Laba /
Profit )
Riset harus menggunakan metode ilmiah
Operasi yang berhubungan dengan proses /
berlangsungnya suatu kejadian.
Tujuan : membantu manajemen untuk menentukan kebijakan atau
tindakan secara ilmiah
1
2. Definisi : ( Riset Operasi )
Riset dengan penerapan metode ilmiah melalui suatu tim secara
terpadu untuk memecahakan permasalahan yang timbul dalam
kegiatan operasi suatu system organisasi agar diperoleh pemecahan
yang optimum.
Linier Programming ( LP ) : model umum yang dapat digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas
secara optimal.
Penyelesaian Masalah LP ditemukan noleh George Danzig dengan
menggunakan metode simpleks
Linier ( ? ) dalam hal ini fungsi matematis yang digunakan adalah fungsi linier
Programming merupakan program atau perencanaan , jadi bukan Computer
Programming
LP terdiri dari 2 fungsi :
1. Fungsi Tujuan : berkaitan dengan pengaturan secara
optimal sumber daya 2 untuk
memperoleh keuntungan maksimal
atau biaya yang minimal
2. Fungsi Batasan : Bentuk penyajian secara matematis
batasan kapasitas yang tersedia yang
akan dialokasikan secara optimal ke
berbagai kegiatan.
Bentuk Umum Model LP :
n
Maksimum / Minimum : Z = ∑c
j=1
j xj Fungsi Tujuan
dengan syarat : a ij x j (≤,=,≥ ) bj Fungsi Batasan
FORMULASI MODEL LP
2
3. CONTOH : ( Masalah Diet )
Untuk menjaga kesehatan seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum
perhari akan beberapa zat makanan. Misalnya ada 3 zat makanan yang
dibutuhkan yaitu : kalsium ( I) , protein ( II ) , dan vitamin A( III) yang harga ,
zat yang terkandung dan kebutuhan minimum perhari akan zat makanan
tersebut pada table berikut :
Makanan Kebutuhan Minimum
I II III
Harga/unit 0.5 0.8 0.6
Kalsium 5 1 0 8
Protein 2 2 1 10
Vitamin A 1 5 4 22
Masalahnya bagaimana kombinasi ketiga jenis makanan itu akan memenuhi
kebutuhan minimum perhari dan memberikan biaya terendah
Variabel : x1 = jumlah makanan I
x2 = jumlah makanan II
x3 = jumlah makanan III
Fungsi Tujuan :
Minimum : Z = 0.5 x1 + 0.8 x2+ 0.6 x3
Fungsi Batasan :
5 x1 + x 2 ≥ 8(kalsium)
2 x1 + 2 x 2 + x3 ≥ 10(Pr otein)
x1 + 5 x 2 + 4 x3 ≥ 22(Vita min)
Contoh : ( Bakery )
3
4. Suatu bakery membuat roti yang berisi daging dari suatu campuran daging
dan ayam tanpa lemak.
Daging sapi mengandung 80 persen daging dan 20 persen lemak dan harganya
80 rp /ons. Daging ayam mengandung 68 persen daging dan 32 persen lemak
dan harganya 60 rp/ons. Berapa banyaknya masing-masing daging yang harus
digunakan untuk tiap ons roti daging jika diinginkan untuk meminimumkan
harganya dengan mempertahankan kandungan lemak tidak lebih dari 25
persen?
Model LP :
x1 = jumlah ons daging sapi
x2 = jumlah ons daging ayam
F. Tujuan :Min: Z = 80 x1 + 60x2
F. Batasan :
0.2 x1 + 0.32 x 2 ≤ 0.25
x1 + x 2 =1
Solusi LP
4
5. Metode untuk memecahkan program linier diataranya adalah metode grafik
dan metode simpleks. Untuk memulai penerapan metode tersebut maka semua
fungsi batasan ketidaksamaan harus ditransformasikan menjadi persamaan
dan juga harus diketahui salah satu pemecahan yang feasible (layak) dan
tidak negatif
Persyaratan Tidak Negatif
Batasan yang memiliki bentuk :
n
∑a
j =1
ij x j ¬bi
Dimana ¬
adalah salah satu dari relasi ≤ ,≥ , = ( tidak perlu sama untuk
setiap I ) konstanta bi selalu dianggap tidak negatif
Contoh :
2 x1 + 3 x 2 − 5 x3 ≤ −3
Dikalikan -1 jadi
− 2 x1 − 3 x2 + 5 x3 ≥ 3
Sehingga ruas kanan tidak negatif
Variabel Slack ( Kurang) dan Surplus
• Variabel Slack ( Kurang )
n
∑a
j=1
ij x j ≤ bi
Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan menambah sebuah
variabel tak negatif baru pada ruas kirinya.
