Eletrônica digital

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This is a pair of examples of Digital Electronic problems, solved just with the use of Boolean Algebra! One drawback... it's in portuguese language!!! Anyway... digital electronic is worldwide.

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Eletrônica digital

  1. 1. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaExemplos de Eletrônica DigitalExemplo 1Projetar um circuito multiplicador de números binários positivos de 2 bits cada um.Utilizar somente as regras da álgebra Booleana (e não os Mapas de Karnaugh) paraencontrar o circuito resultante.Sol.:Como os números binários de entrada A e B são compostos cada um de 2 bits, entãotrata-se de um circuito de 4 bits de entrada. Neste caso o maior valor dado por cada umdeles é o valor 3 em decimal ou 11 em binário, ou seja, 3x3 = 9, aqui observamos que 9é um número decimal de 4 bits!Portanto, o nosso circuito multiplicador de 2 bits deverá ter como máximo 4 linhas desaída, ou seja,Agora vamos analisar como as funções booleanas de saída M0, M1, M2 e M3 sãoformadas. Para isto, vejamos através de um exemplo numérico, para o caso de A = 11 eB = 11, fazendo a multiplicação temos,Aqui os bits 1 (em vermelho) são os bit de carry devido às somas em módulo 2! Comoesperado o resultado de 3x3 é 9 (1001 binário).Então no caso genérico de termos os dois números A (A1 A0) e B (B1 B0) ambos de 2bits, temos o seguinte,Circuito MultiplicadorBinário de2 bitsA0A1B0B1M0 (LSB)M1M2M3 (MSB)AB1 1X 1 11 1 1+ 1 1 1 a1 0 0 1A1 A0X B1 B0C1 A1B0 A0B0C2 A1B1 A0B1 aM3 M2 M1 M0
  2. 2. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaNeste caso,M0 = A0B0,M1 = A1B0 + A0B1M2 = A1B1 + C1M3 = C2Onde C1 e C2 são os possíveis bits de carry que podem aparecer das somas realizadasem módulo 2. Agora sim estamos prontos para escrever a nossa tabela-verdade desteprojeto.B1 B0 A1 A0 A0B0 A1B0 + A0B1 = M1 C1 + A1B1 = M2 M3 = C20 0 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 00 0 0 1 0 0 + 0 0 0 + 0 0 00 0 1 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 00 0 1 1 0 0 + 0 0 0 + 0 0 00 1 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 00 1 0 1 1 0 + 0 0 0 + 0 0 00 1 1 0 0 1 + 0 1 0 + 0 0 00 1 1 1 1 1 + 0 1 0 + 0 0 01 0 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 01 0 0 1 0 0 + 1 1 0 + 0 0 01 0 1 0 0 0 + 0 0 0 + 1 1 01 0 1 1 0 0 + 1 1 0 + 1 1 01 1 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 01 1 0 1 1 0 + 1 1 0 + 0 0 01 1 1 0 0 1 + 0 1 0 + 1 1 01 1 1 1 1 1 + 1 0 1 + 1 0 1Bits de Entrada M0 M1 M2 M3Aqui as colunas sombreadas são as colunas que nos interessam para projetar o circuitomultiplicador de 2 bits.Portanto,1. Para M0 temos 4 mintermos,2. Para M1 temos 6 mintermos,3. Para M2 temos 3 mintermos,4. Para M3 temos um (1) único mintermo.O nosso seguinte passo é escrever as respectivas funções booleanas para M0, M1, M2 eM3 e logo minimizá-las utilizando as regras da álgebra de Boole.
  3. 3. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaNo caso de M0 temos,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Simplificando fica,̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ )̅̅̅̅(̅̅̅̅ )FinalmenteAgora a função booleana para M1 é dada pela soma de 6 mintermos,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅Fazendo as simplificações necessárias,̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ( ̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)Portanto,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( )Para M2 temos a função booleana,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Simplificando fica,̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)Pela lei da Absorção,(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)
  4. 4. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaE para M3 temos,O nosso último passo é o montar o circuito digital, no exemplo temos os valores A=11 eB=11 de entrada e na saída podemos observar o resultado 1001.
