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らプラシアン作用素
1.
x=(x1,x2,…,xn)に対して r=|x|= Σi=1 n xi 2 1 2 △=Σi=1 n 𝜕2 /𝜕x
𝑖 2 とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。 (1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f”(r)/r を示せ。 (2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。
2.
x=(x1,x2,…,xn)に対して r=|x|= Σi=1 n xi 2 1 2 △=Σi=1 n 𝜕2 /𝜕x𝑖 2 とおく。r>0の関数f(r)が2回微分可能として次の問に答えなさい。 (1)△f(r)=f”(r)+(n-1)f’(r)/r
を示せ。 証明 𝜕r 𝜕𝑥𝑖 = 1 2 Σi=1 n xi 2 − 1 2・𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑟 よって 𝜕𝑓(𝑟) 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕𝑓(𝑟) 𝜕𝑟 𝜕r 𝜕𝑥𝑖 = 𝑓′ 𝑟 𝑥𝑖 𝑟 𝜕2 𝑓(𝑟) 𝜕𝑥 𝑖 2 = 𝜕 𝜕xi ( 𝜕𝑓 𝑟 𝜕𝑥 𝑖 )= 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑥 𝑖 𝑟 = 𝜕 𝜕xi 𝑥𝑖 𝑓′ 𝑟 𝑟 = 𝑓′ 𝑟 𝑟 +𝑥𝑖 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑟 また 𝜕 𝜕xi 𝑓′ 𝑟 𝑟 = 𝜕 𝜕r 𝑓′ 𝑟 𝑟 𝜕r 𝜕𝑥 𝑖 = 𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟) 𝑟3 𝑥𝑖 △f(r)=Σi=1 n 𝜕2 𝑓(𝑟) 𝜕𝑥 𝑖 2 = Σi=1 n ( 𝑓′ 𝑟 𝑟 + 𝑓′′ 𝑟 𝑟−𝑓′(𝑟) 𝑟3 𝑥𝑖 2 )= f”(r)+(n-1)f’(r)/r (2)f”(r)/f’(r)に注目して、△f(r)=0となるf(r)を求めなさい。 計算 △f(r)=0とすると、(1)より f”(r)+(n-1)f”(r)/r=0 f”(r)/f’(r)=(n-1)/r 積分してlog|f’(r)|=-(n-1)logr+C=logexp(C)𝑟− 𝑛−1 f’(r)=±exp(C)𝑟− 𝑛−1 C1=±exp(C)としてこれを積分すると f(r)= 𝐶1 𝑙𝑜𝑔𝑟 + 𝐶2 𝑛 = 2 − 𝐶1 𝑛−2 𝑟− 𝑛−2 + 𝐶2 𝑛 ≠ 2
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