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  1. 1. Actividades I Números enteros Escribe el valor absoluto de los siguientes nú- meros: a) (ϩ5) ⇒ b) (Ϫ8) ⇒ c) (Ϫ12) ⇒ Calcula: a) (Ϫ6) ϩ (+4) ϩ (Ϫ9) ϭ b) (ϩ4) ϩ (Ϫ10) ϩ (ϩ7) ϭ Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10 plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está? Halla el valor de estas expresiones: a) Ϫ7 Ϫ (Ϫ4 ϩ 9 Ϫ 5) ϩ (Ϫ3 ϩ 6)ϭ b) (ϩ8 Ϫ 10 ϩ 7) Ϫ (Ϫ12 ϩ 3 Ϫ 2)ϭ c) Ϫ15 Ϫ (9 ϩ 3 Ϫ 6 Ϫ 2) ϩ 4 Ϫ (5 Ϫ 7)ϭ Halla el valor de las siguientes expresiones: a) (ϩ4) · [(Ϫ3) Ϫ (Ϫ2) ϩ (ϩ5)] ϭ b) [(Ϫ2) · (ϩ6)] : (Ϫ 4) ϭ c) [(Ϫ8) : ( Ϫ2)] · (Ϫ4) ϭ Calcula aplicando la propiedad distributiva: a) (Ϫ4) · (5 Ϫ 3 ϩ 8) ϭ b) (7 ϩ 6 Ϫ 2 Ϫ 5) · (Ϫ3) ϭ c) (ϩ10) · (Ϫ6 ϩ 4 Ϫ 12 Ϫ 3) ϭ d) [(Ϫ29) ϩ (ϩ34)] ϩ [(Ϫ47) ϩ (Ϫ73)] ϭ e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] ϭ Daniel pide prestado 5 € a cada uno de sus padres y cada uno de sus 4 abuelos para irse de excursión. ¿A cuánto asciende su deuda? Calcula: a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) ϭ b) 3 · ( –2) : (–3) ϭ c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) ϭ d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) ϭ Halla las sumas: a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) ϭ b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) ϭ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 1 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 1
  2. 2. Escribe el valor absoluto de los siguientes nú- meros: a) (ϩ5) ⇒ |ϩ5| ϭ 5 b) (Ϫ8) ⇒ |Ϫ8| ϭ 8 c) (Ϫ12) ⇒|Ϫ12| ϭ 12 Calcula: a) (Ϫ6) ϩ (+4) ϩ (Ϫ9) ϭϪ11 b) (ϩ4) ϩ (Ϫ10) ϩ (ϩ7) ϭϩ1 Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10 plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está? (Ϫ2) ϩ (ϩ10) ϩ (Ϫ3) ϭ ϩ5 Está en la quinta planta. Halla el valor de estas expresiones: a) Ϫ7 Ϫ (Ϫ4 ϩ 9 Ϫ 5) ϩ (Ϫ3 ϩ 6)ϭ ϭ Ϫ7 ϩ 4 Ϫ 9 ϩ 5 Ϫ 3 ϩ 6 ϭ Ϫ4 b) (ϩ8 Ϫ 10 ϩ 7) Ϫ (Ϫ12 ϩ 3 Ϫ 2)ϭ ϭ 8 Ϫ 10 ϩ 7 ϩ 12 Ϫ 3 ϩ 2 ϭ ϩ16 c) Ϫ15 Ϫ (9 ϩ 3 Ϫ 6 Ϫ 2) ϩ 4 Ϫ (5 Ϫ 7)ϭ ϭϪ15Ϫ9Ϫ3ϩ6ϩ2ϩ4Ϫ5ϩ7 ϭ ϭ Ϫ13 Halla el valor de las siguientes expresiones: a) (ϩ4) · [(Ϫ3) Ϫ (Ϫ2) ϩ (ϩ5)] ϭ ϭ (ϩ4) · (ϩ4) ϭ ϩ16 b) [(Ϫ2) · (ϩ6)] : (Ϫ 4) ϭ ϭ (Ϫ12) : (Ϫ4) ϭ ϩ3 c) [(Ϫ8) : ( Ϫ2)] · (Ϫ4) ϭ ϭ (ϩ4) · (Ϫ4) ϭ Ϫ16 Calcula aplicando la propiedad distributiva: a) (Ϫ4) · (5 Ϫ 3 ϩ 8) ϭ ϭ Ϫ20 ϩ 12 Ϫ 32 ϭ Ϫ40 b) (7 ϩ 6 Ϫ 2 Ϫ 5) · (Ϫ3) ϭ ϭ Ϫ21 Ϫ 18 ϩ 6 ϩ 15 ϭ Ϫ18 c) (ϩ10) · (Ϫ6 ϩ 4 Ϫ 12 Ϫ 3) ϭ ϭ Ϫ60 ϩ 40 Ϫ 120 Ϫ 30 ϭ Ϫ170 d) [(Ϫ29) ϩ (ϩ34)] ϩ [(Ϫ47) ϩ (Ϫ73)] ϭ ϭ (ϩ5) ϩ (Ϫ120) ϭ Ϫ115 e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] ϭ ϭ (ϩ52) ϩ (ϩ33) ϭ ϩ85 Daniel pide prestado 5 € a cada uno de sus padres y cada uno de sus 4 abuelos para irse de excursión. ¿A cuánto asciende su deuda? (Ϫ5) · (ϩ6) ϭ Ϫ30; Daniel debe 30 €. Calcula: a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) ϭ 15 : (Ϫ5) ϭ Ϫ3 b) 3 · ( –2) : (–3) ϭ (Ϫ6) : (Ϫ3) ϭ ϩ2 c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) ϭ ϭ (Ϫ2) · (ϩ3) ϭ Ϫ6 d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) ϭ ϭ (Ϫ35) : (Ϫ5) ϭ ϩ7 Halla las sumas: a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) ϭ ϭ (ϩ128) ϩ (Ϫ88) ϭ ϩ40 b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) ϭ ϭ (Ϫ102) ϩ (ϩ76) ϭ Ϫ26 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. I Números enteros Solución de las actividades 2 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 2
  3. 3. Actividades XV Estadística Di de qué tipo es cada una de las siguientes variables estadísticas: a) El color del pelo. b) Los valores de la tirada de un dado. c) Las causas de los incendios forestales. d) La estatura de un determinado colectivo. e) Las notas obtenidas en un examen. Se ha preguntado a 50 socios de una asociación cultural formada por 2000 socios acerca de una nueva propuesta de actividades para el año pró- ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente. a) ¿Cuál es la población? b) ¿Cuál es la muestra? c) ¿Qué porcentaje de la población supone esta muestra? d) ¿Cuántos individuos de los encuestados han respondido afirmativamente? e) ¿A cuántos socios representan los que han aceptado las propuestas de las actividades del próximo año? Gloria ha estado esperando a su amiga durante un rato y se ha entretenido en ir anotando el color del vestido de las chicas que pasaban delante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo, 4 de azul, de verde solo ha anotado 1, y de negro, 6. Muestra estos datos en una tabla indicando las frecuencias absolutas, las relativas y el porcentaje. Representa los datos de la actividad anterior en un diagrama de sectores, calculando previa- mente la amplitud de cada sector. 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 33 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 33
  4. 4. XV Estadística Rodríguez está muy contento con su nueva agencia de viajes. Ya en la primera semana ha gestionado las vacaciones de 5 familias que irán a las Islas Canarias, 4 han preferido las Baleares, 3 han optado por los Pirineos y 5 prefieren las costas valencianas. Para poder planear mejor las ofertas quiere confeccionar un gráfico de barras y detectar los destinos más solicitados. Confecciónaselo tú. El profesor de Matemáticas acaba de termi- nar de corregir los últimos exámenes de sus alumnos y ha anotado los resultados en esta tabla. Complétala y calcula la nota media de la clase, la mediana de la distribución y la moda. Representa los datos de la actividad anterior en un diagrama de barras y otro de sectores. En la gráfica se muestran las temperaturas máximas diarias de 20 días. Calcula la tempera- tura media. 8 7 6 5 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. Actividades 34 Matemáticas xi ni xi· ni Ni fi 3 4 5 5 6 6 7 8 8 5 10 2 Tot 0 14º 1 2 3 4 5 6 7 temperatura 13º 12º 11º 9º días 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 31/7/07 10:36 Página 34
  5. 5. Solución de las actividades Di de qué tipo es cada una de las siguientes variables estadísticas: a) El color del pelo. Cualitativa b) Los valores de la tirada de un dado. Cuantitativa c) Las causas de los incendios forestales. Cualitativa d) La estatura de un determinado colectivo. Cuantitativa e) Las notas obtenidas en un examen. Cuantitativa Se ha preguntado a 50 socios de una asociación cultural formada por 2000 socios acerca de una nueva propuesta de actividades para el año pró- ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente. a) ¿Cuál es la población? La población la forman los 2 000 socios. b) ¿Cuál es la muestra? La muestra está formada por los 50 socios encuestados. c) ¿Qué porcentaje de la población supone esta muestra? La muestra representa al 2,5 % de la población. d) ¿Cuántos individuos de los encuestados han respondido afirmativamente? Han respondido afirmativamente 30 individuos. e) ¿A cuántos socios representan los que han aceptado las propuestas de las actividades del próximo año? Representan a 1 200 socios. Gloria ha estado esperando a su amiga durante un rato y se ha entretenido en ir anotando el color del vestido de las chicas que pasaban delante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo, 4 de azul, de verde solo ha anotado 1, y de negro, 6. Muestra estos datos en una tabla indicando las frecuencias absolutas, las relativas y el porcentaje. Representa los datos de la actividad anterior en un diagrama de sectores, calculando previa- mente la amplitud de cada sector. El sector rojo (A) : 360 · 7 ––– 18 ϭ 140º El sector azul (C) : 360 · 4 ––– 18 ϭ 80º El sector verde (D) : 360 –––– 18 ϭ 20º El sector negro (B) : 360 · 6 ––– 18 ϭ 120º 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XV Estadística 35 Matemáticas Modalidad xi Frecuencia absoluta, ni Frecuencia relativa, fi Porcentaje % Rojo 7 0,39 39 % Azul 4 0,22 22 % Verde 1 0,05 5 % Negro 6 0,34 34 % Total 18 1 100 % (B) (C) (D) (A) 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 35