Contoh :
2 x1 + 3 x2 − 5 x3 ≤ 3
Diubah menjadi persamaan menjadi :
2 x1 + 3 x2 − 5 x3 + x4 = 3
• Variabel Surplus
5
6. n
∑a
j=1
ij x j ≥ bi
Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan mengurangkan sebuah
variabel tak negatif baru pada ruas kirinya.
Contoh :
2 x1 + 3 x2 − 5 x3 ≥ 3
Diubah menjadi persamaan menjadi :
2 x1 + 3x2 − 5 x3 − x4 = 3
• Variabel buatan ( artificial variable )
Pada ruas kiri setiap fungsi batasan yang tidak mengandung variabel
slack dapat ditambahkan variabel buatan. Dengan demikian tiap fungsi
pembatas akan mempunyai variabel slack dan buatan.
Contoh: (***)
2 x1 + 3 x2 ≤ 3
x1 + 4 x2 ≥ 5
7 x1 + 8 x2 = 10
Persamaan variabel buatan x5 dan x6
2 x1 + 3 x2 + x3 = 3 2 x1 + 3x2 + x3 = 3
x1 + 4 x2 − x4 = 5 x1 + 4 x2 − x4 + x5 = 5
7 x1 + 8 x2 = 10 7 x1 + 8 x2 + x6 = 10
Solusi Awal yang feasible.
Setiap persamaan batasan akan mengandung variabel
slack atau buatan.
Solusi awal tak negatip bagi fungsi batasan diperoleh
dengan menetapkan variabel slack dan buatan sama dengan
ruas kanan dari fungsi kendala dan menetapkan semua
variabel lainnya termasuk variabel surplus sama dengan
nol.
Contoh: (***)
6
7. Solusi awal : x3 = 3, x 5 = 5, x6 =10
Penalty Cost
Penambahan var slack dan surplus tidak mengubah sifat fungsi
batasan maupun tujuan. Oleh karena itu variabel tersebut dapat
diikut sertakan pada fungsi tujuan dengan koefisien nol.
Sedangkan variabel buatan mengubah fungsi fungsi
batasan.Karena variabel buatan ini hanya dtambahkan pada
salah satu ruas persamaan, maka system yang baru ekivalen
dengan fungsi kendala yang lama jika dan hanya jika variabel
buatannya nol.
Metode Big M
Untuk pemecahan optimal maka variabel buatan diikut sertakan
dalam fungsi tujuan dengan ketentuan :
Untuk : Minimum diberikan koefisien positip yang besar
sekali ( M ).
Maksimum diberikan koefisien negatip yang
besar sekali ( - M ).
Contoh : (Bakery)
Minimum : z = 80 x1 + 60x2+ 0 x3 +M x4
F. Batasan :
0.2 x1 + 0.32 x2 + x3 = 0.25
x1 + x2 + x4 =1
Solusi awal : x3 = 0,25, x 4 = 1, x1 = x 2 = 0
Metode Grafik
Langkah – Langkah Penggunaan Metoda Grafik
1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikan dalam bentuk
matematis
7
8. 2. Mengidentifkasikan batasan-batasan yang belaku dan memformulasikan
dalam bentuk matematis.
3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam system
koordinat .Dan menentukan daerah yang memenuhi untuk masing-
masing fungsi batasan tersebut.
