3. Φίλε/η μαθητή/ήτρια,
Είμαι ο μικρός Ευκλείδης και μου αρέσουν πολύ τα
μαθηματικά. Όταν έχω να λύσω ένα δύσκολο πρόβλημα, ξεχνάω
ακόμα και να φάω. Όταν μεγαλώσω, θέλω να γίνω σπουδαίος
μαθηματικός.
Χρησιμοποιώ πολύ το μυαλό μου. Δε φοβάμαι να κάνω λάθη,
γιατί μέσα από τα λάθη μου οι δάσκαλοί μου καταλαβαίνουν τι με
μπερδεύει και με βοηθούν να γίνω καλύτερος.
Αυτή τη στιγμή κρατάς στα χέρια σου ένα βιβλίο με
μαθηματικές δραστηριότητες που μας …προκαλούν να κάνουμε
σκέψεις και… λάθη!
Ας αρχίσουμε…
4. Βρίσκω το φυσικό αριθμό που παρουσιάζεται κάθε φορά στον άβακα. Τον
γράφω με αριθμητικά ψηφία και με αριθμολέξη. Τον παρουσιάζω ως
άθροισμα και ως διαφορά δύο αριθμών.
2
Φυσικοί αρι 1 θμοί
5. Ποια από τα γινόμενα που βρίσκονται στον πίνακα του πολλαπλασιασμού
με βοηθούν να εκτιμήσω το αποτέλεσμα των παρακάτω πράξεων;
Περιγράφω τη σκέψη μου.
3
Α. 5.000 ∙ 82
Β. 42.000 : 7
Γ. 99 ∙ 7
Δ. 54.325 : 902
6. 2 Δυνάμεις
Πώς διαφέρουν μεταξύ τους τα γινόμενα
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3∙ 3 ∙ 3 και 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 3 ;
Το γινόμενο 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 γράφεται πιο σύντομα ως 38 . Πώς
προέκυψε το 8;
Υπολογίζω τις παρακάτω δυνάμεις:
4
22 =
23 =
25 =
102 =
103 =
104 =
7. Κυκλώνω όσους από τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 100, γράφονται με
μορφή δύναμης, που έχει εκθέτη μεγαλύτερο του 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Διαλέγω τρεις από τους αριθμούς που κύκλωσα παραπάνω και τους
γράφω ως δυνάμεις:
5
8. Επιλέγω έναν εκθέτη για κάθε φυσικό αριθμό παρακάτω, έτσι ώστε να
πλησιάσω όσο γίνεται περισσότερο το 1.000 χωρίς όμως να το περάσω.
6
5
4
3
2
8
9
12
31
7
Ποια από τις δυνάμεις που έφτιαξα βρίσκεται πιο κοντά στο 1.000;
Σε ποια από τα παρακάτω κρύβονται δυνάμεις;
Α. Περίμετρος τετραγώνου
Β. Περίμετρος κανονικού πενταγώνου με πλευρά 4 εκατοστόμετρα
Γ. Περίμετρος ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά τρία εκατοστά του μέτρου
Δ. Εμβαδόν τετραγώνου
Ε. Πέντε παιδιά αγοράζουν από πέντε βιβλία το καθένα και πληρώνουν πέντε
ευρώ το κάθε βιβλίο. Πόσα χρήματα θα πληρώσουν;
ΣΤ. Ένα εκατομμύριο
Ζ. Πέντε εκατομμύρια
Η. Εκατόν είκοσι ένα
Θ. Είκοσι πέντε
9. Μπορεί μια δύναμη να έχει ως εκθέτη το 1 ή το 0;
Ξαναγράφω τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις, χρησιμοποιώντας
δυνάμεις:
7
Α. 16 + 12 + 9 ‐ 3●3●3
Β. 2●2●2●2 + 3●3 + 36 + 8
Γ. 3●100 + 1.600 + 1.000
Δ. 15●1.000 + 3.000
Ε. (5+3)●(5+3) + 64 ‐ 27
Συγκρίνω τις παρακάτω δυνάμεις:
33
32
43
53
33
92
83
85
83
93
103 ( )3 2 5 i
113
112
123
63
83
29
11. 3 Ευκλείδεια διαίρεση‐Διαιρετότητα
Ο Γιάννης είχε 51 κάρτες με αυτοκινητάκια και τις μοίρασε στους 4 φίλους
του. Το κάθε παιδί πήρε 12 κάρτες και περίσσεψαν 3 κάρτες. Γράφω μια
μαθηματική ισότητα που να περιλαμβάνει τις παραπάνω πληροφορίες.
Κάνω τη διαίρεση 120 : 45 και φτιάχνω τη μαθηματική ισότητα που την
περιγράφει. Γράφω μια μαθηματική ιστορία που να της αντιστοιχεί.
• Διαγράφω με Χ, από τους παρακάτω αριθμούς, αυτούς, οι οποίοι δεν
μπορεί να είναι υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 4.