  6. 6. Rodríguez está muy contento con su nueva agencia de viajes. Ya en la primera semana ha gestionado las vacaciones de 5 familias que irán a las Islas Canarias, 4 han preferido las Baleares, 3 han optado por los Pirineos y 5 prefieren las costas valencianas. Para poder planear mejor las ofertas quiere confeccionar un gráfico de barras y detectar los destinos más solicitados. Confecciónaselo tú. El profesor de Matemáticas acaba de termi- nar de corregir los últimos exámenes de sus alumnos y ha anotado los resultados en esta tabla. Complétala y calcula la nota media de la clase, la mediana de la distribución y la moda. La nota media de la clase es: ϭ 6,3 puntos. La mediana es: 6 ϩ 7 ᎏ᎐ᎏ 2 ϭ 6,5 puntos. La moda es 7 puntos. Representa los datos de la actividad anterior en un diagrama de barras y otro de sectores. Sector de 3 puntos: 360 · 4 Ϫ 30 ϭ 48º Sector de 5 puntos: 360 · 5 Ϫ 30 ϭ 60º Sector de 6 puntos: 360 · 6 Ϫ 30 ϭ 72º Sector de 7 puntos: 360 · 8 Ϫ 30 ϭ 96º Sector de 8 puntos: 360 · 5 Ϫ 30 ϭ 60º Sector de 10 puntos: 360 · 2 Ϫ 30 ϭ 24º En la gráfica se muestran las temperaturas máximas diarias de 20 días. Calcula la tempera- tura media. La media es: ϭ ϭ 225 –––– 20 ϭ 11,25 ºC 8 7 6 5 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XV Estadística Solución de las actividades 36 Matemáticas 0 Canarias 1 2 3 4 5 6 Baleares Pirineos C.Valenciana xi ni xi ؒ ni Ni fi 3 4 12 4 0,13 5 5 25 9 0,17 6 6 36 15 0,2 7 8 56 23 0,26 8 5 40 28 0,17 10 2 20 30 0,07 Tot. 30 189 1 5 0 8 3 6 87 10 1 2 3 4 5 6 7 0 14º 1 2 3 4 5 6 7 temperatura 13º 12º 11º 9º días 189 30 14 · 2 ϩ 12 · 3 ϩ 13 · 4 ϩ 11 · 5 ϩ 9 · 6 20 60º 60º 72º96º 48º 24º 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 31/7/07 10:36 Página 36
  7. 7. Actividades II Fracciones y decimales Escribe la expresión decimal: a) ᎏ 1 2 3 8 ᎏϭ b) ᎏ 1 3 4 0 ᎏϭ c) ᎏ 1 8 5 ᎏϭ Halla la fracción generatriz: a) 25,8៣៣ ϭ b) 250,61៣៣ ϭ Simplifica: a) ᎏ 1 3 2 6 6 ᎏ ϭ b) ᎏ 1 1 2 3 0 5 ᎏ ϭ c) ᎏ 1 8 0 4 5 ᎏ ϭ d) 630 ––––– 1008 ϭ Calcula las sumas: a) ᎏ 7 9 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 ᎏ ϭ b) ᎏ 5 4 ᎏ ϩ ᎏ 2 5 ᎏ ϩ ᎏ 3 8 ᎏ ϭ c) ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 1 4 ᎏ ϭ d) ᎏ 6 5 ᎏ ϩ ᎏ 8 3 ᎏ ϩ ᎏ 7 4 ᎏ ϭ Resuelve: a) ᎏ 1 1 3 7 ᎏ и ᎏ 4 5 ᎏ ϭ b) ᎏ 6 2 1 5 ᎏ : ᎏ 1 5 2 ᎏ ϭ c) ᎏ 3 4 ᎏ и ᎏ 7 2 ᎏ : ᎏ 5 3 ᎏ ϭ d) ᎏ 3 7 2 ᎏ и ᎏ 8 3 ᎏ ϭ Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra- do un CD que le ha costado las dos quintas par- tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda? Calcula: a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ c) 5,38 и 44,9 ϭ d) 63,78 : 3,123 ϭ e) 80,39 : 5,2 ϭ Ordena de mayor a menor las siguientes frac- ciones: a) ᎏ 7 4 ᎏ; ᎏ 3 5 ᎏ; ᎏ 2 7 ᎏ b) ᎏ 1 8 3 ᎏ; ᎏ 1 9 1 ᎏ; ᎏ 1 5 4 ᎏ c) ᎏ 5 6 ᎏ; ᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ; ᎏ 3 3 0 1 ᎏ Redondea a las centésimas: a) 408,3207 Х b) 6,04978 Х c) 726,5843 Х Averigua el valor de x para que estas fracciones sean equivalentes a) ᎏ 1 1 8 5 ᎏ ϭ ᎏ x 5 ᎏ ⇒ b) ᎏᎏ 8 3 ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ ⇒ c) ᎏᎏ 48 x ᎏ ϭ 32 ᎏᎏ 10 ⇒ Una familia de tres personas consume cada día para desayunar ᎏ 3 4 ᎏ de litro de leche. ¿Cuántos litros necesitan para toda la semana? 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 3 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 3
  8. 8. Escribe la expresión decimal: a) ᎏ 1 2 3 8 ᎏϭ 0,464... b) ᎏ 1 3 4 0 ᎏϭ 0,46៣៣ c) ᎏ 1 8 5 ᎏϭ 1,875 Halla la fracción generatriz: a) 25,8៣៣ ϭ ᎏ 258 9 Ϫ 25 ᎏ ϭ ᎏ 23 9 3 ᎏ b) 250,61៣៣ ϭ ᎏ 2506 9 1 9 Ϫ 250 ᎏ ϭ ᎏ 24 99 811 ᎏ Simplifica: a) ᎏ 1 3 2 6 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 4 ᎏ b) ᎏ 1 1 2 3 0 5 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 4 7 ᎏ ϭ ᎏ 8 9 ᎏ c) ᎏ 1 8 0 4 5 ᎏ ϭ ᎏ 3 28 5 ᎏ ϭ ᎏ 4 5 ᎏ d) 630 ––––– 1008 ϭ 70 ––– 112 ϭ 35 ––– 56 ϭ ᎏ 5 8 ᎏ Calcula las sumas: a) ᎏ 7 9 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 28 ϩ 3 2 6 7 ϩ90 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 4 6 5 ᎏ b) ᎏ 5 4 ᎏ ϩ ᎏ 2 5 ᎏ ϩ ᎏ 3 8 ᎏ ϭ ᎏ 50 ϩ 4 1 0 6 ϩ15 ᎏ ϭ ᎏ 4 8 0 1 ᎏ c) ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 1 4 ᎏ ϭ ᎏ 16 ϩ 2 2 4 0 ϩ11 ᎏ ϭ ᎏ 2 4 4 7 ᎏ d) ᎏ 6 5 ᎏ ϩ ᎏ 8 3 ᎏ ϩ ᎏ 7 4 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 337 60 ᎏ Resuelve: a) ᎏ 1 1 3 7 ᎏ и ᎏ 4 5 ᎏ ϭ ᎏ 8 5 5 2 ᎏ b) ᎏ 6 2 1 5 ᎏ : ᎏ 1 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 3 3 0 0 0 5 ᎏ ϭ ᎏ 6 6 0 1 ᎏ c) ᎏ 3 4 ᎏ и ᎏ 7 2 ᎏ : ᎏ 5 3 ᎏ ϭ ᎏ 4 6 0 3 ᎏ d) ᎏ 3 7 2 ᎏ и ᎏ 8 3 ᎏ ϭ 256 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 21 Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra- do un CD que le ha costado las dos quintas par- tes de sus ahorros. ¿Cuanto dinero le queda? ᎏ 2 5 ᎏи 120 ϭ 48 Alfonso ha gastado 48 € y le quedan 72 € Calcula: a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ 4,292 b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ 41,739 c) 5,38 и 44,9 ϭ 241,562 d) 63,78 : 3,123 ϭ 20,422... e) 80,39 : 5,2 ϭ 15,459... Ordena de mayor a menor las siguientes frac- ciones: a) ᎏ 7 4 ᎏ; ᎏ 3 5 ᎏ; ᎏ 2 7 ᎏ ᎏ 4 7 ᎏϾᎏ 3 5 ᎏ Ͼᎏ 2 7 ᎏ b) ᎏ 1 8 3 ᎏ; ᎏ 1 9 1 ᎏ; ᎏ 1 5 4 ᎏ ᎏ 1 5 4 ᎏϾᎏ 1 9 1 ᎏ Ͼᎏ 1 8 3 ᎏ c) ᎏ 5 6 ᎏ; ᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ; ᎏ 3 3 0 1 ᎏ ᎏ 3 3 0 1 ᎏ Ͼᎏ 6 5 ᎏ Ͼᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ Redondea a las centésimas: a) 408,3207 Х 408,32 b) 6,04978 Х 6,05 c) 726,5843 Х 726,58 Averigua el valor de x para que estas fracciones sean equivalentes a) ᎏ 1 1 8 5 ᎏ ϭ ᎏ x 5 ᎏ ⇒ x ϭ 6 b) ᎏᎏ 8 3 ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ ⇒ x ϭ 2,25 c) ᎏᎏ 48 x ᎏ ϭ ᎏ 3 10 2 ᎏ ⇒ x ϭ 15 Una familia de tres personas consume cada día para desayunar ᎏ 5 6 ᎏ litros de leche. ¿Cuántos litros necesitan para toda la semana? ᎏ 4 3 ᎏи 7 ϭ 21 ––– 4 que son 5 litros y ᎏ 4 1 ᎏ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. II Fracciones y decimales Solución de las actividades 4 Matemáticas Escribe la expresión decimal: a) ᎏ 1 2 3 8 ᎏϭ b) ᎏ 1 3 4 0 ᎏϭ 0,46៣៣ c) ᎏ 1 8 5 ᎏϭ Halla la fracción generatriz: a) 25,8៣៣ ϭ ᎏ 258 9 Ϫ 25 ᎏ ϭ ᎏ 23 9 3 ᎏ b) 250,61៣៣ ϭ ᎏ 2506 9 1 9 Ϫ 250 ᎏ ϭ ᎏ 24 99 811 ᎏ Simplifica: a) ᎏ 1 3 2 6 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 4 ᎏ b) ᎏ 1 1 2 3 0 5 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 4 7 ᎏ ϭ ᎏ 8 9 ᎏ c) ᎏ 1 8 0 4 5 ᎏ ϭ ᎏ 3 28 5 ᎏ ϭ ᎏ 4 5 ᎏ d) 630 ––––– 1008 ϭ 70 ––– 112 ϭ 35 ––– 56 ϭ ᎏ 5 8 ᎏ Calcula las sumas: a) ᎏ 7 9 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 28 ϩ 3 2 6 7ϩ90 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 4 6 5 ᎏ b) ᎏ 5 4 ᎏ ϩ ᎏ 2 5 ᎏ ϩ ᎏ 3 8 ᎏ ϭ ᎏ 50 ϩ 4 1 0 6 ϩ15 ᎏ ϭ ᎏ 4 8 0 1 ᎏ c) ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 1 4 ᎏ ϭ ᎏ 16 ϩ 2 2 4 0 ϩ11 ᎏ ϭ ᎏ 2 4 4 7 ᎏ d) ᎏ 6 5 ᎏ ϩ ᎏ 8 3 ᎏ ϩ ᎏ 7 4 ᎏ ϭ ᎏ 72ϩ 60 160ϩ105 ϭ ᎏ 337 60 ᎏ Resuelve: a) ᎏ 1 1 3 7 ᎏ и ᎏ 4 5 ᎏ ϭ ᎏ 8 5 5 2 ᎏ b) ᎏ 6 2 1 5 ᎏ : ᎏ 1 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 3 3 0 0 0 5 ᎏ ϭ ᎏ 6 6 0 1 ᎏ c) ᎏ 3 4 ᎏ и ᎏ 7 2 ᎏ : ᎏ 5 3 ᎏ ϭ ᎏ 4 6 0 3 ᎏ d) ᎏ 3 7 2 ᎏ и ᎏ 8 3 ᎏ ϭ 256 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 21 Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra- do un CD que le ha costado las dos quintas par- tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda? ᎏ 2 5 ᎏи 120 ϭ 48 Alfonso ha gastado 48 € y le quedan 72 € Calcula: a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ c) 5,38 и 44,9 ϭ d) 63,78 : 3,123 ϭ e) 80,39 : 5,2 ϭ Ordena de mayor a menor las siguientes frac- ciones: a) ᎏ 7 4 ᎏ; ᎏ 3 5 ᎏ; ᎏ 2 7 ᎏ ᎏ 4 7 ᎏϾᎏ 3 5 ᎏ Ͼᎏ 2 7 ᎏ b) ᎏ 1 8 3 ᎏ; ᎏ 1 9 1 ᎏ; ᎏ 1 5 4 ᎏ ᎏ 1 5 4 ᎏϾᎏ 1 9 1 ᎏ Ͼᎏ 1 8 3 ᎏ c) ᎏ 5 6 ᎏ; ᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ; ᎏ 3 3 0 1 ᎏ ᎏ 3 3 0 1 ᎏ Ͼᎏ 6 5 ᎏ Ͼᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ Redondea a las centésimas: a) 408,3207 Х b) 6,04978 Х c) 726,5843 Х Averigua el valor de x para que estas fracciones sean equivalentes a) ᎏ 1 1 8 5 ᎏ ϭ ᎏ x 5 ᎏ ⇒ x ϭ 6 b) ᎏᎏ 8 3 ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ ⇒ x ϭ 2,25 c) ᎏᎏ 48 x ᎏ ϭ 32 ᎏᎏ 10 ⇒ x ϭ 15 Una familia de tres personas consume cada día para desayunar ᎏ 3 4 ᎏ de litro de leche. ¿Cuántos litros necesitan para toda la semana? ᎏ 4 3 ᎏи 7 ϭ 21 ––– 4 que son 5 litros y ᎏ 4 1 ᎏ 11 10 726,58 6,05 408,32 9 8 15,459... 20,422... 241,562 41,739 4,292 7 6 5 4 3 2 1,875 0,464... 1 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 4
  9. 9. Actividades III Potencias y raíces MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 5 Matemáticas Calcula las potencias: a) (ϩ4)2 ϭ d) (Ϫ4)4 ϭ b) (Ϫ3)2 ϭ e) (ϩ5 )3 ϭ c) (Ϫ2)3 ϭ f) (Ϫ6 )2 ϭ Expresa y calcula las siguientes potencias: a) 6Ϫ3 ϭ b) (Ϫ4)Ϫ4 ϭ c) ΂ 3 –– 5΃ 2 ϭ d) ΂ 6 –– 7 ΃ 5 ϭ Calcula: a) (+4)2 · (+4)3 ϭ b) (–3) · (–3)3 ϭ c) (+5)4 : (+5)2 ϭ d) (–2)5 : (–2)2 ϭ Halla el resultado de estas potencias: a) (4 – 6)3 ϭ b) (2 + 3)2 ϭ c) [(–3) · (+2)]3 ϭ Calcula: a) 380 ϭ c) ΂ 3 –– 7 ΃ 1 ϭ d) 421 ϭ Escribe las potencias de la unidad seguida o precedida de ceros: a) 107 ϭ d) 10Ϫ4 ϭ b) 1003 ϭ e) 10Ϫ3 ϭ c) 1 0002 ϭ f) 10Ϫ2 ϭ Expresa en notación científica: a) 7 353 000 ϭ b) 0,00421 ϭ c) 40 200 000 ϭ Escribe con todas las cifras: a) 3,4 · 10– 4 ϭ b) 2,6 · 107 ϭ c) 7,02 · 10– 6 ϭ d) 5,389 · 109 ϭ e) 6,001 · 10– 5 ϭ Halla las raíces posibles: a) √ –– +4 ϭ d) 3 √ –– –8 ϭ b) √ –– –4 e) 5 √ –––– –2 –– 43 ϭ c) 4 √ ––– –16 f) 3 √ –– +8 ϭ Calcula aproximando a las décimas: a) √ –––– 345 ϭ b) ϭ c) √ –––– 7,32 ϭ d) √ –––– 94 –––– 3,28 ϭ e) √ –––– 0,0 ––– 481 ϭ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e) ΂ 2 –– 5΃ 0 ϭ b) ΂ 1 –– 3 ΃ –2 = Ί4᎐ ᎏ 7 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 5