4. Mencari titik yang paling optimal dihubungkan dengan fungsi tujuan.
Contoh : ( Perusahaan sepatu )
Perusahaan sepatu “Ideal “ membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merk I
dengan sol dari karet, dan macam ke II dengan sol dari dari kulit. Untuk
membuat sepatu tersebut perusahaan memerlukan 3 macam mesin. Mesin 1
khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit dan
mesin 3 membuat bagian atas dari sepatu dan melakukan assembling bagian
atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk I mula-mula dikerjakan dengan
mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan
dimesin 3 selama 6 jam, sedangkan sepatu II tidak diproses di mesin 1 , tetapi
pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin selama 5
jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam , mesin 2 = 15
jam, dan mesin 3 = 30 jam. Keuntungan untuk setiap lusin sepatu merk I =
Rp. 30.000 sedangkan merk II = Rp. 50.000. Masalahnya adalah menentukan
berapa lusin sebaiknya sepatu merk I dan merk II yang dibuat agar
mendapatkan keuntungan yang maksimum.
Model LP:
Variabel : x1 = jumlah (lusin ) sepatu merk I
x2 = jumlah (lusin ) sepatu merk II
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Fungsi Batasan :
2 x1 ≤ 8
3 x2 ≤ 15
6 x1 + 5 x2 ≤ 30
Grafik :
x2 2 x1 = 8
D C
8
9. 3 x2 = 15
Daerah
Feasible
B
A 6 x1 + 5 x 2 = 30
x1
z = 3x1 + 5 x2
Pada titik A : x1 =
4 ; x2 = 0; z = 12
B : x1 = 4 ; x2 = 6/5; z = 18
1
C : x1 = 5/6 ; x2 = 5; z = 27 2 (*) Optimal
D : x1 = 0 ; x2 = 5; z = 25
Metode Simpleks
Adalah suatu metode matriks untuk memecahkan program –program linier
dalam bentuk standar, yaitu :
Optimisasikan : ( Maks/Min ) z = CT X
Dengan kendala : AX = B dan X ≥ 0
dimana B ≥ 0 dan pemecahan dasar x0 .
Metode simpleks menggunakan proses iterasi ( perhitungan berulang ) ,
dengan x0 sebagai pemecahan awal , untuk menentukan pemecahan dasar
lainnya, sehingga diperoleh pemecahan optimal.
MINIMISASI :
9
10. XT
CT
x0 C0 A B
CT - T
C0 A T
- C0 B
MAKSIMISASI :
Tanda aljabar dari elemen – elemen dari baris terbawah dibalik
LANGKAH – LANGKAH METODE SIMPLEKS
LANGKAH 1 : Pilihlah bilangan negatip terbesar pada baris terbawah
( kolom yang mengandung bilangan tersebut dikatakan
kolom kerja )
LANGKAH 2 : Bentuklah nilai-nilai banding dengan membagi setiap
bilangan positip kolom kerja, dengan elemen dalam baris
yang sama dalam kolom terakhir, dimana baris
terakhirnya dibaikan . Pilihlah nilai banding terkecil
sebagai elemen pivot , jika terdapat dua pembanding yang
sama pilihlah salah satunya . Jika tidak ada elemen dalam
kolom kerja yang positip, maka programnya tidak
memiliki pemecahan.
LANGKAH 3 :Gunakan operasi elementer baris untuk mengubah
elemen pivot menjadi satu dengan transformasi elementer
H i( λ) dan kemudian gunakan transformasi elementer H ijλ)
(
untuk merubah elemen lainnya yang terletak pada kolom
kerja tersebut menjadi nol .
LANGKAH 4 :Gantikan variabel x dalam baris pivot pada kolom
pertama dengan variabel x dalam kolom kerja
LANGKAH 5 :Ulangi langkah 1 sampai 4 hingga tidak terdapat lagi
elemen negatip dalam baris terakhir , dengan tidak
memasukkan kolom terakhir.
10
11. LANGKAH 6 :Pemecahan optimal diperoleh dengan menetapkan untuk
tiap-tiap variabel dalam kolom pertama nilai dalam baris
terakhir yang bersangkutan. Semua variabel lainnya
ditetapkan bernilai nol. Nilai dari fungsi tujuan yakni x*
adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom
terakhir untuk program maksimisasi, sedangkan negatif
dari bilangan ini adalah untuk program minimisasi.