0 1 2 3 4 5 6 7
• Διαγράφω με Χ, από τους παρακάτω αριθμούς, αυτούς, οι οποίοι δεν
μπορεί να είναι υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 17.
2 4 6 8 10 12 16 17 18 20 21 23
9
12. • Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται ακριβώς…
23 230 2.300 23.000 230.000 2.300.000
4 41 442 4.443 44.444 444.445 4.444.440
5 50 150 3.500 4.565 505.551
10
… με το 2;
…με το 5;
…με το 10;
…με το 3;
…με το 9;
…με το 4;
…με το 25;
…με το 100;
• Χωρίς να κάνω τη διαίρεση, βρίσκω το υπόλοιπό της:
250:5 Υ= 251:5 Υ= 249:5 Υ=
13. 4 Κλασματικοί αριθμοί
Βρίσκω τη σχέση που συνδέει τους αριθμούς της σειράς και συμπληρώνω
τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς:
3
16 , ….…., 9
16 , 12
16 , ……………., ……………., …………………., ………………
Ποιος είναι ο 9ος όρος αυτής της σειράς;
11
3 1
2
, …………, ……….., 5, …………, ………, …………
Ποιος είναι ο 10ος όρος αυτής της σειράς;
…………………., 53 3
4
, 53 2
4
, ………………, ………………, ………………
Ποια θέση σε αυτή τη σειρά έχει το 50;
1000 8
9
, 1000, ………………, ………………, ………………, ………………, ………………
Ποιος είναι ο 11ος όρος αυτής της σειράς;
3
5
, …………, 2 2
5
, 4 4
5
, …………, …………, …………, …………, ………
Ποιος είναι ο 15ος όρος αυτής της σειράς;
19. 6 Λύνω προβλήματα με κλάσματα
• Η Μαρία και η Ιωάννα τρώνε μαζί μια σοκολάτα. Η Μαρία
17
έφαγε τα 1
8
της σοκολάτας και η Ιωάννα το 1
4
. Πόση σοκολάτα
έμεινε;
Λύση:
Απάντηση:
• Η Μαρία και η Ιωάννα τρώνε μαζί μια σοκολάτα. Η
Μαρία έφαγε το 1
8
της σοκολάτας και η Ιωάννα τριπλάσια
ποσότητα. Πόση σοκολάτα έμεινε;
Λύση:
Απάντηση:
20. • Ο Θανάσης κούρεψε το γρασίδι στα 2
18
7
του κήπου τους. Την άλλη μέρα, η
αδελφή του η Μαρία κούρεψε το 1
5
. Τι μέρος του κήπου έμεινε
ακούρευτο;
Λύση:
Απάντηση:
• Ο Θανάσης κούρεψε το γρασίδι στα 2
7
του κήπου τους. Την άλλη μέρα, η
αδελφή του η Μαρία κούρεψε το 1
5
του υπόλοιπου. Τι μέρος του κήπου
έμεινε ακούρευτο;
Λύση:
Απάντηση:
21. 19
• Ο Νίκος είναι 8 1
2
ετών. Ο κύριος Θανάσης, ο πατέρας
του, είναι κατά 30 2
3
έτη μεγαλύτερος. Ο κύριος
Αριστείδης, ο παππούς του Νίκου είναι κατά 32 1
4
έτη
μεγαλύτερος από τον κύριο Θανάση. Ποια είναι η ηλικία
του κύριου Θανάση και ποια η ηλικία του κύριου Αριστείδη;
Λύση:
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Απάντηση:
• Ο Νίκος είναι 8 1
2
ετών. Ο κύριος Θανάσης, ο πατέρας του, έχει
τετραπλάσια ηλικία. Ο κύριος Αριστείδης, ο παππούς του
Νίκου, είναι κατά 32 1
4
έτη μεγαλύτερος από τον κύριο
Θανάση. Ποια είναι η ηλικία του κύριου Θανάση και ποια
η ηλικία του κύριου Αριστείδη;
Λύση:
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Απάντηση:
22. 7 Λόγοι και αναλογίες
Σχεδιάζω ό,τι λείπει ώστε οι λόγοι παρακάτω να αντιστοιχούν σε μια
εικόνα :
Βρίσκω και γράφω σε ποια ποσά αντιστοιχούν οι λόγοι στην παρακάτω
εικόνα:
20
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
τρίγωνα 3
τετράγωνα 7
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
παιδιά 5
μπαλόνια 9
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
κιθάρες 1
μουσικά όργανα 2
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
1 1
2 3
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
3 12
1 20
23. Με ποια άλλα κλάσματα μπορώ να εκφράσω το λόγο των μυρμηγκιών
προς όλα τα έντομα;
Με ποια κλάσματα μπορώ να εκφράσω το λόγο πεταλούδες προς έντομα;
Τι σχέση έχουν μεταξύ τους αυτά τα κλάσματα;
Συμπληρώνω κατάλληλα ώστε να προκύψουν ισοδύναμοι λόγοι:
4
8 24
21
=
5 15
10 8
=
+
6
=
6 3
5 =
10
+
2 12
Σχηματίζω ισοδύναμους λόγους στις παρακάτω περιπτώσεις:
Ο Μιχάλης και η Αναστασία πίνουν μαζί
3 λίτρα γάλα κάθε δυο μέρες. Πόσο
γάλα θα πιουν σε μια βδομάδα;
Τα 4 μηχανικά μολύβια κοστίζουν 2€.