  10. 10. Calcula las potencias: a) (ϩ4)2 ϭ ϩ16 d) (Ϫ4)4 ϭ ϩ256 b) (Ϫ3)2 ϭ ϩ9 e) (ϩ5 )3 ϭ ϩ125 c) (Ϫ2)3 ϭ Ϫ8 f) (Ϫ6 )2 ϭ ϩ36 Expresa y calcula las siguientes potencias: a) 6Ϫ3 ϭ b) (Ϫ4)Ϫ4 ϭ d) ΂ 6 –– 7 ΃ 5 ϭ Calcula: a) (+4)2 · (+4)3 ϭ (ϩ4)5 ϭ 1 024 b) (–3) · (–3)3 ϭ (Ϫ3)4 ϭ 81 c) (+5)4 : (+5)2 ϭ (ϩ5)2 ϭ ϩ25 d) (–2)5 : (–2)2 ϭ (Ϫ2)3 ϭ Ϫ8 Halla el resultado de estas potencias: a) (4 – 6)3 ϭ (Ϫ2)3 ϭ Ϫ8 b) (2 + 3)2 ϭ (ϩ5)2 ϭ 25 c) [(–3) · (+2)]3 ϭ Ϫ27 · 8 ϭ Ϫ216 Calcula: a) 380 ϭ 1 c) ΂ 3 –– 7 ΃ 1 ϭ d) 421 ϭ 42 Escribe las potencias de la unidad seguida o precedida de ceros: a) 107 ϭ 10000000 d) 10Ϫ4 ϭ 0,0001 b) 1003 ϭ 1000000 e) 10Ϫ3 ϭ 0,001 c) 1 0002 ϭ 1000000 f) 10Ϫ2 ϭ 0,01 Expresa en notación científica: a) 7 353 000 ϭ 7,353 · 106 b) 0,00421 ϭ 4,21 · 10Ϫ3 c) 40 200 000 ϭ 4,020 · 107 Escribe con todas las cifras: a) 3,4 · 10– 4 ϭ 0,000 34 b) 2,6 · 107 ϭ 26 000 000 c) 7,02 · 10– 6 ϭ 0,000 00702 d) 5,389 · 109 ϭ 5 389 000 000 e) 6,001 · 10– 5 ϭ 0,000 060 01 Halla las raíces posibles: a) √ –– +4 ϭ Ϯ2 d) 3 √ –– –8 ϭ Ϫ2 b) √ –– –4 No es posible e) 5 √ –––– –2 –– 43 ϭ Ϫ3 c) 4 √ ––– –16 No es posible f) 3 √ –– +8 ϭ 2 Calcula aproximando a las décimas: a) √ –––– 345 ϭ 18,57 ϭ 18,6 b) ϭ ϭ ϭ 0,80 c) √ –––– 7,32 ϭ 2,70 d) √ –––– 94 –––– 3,28 ϭ 30,7 e) √ –––– 0,0 ––– 481 ϭ 0,2 10 9 8 7 6 3–– 7 5 4 3 2 1 2,64 ϭ 32 ϭ 9 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. III Potencias y raíces Solución de las actividades 6 Matemáticas 65 7 776–– 75 ϭ ––– 16 ––– 8 ––– 07 c) ΂ 3 –– 5΃ 2 ϭ 32 9––– 5 2 = ––– 25 22 ––– √ – 7 e) ΂ 2 –– 5΃ 0 ϭ 1 b) ΂ 1 –– 3 ΃ –2 = ΂ 1 –– 3΃ 2 1 Ί4᎐ 7 1 1 ––– (Ϫ4)4 = –––– 256 1 1 –– 63 = ––– 216 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 6
  11. 11. Actividades IV Proporcionalidad MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 7 Matemáticas Expresa en forma de razón las siguientes afirma- ciones: a) 70 de cada 100 personas utilizan el transporte público para ir a trabajar. b) 16 de los 20 alumnos de una clase están apuntados a un equipo deportivo. Interpreta estas razones: a) En un equipo de fútbol, ᎏ 1 6 4 ᎏ son extranjeros. b) En una tienda de mascotas, ᎏ 3 6 2 0 ᎏ son perros. Escribe las razones inversas a las dadas: a) ᎏ 8 5 ᎏ b) ᎏ 1 2 7 4 ᎏ c) ᎏᎏ 1 9 1 ᎏ d) ᎏᎏ 3 5 7 2 ᎏ e) ᎏᎏ 33 102 ᎏ Comprueba que los siguientes pares de razones forman una proporción aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: a) ᎏ 8 5 ᎏ ϭ ᎏ 3 2 2 0 ᎏ b) ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8 4 ᎏ c) ᎏ 1 3 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ d) ᎏ 1 7 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ Calcula el valor de x: Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos litros verterá en ᎏ 3 4 ᎏ de hora? Para extraer el agua de una cisterna utilizando un cubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar- lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle- nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L. Una fuente que vierte 15 L por hora llena un depósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda- ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle- nar un depósito el doble de grande. 8 7 6 5 4 3 2 1 a) ᎏ 5 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 5 1 ᎏ b) ᎏ 2 3 5 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 x 2 ᎏ c) ᎏ 2 x 0 ᎏ ϭ ᎏ 2 1 5 0 ᎏ 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 7
  12. 12. Expresa en forma de razón las siguientes afirma- ciones: a) 70 de cada 100 personas utilizan el transporte público para ir a trabajar. b) 16 de los 20 alumnos de una clase están apuntados a un equipo deportivo. Interpreta estas razones: a) En un equipo de fútbol, ᎏ 1 6 4 ᎏ son extranjeros. b) En una tienda de mascotas, ᎏ 3 6 2 0 ᎏ son perros. Escribe las razones inversas a las dadas: Comprueba que los siguientes pares de razones forman una proporción aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: a) ᎏ 8 5 ᎏ ϭ ᎏ 3 2 2 0 ᎏ ⇒ 8 и 20 ϭ 32 и 5 ϭ 160 b) ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8 4 ᎏ ⇒ 3 и 24 ϭ 18 и 4 ϭ 72 c) ᎏ 1 3 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ ⇒ 3 и 4 ϭ 12 и 1 ϭ 12 Calcula el valor de x: Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos litros verterá en ᎏ 3 4 ᎏ de hora? La cantidad de agua y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Para extraer el agua de una cisterna utilizando un cubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar- lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle- nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L. La capacidad del cubo y el número de veces que tiene que llenarlo son magnitudes inversamente proporcionales. Una fuente que vierte 15 L por hora llena un depósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda- ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle- nar un depósito el doble de grande. El tiempo es directamente proporcional al volumen del depósito e inversamente proporcional a la cantidad de agua. 8 7 6 5 4 3 32 son perros. De cada 60 animales, 6 son extranjeros. De cada 14 jugadores, 2 ᎏᎏ 2 16 0 ᎏ ᎏ 1 7 0 0 0 ᎏ 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. IV Proporcionalidad Solución de las actividades 8 Matemáticas a) ᎏ 5 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 5 1 ᎏ x ϭ ᎏ 5 1 и 5 21 ᎏ ϭ 7 b) ᎏ 2 3 5 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 x 2 ᎏ x ϭ ᎏ 25 30 и 12 ᎏ ϭ 10 c) ᎏ 2 x 0 ᎏ ϭ ᎏ 2 1 5 0 ᎏ x ϭ ᎏ 25 1 и 0 20 ᎏ ϭ 50 ᎏ 2 15 5 ᎏ ϭᎏ 20 x 0 ᎏ ⇒ ⇒ x ϭᎏ 15 и 2 2 5 00 ᎏϭ120 veces 1 depósito ᎏ 7 h ᎏ 15 L/h 2 depósitos ᎏ x h ᎏ 17,5 L/h ᎏ 7 x ᎏ ϭ ᎏ 2 1 ᎏ и ᎏ 1 1 7 5 ,5 ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ 7 и 1 2 7,5 и 15 ᎏ ϭ 12 h · 42 L ᎏ 5 min x L ᎏ 45 min ⇒ ⇒ ⇒ x ϭᎏ 42 5 и 45 ᎏ ϭ378 L ᎏ 4 x 2 ᎏ ϭᎏ 4 5 5 ᎏ· d) ᎏ 1 7 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ ⇒ 7 и 2 ϭ 14 и 1 ϭ 14 15 L ᎏ 200 veces 25 L ᎏ x veces ⇒· a) ᎏ 8 5 ᎏ ᎏ 8 5 ᎏ b) ᎏ 1 2 7 4 ᎏ ᎏ 2 17 4 ᎏ c) ᎏ 1 9 1 ᎏ ᎏ 1 9 1 ᎏ d) ᎏ 3 5 7 2 ᎏ ᎏ 5 3 2 7 ᎏ e) ᎏ 1 3 0 3 2 ᎏ ᎏ 1 3 0 3 2 ᎏ 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 8
  13. 13. Actividades V Aplicaciones de la proporcionalidad Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno de estas expresiones: a) 6 de cada 20 b) 18 de cada 25 Calcula mentalmente: a) 25 % de 800 ϭ b) 40 % de 1500 ϭ Halla en cada caso el valor de x: a) 33 % de x ϭ 501,60 ⇒ b) 0,65 % de x ϭ 5,85 ⇒ c) 125 % de x ϭ 437,5 ⇒ Para elegir al presidente de una comunidad de vecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de los votos emitidos fue contrario al candidato elegi- do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor? Calcula el precio de estos objetos rebajados: a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento. b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento. Calcula el coste de estas facturas después de aplicarles el IVA del 16 %: a) Mudanza: 760 € b) Pintura de paredes y techos: 525 € ¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresados al 2,5 % durante 6 años? ¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % para obtener unos intereses de 600 € en 50 meses? Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo que en 7 años ha producido unos intereses de 336 €. ¿Cuántos días estuvo depositado un capital de 38 450 € al 5 % si proporcionó unos intereses de 1869 €? Se debe repartir una donación de 64 kg de patatas entre 3 familias en partes proporciona- les al número de hijos de cada una. Si tienen 3, 4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra- mos recibirá cada familia? El plano de una casa está realizado a una escala de 1:150. Averigua las dimensiones del salón- comedor si en el plano mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuál es la escala de un plano si 250 km reales están representados por 12,5 cm? 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 9 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 9
