SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 2
Baixar para ler offline
x=(x1,x2,…,xn)に対して
r=|x|= Σi=1
n
xi
2
1
2 △=Σi=1
n
𝜕2
/𝜕x 𝑖
2
とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。
(1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f”(r)/r を示せ。
(2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。
x=(x1,x2,…,xn)に対して
r=|x|= Σi=1
n
xi
2
1
2 △=Σi=1
n
𝜕2
/𝜕x𝑖
2
とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。
(1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f’(r)/r を示せ。
証明
𝜕r
𝜕𝑥𝑖
=
1
2
Σi=1
n
xi
2 −
1
2・𝑥𝑖 =
𝑥𝑖
𝑟
よって
𝜕𝑓(𝑟)
𝜕𝑥𝑖
=
𝜕𝑓(𝑟)
𝜕𝑟
𝜕r
𝜕𝑥𝑖
=
𝑓′
𝑟 𝑥𝑖
𝑟
𝜕2 𝑓(𝑟)
𝜕𝑥 𝑖
2 =
𝜕
𝜕xi
(
𝜕𝑓 𝑟
𝜕𝑥 𝑖
)=
𝜕
𝜕xi
𝑓′ 𝑟 𝑥 𝑖
𝑟
=
𝜕
𝜕xi
𝑥𝑖
𝑓′ 𝑟
𝑟
=
𝑓′ 𝑟
𝑟
+𝑥𝑖
𝜕
𝜕xi
𝑓′ 𝑟
𝑟
また
𝜕
𝜕xi
𝑓′ 𝑟
𝑟
=
𝜕
𝜕r
𝑓′ 𝑟
𝑟
𝜕r
𝜕𝑥 𝑖
=
𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟)
𝑟3 𝑥𝑖
△f(r)=Σi=1
n 𝜕2 𝑓(𝑟)
𝜕𝑥 𝑖
2 = Σi=1
n
(
𝑓′ 𝑟
𝑟
+
𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟)
𝑟3 𝑥𝑖
2
)= f”(r)+(n-1)f’(r)/r
(2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。
計算
△f(r)=0とすると、(1)より
f”(r)+(n-1)f”(r)/r=0 f”(r)/f’(r)=(n-1)/r
積分してlog|f’(r)|=-(n-1)logr+C=logexp(C)𝑟− 𝑛−1
f’(r)=±exp(C)𝑟− 𝑛−1
C1=±exp(C)としてこれを積分すると
f(r)=
𝐶1 𝑙𝑜𝑔𝑟 + 𝐶2 𝑛 = 2
−
𝐶1
𝑛−2
𝑟− 𝑛−2
+ 𝐶2 𝑛 ≠ 2

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

大きい行列の問題
大きい行列の問題大きい行列の問題
大きい行列の問題政孝 鍋島
 
04.第四章用Matlab求偏导数
04.第四章用Matlab求偏导数04.第四章用Matlab求偏导数
04.第四章用Matlab求偏导数Xin Zheng
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題nabeshimamasataka
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題 D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題 政孝 鍋島
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題nabeshimamasataka
 
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法syamino
 
奇関数・偶関数
奇関数・偶関数奇関数・偶関数
奇関数・偶関数yu_nahb219
 
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュRei Takami
 
f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題政孝 鍋島
 
トーラスと平面の部分集合のホモロジー
トーラスと平面の部分集合のホモロジートーラスと平面の部分集合のホモロジー
トーラスと平面の部分集合のホモロジー政孝 鍋島
 

Mais procurados (17)

大きい行列の問題
大きい行列の問題大きい行列の問題
大きい行列の問題
 
大きい行列の問題
大きい行列の問題大きい行列の問題
大きい行列の問題
 
Maxima操作
Maxima操作Maxima操作
Maxima操作
 
04.第四章用Matlab求偏导数
04.第四章用Matlab求偏导数04.第四章用Matlab求偏导数
04.第四章用Matlab求偏导数
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題 D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題
 
