内積(,)を持つ実Hilbert空間Hのノルムを||x||~ (𝑥, 𝑥)で定める。
AをHの閉凸集合とし、任意のx∈Hにたいし、d(x,A)=inf{||x-y|| y∈A}とする。
(1)d(x,A)=||x-z||を満たすz∈Aが一意に存在することを示せ。
このzをP(x)とする。
(2)任意のx∈Hと任意のy∈Aに対し、(x-P(x),P(x)-y)≧0が成り立つことを示せ。
証明
[宮島静雄]関数解析p288