  14. 14. Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno de estas expresiones: a) 6 de cada 20 ᎏ 2 6 0 ᎏ ϭ 0,3 ⇒ 30 % b) 18 de cada 25 ᎏ 2 18 5 ᎏ ϭ 0,72 ⇒ 72 % Calcula mentalmente: a) 25 % de 800 ϭ 200 b) 40 % de 1500 ϭ 600 Halla en cada caso el valor de x: a) 33 % de x ϭ 501,60 ⇒ x ϭ 1 520 b) 0,65 % de x ϭ 5,85 ⇒ x ϭ 900 c) 125 % de x ϭ 437,5 ⇒ x ϭ 350 Para elegir al presidente de una comunidad de vecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de los votos emitidos fue contrario al candidato elegi- do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor? 100 Ϫ 36 ϭ 64; luego votó a su favor el 64 % Es decir, и 75 ϭ 48 personas Calcula el precio de estos objetos rebajados: a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento. 15 % de 450 ϭ 67,50 €. Luego el precio rebajado es de 382,50 € b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento. 12 % de 375 ϭ 45 €. Por tanto, la lavadora en rebajas cuesta 330 € Calcula el coste de estas facturas después de aplicarles el IVA del 16 %: a) Mudanza: 760 € 16 % de 760 ϭ 121,60. Factura: 881,60 € b) Pintura de paredes y techos: 525 € 16 % de 525 ϭ 84. Factura: 609 € ¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresados al 2,5 % durante 6 años? i ϭ ᎏ 3000 10 и 0 2,5 и 6 ᎏ ϭ 450 € ¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % para obtener unos intereses de 600 € en 50 meses? C ϭ ᎏ 60 3 0 ,5 и и 1 5 2 0 00 ᎏ ϭ 4114,29 € Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo que en 7 años ha producido unos intereses de 336 €. r ϭ ᎏ 3 1 3 2 6 00 и 1 и 0 7 0 ᎏ ϭ 4 % ¿Cuántos días estuvo depositado un capital de 38 450 € al 5 % si proporcionó unos intereses de 1869 €? t ϭ и ϭ 355 días Se debe repartir una donación de 64 kg de patatas entre 3 familias en partes proporciona- les al número de hijos de cada una. Si tienen 3, 4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra- mos recibirá cada familia? ᎏ 3 x ᎏ ϭ ᎏ 4 y ᎏ ϭ ᎏ 6 z ᎏ ϭ ᎏ 10 13 4 ᎏ ϭ 8 1.ª familia: x ϭ 3 и 8 ϭ 24 kg 2.ª familia: y ϭ 4 и 8 ϭ 32 kg 3.ª familia: z ϭ 6 и 8 ϭ 48 kg El plano de una casa está realizado a una escala de 1:150. Averigua las dimensiones del salón- comedor si en el plano mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho. Largo: 150 и 4 ϭ 600 cm ϭ 6 m Ancho: 150 и 3 ϭ 450 cm ϭ 4,5 m ¿Cuál es la escala de un plano si 250 km reales están representados por 12,5 cm? 250 km ϭ 25000 000 cm x ϭ ϭ 2 000 000 Luego el plano está realizado a una escala de 1:2 000 000. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE © Oxford University Press España, S. A. V Aplicaciones de la proporcionalidad Solución de las actividades 10 Matemáticas 64 100 25000 000 12,5 38 450 и 5 1 896 36 000 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 10
  15. 15. Actividades VI Expresiones algebraicas Expresa algebraicamente: a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo que es 3 años menor que Raúl, que tiene x años. b) El precio inicial de unas zapatillas deporti- vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salen por x euros. Escribe el enunciado de estas expresiones alge- braicas: a) 3x2 Ϫ x b) 5 и (x ϩ y)2 Reduce términos semejantes: a) 4x2 ϩ 2x3 Ϫ 5x2 ϩ 7x3 Ϫ x ϭ b) z2 ϩ 3z Ϫ ᎏ z 3 2 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 z ᎏ ϭ Calcula los siguientes productos: a) 4x2 и (2x)2 ϭ b) 3xy2 и 5x2 y ϭ c) ᎏ 3 x ᎏ и ᎏ x 4 y2 ᎏ ϭ Realiza las siguientes operaciones: P(x) ϭ x3 Ϫ 2x ϩ 5 Q(x) ϭ 3x3 Ϫ 6x2 ϩ 4x Ϫ 8 R(x) ϭ 7x3 Ϫ 4x2 ϩ x Ϫ 3 a) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ b) ϪQ(x) ϪP(x) ϭ c) Q(x) Ϫ R(x) ϭ d) R(x) Ϫ P(x) ϭ e) R(x) Ϫ Q(x) ϩ P(x) ϭ Calcula los siguientes productos: a) (x2 ϩ 3x) и (x Ϫ 2x3 ) ϭ b) 5x2 и (3x2 Ϫ 4x ϩ 5) ϭ c) (2x4 ϩ 6x3 Ϫ 4x2 Ϫ x) и ᎏ 2 x ᎏ ϭ d) (3x3 Ϫ 4x2 ) и (2x2 Ϫ 5x ϩ 4) ϭ e) (2x3 ϩ 3x2 Ϫ x ϩ 4) и (x Ϫ 2) ϭ Aplica los productos notables: a) (2x ϩ 3y) и (2x Ϫ 3y) ϭ b) (5x ϩ 6y)2 ϭ c) ΂ᎏ 2 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 y ᎏ ΃ 2 ϭ Opera y reduce: a) 3x и (x Ϫ 2) ϩ 4 и (x2 ϩ 6x) ϭ b) (2x2 Ϫ 3x) и x Ϫ 2x и (x ϩ 3x3 ) ϭ c) 2x2 и (x2 Ϫ 3x) ϩ 3x и (x Ϫ 2) ϭ d) x3 и (2x ϩ 2x2 ) Ϫ x2 и (2x3 Ϫ 2x) ϭ Saca factor común: a) 3x3 Ϫ ᎏ x 3 2 ᎏ ϩ 6x ϭ b) 2x2 y ϩ 4xy2 Ϫ x2 y2 ϭ c) 4x3 y2 Ϫ 12x2 y3 ϩ 8x2 y2 ϭ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 11 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 11
  16. 16. Expresa algebraicamente: a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo que es 3 años menor que Raúl, que tiene x años. Edad de Eva: x Ϫ 3 ϩ 5 b) El precio inicial de unas zapatillas deporti- vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salen por x euros. Precio inicial: Escribe el enunciado de estas expresiones alge- braicas: a) 3x2 Ϫ x El triple del cuadrado de un número menos ese mismo número. b) 5 и (x ϩ y)2 Cinco veces el cuadrado de la suma de dos números. Reduce términos semejantes: a) 4x2 ϩ 2x3 Ϫ 5x2 ϩ 7x3 Ϫ x ϭ Ϫx2 ϩ 9x3 Ϫ x b) z2 ϩ 3z Ϫ ᎏ z 3 2 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 z ᎏ ϭ ᎏ 2 3 z2 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 1z ᎏ Calcula los siguientes productos: a) 4x2 и (2x)2 ϭ 4x2 и 4x2 ϭ 16x4 b) 3xy2 и 5x2 y ϭ 15x3 y3 c) ᎏ 3 x ᎏ и ᎏ x 4 y2 ᎏ ϭ ᎏ x 1 2 2 y2 ᎏ Realiza las siguientes operaciones: P(x) ϭ x3 Ϫ 2x ϩ 5 Q(x) ϭ 3x3 Ϫ 6x2 ϩ 4x Ϫ 8 R(x) ϭ 7x3 Ϫ 4x2 ϩ x Ϫ 3 a) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ 11x3 Ϫ10x2 ϩ3xϪ6 b) ϪQ(x) ϪP(x) ϭ Ϫ4x3 ϩ6x2 Ϫ2xϩ3 c) Q(x) Ϫ R(x) ϭϪ4x3 Ϫ 2x2 ϩ 3x Ϫ 5 d) R(x) Ϫ P(x) ϭ 6x3 Ϫ 4x2 ϩ 3x Ϫ 8 e) R(x) Ϫ Q(x) ϩ P(x) ϭ 5x3 ϩ 2x2 Ϫ 5x ϩ 10 Calcula los siguientes productos: a) (x2 ϩ 3x) и (x Ϫ 2x3 ) ϭ ϭ x3 ϩ 3x2 Ϫ 2x5 Ϫ 6x4 b) 5x2 и (3x2 Ϫ 4x ϩ 5) ϭ ϭ 15x4 Ϫ 20x3 ϩ 25x2 c) (2x4 ϩ 6x3 Ϫ 4x2 Ϫ x) и ᎏ 2 x ᎏ ϭ ϭ x5 ϩ 3x4 Ϫ 2x3 Ϫ ᎏ x 2 2 ᎏ d) (3x3 Ϫ 4x2 ) и (2x2 Ϫ 5x ϩ 4) ϭ ϭ 6x5 Ϫ 15x4 ϩ 12x3 Ϫ 8x4 ϩ 20x3 Ϫ Ϫ 16x2 ϭ 6x5 Ϫ23x4 ϩ 32x3 Ϫ 16x2 e) (2x3 ϩ 3x2 Ϫ x ϩ 4) и (x Ϫ 2) ϭ ϭ 2x4 ϩ 3x3 Ϫ x2 ϩ 4x Ϫ 4x3 Ϫ Ϫ 6x2 ϩ 2x Ϫ 8 ϭ 2x4 Ϫ x3 Ϫ 7x2 ϩ ϩ 6x Ϫ 8 Aplica los productos notables: a) (2x ϩ 3y) и (2x Ϫ 3y) ϭ 4x2 Ϫ 9y2 b) (5x ϩ 6y)2 ϭ 25x2 ϩ 60xy ϩ 36y2 c) ΂ᎏ 2 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 y ᎏ ΃ 2 ϭ ᎏ x 4 2 ᎏ Ϫ ᎏ x 3 y ᎏ ϩ ᎏ y 9 2 ᎏ Opera y reduce: a) 3x и (x Ϫ 2) ϩ 4 и (x2 ϩ 6x) ϭ ϭ 3x2 Ϫ 6x ϩ 4x2 ϩ 24x ϭ 7x2 ϩ 18x b) (2x2 Ϫ 3x) и x Ϫ 2x и (x ϩ 3x3 ) ϭ ϭ 2x3 Ϫ 3x2 Ϫ 2x2 Ϫ 6x4 ϭ ϭ 2x3 Ϫ 5x2 Ϫ 6x4 c) 2x2 и (x2 Ϫ 3x) ϩ 3x и (x Ϫ 2) ϭ ϭ 2x4 Ϫ 6x3 ϩ 3x2 Ϫ 6x d) x3 и (2x ϩ 2x2 ) Ϫ x2 и (2x3 Ϫ 2x) ϭ ϭ 2x4 ϩ 2x5 Ϫ 2x5 ϩ 2x3 ϭ 2x4 ϩ 2x3 Saca factor común: a) 3x3 Ϫ ᎏ x 3 2 ᎏ ϩ 6x ϭ x и (3x2 Ϫ ᎏ 3 x ᎏ ϩ 6) b) 2x2 y ϩ 4xy2 Ϫ x2 y2 ϭ xy и (2x ϩ 4y Ϫ xy) c) 4x3 y2 Ϫ 12x2 y3 ϩ 8x2 y2 ϭ ϭ 4x2 y2 и (x Ϫ 3y ϩ 2) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. VI Expresiones algebraicas Solución de las actividades 12 Matemáticas x 0,85 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 12
  17. 17. Actividades VII Ecuaciones Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro- puestas: a) x ϩ 5 ϭ 7 Ϫ 2x b) 4 и (2x Ϫ 3) ϭ 10 Comprueba cuál de los valores propuestos es solución de la ecuación: a) Ϫ2x ϩ 1 ϭ 7; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3; x ϭ Ϫ2 b) 6 ϩ 4x ϭ Ϫ6; x ϭ Ϫ1; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3 Encuentra una solución para las siguientes ecuaciones: a) 5 Ϫ x ϭ 3 ⇒ b) 3x Ϫ 4 ϭ 11 ⇒ c) 8 ϭ 2x ϩ 4 ⇒ Resuelve estas ecuaciones: a) (x Ϫ 2) и 4 ϭ 5x ϩ 8 b) 3 и (3x ϩ 2) Ϫ 4x ϭ (2x Ϫ 4) и 2 ϩ 3x c) 5x ϩ 2 и (2x Ϫ 1) ϭ 3x ϩ 4 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) 2x ϩ ᎏ 3 5 ᎏ ϭ ᎏ 7 2 ᎏ b) ᎏ 2x 3 ϩ 4 ᎏ ϩ ᎏ 3 2 x ᎏ ϭ 8 Resuelve las ecuaciones de segundo grado: a) 3x2 ϭ 48 b) x2 Ϫ 12x ϭ 0 c) 4x2 ϩ 45 ϭ Ϫx2 d) 7x2 Ϫ 14x ϭ 0 e) x2 Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0 f) 3x2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0 El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene- dores de recogida de vidrio de dos barrios de la ciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene- dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo- res hay en cada barrio? El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Si uno de los lados es 10 cm mayor que el otro, calcula la longitud de los lados del rectángulo. 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 13 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 13