Contoh: ( Perusahaan Sepatu )
Fungsi Tujuan :
Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2 Z-3x1 -5 x2+0 x3+0 x4+0 x5= 0
Fungsi Batasan :
2 x1 ≤ 8 2 x1 + x3 = 8
3 x2 ≤ 15 3 x2 + x4 = 15
6 x1 + 5 x2 ≤ 30 6 x1 + 5 x2 + x5 = 30
X1 X2 X3 X4 X5
X3 2 0 1 0 0 8 ∞
X4 0 3* 0 1 0 15 5
X5 6 5 0 0 1 30 6
-3 -5 0 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
X3 2 0 1 0 0 8 4
X2 0 1 0 1/3 0 5 ∞
X5 6* 0 0 -5/3 1 5 5/6
-3 0 0 5/3 0 25
11
12. X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/3 19/3
X2 0 1 0 1/3 0 5
X1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
0 0 0 5/6 1/2 27 1 2 positip
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 5/6 jadi banyaknya sepatu merk I = 5/6 lusin
X2= 5 jadi banyaknya sepatu merk II = 5 lusin
Z maksimum = 27 1 2 artinya keuntungan yang diperoleh = Rp.275.000
setiap hari.
Contoh :
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = x1 + 9 x2+ x3
Fungsi Batasan :
x1 + 2 x2 + 3x3 ≤ 9
3x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 15
Dan semua variabel tidak negatif
Jawab :
Z - x1 - 9 x2- x3+0 x4 +0 x5
Fungsi Batasan :
x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 9
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x6 = 15
X1 X2 X3 X4 X5
X4 1 2* 3 1 0 9 9/2
X5 3 2 2 0 1 15 15/2
-1 -9 -1 0 0 0
12
13. X1 X2 X3 X4 X5
X2 1/2 1 3/2 1/2 0 9/2
X5 2 0 -1 -1 1 6
7/2 0 25/2 9/2 0 81/2 Pos
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X2= 9/2 , X5= 6, X1= X3= X4= 0 dengan Z maksimum = 81/2
Metode Dua –Fasa ( Two Phase methode )
( digunakan apabila variabel buatan adalah bagian dari solusi awal )
13
14. Perubahan 1 : Baris terakhir diuraikan ke dalam dua baris, dimana yang
pertama mengandung suku yang tidak mengandung M,
sedangkan yang kedua mengandung koefisien-koefisien M
dalam suku-suku sisanya.
Perubahan 2 : Langkah 1 dari metode simpleks diterapkan pada baris
akhir yang dibentuk dalam perubahan 1 ( yang kemudian
diikuti dengan langkah-langkah 2,3,4 ) , hingga baris ini
tidak mengandung elemen negatip. Kemudian langkah 1
diterapkan lagi pada elemen baris kedua dari bawah,
yang terletak diatas angka-angka nol dalam baris
terakhir.
Perubahan 3 : Setiap sebuah variabel buatan bukan merupakan suatu
variabel dasar, ia dihilangkan dari kolom pertama dari
tabel sebagai hasil langkah 4 maka ia dicoret dari baris
teratas tabel dan begitu pula seluruh kolom di bawahnya.
Perubahan 4 : Baris akhir dapat dicoret dari tabel jika semua elemennya
nol.
Perubahan 5 : Jika variabel buatan yang tak nol terdapat dalam
himpunan elemen dasar terakhir, maka tidak ada solusi .
Contoh ( Bakery )
F. Tujuan :Min: Z = 80 x1 + 60x2
14
23. Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 3750 , X3= 7500, dengan Z maksimum = 562.500
Metode Dual Simpleks
Untuk setiap LP dalam variabel x1, x2,……, xn, terkait dengan LP dengan
variabel lain misal w1, w2,……, wm ( dimana m adalah jumlah batasan
alam LP semula) yang disebut dengan DUAL nya. Bentuk dual tersebut
tergantung pada bentuk LP semula yang disebut dengan PRIMAL.