  5. 5. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaExemplo 2Projetar um circuito somador de números binários de 2 bits cada. Utilizar somente asregras da álgebra Booleana (e não os Mapas de Karnaugh) para encontrar o circuitoresultante.Onde A0 A1 são os bits do número A e B0 B1 são os bits do número B, as saídas S0 eC0 são as somas e o possível bit de carry respectivamente. Da mesma forma S1 e C1são a soma e o bit de carry dessa segunda etapa do circuito.Por exemplo, fazemos a soma dos números binários, A = 11 e B = 11,Onde os bits em vermelho são os bits de carry C0 para a primeira soma e C1 para asegunda soma, o resultado, como era de se esperar, é 110 (6 decimal).Portanto, de forma genérica a soma de números binários de 2 bits é dada da seguinteforma,As saídas do circuito são,S0 = B0 + A0S1 = B1 + A1 + C0C1 = C1Meio SomadorSomador CompletoA0B0A1B1S0C0S1C11 11 1+ 1 1 11 1 0C0 aA1 A0+ C1 B1 B0C1 S1 S0
  6. 6. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaAgora passamos a fazer a tabela-verdade deste projeto de 4 bits de entrada (B1, B0, A1,e A0).B1 B0 A1 A0 B0 + A0 = S0 C0 + B1 + A1 = S1 C10 0 0 0 0 + 0 0 0 0 + 0 0 00 0 0 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 00 0 1 0 0 + 0 0 0 0 + 1 1 00 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 1 1 00 1 0 0 1 + 0 1 0 0 + 0 0 00 1 0 1 1 + 1 0 1 0 + 0 1 00 1 1 0 1 + 0 1 0 0 + 1 1 00 1 1 1 1 + 1 0 1 0 + 1 0 11 0 0 0 0 + 0 0 0 1 + 0 1 01 0 0 1 0 + 1 1 0 1 + 0 1 01 0 1 0 0 + 0 0 0 1 + 1 0 11 0 1 1 0 + 1 1 0 1 + 1 0 11 1 0 0 1 + 0 1 0 1 + 0 1 01 1 0 1 1 + 1 0 1 1 + 0 0 11 1 1 0 1 + 0 1 0 1 + 1 0 11 1 1 1 1 + 1 0 1 1 + 1 1 1Bits de Entrada S0 C0 S1 C1Dessa tabela verdade, as colunas que nos interessam apresentam as seguintescaracterísticas,1. S0 tem 8 mintermos,2. C0 tem 4 mintermos,3. S1 tem 8 mintermos,4. C1 tem 6 mintermos.Portanto, a função boolena para S0 é dada por,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Simplificando,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)̅̅̅̅ ( ) ( )
  7. 7. Eletrônica DigitalProf. Aníbal Miranda(̅̅̅̅ )( )Finalmente,( )Agora encontramos a função booleana para o bit de carry C0,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ )̅̅̅̅(̅̅̅̅ )Finalmente,A função booleana para S1 é dada por 9 mintermos como mostrada embaixo,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Simplificando e lembrando que o bit de carry , podemos escrever,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Do primeiro e o quarto termo fatoramos (̅̅̅̅ ) e do terceiro e quinto termosfatoramos ( ̅̅̅̅)̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ )
  8. 8. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaAgora temos que prestar muita atenção ao conteúdo entre parêntesis do primeiro eterceiro termos.Pela lei da Absorção temos que,(̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅e(̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅Portanto, com essas considerações podemos escrever,̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)Fatorado mais uma vez,(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)(̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅Finalmente,(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)( ) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅Agora encontramos a função booleana para o bit de carry C1, esta é dada por 6mintermos,̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅Fatorando elementos comuns do primeiro e quarto termo, assim como do segundo eterceiro e do quinto e último para obter,(̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ( ̅̅̅̅ )( ) ̅̅̅̅( ) (̅̅̅̅ )Finalmente,( )
  9. 9. Eletrônica DigitalProf. Aníbal MirandaO passo final é a montagem do circuito digital, no exemplo temos os valores A=11 (3) eB=11 (3), ou seja, 3 + 3 de entrada e na saída podemos observar o resultado 110 (6)como esperado.

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