  18. 18. Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro- puestas: a) x ϩ 5 ϭ 7 Ϫ 2x b) 4 и (2x Ϫ 3) ϭ 10 Comprueba cuál de los valores propuestos es solución de la ecuación: a) Ϫ2x ϩ 1 ϭ 7; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3; x ϭ Ϫ2 x ϭ Ϫ3 b) 6 ϩ 4x ϭ Ϫ6; x ϭ Ϫ1; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3 x ϭ Ϫ3 Encuentra una solución para las siguientes ecuaciones: a) 5 Ϫ x ϭ 3 ⇒ x ϭ 2 b) 3x Ϫ 4 ϭ 11 ⇒ c) 8 ϭ 2x ϩ 4 ⇒ x ϭ 2 Resuelve estas ecuaciones: a) (x Ϫ 2) и 4 ϭ 5x ϩ 8 4x Ϫ 8 ϭ 5x ϩ 8 ⇒ x ϭ Ϫ16 b) 3 и (3x ϩ 2) Ϫ 4x ϭ (2x Ϫ 4) и 2 ϩ 3x 9x ϩ 6 Ϫ 4x ϭ 4x Ϫ 8 ϩ 3x ⇒ ⇒ 14 ϭ 2x ⇒ x ϭ 7 c) 5x ϩ 2 и (2x Ϫ 1) ϭ 3x ϩ 4 5x ϩ 4x Ϫ 2 ϭ 3x ϩ 4 ⇒ ⇒ 6x ϭ 6 ⇒ x ϭ 1 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) 2x ϩ ᎏ 3 5 ᎏ ϭ ᎏ 7 2 ᎏ 20x ϩ 6 ϭ 35 ⇒ 20x ϭ 29 ⇒ b) ᎏ 2x 3 ϩ 4 ᎏ ϩ ᎏ 3 2 x ᎏ ϭ 8 4x ϩ 8 ϩ 9x ϭ 48 ⇒ 13x ϭ 40 ⇒ Resuelve las ecuaciones de segundo grado: a) 3x2 ϭ 48 b) x2 Ϫ 12x ϭ 0 x и (x Ϫ 12) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 y x ϭ 12 c) 4x2 ϩ 45 ϭ Ϫx2 5x2 ϩ 45 ϭ 0 ⇒ x2 ϭ Ϫ9 No tiene solución. d) 7x2 Ϫ 14x ϭ 0 7x и (x Ϫ 2) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 y x ϭ 2 e) x2 Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0 f) 3x2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0 El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene- dores de recogida de vidrio de dos barrios de la ciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene- dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo- res hay en cada barrio? Llamamos x al número de contenedores de un barrio, luego en el otro habrá x ϩ 5. x ϩ x ϩ 5 ϭ 45 ⇒ 2x ϭ 40 ⇒ x ϭ 20 En uno de los barrios hay 20 contenedores, y en el otro, 25. El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Si uno de los lados es 10 cm mayor que el otro, calcula la longitud de los lados del rectángulo. Llamamos x al lado menor, luego el otro lado medirá x ϩ 10. P ϭ 2x ϩ 2 и (x ϩ 10) ϭ 60 ⇒ ⇒ 4x ϩ 20 ϭ 60 ⇒ 4x ϭ 40 ⇒ x ϭ 10 Los lados miden 10 cm y 20 cm. 8 7 ⇒ x ϭ ᎏ 3 1 ᎏ y x ϭ Ϫ2 x ϭ ᎏ Ϫ5 Ϯ͙ 6 25 ϩෆ24ෆ ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ 1 Ϯ͙ 2 1 ϩ 48ෆ ᎏ ⇒ x ϭ 4 y x ϭ Ϫ3 x2 ϭ ᎏ 4 3 8 ᎏ ϭ 16 ⇒ x ϭ 4 y x ϭ Ϫ4 6 ⇒ x ϭ ᎏ 4 13 0 ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ 2 2 0 9 ᎏ 5 4 x ϭ 5 3 2 RESPUESTA ABIERTA RESPUESTA ABIERTA 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. VII Ecuaciones Solución de las actividades 14 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 14
  19. 19. Actividades VIII Sistemas de ecuaciones Expresa en la forma general las siguientes ecua- ciones: a) 5 Ϫ 2y ϩ 4x ϭ 0 b) 3y ϩ 6 ϭ 2x Encuentra tres soluciones para cada una de estas ecuaciones: a) x Ϫ 3y ϭ 6 b) 2y Ϫ 3x ϭ Ϫ4 Expresa mediante una ecuación con dos incóg- nitas las siguientes afirmaciones: a) La suma de dos números menos su diferen- cia es igual a 10. b) La mitad del producto de dos números es 120. Comprueba cuál de estas parejas de valores son solución de las ecuaciones propuestas: 1) x ϭ Ϫ1, y ϭ Ϫ2 2) x ϭ Ϫ3, y ϭ 1 3) x ϭ 1, y ϭ 0 a) 2x ϩ 5y ϭ Ϫ1 b) Ϫ7y ϩ x ϭ 13 c) 6y Ϫ 4x ϩ 4 ϭ 0 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de sustitución: a) 3x Ϫ y ϭ 5 ⇒ 5x ϩ 3y ϭ 13·⇒ b) 4x Ϫ 2y ϭ 6 ⇒ 4x ϩ y ϭ 9·⇒ Encuentra las soluciones de estos sistemas de ecuaciones, empleando el método de reduc- ción: a) 2xϪ4yϭ10 ⇒ 4xϩ2yϭ15 · ⇒ 40 b) 3xϩ5yϭ21 ⇒Ϫ 2xϩ4yϭ16 ·⇒ En un garaje hay motos de dos cilindros y coches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin- dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay en el garaje? Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas un agricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg de arroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €, ¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de los productos que vende el agricultor? 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 15 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 15
  20. 20. Expresa en la forma general las siguientes ecua- ciones: a) 5 Ϫ 2y ϩ 4x ϭ 0 4x Ϫ 2y ϭ Ϫ5 b) 3y ϩ 6 ϭ 2x 2x Ϫ 3y ϭ 6 Encuentra tres soluciones para cada una de estas ecuaciones: a) x Ϫ 3y ϭ 6 RESPUESTA ABIERTA b) 2y Ϫ 3x ϭ Ϫ4 RESPUESTA ABIERTA Expresa mediante una ecuación con dos incóg- nitas las siguientes afirmaciones: a) La suma de dos números menos su diferen- cia es igual a 10. (x ϩ y) Ϫ (x Ϫ y) ϭ 10 b) La mitad del producto de dos números es 120. Comprueba cuál de estas parejas de valores son solución de las ecuaciones propuestas: 1) x ϭ Ϫ1, y ϭ Ϫ2 2) x ϭ Ϫ3, y ϭ 1 3) x ϭ 1, y ϭ 0 a) 2x ϩ 5y ϭ Ϫ1 La solución 2 b) Ϫ7y ϩ x ϭ 13 La solución 1 c) 6y Ϫ 4x ϩ 4 ϭ 0 La solución 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de sustitución: a) 3x Ϫ y ϭ 5 ⇒yϭ3xϪ5 5x ϩ 3y ϭ 13·⇒5xϩ3и(3xϪ5)ϭ13· ⇒ 5x ϩ 9x Ϫ 15 ϭ 13 ⇒ x ϭ 2 ⇒ y ϭ 3 и 2 Ϫ 5 ⇒ y ϭ 1 b) 4x Ϫ 2y ϭ 6 ⇒yϭ9Ϫ4x 4x ϩ y ϭ 9·⇒4xϪ2и(9Ϫ4x)ϭ6· ⇒ 4x Ϫ 18 ϩ 8x ϭ 6 ⇒ x ϭ 2 ⇒ y ϭ 9 Ϫ 4 и 2 ⇒ y ϭ 1 Encuentra las soluciones de estos sistemas de ecuaciones, empleando el método de reduc- ción: a) 2xϪ4yϭ10 ⇒2xϪ4yϭ10 4xϩ2yϭ15 · ⇒8xϩ4yϭ30 10x ϭ 40 · ⇒ x ϭ 4 ⇒ y ϭ Ϫᎏ 2 1 ᎏ b) 3xϩ5yϭ21 ⇒Ϫ6xϩ10y ϭ42 2xϩ4yϭ16 ·⇒Ϫ6xϪ12y ϭϪ48 Ϫ2yϭϪ6 · ⇒ y ϭ 3 ⇒ x ϭ 2 En un garaje hay motos de dos cilindros y coches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin- dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay en el garaje? Llamamos x al número de motos e y al número de coches. 2xϩ6yϭ80 ⇒ 2xϩ6yϭ 80 2xϩ4yϭ58·⇒Ϫ2xϪ4yϭϪ58 · 2yϭ22⇒ y ϭ 11 ⇒ x ϭ 7 Por tanto, hay 7 motos y 11 coches. Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas un agricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg de arroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €, ¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de los productos que vende el agricultor? Llamamos x al precio del arroz e y al de lentejas. 3x ϩ6y ϭ 9,75 ⇒ x ϩ 3y ϭ 4 ·⇒ ⇒ x ϭ 4 Ϫ 3y ⇒ 3(4 Ϫ 3y) ϩ 6y ϭ9,75 ⇒ y ϭ 0,75 ⇒ x ϭ 1,75 Luego el kilogramo de arroz cuesta 1,75 €, y el de lentejas, 0,75 €. 8 7 6 5 4 ᎏ x 2 и y ᎏ ϭ 120 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. VIII Sistemas de ecuaciones Solución de las actividades 16 Matemáticas ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2yϭ 22 40 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 16
  21. 21. Actividades IX Funciones La relación entre el radio de una circunferencia y su longitud es una función. Indica cuál es la variable independiente, la variable dependien- te y expresa algebraicamente la función. Realiza una tabla de valores de la función de la actividad anterior y represéntala gráficamente. Calcula el valor de f ( –3), f(4) y f ΂ 1 –– 2 ΃para las siguientes funciones: a) f(x) ϭ ––––– 2x + 3 ––––– 3 ⇒ b) f(x) ϭ 4 ––––– x + 2 ⇒ c) f(x)ϭ 3x2 Ϫ 4 ⇒ Halla los puntos de corte con los ejes de coor- denadas de la función y ϭ x2 – x – 6 Representa gráficamente la función de la activi- dad anterior e indica las zonas de crecimiento y decrecimiento, así como los puntos máximos y mínimos. Indica los valores de la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones. Luego represéntalas en los ejes de coordenadas. a) y ϭ 4x – 2 b) y ϭ –3x + 1 c) y ϭ 1 –– 2 x + 3 ¿Qué tipo de funciones son las de la actividad anterior? ¿Cómo es su representación gráfica? 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 17 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 17
  22. 22. IX Funciones Indica dos magnitudes que se relacionen mediante una función lineal. Analiza la siguiente gráfica. Representa la función y ϭ Halla los valores que toma la función y ϭ Ϫx2 + 4 para los siguientes valores de x: a) x ϭ Ϫ3 y ϭ b) x ϭ 4 y ϭ c) x ϭ Ϫ6 y ϭ d) x ϭ 1 –– 2 y ϭ En las siguientes funciones señala la ordenada en el origen y la pendiente. a) y ϭ x ϩ 1 –– 3 b) y ϭ Ϫ2x c) y ϭ 15 x – 10 d) y ϭ – 2 –– 5 x Representa la función y ϭ . ¿Qué tipo de función es? ¿Cómo se llama su gráfica? 13 12 11 10 9 8 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. Actividades 18 Matemáticas 5 x + 1 3 2x 8 6 4 2 -2 -4 -6 -2-4-6 642 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 31/7/07 10:36 Página 18