DUAL SIMETRIS
Primal Dual
F.Tujuan :Minimum : z = CTX F.Tujuan :Maksimum : z = BTW
F.Batasan: AX ≥ B F.Batasan: AT W ≤ C
Dan: X ≥ 0 Dan: W ≥ 0
23
24. Berlaku sebaliknya
DUAL TAK SIMETRIS
Primal Dual
F.Tujuan :Minimum : z = CTX F.Tujuan :Maksimum : z = BTW
F.Batasan: AX = B F.Batasan: AT W ≤ C
Dan: X ≥ 0 Dan: W ≥ 0
Primal Dual
F.Tujuan :Maksimum : z = CTX F.Tujuan :Minimum : z = BTW
F.Batasan: AX = B F.Batasan: AT W ≥ C
Dan: X ≥ 0 Dan: W ≥ 0
Interpretasi ekonomis masalah Primal dan Dual
Primal
Xj adalah Tingkat aktivitas ( j = 1,2…,n)
Cj adalah laba per satuan aktivitas j
Z adalah total laba dari seluruh aktivitas
bi adalah jumlah sumber i yang tersedia ( i= 1,2,…,m)
aij adalah jumlah sumber i yang dipakai oleh setiap satuan aktivitas j
Dual
Yj adalah kontribusi per satuan sumber i terhadap laba
CONTOH: ( Perusahaan Sepatu )
Primal :
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Fungsi Batasan :
2 x1 ≤ 8
3 x2 ≤ 15
6 x1 + 5 x2 ≤ 30
x
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = CT X = [3,5] 1
x 2
24
25. Fungsi Batasan :
AX ≤ B
2 0 8
0 x1
3
x ≤ 15
6 5 2
30
Dual :
w1
[8
Fungsi Tujuan : Minimum : Z = B W= T 15 30] w2
w3
Fungsi Batasan :
A TW ≥ C
w1
2 0 6 3
0
3
w
5 2 ≥ 5
w3
Fungsi Tujuan : Minimum : Z = 8 w1 + 15 w2+ 30 w2
Fungsi Batasan :
2 w1 + 6 w3 ≥ 3
3w2 + 5w3 ≥ 5
w1 , w2 , w3 ≥ 0
Tabel terakhir ( tabel Optimal )
X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/3 19/3 Solusi
X2 0 1 0 1/3 0 5 Primal
X1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
Z 0 0 0 5/6 1/2 27 1 2
solusi −dual →
Solusi Masalah Dual : ( Hubungan Primal –Dual )
25
26. Koefisien slack variabel pada baris terakhir (
tabel optimal )
Dalam hal ini : w1 = 0 , w2 = 5/6, w3 = ½ sehingga
Z = 8 (0) + 15 (5/6)+ 30 (1/2)
Z = 27 1 2 ( OPTIMAL )
Analisa Sensitivitas
Analisa tersebut dilakukan setelah dicapainya penyelesaian optimal, sehingga
analisa nya sering disebut dengan Post Optimality Analysis.
Tujuan (Analisa Sensitivitas ) :
Mengurangi perhitungan dan menghindari perhitungan ulang, bila tejadi
perubahan satu atau beberapa koefisien moel LP pada saat penyelesaian
optimal telah tercapai.
Perubahan yang mungkin terjadi setelah dicapainya penyelesaian optimal
terdiri dari beberapa macam , yaitu :
1. Keterbatasan kapasitas sumber , dpl nilai kanan dari fungsi batasan.
2. Koefisien fungsi tujuan.
Analisa sensitivitas pada dasarnya memanfaatkan kaidah-kaidah primal-
dual metode simpleks semaksimal mungkin.
Kaidah Primal – Dual
Kaidah I :
Pada setiap iterasi dalam simpleks ( baik primal maupun dual ) matriks yang
berisi variabel starting solution ( tidak termasuk baris tujuan ) dapat dipakai
untuk menhitung koefisien baris tujuan yang berhubungan dengan matriks
tersebut. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
26
27. Langkah 1 :
Pilih koefisien –koeisien dari fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel
dasar iterasi yang bersangkutan lalu disusun dalam vektor baris.
Langkah 2 :
Kalikan vektor baris tersebut dengan matriks pada tabel simpleks yang
beranggotakan variabel-variabel starting solution. Nilai yang diperoleh dalam
langkah dua ini diseut Simpleks Multiplier ( Shadow Costs )
Pada tabel akhir ( optimal ) simpleks multiplier ini menunjukan optimal
solution bagi dualnya.
Kaidah II :
Pada setiap iterasi dalam simpleks ( baik primal maupun dual ), nilai kanan
( kecuali baris tujuan ) dalam tabel optimal dapat dihitung dengan mengalikan
matriks pada langkah 2 dengan vektor kolom yang berisi nilai kanan dari
fungsi batasan mula-mula.
