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関数の各点収束と一様収束
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関数の各点収束と一様収束
1.
(1)fn(x)=xexp(-n𝑥2 )はn→∞で一様収束するか? 答え 一様収束する。 証明 次の定理を使う 区間Iで定義された関数列{fn}が一様収束するための必要十分条件は lim 𝑛→∞ sup 𝑥∈𝐼 𝑓𝑛
𝑥 − 𝑓 𝑥 = 0である 今の場合I=[0,∞)でfnはf=0に収束する sup 𝑥∈𝐼 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = sup 𝑥∈𝐼 xexp(−n𝑥2 ) − 0 (xexp(-n𝑥2 ))’=(1-2n𝑥2 ) exp(-n𝑥2 ) x=±1/ 2𝑛 sup 𝑥∈𝐼 xexp(−n𝑥2 ) − 0 ≦(1/ 2𝑛)exp(−n(1/ 2𝑛) 2 ) = (1/ 2𝑛)exp(-1/2)→0 よって定理によって0に収束する。 (2)Rの任意の収束列{tn}に対し、 lim 𝑛→∞ hn(tn)=h( lim 𝑛→∞ tn)ならばhn→hは一様収束するか? 答え ならない https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html 連続関数に収束するが一様収束しない例として fn(x)= 𝑛𝑥 0 ≦ 𝑥 ≦ 1/𝑛 2 − 𝑛𝑥 1 𝑛 ≦ 𝑥 ≦ 2/𝑛 0 2 𝑛 ≦ 𝑥 とする。 x=0の時fn(0)=0 lim 𝑛→∞ fn(0)=0 X>0の時、xを固定すると十分大きなNが存在して2/N<xとなる n>Nの時x>2/N>2/nだからfn(x)=0なので lim 𝑛→∞ fn(x)=0 よってFn→f=0に各点収束する。 sup 𝑥∈𝐼 𝑓𝑛 𝑥 = 1 lim 𝑛→∞ sup|fn-f|=1で0でない。 これを利用すると fn(x)= 2𝑥/𝑡𝑛 0 ≦ 𝑥 ≦ 𝑡𝑛/2 2 − 2𝑥/𝑡𝑛 𝑡𝑛 2 ≦ 𝑥 ≦ 𝑡𝑛 0 𝑡𝑚 < 𝑥 とすればhn(x)→h=0に各点収束する。 lim 𝑛→∞ hn(tn)=h( lim 𝑛→∞ tn) しかし、一様収束しない。
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