  23. 23. Solución de las actividades La relación entre el radio de una circunferencia y su longitud es una función. Indica cuál es la variable independiente, la variable dependien- te y expresa algebraicamente la función. La variable independiente es el radio y la variable dependiente es la longitud de la circunferencia: y ϭ 2␲x Realiza una tabla de valores de la función de la actividad anterior y represéntala gráficamente. Calcula el valor de f ( –3), f(4) y f ΂ 1 –– 2 ΃para las siguientes funciones: a) f(x) ϭ ––––– 2x + 3 ––––– 3 ⇒ f(Ϫ3) ϭ Ϫ1, f(4) ϭ 11 ––– 3 , f ΂ 1 –– 2 ΃ϭ 4 –– 3 b) f(x) ϭ 4 ––––– x + 2 ⇒ f (Ϫ3) ϭ Ϫ4, f (4)ϭ 2 –– 3 , f ΂ 1 –– 2 ΃ϭ 8 –– 5 c) f(x)ϭ 3x2 Ϫ 4 ⇒ f (Ϫ3) ϭ 23, f (4) ϭ 44, f ΂ 1 –– 2 ΃ϭ Ϫ 13 ––– 4 Halla los puntos de corte con los ejes de coor- denadas de la función y ϭ x2 – x – 6 Corte con el eje X : y ϭ 0 x ϭ 3 y x ϭϪ2 Corte con el eje Y : x ϭ 0 y ϭϪ6 Cortaalosejesen:(3,0),(Ϫ2,0)y(0,6) Representa gráficamente la función de la acti- vidad anterior e indica las zonas de crecimien- to y decrecimiento, así como los puntos máxi- mos y mínimos. La función es decreciente hasta x ϭ 1 –– 2 y creciente en el resto. Presenta un mínimo en el punto Ϫ 25 ––– 4 . Indica los valores de la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones. Luego represéntalas en los ejes de coordenadas. a) y ϭ 4x – 2 Pendiente 4, ordenada en el origen Ϫ2. b) y ϭ –3x + 1 Pendiente Ϫ3, ordenada en el origen 1. c) y ϭ 1 –– 2 x + 3 Pendiente 1 –– 2 , ordenada en el origen 3. ¿Qué tipo de funciones son las de la actividad anterior? ¿Cómo es su representación gráfica? Son funciones afines. Sus representaciones gráficas son rectas. 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. IX Funciones 19 Matemáticas 20 18 16 14 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 x 0 1 2 3 y 0 6,28 12,56 18,84 1 4O 1 2 Y X 2 3 4 3Ϫ2Ϫ4 Ϫ2 Ϫ3 Ϫ4 Ϫ5 Ϫ6 X Y O 1 2Ϫ6Ϫ5Ϫ4 1 Ϫ2 2 3 Ϫ3 Ϫ3Ϫ2 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 19
  24. 24. Indica dos magnitudes que se relacionen mediante una función lineal. Respuesta libre. Analiza la siguiente gráfica. Corta al eje de abcisas en el punto (Ϫ4, 0) y al eje de ordenadas en el punto (0, 2). Presenta un máximo en el punto (Ϫ2,5, 9) y un mínimo en el punto (0, 2). Es creciente hasta el punto (Ϫ2,5, 9) y desde el punto (0, 2), y es decreciente entre estos dos puntos. Representa la función y ϭ Halla los valores que toma la función y ϭ Ϫx2 + 4 para los siguientes valores de x: a) x ϭ Ϫ3 y ϭ Ϫ9 ϩ 4 ϭ Ϫ5 b) x ϭ 4 y ϭ Ϫ16 ϩ4 ϭ Ϫ12 c) x ϭ Ϫ6 y ϭ Ϫ36 ϩ 4 ϭ Ϫ32 d) x ϭ 1 –– 2 y ϭ Ϫ ϩ 4 ϭ En las siguientes funciones señala la ordenada en el origen y la pendiente. a) y ϭ x ϩ 1 –– 3 Pendiente 1 y ordenada en el origen 1 –– 3 b) y ϭ Ϫ2x Pendiente Ϫ2 y ordenada en el origen 0 c) y ϭ 15 x – 10 Pendiente 15 y ordenada en el origen Ϫ10 d) y ϭ – 2 –– 5 x Pendiente Ϫ 2 –– 5 y ordenada en el origen 0 Representa la función y ϭ . ¿Qué tipo de función es? ¿Cómo se llama su gráfica? Es una función de proporcionalidad inversa, y su gráfica es una hipérbola. 13 12 11 10 9 8 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. IX Funciones Solución de las actividades 20 Matemáticas 8 6 4 2 -2 -4 -6 -2-4-6 642 2 X Y O 4 6Ϫ8Ϫ6Ϫ4 Ϫ4 Ϫ6 Ϫ8 2 4 6 Ϫ10 Ϫ10 8 8 8 6 4 2 -4 -6 642 8 10 -8 -2 -2-4-6-8 x Ϫ11 Ϫ6 0 4 y Ϫ Ϫ1 5 1 9 x Ϫ3 Ϫ Ϫ Ϫ y Ϫ Ϫ3 Ϫ 3Ϫ Ϫ3 5 x + 1 1 2 3 2x 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 4 15 4 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 16/7/07 09:49 Página 20
  25. 25. Actividades X La medida del tiempo y de los ángulos Expresa en minutos: a) 59º ϭ b) 16 h ϭ c) 22,43 h ϭ Expresa en forma compleja: a) 829 s ϭ b) 128,81Ј ϭ c) 2 568,29 min ϭ Expresa en la unidad indicada: a) En minutos 3 h 29 min 48 s ϭ b) En horas 48 min 15 s ϭ c) En segundos 2 h 25 min 17 s ϭ d) En minutos 213º 38Ј 29ЈЈ ϭ Calcula las sumas y diferencias: a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s ϭ b) 73º 39Ј 52ЈЈ + 102º 27Ј 31’’ ϭ c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s ϭ d) 153º 28Ј 12ЈЈ – 74º 32Ј 43ЈЈϭ Calcula los productos y cocientes: a) (7º 12Ј 34ЈЈ) · 18 ϭ b) (15 h 31 min 42 s) : 6 ϭ c) (22 h 24 min 17 s) · 9 ϭ d) (208º 33Ј 47ЈЈ) : 11 ϭ Calcula y expresa en grados: (132º 51Ј 18ЈЈ) : 4 ϭ Uno de los ángulos de un trapecio isósceles mide 132º 45Ј 28ЈЈ. Dibuja la figura y averigua la medida de la amplitud de los otros ángulos. Ana y su madre salen en avión, desde Frank- furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan a la ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día 15 de junio a las 16 h 40 min hora local. Sabiendo que entre las dos ciudades hay una diferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿qué hora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura- do el vuelo? Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió de Barcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, y después de hacer varias escalas llegó a Valencia el día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán- tos días horas y minutos duró el crucero? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 21 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 21
  26. 26. Expresa en minutos: a) 59º ϭ 3 540Ј b) 16 h ϭ 960 min c) 22,43 h ϭ 1 345,8 min Expresa en forma compleja: a) 829 s ϭ 13 min 49 s b) 128,81Ј ϭ 2º 8Ј 48,6ЈЈ c) 2 568,29 min ϭ 42 h 48 min 17,4 s Expresa en la unidad indicada: a) En minutos 3 h 29 min 48 s ϭ 209,8 min b) En horas 48 min 15 s ϭ 0,804 16 h c) En segundos 2 h 25 min 17 s ϭ 8 717 s d) En minutos 213º 38Ј 29ЈЈ ϭ 12 818,483Ј Calcula las sumas y diferencias: a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s ϭ ϭ 1 h 55 min 45 s b) 73º 39Ј 52ЈЈ + 102º 27Ј 31’’ ϭ 176º 7Ј 23ЈЈ c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s ϭ ϭ 64 h 29 min 5 s d) 153º 28Ј 12ЈЈ – 74º 32Ј 43ЈЈϭ 78º55Ј 29ЈЈ Calcula los productos y cocientes: a) (7º 12Ј 34ЈЈ) · 18 ϭ 129º 46Ј 12ЈЈ b) (15 h 31 min 42 s) : 6 ϭ 2 h 35 min 17 s c) (22 h 24 min 17 s) · 9 ϭ 201 h 38 min 33 s d) (208º 33Ј 47ЈЈ) : 11 ϭ 18º 57Ј 37ЈЈ Calcula y expresa en grados: (132º 51Ј 18ЈЈ) : 4 ϭ 33º 12Ј 49,5ЈЈ ϭ ϭ 33,213 75º Uno de los ángulos de un trapecio isósceles mide 132º 45Ј 28ЈЈ. Dibuja la figura y averigua la medida de la amplitud de los otros ángulos. En un trapecio isósceles los lados son iguales dos a dos, luego: A^ ϭ B^ ϭ 132º 45Ј 28ЈЈ La suma de los ángulos es igual a 360º 360º Ϫ 2 · (132º 45Ј 28ЈЈ)ϭ94º29Ј3ЈЈ C^ ϭ D^ ϭ ϭ 47º 14Ј 31,5ЈЈ Ana y su madre salen en avión, desde Frank- furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan a la ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día 15 de junio a las 16 h 40 min hora local. Sabiendo que entre las dos ciudades hay una diferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿qué hora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura- do el vuelo? El reloj de Ana marcará: 16 h 40 min Ϫ 6 h ϭ 10 h 40 min La duración del vuelo será: 24 h Ϫ 22 h 35 min ϭ 2 h 25 min 10 h 40 min ϩ 2 h 25 min ϭ 13 h 5 min Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió de Barcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, y después de hacer varias escalas llegó a Valencia el día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán- tos días horas y minutos duró el crucero? Días de agosto: 31 Ϫ 23 ϭ 8. Días de septiembre, 5. Total: 8 ϩ 5 ϭ 13 días. Horas del 23 de agosto: 3 h 30 min. Horas del 6 de septiembre: 11 h 45 min. Total horas: 15 h 15 min. Duración del crucero: 13 días 15 h 15 min. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. X La medida del tiempo y de los ángulos Solución de las actividades 22 Matemáticas A B DC 94º 29Ј 3ЈЈ 2 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 22
  27. 27. Actividades XI Semejanza MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 23 Matemáticas O A B D C Construye y calcula el segmento cuarto propor- cional a los tres dados: a) m ϭ 2 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm b) m ϭ 5 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm Observa la siguiente figura y completa las pro- porciones indicadas: a) AC ––– AE ϭ b) AE ––– CE ϭ c) CE ––– AC ϭ De dos segmentos proporcionales cuya razón es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá- les pueden ser las medidas del otro. Indica si los siguientes pares de triángulos son, o no semejantes: a) AB ϭ 3 cm, AC ϭ 9 cm y CB ϭ 5 cm AЈBЈϭ 5 cm, AЈCЈϭ 13 cm y CЈBЈϭ 7 cm b) AB ϭ 6 cm, AC ϭ 3 cm y CB ϭ 15 cm AЈBЈ ϭ 2 cm, AЈCЈ ϭ 1 cm y BЈCЈϭ 5 cm Construye un polígono semejante al dado des- de un punto exterior con razón de semejanza 2. ¿Qué relación tienen entre sí OA y OAЈ, OB y BBЈ, OC y CCЈ, OD y DDЈ? En el plano que llevamos a la excursión la esca- la es de 1:500. a) Dibuja una escala gráfica que la represente. b) Calcula los kilómetros recorridos si en el plano la distancia es de 12 cm. c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan- cia de dos puntos que en la realidad distan 12 km entre sí? Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º y otro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme- jantes? Razona la respuesta. Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados miden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm. ¿Son semejantes? 8 7 6 5 4 3 2 1 B D F A C E 3 5 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 23
