Κεφάλαιο 3ο : Συστήματα
Γραμμικών Εξισώσεων
Ενότητα 3.2: Η έννοια του
γραμμικού συστήματος και
η γραφική του επίλυση
(1η διδακτική ώρα:
Σύστημα με μοναδική
λύση)

Ας θυμηθούμε…
Ανακεφαλαίωση του προηγούμενου
μαθήματος (3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης )
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το εργαλείο Polling
του Webex.
Ενεργοποίηση
Οι ερωτήσεις εστιάζουν στους βασικούς στόχους της ενότητας.
Όσον αφορά την τρίτη ερώτηση θα μπορούσαμε να ζητήσουμε από τις μαθήτριες
και τους μαθητές μας να μας στείλουν στην e-class μία φωτογραφία αυτού που
σχεδίασαν ή να ζητήσουμε να κάνουν αυτοδιόρθωση από τη σελίδα 123 του
σχολικού βιβλίου
Μπορούμε αν
θέλουμε να
αποθηκεύσουμε το
Poll ώστε να το
μελετήσουμε για
ανατροφοδότηση

Ας θυμηθούμε…
Ερωτήσεις του polling- Ανατροφοδότηση
1. Μπορείτε να γράψουν μία γραμμική εξίσωση
με δύο αγνώστους;
Παραδείγματα:
2x + y= 6
x + y=7
2. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη αριθμών
επαληθεύουν τη γραμμική εξίσωση 2x+y=6;
Α. (2,2) Β. (1, 4) C. (6,7) D. (0,6) E. (3,3)

3. Σχεδιάστε στο τετράδιό σας ή σε τετραγωνισμένο
χαρτί ένα σύστημα αξόνων. Τοποθετήστε στο
επίπεδο τα σημεία που βρήκατε ότι επαληθεύουν τη
γραμμική εξίσωση 2x+y=6 και ενώστε τα. Τι
παρατηρείτε;
Είναι μία
ευθεία
Ας θυμηθούμε…
Ερωτήσεις του polling- Ανατροφοδότηση

Τι θέλουμε να μάθουμε σήμερα;
? ?
? ?
?
• Να διακρίνουμε πότε ένα σύστημα
δύο εξισώσεων και δύο αγνώστων
είναι γραμμικό
• Να μπορούμε να επιλύουμε γραφικά
ένα γραμμικό σύστημα
• Να συνδέσουμε τα γραμμικά
συστήματα με προβλήματα που
αφορούν την καθημερινότητά μας

Οδηγίες για τις μαθήτριες και τους μαθητές
μας
Για το σκοπό αυτό θα εργαστούμε σε ομάδες
και θα προσεγγίσουμε αρχικά με διαισθητικό
και βιωματικό τρόπο την έννοια του
γραμμικού συστήματος και της γραφικής
επίλυσής του
Κάθε ομάδα θα εργαστεί για την επίλυση του
προβλήματος που θα της στείλω

Οδηγίες για τις μαθήτριες και τους μαθητές μας
Μπορείτε τώρα να μπείτε στις ομάδες που σας έχω
χωρίσει στο webex.
Θα σας στείλω από το transfer ένα αρχείο με δύο
συνδέσμους.
Κατεβάστε το αρχείο
Η πρώτη και δεύτερη ομάδα θα ανοίξει τον πρώτο
σύνδεσμο.
Η τρίτη και η τέταρτη τον δεύτερο σύνδεσμο.
Στο σύνδεσμο θα βρείτε ένα μικροπείραμα του Geobebra
και ένα φύλλο εργασίας

Οδηγίες για τις μαθήτριες και τους μαθητές μας
Εργαστείτε ομαδικά για την επίλυση των
προβλημάτων στη δραστηριότητα του
Geogebra.
Τα ερωτήματα που πρέπει να απαντήσετε
είναι διατυπωμένα μέσα στη
δραστηριότητα καθώς και στο φύλλο
εργασίας.
Χρόνος δραστηριότητας : 15 λεπτά

Πρόβλημα: Επιλογή πακέτου εισιτηρίων για αγώνες

Προσέγγιση της έννοιας του γραμμικού
συστήματος και της γραφικής επίλυσής του
• «Επισκέπτομαι» τις ομάδες και συζητάω μαζί
τους τα σημεία που τους προβληματίζουν
• Στη συνέχεια οι ομάδες παρουσιάζουν στην
ολομέλεια:
 η πρώτη τα τρία πρώτα ερωτήματα
 η δεύτερη τα επόμενα τρία ερωτήματα της
κοινής τους δραστηριότητας
 Όμοια η τρίτη τα τρία πρώτα ερωτήματα
 η τέταρτη τα τρία επόμενα ερωτήματα

Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών;
Για να λύσουν το πρόβλημα τα παιδιά της πρώτης και
της δεύτερης ομάδας χρησιμοποιήσαν δύο γραμμικές
εξισώσεις ευθειών:
y=0,8x
y=0,4x+4
Μοντελοποίηση
(10,8)
Συζητάμε με όλοι μαζί

Δηλαδή αν και στις δύο
εξισώσεις δώσουμε στην
τετμημένη την τιμή 10
πόσο θα είναι η τεταγμένη;
Το ζεύγος με συντεταγμένες (10, 8) είναι ταυτόχρονα
λύση και των δύο γραμμικών εξισώσεων
8

Επομένως, αν έχουμε δύο εξισώσεις
με δυο αγνώστους χ, y
και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (χ,y) που είναι
ταυτόχρονα λύση των δύο εξισώσεων,
τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα
Αν οι εξισώσεις είναι γραμμικές;
Πώς ονομάζουμε το σύστημα;
σύστημα
Γραμμικό σύστημα

Γραμμικό σύστημα
ορισμός
Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δυο
αγνώστους χ, y και αναζητούμε το ζεύγος των
αριθμών (χ,y) που είναι ταυτόχρονα λύση των δύο
εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα
Γραμμικό Σύστημα δύο εξισώσεων
με δύο αγνώστους x και y

Γραμμικά συστήματα
 Ποιο ζεύγος είναι λύση του γραμμικού
συστήματος που λύσαμε;
 Γενικά, τι ονομάζουμε λύση ενός γραμμικού
συστήματος δύο εξισώσεων;
(10,8)

Γραμμικά συστήματα
Λύση γραμμικού συστήματος δύο
εξισώσεων με δύο αγνώστους x και
y ονομάζεται κάθε ζεύγος ( x, y)
που επαληθεύει τις εξισώσεις του

Γραφική επίλυση του γραμμικού συστήματος
Συζητάμε με τις μαθήτριες και τους μαθητές μας με
ποιον τρόπο εντοπίσαμε τη λύση του γραμμικού
συστήματος καθώς και τη θέση των ευθειών

Αξιολόγηση της μάθησης
μέσω Polling

Αξιολόγηση της μάθησης
μέσω Polling

Συζητάμε το φύλλο αξιολόγησης
Άσκηση Πρώτη
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Το παρακάτω σύστημα
x – y = 5
2x + y = 1
Έχει ως λύση τις συντεταγμένες του σημείου:
α) Α(–3, 2) β) Β(1, –1) γ) Γ(1, –4) δ) Δ(2, –3)

Συζητάμε το φύλλο αξιολόγησης
Άσκηση Δεύτερη
α) β) γ) δ)
(-3,-2) (3, 2) (6, 0) (0, 0)

Εργασία στο σπίτι
Σχολικό βιβλίο σελ. 132: Ασκήσεις
1: α,β,γ , δ,
3
Να φωτογραφίσετε τις ασκήσεις σας
και να τις ανεβάσετε στην e-class
Μέχρι 11/12/2020

Στην e-class φύλλο
εργασίας.
Να φωτογραφίσετε
τις ασκήσεις σας
και να τις
ανεβάσετε στην e-
class
Μέχρι 20/12/2020
Ατομική εργασία για το σπίτι

Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας !!!
Σας εύχομαι Χρόνια Πολλά!!
Καλές Γιορτές!!!!

Πρόβλημα: Επιλογή πακέτου κινητής τηλεφωνίας
Η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας “Parlament” προτείνει στους
πελάτες της δύο ‘πακέτα’ συνδρομής:
1ο πακέτο: Πάγιο 4 ευρώ το μήνα και χρέωση 0,4 ευρώ το
λεπτό.
2ο πακέτο: Χωρίς πάγιο και χρέωση 0,8 ευρώ το μήνα.
Ερωτήματα
1. Ποια ευθεία αντιστοιχεί σε κάθε πακέτο κινητής
τηλεφωνίας;
2. Πόσα λεπτά το μήνα πρέπει να μιλάει κάποιος στο
τηλέφωνο για να έχει την ίδια χρέωση και με τα δύο
πακέτα;
3. Αν μιλάει 12 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;

