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  1. 1. 1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA MATEMÁTICA
  2. 2. 2 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA; - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - PG; - Resolução de Exercícios Propostos. O que estudaremos na aula de hoje?
  3. 3. 3
  4. 4. 4 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
  5. 5. 5 PA é toda sequência de números na qual: I - A partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Essa constante chama-se RAZÃO (r).
  6. 6. 6 → ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) → ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) → ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) → ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) Podemos Classificar a PA das seguintes maneiras: • Se r > 0 => • Se r = 0 => • Se r < 0 => EXEMPLOS razão = 4 razão = 9 razão = 0 razão = -10 PA é crescente PA é constante PA é decrescente
  7. 7. 7 Generalizando, o termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1) . r Onde: Razão Número de Termos Primeiro Termo Termo Geral ou último Termo TERMO GERAL DE UMA PA
  8. 8. 8 Um Policial, preparando-se para uma maratona, decide iniciar um treinamento da seguinte forma: no primeiro dia, corre 5 km. No segundo dia, aumenta a distância percorrida em 0,2 km, correndo 5,2 km; do terceiro dia em diante, ele sempre aumenta a distância percorrida em 0,2 km, relativamente ao dia anterior. Após uma certa quantidade de dias, o corredor atinge, pela primeira vez, a marca dos 22 km, o que ocorre no A) 73º dia B) 85º dia C) 74º dia D) 86º dia E) 95º dia EXEMPLO
  9. 9. 9 Um trecho de uma rodovia, do quilômetro 75 ao quilômetro 141, terá o asfalto renovado. Por isso, deverão ser fixadas placas de sinalização informando os motoristas sobre as obras. Será colocada uma placa no início e outra no final do trecho. As demais serão posicionadas de forma que a distância entre duas placas consecutivas seja sempre de 3 quilômetros. Nessas condições, o número total de placas de sinalização que deverão ser encomendadas pelo órgão competente é igual a A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 EXEMPLO
  10. 10. 10 Se os números x, y e z estão em PA, então: Propriedade Fundamental da PA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UMA P.A. a2 – a1 = a3 – a2
  11. 11. 11 As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33 EXEMPLO
  12. 12. 12 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
  13. 13. 13 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA FINITA Sn = [(a1 + an).n] 2 Onde: Sn → Soma dos n termos da PA a1 → Primeiro termo da PA an → Último termo ou termo geral da PA n → número de termos
  14. 14. 14 EXEMPLO Viviane iniciou a leitura de um livro com 538 páginas. No primeiro dia, ela leu 5 páginas, no segundo, ela leu duas páginas a mais que no primeiro dia. E assim por diante, a cada dia ela leu duas páginas a mais que no dia anterior. Assinale, após 19 dias de leitura, quantas páginas ainda faltam para ela ler. A) 101 B) 41 C) 207 D) 437 E) 311
  15. 15. 15 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
  16. 16. 16 SEQUÊNCIA – P.G. PG é toda sequência de números não-nulos na qual: I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE. Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica.
  17. 17. 17 Podemos Classificar a PG das seguintes maneiras: Se r > 1 => Se r = 1 => Se 0 < r < 1 => Se r < 1 => EXEMPLOS razão = 2 razão = 1 razão = 1/3 razão = -3 PG é crescente PG é constante PG é decrescente → (5,10,20,40,80 ... ) → (8,8,8,8,8,8,8,8, ... ) → (27,9,3,1/3, 1/9, ... ) → (2,-6,18,-54,162, ...) PG é alternante
  18. 18. 18 TERMO GERAL DE UMA PG Onde: an = termo geral; a1 = 1o termo da sequência; n = no de termos da PG (até an); q = razão. an = a1 . qn-1
  19. 19. 19 EXEMPLO Considere a sequência numérica cujo termo geral é dado por an =21-3n, para n ≥ 1. Essa sequência numérica é uma progressão A) geométrica, cuja razão é 1/8. B) geométrica, cuja razão é -6. C) geométrica, cuja razão é -3. D) aritmética, cuja razão é -3. E) aritmética, cuja razão é 1/8.
  20. 20. 20 EXEMPLO Uma cultura de bactérias contém inicialmente 10.000 bactérias, as quais se reproduzem diariamente em progressão geométrica. Se ao final do quarto dia há 50.625 bactérias na cultura, então o número de bactérias que havia ao final do segundo dia é de: A) 33750 B) 30312 C) 22500 D) 15000 E) 13500
  21. 21. 21 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: Dada a sequência: (a1, a2, a3, ……., an ) q a a a a   2 3 1 2
  22. 22. 22 Três termos consecutivos de uma progressão geométrica crescente são x, x+20 e 2x + 10. A razão dessa progressão é: EXEMPLO
  23. 23. 23

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