  28. 28. 3 cm 5 cm 4 cm x Construye y calcula el segmento cuarto propor- cional a los tres dados: a) m ϭ 2 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm 2 –– 3 ϭ 4 –– x x ϭ 6 cm b) m ϭ 5 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm 5 –– 3 ϭ 4 –– x x ϭ 2,4 cm Observa la siguiente figura y completa las pro- porciones indicadas: a) AC ––– AE ϭ BD ––– BF b) AE ––– CE ϭ BF ––– DF c) CE ––– AC ϭ DF ––– DB De dos segmentos proporcionales cuya razón es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá- les pueden ser las medidas del otro. 3 –– 5 ϭ 21 ––– x ; x ϭ 35 cm 3 –– 5 ϭ y ––– 21 ; y ϭ 12,6 cm Indica si los siguientes pares de triángulos son, o no semejantes: a) AB ϭ 3 cm, AC ϭ 9 cm y CB ϭ 5 cm AЈBЈϭ 5 cm, AЈCЈϭ 13 cm y CЈBЈϭ 7 cm No son semejantes, porque: 3 –– 5 9 ––– 13 5 –– 7 b) AB ϭ 6 cm, AC ϭ 3 cm y CB ϭ 15 cm AЈBЈ ϭ 2 cm, AЈCЈ ϭ 1 cm y BЈCЈϭ 5 cm Sí son semejantes, porque: 6 –– 2 ϭ 3 –– 1 ϭ 15 –– 5 Construye un polígono semejante al dado des- de un punto exterior con razón de semejanza 2. ¿Qué relación tienen entre sí OA y OAЈ, OB y BBЈ, OC y CCЈ, OD y DDЈ? OA ϭ AAЈ , OB ϭ BBЈ, OC ϭ CCЈ, OD ϭ DDЈ En el plano que llevamos a la excursión la esca- la es de 1:500. a) Dibuja una escala gráfica que la represente. b) Calcula los kilómetros recorridos si en el plano la distancia es de 12 cm. Distancia: 500 · 12ϭ6000 cm ϭ ϭ 6 km c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan- cia de dos puntos que en la realidad distan 12 km entre sí? 12 000 : 500 ϭ 24 cm Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º y otro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme- jantes? Razona la respuesta. 1.er triángulo: 180 Ϫ (73 ϩ 58) ϭ 49 2.º triángulo: 180 Ϫ (73 ϩ 49) ϭ 58 Los dos triángulos son semejantes por tener los ángulos respectivamente iguales. Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados miden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm. ¿Son semejantes? Sí, son semejantes, por tener un ángulo igual y los lados que lo comprenden proporcionales. 18 ––– 24 ϭ 3 –– 4 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XI Semejanza Solución de las actividades 24 Matemáticas 3 cm 2 cm 4 cm x B D F A C E O A D C A’ D’ C’ B B’ 3 5 0 2 km 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 24
  29. 29. Actividades XII Triángulos rectángulos MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 25 Matemáticas La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós- celes mide 54 cm. Calcula los catetos. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula: a) El otro cateto. b) El área. Comprueba en cada caso si los números dados forman una terna pitagórica: a) 5, 12, 13. b) 6, 7, 10. c) 8, 16, 17. d) 7, 24, 25. El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula: a) Su diagonal. b) Su perímetro. c) Su área. El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. Calcula: a) La altura. b) El perímetro. c) El área. El lado de un hexágono regular mide 26 cm. Calcula: a) Su apotema. b) Su perímetro. c) Su área. Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y 16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula: a) La medida de los lados oblicuos. b) El perímetro. c) El área. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20 cm. Calcula: a) La hipotenusa. b) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. c) La altura correspondiente a la hipotenusa. d) Su área. Las proyecciones de los catetos sobre la hipote- nusa de un triángulo rectángulo miden 12 y 15 cm. Calcula: a) Los lados del triángulo. b) La altura correspondiente a la hipotenusa. c) El área del triángulo formado por el cateto de 18 cm, su proyección sobre la hipotenusa y la altura: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 25
  30. 30. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós- celes mide 54 cm. Calcula los catetos. Por ser isósceles los catetos son iguales. 542 ϭ 2 c2 ⇒ c ϭ 38,18 cm La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula: a) El otro cateto. C2 ϭ 452 Ϫ 362 ϭ 729 ⇒ c ϭ 27 cm b) El área. S ϭ c · cЈ ϭ 36 · 27 ϭ486 cm2 Comprueba en cada caso si los números dados forman una terna pitagórica: a) 5, 12, 13. Sí, porque: 132 ϭ122 ϩ52 b) 6, 7, 10. No, porque: 102 72 ϩ62 c) 8, 16, 17. No, porque: 172 162 ϩ82 d) 7, 24, 25. Sí, porque: 252 ϭ242 ϩ72 El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula: a) Su diagonal. D2 ϭ2 I2 ϭ1 152 ⇒ D ϭ33,94 cm b) Su perímetro. P ϭ4l ϭ96 cm. c) Su área. S ϭI2 ϭ576 cm2 El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. Calcula: a) La altura. aϭ l2 Ϫ ϭ 122 Ϫ62 ϭ10,39cm b) El perímetro. P ϭ3lϭ36 cm. c) El área. Sϭl· ϭ ϭ ϭ62,34cm2 El lado de un hexágono regular mide 26 cm. Calcula: a) Su apotema. A2 ϭl2 Ϫ ϭ507⇒ l ϭ 22,51cm b) Su perímetro. P ϭ6 · l ϭ156 cm c) Su área. S ϭP · a –– 2 ϭ1 755,78 cm2 , Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y 16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula: a) La medida de los lados oblicuos. ϭ 3 cm l2 ϭ 42 ϩ 32 ϭ 25 ⇒ l ϭ 5 cm b) El perímetro. Pϭ16ϩ10ϩ5ϩ5ϭ36cm c) El área. S ϭ(16 ϩ10) · 4 –– 2 ϭ52 cm2 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20 cm. Calcula: a) La hipotenusa. a2 ϭ152 ϩ202 ϭ625 ⇒ a ϭ25 cm b) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. 152 ϭ25 · m ⇒mϭ9cm 202 ϭ25 · n ⇒ n ϭ16 cm c) La altura correspondiente a la hipotenusa. h2 ϭ9 · 16 ϭ144 ⇒ h ϭ12 cm d) Su área. S ϭ ϭ150 cm2 Las proyecciones de los catetos sobre la hipote- nusa de un triángulo rectángulo miden 12 y 15 cm. Calcula: a) Los lados del triángulo. a ϭ12 ϩ15 ϭ27 cm b2 ϭ27 · 15 ϭ405 ⇒ b ϭ20,12 cm c2 ϭ27 · 12 ϭ324 ⇒ c ϭ18 cm b) La altura correspondiente a la hipotenusa. h2 ϭ12 · 15 ϭ180 ⇒ h ϭ13,41 cm c) El área del triángulo formado por el cateto de 18 cm, su proyección sobre la hipotenusa y la altura: S ϭ ϭ80,46 cm2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XII Triángulos rectángulos Solución de las actividades 26 Matemáticas 2 2 ΂ l –– 2΃ 2 a –– 2 12 · 10,39 2 12·13,41 2 ΂ l –– 2΃ 2 16 Ϫ10 2 25 · 12 2 Ί ͱ 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 26
  31. 31. Actividades XIII Cuerpos geométricos Responde a las siguientes cuestiones: a) Si una recta r está contenida en el plano p y otra recta rЈ en el plano pЈ y son paralelos los planos p y pЈ, ¿son paralelas también r y rЈ? b) Considera una recta r contenida en un pla- no p. ¿Qué posición con respecto al plano p tendrá otro plano pЈ que contiene una recta rЈ paralela a r? c) Si tres planos están formando un ángulo triedro, ¿se puede trazar una recta que ten- ga algún punto en cada uno de los planos? Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calcula la medida del ángulo opuesto por la arista. Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli- nas de colores con forma de triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos de ellos puede unir por este ángulo para obtener ángulos poliedros? En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto miden los ángulos diedros que se forman en la unión de las caras laterales? Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices, ¿cuántas aristas tiene? Observa el siguiente cuerpo geométrico y res- ponde. a) ¿Es cóncavo o convexo? ϭ b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? c) ¿Es poliedro o no? ϭ d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todos iguales? e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene? Indica si los siguientes objetos tienen forma de poliedro o de cuerpos de revolución. a) Un vaso. ϭ b) Un libro. c) Un obelisco. d) Una campana. 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 27 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 31/7/07 10:36 Página 27
  32. 32. XIII Cuerpos geométricos Describe los siguientes poliedros regulares explicando cómo son sus caras, vértices, ángu- los diedros y poliedros. a) Tetraedro: b) Octaedro: c) Icosaedro: Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyas dimensiones sean diferentes. ¿En qué se semejan y en qué se diferencian un paralelepípedo y un ortoedro? Dibuja el cuerpo geométrico de revolución engendrado al girar este rombo alrededor de su diagonal mayor. ¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismo radio? ¿Y los meridianos? Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar- celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca de Barcelona, si la primera se encuentra en la lon- gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130º Oeste, y las dos están en el mismo paralelo? Nombra los cuerpos geométricos que corres- ponden a estos desarrollos planos. a) b) c) 14 13 12 11 10 9 8 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. Actividades 28 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 28
  33. 33. Solución de las actividades Responde a las siguientes cuestiones: a) Si una recta r está contenida en el plano p y otra recta rЈ en el plano pЈ y son paralelos los planos p y pЈ, ¿son paralelas también r y rЈ? Solo serán paralelas si están en un mismo plano pЈЈ. En caso contrario, se cruzarán. b) Considera una recta r contenida en un pla- no p. ¿Qué posición con respecto al plano p tendrá otro plano pЈ que contiene una recta rЈ paralela a r? El plano pЈcortará al plano p y sus puntos comunes serán la recta r. c) Si tres planos están formando un ángulo triedro, ¿se puede trazar una recta que ten- ga algún punto en cada uno de los planos? Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calcula la medida del ángulo opuesto por la arista. El ángulo medirá: 360º Ϫ 210º ϭ 150º Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli- nas de colores con forma de triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos de ellos puede unir por este ángulo para obtener ángulos poliedros? Puede unir desde 3 hasta 8 triángulos por el ángulo de 40º, porque 40º · 9 ϭ ϭ 360º y ya no formaría ángulo poliedro. En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto miden los ángulos diedros que se forman en la unión de las caras laterales? Medirán lo mismo que los ángulos del polígono de la base, esto es: 180 · ϭ 120º Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices, ¿cuántas aristas tiene? c ϩ v ϭ a ϩ 2 ⇒ a ϭ c ϩ v Ϫ 2 ϭ 36 Tiene 36 aristas. Observa el siguiente cuerpo geométrico y res- ponde. a) ¿Es cóncavo o convexo? Es cóncavo. ϭ b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Tiene 14 caras, 24 vértices y 36 aristas. c) ¿Es poliedro o no? Sí es poliedro porque sus caras son polígonos.ϭ d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todos iguales? Tiene 36 ángulos diedros. Hay 32 convexos que son rectos y 4 cóncavos que miden 270º. e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene? Tiene 24 ángulos triedros, uno en cada vértice. No tiene ángulos tetraédricos. Indica si los siguientes objetos tienen forma de poliedro o de cuerpos de revolución. a) Un vaso. Cuerpo de revoluciónϭ b) Un libro. Poliedro c) Un obelisco. Poliedro d) Una campana. Cuerpo de revoluciónϭ 7 6 5 4 3 2 No. 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XIII Cuerpos geométricos 29 Matemáticas 6Ϫ2 6 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 29
  34. 34. Describe los siguientes poliedros regulares explicando cómo son sus caras, vértices, ángu- los diedros y poliedros. a) Tetraedro: Formado por 4 caras que son triángulos equiláteros, 4 vértices donde concurren 3 caras formando ángulos triedros iguales, y 6 aristas donde concurren 2 caras formando ángulos diedros, todos ellos de 60º. b) Octaedro: Formado por 8 caras que son triángulos equiláteros, 6 vértices donde concurren 4 caras formando ángulos tetraédricos, o de orden 4, iguales y 12 aristas donde concurren 2 caras formando ángulos diedros iguales. c) Icosaedro: Formado por 20 caras que son triángulos equiláteros, 12 vértices donde se unen 5 caras formando ángulos poliedros de orden 5, y 30 aristas donde concurren 2 caras formando ángulos diedros iguales. Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyas dimensiones sean diferentes. ¿En qué se semejan y en qué se diferencian un paralelepípedo y un ortoedro? Se parecen en que tienen sus caras paralelas dos a dos y se diferencian en que el ortoedro tiene los ángulos diedros rectos. Dibuja el cuerpo geométrico de revolución engendrado al girar este rombo alrededor de su diagonal mayor. ¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismo radio? ¿Y los meridianos? Los paralelos no tienen el mismo radio, este va disminuyendo según se van acercando a los polos. Los meridianos sí tienen todos el mismo radio. Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar- celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca de Barcelona, si la primera se encuentra en la lon- gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130º Oeste, y las dos están en el mismo paralelo? Las dos ciudades se encontrarán a la misma distancia de Barcelona. Nombra los cuerpos geométricos que corres- ponden a estos desarrollos planos. a) Pirámide pentagonal regular b) Hexaedro regular c) Cilindro recto 14 13 12 11 10 9 8 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XIII Cuerpos geométricos Solución de las actividades 30 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 30
  35. 35. Actividades XIV Áreas y volúmenes de cuerpos Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3, 4 y 5 cm. Calcula el área total de un prisma triangular recto, sabiendo que la base es un triángulo equilátero de 3 cm de lado y la altura del pris- ma es de 8 cm. Averigua el área lateral de un tronco de pirámi- de hexagonal, sabiendo que la arista lateral mide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res- pectivamente. Calcula el volumen de un cono de 2 m de radio y 3 m de altura. Una taladradora hace un agujero de 10 cm de radio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula el volumen extraido por la taladradora en una hora de trabajo. Halla el volumen de una esfera sabiendo que su circunferencia máxima mide 30 ␲ dm. Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu- men e igual radio. Si la altura de cilindro es de 8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera? Completa las siguientes equivalencias: a) 25 dm3 ϭ b) 13 m3 ϭ c) 100 cm3 ϭ d) 12 500 mm3 ϭ Una pirámide de base hexagonal mide de perí- metro básico 18 m y el área lateral de la pirá- mide es 10 veces el área de la base. Calcula la apotema de la pirámide. Calcula el área y el volumen de una esfera de 5 dm de radio. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 31 Matemáticas 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 16/7/07 12:06 Página 31
  36. 36. Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3, 4 y 5 cm. D = √ ––––– 32 ϩ ––––– 42 ϩ ––– 52 ϭ √ ––– 50 ϭ 7,071 cm Calcula el área total de un prisma triangular recto, sabiendo que la base es un triángulo equilátero de 3 cm de lado y la altura del pris- ma es de 8 cm. Área de la base ϭ 3 · ϭ 3,89 cm2 Área lateral ϭ 3 · 3 · 8 ϭ 72 cm2 Áreatotalϭ72ϩ2·3,89ϭ 79,78cm2 Averigua el área lateral de un tronco de pirámi- de hexagonal, sabiendo que la arista lateral mide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res- pectivamente. Apotema de la cara lateral ϭ ϭ ap ϭ √ ––––– 102 Ϫ –– 52 ϭ 8,66 dm Área de una cara lateral ϭ ϭ ΂B ϩ b ––––– 2 ΃· ap ϭ 7 · 8,66 ϭ 60,62 dm2 Área lateral ϭ 6 · 60,62 ϭ 363,72 dm2 Calcula el volumen de un cono de 2 m de radio y 3 m de altura. V ϭ ab · h –– 3 ϭ 22 · 3 · ␲ –– 3 ϭ 4 ␲ m3 Una taladradora hace un agujero de 10 cm de radio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula el volumen extraido por la taladradora en una hora de trabajo. El agujero tiene forma de cilindro de radio 10 cm y altura: 0,02 · 60 cm ϭ 1,2 cm V ϭ 102 · 1,2 · ␲ ϭ 376,8 cm3 Halla el volumen de una esfera sabiendo que su circunferencia máxima mide 30 ␲ dm. Circunferencia ϭ 2 · r · ␲ ϭ 30 ␲ r ϭ 15 dm V ϭ 4 · 153 · ␲ –– 3 ϭ 4 500 π dm3 Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu- men e igual radio. Si la altura de cilindro es de 8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera? Vc ϭ ␲r2 · h ϭ ␲ r2 · 8 Ve ϭ 4 · r3 ␲ –– 3 ␲ r2 · 8 ϭ 4 · r3 · ␲ –– 3 r ϭ 8 · 3 –– 4 ϭ 6 cm Completa las siguientes equivalencias: a) 25 dm3 ϭ 25 L b) 13 m3 ϭ 13 000 L c) 100 cm3 ϭ 0,1 L d) 12 500 mm3 ϭ 0, 0125 L Una pirámide de base hexagonal mide de perí- metro básico 18 m y el área lateral de la pirá- mide es 10 veces el área de la base. Calcula la apotema de la pirámide. Apotemabase ϭ l √ – 3 –– 2 ϭ 3 √ – 3 –– 2 ϭ 2,59 m Abase ϭ 18 · 2,59 –––– 2 ϭ 23,31m2 Alateral ϭ 233,1 m2 Apotemapirámide ϭ 2 · Alateral ––––– p ϭ 25,9 Calcula el área y el volumen de una esfera de 5 dm de radio. A ϭ 4␲r2 ϭ 314,16 m2 V ϭ 4␲r3 –––– 3 ϭ 523,4 m3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. XIV Áreas y volúmenes de cuerpos Solución de las actividades 32 Matemáticas 3√3 2 0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 16/7/07 12:06 Página 32

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