Kaidah III :
Pada setiap iterasi dalam simpleks baik primal maupun dual koefisien batasan
yang terletak dibawah setiap variabel Xj ( j = 1,2,…,n ) merupakan hasil kali
matriks pada langkah 2 dengan vektor kolom untuk setiap variabel pada tabel
awal.
CONTOH : ( Perusahaan Sepatu )
Kaidah I :
Langkah 1 :
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Tabel terakhir ( tabel Optimal )
X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/3 19/3
X2 0 1 0 1/3 0 5
X1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
27
31. Misal : [ 0,5,3 ] menjadi [ 0,6,4 ]
Sehingga diperoleh :
1 5/9 −1 / 3
0 0 =
[ 0,6,4 ] 1/ 3 [ 0,8/9,2/3 ]
0
− 5 / 18 1/ 6
laba total berubah menjadi :
1
4 ( 5/6) + 6 (5) = 33 3
Transportasi
Ada 3 Metode Menentukan Solusi Awal :
Keadaan Seimbang
31
32. 1. Metode North West Corner
Metode paling tidak efisisien karena tidak mempertimbangkan biaya
transportasi per unit dalam alokasi
Cara : Tentukan min (S, D ) pada x11 kemudian teruskan sampai dengan
sesuaikan suplay dan demand
ke 1 2 3 Suplay(S)
dari
1 8 5 6
120 120
2 15 10 12
30 50 80
3 3 9 10
20 60 80
Demand
(D) 150 70 60 280
Solusi Awal = (120)(8) + (30)(15) + (50)(10) + (20)(9)
+ (60)(10) = 2690
2. Metode Least Cost
Lebih baik dari Metode North West Corner karena masih
mempertimbangkan biaya transportasi per unit dalam alokasi
Cara nya : Pilih biaya transportasi terkecil alokasikan min ( S,D),
kemudian hilangkan baris atau kolom yang terpilih
Kemudian pilih lagi biaya transportasi yang terkecil setelah
baris/kolom di hilangkan ,teruskan sampai dengan sesuaikan
suplay dan demand
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari
1 8 5 6
70 50 120
2 15 10 12
70 10 80
32
33. 3 3 9 10
80 80
Demand
(D) 150 70 60 280
Solusi Awal = ( 70)(5) + (50)(6) +( 70)(15) + (10)(12)
+ (80)(3) = 2060
3. Metode Aproksimasi Vogel ( VAM)
Lebih baik dari metode 1 dan 2
Cara nya : 1. Tentukan penalty ( opportunity )cost Baris dan kolom
dengan cara mengurangkan dua nilai terkecil biaya
transportasi.
2. Pilihlah nilai penalty cost yang terbesar antara baris dan
kolom
3. Alokasikan min (S,D) pada baris/kolom penalty cost
yang terpilih dengan biaya transportasi terkecil.
4. Hilangkan baris atau kolom yang terpilih kemudian
ulangi langkah 1 sampai sesuai suplay dan demand nya
Ke 1 2 3 Suplay Penalty cost
Dari Baris
1 8 5 6 6-5 = 1
120
2 15 10 12 12-10= 2
80
3 3 9 10 9-3 = 6 (*)
80 80
Demand
150 70 60 280
Penalty cost 8-3 = 4 9-5 = 4 10-6 = 4
kolom
Ke 1 2 3 Suplay Penalty cost
Dari Baris
1 8 5 6 1
70 50 120
2 15 10 12 80 2
70 10
33
34. 3 3 9 10 80
80
Demand 280
150 70 60
Penalty cost 15-8 = 7 (*) 10-5 =5(***) 12-6=6(**)
kolom
Solusi Awal = (70)(8) + (50)(6) + (70)(10) + ( 10)(12)
+ ( 80 ) (3) = 1920
Ada 2 Metode Menentukan Solusi Optimum
1. Metode Stepping- Stone
Langkah-langkah :
1. Tentukan solusi awal dengan metode NWC atau LS atau VAM
2. Tentukan jalur tertutup yang diawali dari kotak –kotak yang
kosong ( variabel non basis)
3. Pilih perubahan biaya yang mempunyai nilai negatip terbesar
(menentukan perubahan biaya caranya adalah dengan
menambahkan biaya yang dimulai pada kotak kosong( var. non
basis), kemudian kurangkan dengan biaya pada variabel basis
mengikuti jalur tertutup secara bergantian biaya tersebut
dilakukan penambahan dan pengurangan.