D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題D上の関数の極値の問題
D上の関数の極値の問題
 
勉強会課題①
勉強会課題①勉強会課題①
勉強会課題①
 
R_note_01_ver1.1
R_note_01_ver1.1 R_note_01_ver1.1
R_note_01_ver1.1
 
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法
代数的データ型をラムダ計算の中で表現する方法
 
奇関数・偶関数
奇関数・偶関数奇関数・偶関数
奇関数・偶関数
 
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
[アルゴリズムイントロダクション勉強会] ハッシュ
 
f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題
 
f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題f(x)=0と極値の問題
f(x)=0と極値の問題
 
トーラスと平面の部分集合のホモロジー
トーラスと平面の部分集合のホモロジートーラスと平面の部分集合のホモロジー
トーラスと平面の部分集合のホモロジー
 
R_note_02_ver1.0
R_note_02_ver1.0R_note_02_ver1.0
R_note_02_ver1.0
 
Clean
Clean Clean
Clean
 

Mais de 政孝 鍋島

ゼータ関数と任意の正の数への収束
ゼータ関数と任意の正の数への収束 ゼータ関数と任意の正の数への収束
ゼータ関数と任意の正の数への収束 政孝 鍋島
 
曲面の面積の計算と証明
曲面の面積の計算と証明 曲面の面積の計算と証明
曲面の面積の計算と証明 政孝 鍋島
 
少し複雑な積分問題
少し複雑な積分問題少し複雑な積分問題
少し複雑な積分問題政孝 鍋島
 
関数の各点収束と一様収束
関数の各点収束と一様収束関数の各点収束と一様収束
関数の各点収束と一様収束政孝 鍋島
 
面積と長さの問題
面積と長さの問題 面積と長さの問題
面積と長さの問題 政孝 鍋島
 
面積と長さの問題
面積と長さの問題 面積と長さの問題
面積と長さの問題 政孝 鍋島
 
2つのトーラスの合体
2つのトーラスの合体2つのトーラスの合体
2つのトーラスの合体政孝 鍋島
 
メビウスの帯とトーラス
メビウスの帯とトーラスメビウスの帯とトーラス
メビウスの帯とトーラス政孝 鍋島
 
3つの球体の合体
3つの球体の合体 3つの球体の合体
3つの球体の合体 政孝 鍋島
 
凸角形全体の位相の性質
凸角形全体の位相の性質 凸角形全体の位相の性質
凸角形全体の位相の性質 政孝 鍋島
 
コンパクトとハウスドルフの問題
コンパクトとハウスドルフの問題 コンパクトとハウスドルフの問題
コンパクトとハウスドルフの問題 政孝 鍋島
 
位相と有限集合
位相と有限集合 位相と有限集合
位相と有限集合 政孝 鍋島
 
(a,b]位相とコンパクト性
(a,b]位相とコンパクト性 (a,b]位相とコンパクト性
(a,b]位相とコンパクト性 政孝 鍋島
 
積位相とコンパクト
積位相とコンパクト積位相とコンパクト
積位相とコンパクト政孝 鍋島
 
がんま関数の収束の証明
がんま関数の収束の証明がんま関数の収束の証明
がんま関数の収束の証明政孝 鍋島
 

Mais de 政孝 鍋島 (20)

