1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №7
Функцийн хязгаар
Тодорхойлолт:    0 тоо сонгон авах бүрд x  a   тэнцэтгэл бишийг хангах x тоо
бүрийн хувьд f x   A   тэнцэтгэл биш биелэгдэж байхаар  тоо олдож байвал
A тоог f(x) функцийн x  a үеийн хязгаар гээд A= lim f x  гэж тэмдэглэнэ.
x a
x  a  a   x  a 
f x   A    A    f x   A  
Функцийн хязгаарыг геометрийн үүднээс тайлбарлавал :
y
Y=f(x)
A+ 
A-  a-  a a+  x
x нь a цэгийн  орчинд ормогц түүнд харгалзах функцийн утга нь A цэгийн  орчинд
орно гэсэн үг.
Ямар нэг тоо руу баруун,зүүн талаас нь тэмүүлэхэд хязгаар нь өөр гарч болно.х нь а руу
баруун талаас нь тэмүүлэхэд в1 хязгаар гарсан бол түүнийг y=f(x) функцийн а цэг дээрх
баруун өрөөсгөл хязгаар гээд lim f x   b1  f a  0 гэж тэмдэглэнэ.
x a  0
lim f x   f a  0 зүүн өрөөсгөл хязгаар.
x a  0
Хэрэв x  a үед f(x) нь төгсгөлөг A хязгаартай бол f a  0  f a  0  A байна.0 рүү
тэмүүлдэг хувьсах хэмжигдэхүүнийг багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.Хэрэв u-
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

2. б.б.х а тоо 2- ын ялгавар бас б.б.х байвал а нь u-гийн хязгаар байна.  руу тэмүүлж байгаа
хувьсах хэмжигдэхүүнийг ихсэж б.х гэнэ.
sin x sin x x 
Жишээ-1. lim  lim  lim 
x 0 sin x x 0 x x 0  sin x 
 
2 sin 2 sin 2
tg  sin  sin  1  cos  2  lim 2 1
Жишээ 2. lim  lim lim  lim
 0  3  0   0  2 cos   0  2  0
 
2
2
2 
2
6
3n  n

 2  2 2 
Жишээ 3. lim 1    lim  1     e 6
n 
 n n 
 n 
 
Жишээ 4.
1
x
ln 1
 
e e
ln x  1 ue u
1 1
 x  x e  u u  1
lim  lim e  lim ln    lim ln( )  lim ln  1     ln e e 
x e x  e x e x  e x e
e u 0 e u 0
 e  e
 
Функцийн тасралтгүй чанар
y=f(x) функц x=x0 цэг дээр ба түүний орчинд тодорхойлогдсон бөгөөд y0=f(x0) байг.
y
f(x0+  x)
f(x0)
a x0 x0+  x b x
f(x0+  x)=y0+  y -f(x) функцийн x0 цэг дээрх функцийн өөрчлөлт
 y=f(x0+  x)-f(x0)
Тодорхойлолт: y=f(x) функц x0 цэг ба түүний орчинд тодорхойлогдоод
lim  f x 0  x   f x 0   lim y  0 байвал y=f(x) функцийг х0 цэг дээр тасралтгүй
x 0 x 0
функц гэнэ.
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

3. Ө.х аргументын б.б өөрчлөлтөнд функцийн б.б өөрчлөлт харгалзаж байвал y=f(x)
функцийг х0 цэг дээр тасралтгүй гэнэ.
lim f ( x )  f ( x 0 ) байвал f(x) функцийг х0 цэг дээр тасралтгүй гэнэ.
x  x0
lim f x   f x 0  0  f x 0  бол f(x) функцийг х0 цэг дээр баруун талаасаа
x  x0  0
тасралтгүй гэнэ.
lim f x   f x 0  0  f x 0  бол f(x) функцийг х0 цэг дээр зүүн талаасаа
x  x0  0
тасралтгүй гэнэ.
Теором: Хэрэв f(x),g(x) функцүүд х0 цэг дээр тасралтгүй бол f x   g x , f x g x , g x   0
f x 
бол функцүүд х0 цэг дээр тасралтгүй.
g x 
Y=  x  функц x=x0 цэг дээр тасралтгүй ,u=f(y) функц y0=  x 0  цэг дээр тасралтгүй бол
u=f(  x  ) гэсэн давхар функц x=x0 цэг дээр тасралтгүй.
Тасралтгүй функцийн чанарууд:
1. Хэрэв (a,b) хэрчим дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй y=f(x) функц хэрчмийн
үзүүрийн цэгүүд дээр эсрэг тэмдэгтрэй бол f( c ) =0 байх x=c цэг (a,b) хэрчмээс
ядаж нэг олдоно.
2. [a,b] хэрчим дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй f(x) функц f a  =A; f b  =B,A  B бол
A,B -ийн хоорондох дурын утгыг [a,b] хэрчмийн ямар нэг с цэг дээр заавал авна.
3. Хэрэв y=f(x) функц [a,b] дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй бол зааглагдсан
байна. m  f x   M
4. Битүү завсар дээр тодорхойлогдсон энэ завсар дээрээ тасралтгүй функц уг завсар
дээр ХИ,ХБУ-аа заавал авна.
Багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүн
lim   0; lim   0 гэе.
x  x 
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

4. 
Хэрэв lim  A0 байвал тэдгээрийг ижил эрэмбийн багасаж барагдахгүй
x  
хэмжигдэхүүн гэнэ.

Хэрэв lim  0 бол  -г  -аас дээд эрэмбийн багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүн гэнэ
x  
k
Хэрэв lim  A0 бол  -г  -тай харьцуулахад к-р эрэмбийн багасаж барагдахгүй
x  
хэмжигдэхүүн гэнэ
4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг