グラフと閉集合

1. X,Y を位相空間とする.XからY への写像f:X→Y に対し,積集合X×Y の 部分集合 G
= {(x,f(x)) ; x ∈ X} をf のグラフという.
(1) f が連続写像で Y がハウスドルフ空間であるための必要十分条件は, f
のグラフ G は X × Y の積位 相に関して閉集合であることを示せ.
証明[斎藤毅]集合と位相p138
(2) X,Y がともに実数直線 R のとき, 連続でない写像 f : X → Y で, そのク
゙ラフ G が X × Y = 𝑅2
の閉集合となるものの例をあげよ.
f(x)=1／x (xが0でないとき)
f(0)=0
とする。すると𝑅2
上１点は閉集合だから(0,0)は閉集合
またxがゼロでない部分のグラフの補集合は開集合である。
よってグラフは閉集合である。