ゼータ関数と任意の正の数への収束
ゼータ関数と任意の正の数への収束 ゼータ関数と任意の正の数への収束
ゼータ関数と任意の正の数への収束
 
曲面の面積の計算と証明
曲面の面積の計算と証明 曲面の面積の計算と証明
曲面の面積の計算と証明
 
少し複雑な積分問題
少し複雑な積分問題少し複雑な積分問題
少し複雑な積分問題
 
関数の各点収束と一様収束
関数の各点収束と一様収束関数の各点収束と一様収束
関数の各点収束と一様収束
 
積分と漸化式
積分と漸化式 積分と漸化式
積分と漸化式
 
ガウス積分
ガウス積分ガウス積分
ガウス積分
 
面積と長さの問題
面積と長さの問題 面積と長さの問題
面積と長さの問題
 
面積と長さの問題
面積と長さの問題 面積と長さの問題
面積と長さの問題
 
2つのトーラスの合体
2つのトーラスの合体2つのトーラスの合体
2つのトーラスの合体
 
メビウスの帯とトーラス
メビウスの帯とトーラスメビウスの帯とトーラス
メビウスの帯とトーラス
 
3つの球体の合体
3つの球体の合体 3つの球体の合体
3つの球体の合体
 
凸角形全体の位相の性質
凸角形全体の位相の性質 凸角形全体の位相の性質
凸角形全体の位相の性質
 
コンパクトとハウスドルフの問題
コンパクトとハウスドルフの問題 コンパクトとハウスドルフの問題
コンパクトとハウスドルフの問題
 
円の位相
円の位相円の位相
円の位相
 
(-∞,a)位相
(-∞,a)位相 (-∞,a)位相
(-∞,a)位相
 
位相と有限集合
位相と有限集合 位相と有限集合
位相と有限集合
 
(a,b]位相とコンパクト性
(a,b]位相とコンパクト性 (a,b]位相とコンパクト性
(a,b]位相とコンパクト性
 
積位相とコンパクト
積位相とコンパクト積位相とコンパクト
積位相とコンパクト
 
(-∞,a)位相
(-∞,a)位相 (-∞,a)位相
(-∞,a)位相
 
がんま関数の収束の証明
がんま関数の収束の証明がんま関数の収束の証明
がんま関数の収束の証明
 

らプラシアン作用素

  • 1. x=(x1,x2,…,xn)に対して r=|x|= Σi=1 n xi 2 1 2 △=Σi=1 n 𝜕2 /𝜕x 𝑖 2 とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。 (1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f”(r)/r を示せ。 (2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。
  • 2. x=(x1,x2,…,xn)に対して r=|x|= Σi=1 n xi 2 1 2 △=Σi=1 n 𝜕2 /𝜕x𝑖 2 とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。 (1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f’(r)/r を示せ。 証明 𝜕r 𝜕𝑥𝑖 = 1 2 Σi=1 n xi 2 − 1 2・𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑟 よって 𝜕𝑓(𝑟) 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕𝑓(𝑟) 𝜕𝑟 𝜕r 𝜕𝑥𝑖 = 𝑓′ 𝑟 𝑥𝑖 𝑟 𝜕2 𝑓(𝑟) 𝜕𝑥 𝑖 2 = 𝜕 𝜕xi ( 𝜕𝑓 𝑟 𝜕𝑥 𝑖 )= 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑥 𝑖 𝑟 = 𝜕 𝜕xi 𝑥𝑖 𝑓′ 𝑟 𝑟 = 𝑓′ 𝑟 𝑟 +𝑥𝑖 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑟 また 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑟 = 𝜕 𝜕r 𝑓′ 𝑟 𝑟 𝜕r 𝜕𝑥 𝑖 = 𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟) 𝑟3 𝑥𝑖 △f(r)=Σi=1 n 𝜕2 𝑓(𝑟) 𝜕𝑥 𝑖 2 = Σi=1 n ( 𝑓′ 𝑟 𝑟 + 𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟) 𝑟3 𝑥𝑖 2 )= f”(r)+(n-1)f’(r)/r (2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。 計算 △f(r)=0とすると、(1)より f”(r)+(n-1)f”(r)/r=0 f”(r)/f’(r)=(n-1)/r 積分してlog|f’(r)|=-(n-1)logr+C=logexp(C)𝑟− 𝑛−1 f’(r)=±exp(C)𝑟− 𝑛−1 C1=±exp(C)としてこれを積分すると f(r)= 𝐶1 𝑙𝑜𝑔𝑟 + 𝐶2 𝑛 = 2 − 𝐶1 𝑛−2 𝑟− 𝑛−2 + 𝐶2 𝑛 ≠ 2