4. Lakukan perubahan letak variabel basis dan non basis dengan
memulai pada kotak yang kosong dengan menambahkan
sejumlah nilai pada variabel basis kemudian kurangkan pada
variabel basis sebesar nilai pada variabel basis tadi demikian
seterusnya secara berselang seling (penambahan
/pengurangan ) sesuai dengan jalur yang terpilih
5. Jika seluruh perubahan biaya positip maka solusi optimum
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari
1 8 5 6
120 120
2 15 10 12
30 50 80
34
44. Demand
150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6
120
2 15 10 12
80
3 3 9 10
80
Demand
150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6
120
2 15 10 12
80
3 3 9 10
80
Demand
150 70 60 280
Masalah Penugasan
Masalah :
Yang berhubungan dengan penugasan optimal dari macam-macam
sumber yang produkyif / personalia yang mempunyai tingkat efisiensi
yang berbeda-beda untuk tugas yang berbeda pula.
Metoda Hungarian adalah metoda untuk penyelesaian masalah
penugasan .
44
45. Syarat :
Jumlah sumber yang ditugaskan sama dengan jumlah tugas yang
akan diselesaikan.
Langkah –Langkah Penyelesaian :
Masalah Minimum :
1. Ubah matriks biaya menjadi matriks opportunity cost dengan cara
memilih elemen terkecil pada setiap baris matrikss. Kemudian
kurangkan setiap elemen baris dengan elemen terkecil tersebut.
2. Apabila dalam kolom matriks masih ada yang tidak nol. Pilih
elemen terkecil pada kolom yang tidak mengandung nol tersebut.
Kemudian kurangkan seluruh elemen kolom tersebut dengan
elemen terkecil tersebut. Reduced cost matriks terus dikurangi
untuk mendapatkan total opportunity cost matriks.
3. Mencari skedul Penugasan dengan dengan suatu total opportunity
cost nol. Prosedur tes optimalisasi adalah dengan menarik
sejumlah minimum garis horizontal dan / atau vertical untuk
meliput seluruh elemen yang bernilai nolmdalam total opportunity
cost matriks. Bila jumlah garis sama dengan jumlah baris atau
kolom penugasan optimal adalah feasible. Bila tidak sama maka
matriks harus direvisi.
4. Untuk merevisi , caranya adalah pilih elemen terkecil yang belum
terliput garis, kemudian kurangkan elemen yang tidak terliput
dengan elemen terkecil tersebut, kemudian tambahkan elemen
terkecil ybs pada seluruh elemen –elemen yang mempunyai dua
garis bersilangan. Ulangi langkah 3.
Contoh :
Masalah Minimisasi
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 25 31 35
B 15 20 24
45
46. C 22 19 17
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 0 6 10
B 0 5 9
C 5 2 0
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 0 4 10
B 0 3 9
C 5 0 0
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 0 1 7
B 0 0 6
C 8 0 0
Skedul : A – I ; B – II ; C – III
25 + 20 + 17 = 62.
Catatan :
Untuk Masalah Maksimum ;
Pilih nilai terbesar di masing-masing baris dst…..
Soal : masalah maksimum
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
46
47. A 10 12 10 8 15
B 14 10 9 15 13
C 9 8 7 8 12
D 13 15 8 16 11
E 10 13 14 11 17
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 5 3 5 7 0
B 1 5 6 0 2
C 3 4 5 4 0
D 3 1 8 0 5
E 7 4 3 6 0
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 4 2 2 7 0
B 0 4 3 0 2
C 2 3 2 4 0
D 2 0 5 0 5
E 6 3 0 6 0
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 2 0 0 5 0
B 0 4 3 0 4
C 0 1 0 2 0
47
48. D 2 0 5 0 7
E 6 3 0 6 0
Skedul :
Terdapat 2 alternatif penyelesaian :
A-II ; B – I ; C – V ; D – IV ; E – III
12 + 14 + 12 + 16 + 14 = 68
A-V ; B – IV ; C – I ; D – II ; E – III
15 + 15 + 9 + 15 + 14 = 68
48
