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  1. 1. FORMULÁRIO1. Estatística DescritivaTabelas de Frequênciasa. Dados qualitativos ou quantitativos quando os valores se repetem Frequência absoluta simples (Fj) – Número de vezes que cada valor distinto j da variável observada se repete (j=1,2,…k). Tem-se que: k ∑F j =1 j =n Frequência relativa simples(fj) - Proporção de vezes que cada valor Fj distinto j da variável observada se repete. Obtém-se f j = com n k k Fj n ∑ fj = j =1 ∑n j =1 = n =1b. Dados agrupados em classes ou intervalos: Amplitude do intervalo: ai=Li- li Li + li Ponto médio do intervalo: Ci = 2 Densidade de frequência: Di= fi/aiMedidas de LocalizaçãoMédia aritmética (ou simplesmente média)Simples n ∑x i x= i =1 nPonderada n ∑w *x i i n wi n Xp = i =1 n = ∑ α i * xi com α i = n e ∑α i =1 ∑wi =1 i i =1 ∑w i i =1 i =1Dados agrupados n1v1 + ... + nm vm m X* = = ∑ f g vg n g =1Dados classificados F1C1 + ... + FmCm m(em intervalos de classe) X* = = ∑ f jC j n j =1Média GeométricaSimples 1/ n ⎛n ⎞ X G = x1.x2 . ... xn n = ⎜ ∏ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠Ponderada 1 wi n XG = W w1 w2 x1 .x2 . ... . xn wn ⎛ = ⎜∏ x n wi ⎞ ∑ i w ⎟ = ∏ xi i α com α i = n e ∑α i =1 ∑w i i =1 ⎝ i =1 ⎠ i i =1Relação entre a média geométrica e a média aritmética - ln X = ln X GAnálise da Informação Económica e Empresarial Pág. 1
  2. 2. FORMULÁRIO ′Mediana - Seja xn a observação de ordem nDados não classificados - Me = x ′ +1 nNúmero impar de observações 2Dados não classificados - x′ + xn n ′ +1Número par de observações Me = 2 2 2Dados classificados 0,5 − cum f (Me − 1) Me = l i (Me ) + a(Me ) f (Me )Quantis – exemplo para o 1º quartil1º Quartil – dados não ′ Q1 = x n +1classificados 41º Quartil – dados 0,25 − cum f (Q1 − 1)classificados Q1 = l i (Q1 ) + a(Q1 ) f (Q1 )ModaDados classificados f (Mo ) − f (Mo − 1) Mo = l (Mo ) + (L(Mo ) − l (Mo )) (f (Mo ) − f (Mo − 1)) + (f (Mo ) − f (Mo + 1)) f (Mo + 1) Mo = l i (Mo ) + a(Mo ) f (Mo − 1) + f (Mo + 1)Medidas de DispersãoAmplitude do Intervalo IQ = Q −Q 1Inter-Quartis 3Desvio absoluto médio n ∑| x i −x| Dados não agrupados: Dx = i =1 n Dados agrupados / classificados: n ∑n i | vi − x | n Dx = i =1 = ∑ fi | vi − x | n i =1Desvio padrão n ∑ ( x − x) i 2 Dados não agrupados: s x = i =1 n Dados agrupados / classificados: n ∑ n (v − x ) i i 2 n sx = i =1 n = ∑ f (v − x ) i =1 i i 2Variância n n ∑ ( xi − x)2 ∑ n (v − x )i i 2 n sx = 2 i =1 n ou sx = 2 i =1 n = ∑ f (v − x ) i =1 i i 2Nota: nos dados classificados em classes o símbolo vi é substituído por Ci.Análise da Informação Económica e Empresarial Pág. 2
  3. 3. FORMULÁRIOCoeficiente de variação sx σ x CVx = = x μSimetria /assimetria da distribuição Distribuição simétrica: x = Me = Mo Distribuição assimétrica à esquerda x > Me > Mo Distribuição assimétrica à direita x < Me < MoMedidas de ConcentraçãoÍndice de Gini n −1 n −1 ∑ (cum fi − cum y i ) ∑(p i − qi ) IG = i =1 n −1 = i =1 n −1 ∑ cum f i =1 i ∑p i =1 i2. Taxas de variação e índicesVariação absoluta De um período Δxt +1,t = xt +1 − xt De k períodos Δxt + k ,t = xt + k − xtVariação absoluta média De k períodos: Δxt + k ,t xt + k − xt Δ m xt + k ,t = = k kVariação relativa - Taxa de crescimento. Taxa de variação De um período x −x xt +1,t r = t +1 t rt +1,t = −1 t + 1, t x ou xt t De k períodos xt + k − xt δ t + k ,t = xtAnálise da Informação Económica e Empresarial Pág. 3