Πρόβλημα: Επιλογή πακέτου κινητής τηλεφωνίας
Η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας “Parlament” προτείνει στους
πελάτες της δύο ‘πακέτα’ συνδρομής:
1ο πακέτο: Πάγιο 4 ευρώ το μήνα και χρέωση 0,4 ευρώ το λεπτό.
2ο πακέτο: Χωρίς πάγιο και χρέωση 0,8 ευρώ το μήνα.
Συνέχεια των ερωτημάτων
4. Αν μιλάει 7 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
5. Αν μιλάει 5 λεπτά το μήνα και δεν έχει επιλέξει το πιο
συμφέρον πακέτο πόσα ευρώ θα ζημιωθεί;
6. Μελετώντας τη γραφική παράσταση του γραμμικού
συστήματος προτείνετε ποιο πακέτο πρέπει να επιλέξει
κάποιος ανάλογα με το χρόνο ομιλίας

Πρόβλημα: Επιλογή πακέτου εισιτηρίων για αγώνες

Ας συζητήσουμε ξανά μαζί το
πρόβλημα των ομάδων 1 και 2
1. Ποια ευθεία αντιστοιχεί σε κάθε πακέτο κινητής
τηλεφωνίας;
2. Πόσα λεπτά το μήνα πρέπει να μιλάει κάποιος στο
τηλέφωνο για να έχει την ίδια χρέωση και με τα δύο πακέτα;
3. Αν μιλάει 7 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
1ο πακέτο: y=0,8
2ο πακέτο: y=0,4x+4
10 Λεπτά
Το πρώτο πακέτο με το
πάγιο

Ας συζητήσουμε ξανά μαζί το
πρόβλημα των ομάδων 1 και 2
1. Ποια ευθεία αντιστοιχεί σε κάθε πακέτο κινητής
τηλεφωνίας;
2. Πόσα λεπτά το μήνα πρέπει να μιλάει κάποιος στο
τηλέφωνο για να έχει την ίδια χρέωση και με τα δύο πακέτα;
3. Αν μιλάει 7 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
1ο πακέτο: y=0,8
2ο πακέτο: y=0,4x+4
10 Λεπτά
Το πρώτο πακέτο με το
πάγιο

Επίλυση του προβλήματος
4. Αν μιλάει 12 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
5. Αν ένα μήνα μίλησε 5 λεπτά και δεν έχει επιλέξει το πιο
συμφέρον πακέτο, πόσα ευρώ θα ζημιωθεί;
Το δεύτερο πακέτο
Αν επιλέξει το δεύτερο πακέτο θα ζημιωθεί
2 ευρώ

Επίλυση του προβλήματος
4. Αν μιλάει 12 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
5. Αν ένα μήνα μίλησε 5 λεπτά και δεν έχει επιλέξει το πιο
συμφέρον πακέτο, πόσα ευρώ θα ζημιωθεί;
Το δεύτερο πακέτο
Αν επιλέξει το δεύτερο πακέτο θα ζημιωθεί
2 ευρώ

Επίλυση του προβλήματος
4. Αν μιλάει 12 λεπτά το μήνα ποιο πακέτο τον συμφέρει;
5. Αν ένα μήνα μίλησε 5 λεπτά και δεν έχει επιλέξει το πιο
συμφέρον πακέτο, πόσα ευρώ θα ζημιωθεί;
Το δεύτερο πακέτο
Αν επιλέξει το δεύτερο πακέτο θα ζημιωθεί
2 ευρώ

Επίλυση του προβλήματος
Μελετώντας τη γραφική παράσταση των δύο ευθειών
προτείνετε ποιο πακέτο πρέπει να επιλέξει κάποιος
ανάλογα με το χρόνο ομιλίας.
Αν ο χρόνος ομιλίας
είναι:
• Μεγαλύτερος
από 10 λεπτά θα
πρέπει να
επιλέξει το
πακέτο:
y=0,4x+4

Επίλυση του προβλήματος
Μελετώντας τη γραφική παράσταση των δύο ευθειών
προτείνετε ποιο πακέτο πρέπει να επιλέξει κάποιος
ανάλογα με το χρόνο ομιλίας.
Αν ο χρόνος ομιλίας
είναι:
• Μικρότερος από
10 λεπτά θα
πρέπει να
επιλέξει το
πακέτο χωρίς
πάγιο y=0,8x