  4. 4. FORMULÁRIOVariação relativa média - Taxa média de crescimento em kperíodos - rt+k,t é variação proporcional média por unidade de tempo davariável x entre t e t+k 1 rt + k ,t = (1 + δ t + k ,t ) − 1 k 1 rt + k ,t = ⎡(1 + rt +1,t )(1 + rt + 2,t +1 ) ... (1 + rt + k ,t + k −1 ) ⎤ − 1 ⎣ ⎦ k 1 ⎛x ⎞ k rt + k ,t = ⎜ t + k ⎟ − 1 ⎝ xt ⎠Taxa de variação homóloga xt +1, s − xt , s ht , s = t: período xt , s s: subperíodoÍndices simples Considerando uma série de valores: x0 , x1 , x2 , ... , xt : A série de índices de base móvel i1,0 , i2,1 , ... , it ,t −1 obtém-se: x1 x x i1,0 = , i2,1 = 2 , ... , it ,t −1 = t x0 x1 xt −1 A série de índices de base fixa i1,0 , i2,0 , ... , it ,0 obtém-se: x1 x x i1,0 = , i2,0 = 2 , ... , it ,0 = t x0 x0 x0Relação com as taxas de variação Índice de base móvel e taxa de variação no período it ,t −1 = 1 + rt ,t −1 Índice de base fixa e taxa de variação em “multi-períodos” it + k ,t = 1 + δ t + k ,tCircularidade dos índices Passagem de base fixa para base móvel xt it ,0 = it ,t −1 porque x0 x = t it −1,0 xt −1 xt −1 x0Análise da Informação Económica e Empresarial Pág. 4
  5. 5. FORMULÁRIO Passagem de base móvel para base fixa i1,0 ∗ i2,1 = i2,0 porque x1 x2 x2 ∗ = x0 x1 x0Reversibilidade dos índices 1 it ,0 = porque xt = 1 i0,t x0 x0 xtMudança de base xt it ,0 = it ,b porque x0 x = t ib ,0 xb xb x0Índices agregativosÍndice de uma variável produto (quociente) de outras variáveisSe A = B . C então I A = I B . I Ce sendo I k = 1 + δ k com k = A, B, Cδ A = δ B + δ C + δ Bδ C e para valores “pequenos” pode fazer-seδ A ≈ δ B + δCEm geral com índice simples verifica-se: Índice de valor = Índice de Preços X Índice de QuantidadesCom índices agregativos a relação só é verdadeira para casos particulares,sendo : IVALOR = P P × Q L = P L × Q P m ∑p j =1 t j * qtj IVALOR =Índice de Valor: m ∑p j =1 0 j * q0jÍndices de Laspeyres Paasche m m ∑ ptj * q0j ∑p j =1 t j * qtj j =1Preços PL = m PP = m ∑p 0 j * q0j ∑p j =1 0 j * qtj j =1 m m ∑p 0 j * qt j ∑p j =1 t j * qtjQuantidades QL = j =1 QP = m ∑p m ∑p j j * q0j t * q0j 0 j =1 j =1Análise da Informação Económica e Empresarial Pág. 5
  6. 6. FORMULÁRIOÍndice de Laspeyres como média ponderada de índices m p1j p0j q0j PL = ∑α j com α j = m p0j j =1 ∑p q j =1 j j 0 0sendo αj o coeficiente orçamental no ano base3. Associação e relação entre variáveisCovariância entre as variáveis x e y N ∑ (x j =1 j − X )( y j − Y ) SYX = nCoeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y N SYX ∑ (x j =1 j − X )( y j − Y ) rYX = = S X × SY N N ∑ ( x j − X )2 × ∑ ( y j − Y )2 j =1 j =1A recta de regressão : Y j = b0 + b1 X j + ε jOs parâmetros da recta: b0 = Y − b1 X S b1 = YX2 SXAnálise da Informação Económica e Empresarial Pág. 6

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