Πόσο κοστίζουν τα 10 μολύβια;
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ
24. 8 Ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά
22
Ριζότο με μανιτάρια
Υλικά για 6 άτομα
2 φλιτζάνι ρύζι
4 φλιτζάνια ζωμό κοτόπουλου
1 φλιτζάνι ψιλοκομμένα μανιτάρια
1 κουτ. κοφτό του γλυκού αλάτι
Ποιος είναι ο λόγος του ζωμού προς το ρύζι;
Γράφω τα υλικά που χρειάζονται για….
….. 12 άτομα
….. 3 άτομα
….. 5 άτομα
Πόσα άτομα θα φάνε αν φτιάξουμε τη συνταγή με 2 1
3
φλιτζάνι ρύζι;
25. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 24 τετραγωνικά εκατοστά. Το σχεδιάζω. Ποιες
είναι οι διαστάσεις του;
Συμπλήρωσε τον πίνακα παρακάτω, για ένα ορθογώνιο που έχει εμβαδό
18 τετραγωνικά εκατοστά.
23
Μήκος
πλάτος
Σχεδιάζω τα διαφορετικά ορθογώνια που προκύπτουν από τα στοιχεία του
πίνακα.
26. Συμπληρώνω με + ‐ × : = για να δείξεις με ισότητες τη σχέση που
υπάρχει ανάμεσα στα παρακάτω ποσά:
χρήματα που είχα χρήματα που πλήρωσα χρήματα που μου έμειναν
χρήματα που πλήρωσα χρήματα που μου έμειναν χρήματα που είχα
χρήματα που μου έμειναν χρήματα που πλήρωσα χρήματα που είχα
χρήματα που είχα χρήματα που έμειναν χρήματα που πλήρωσα
Αντιστοιχίζω κατάλληλα στα ποσά τους αριθμούς 40, 70, 110 και γράφω τις
μαθηματικές ισότητες που προκύπτουν.
χρήματα που είχα
χρήματα που έμειναν
χρήματα που πλήρωσα
24
χρήματα που είχα
χρήματα που έμειναν
χρήματα που πλήρωσα
9 Εξισώσεις
ή
27. Φτιάχνω δύο προβλήματα με τα στοιχεία παραπάνω και τα λύνω. Στη
μαθηματική πρόταση που συνδέει τα ποσά αυτά μεταξύ τους,
χρησιμοποιώ το Χ για την άγνωστη (ζητούμενη) ποσότητα.
25
28. Συμπληρώνω με τα παρακάτω ποσά στην κατάλληλη θέση, ώστε να
σχηματιστούν ισοδύναμες ισότητες:
ύψος Νίκου ύψος Μαρίας πόσο ψηλότερος είναι ο Νίκος
+ =
= +
Επιλέγω δυο κατάλληλες τιμές για δυο από τα παραπάνω ποσά και γράφω
ένα πρόβλημα. Στη θέση της ζητούμενης τιμής γράφω το Χ.
26
‐
=
29. Σχηματίζω ισοδύναμες ισότητες και για τα παρακάτω ποσά:
χρήματα που πλήρωσα χρήματα που κοστίζει το ένα τόσα αγόρασα
Επιλέγω δυο κατάλληλες τιμές για δυο από τα τρία παραπάνω ποσά και
γράφω ένα πρόβλημα. Στη θέση της ζητούμενης τιμής γράφω το Χ.
27
30. 10 Ευθείες γραμμές , γωνίες και σχήματα
Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους οι παρακάτω ευθείες; (παράλληλες,
τέμνονται)
28
31. Βρίσκω το μέτρο των παρακάτω γωνιών .
Φτιάχνω τρία ζευγάρια τεμνόμενων ευθειών, που σχηματίζουν γωνίες 90,
60, 150 μοίρες.
29
34. Σε κάθε σχήμα παρακάτω λείπει το άλλο του μισό. Το συμπληρώνω.
32
35. 11 Ο κύκλος
• Βρίσκω όσα περισσότερα σημεία μπορώ που απέχουν από το σημείο Κ 5
εκατοστά του μέτρου. Τι σχήμα σχηματίζεται από αυτά τα σημεία;
33
• Δίνω έναν ορισμό του κύκλου.
36. • Χαράζω ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει ένα σημείο του κύκλου με το
34
κέντρο του Κ. Πόσο μήκος έχει;
• Χαράζω ένα ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη.
Βρίσκω το μήκος του.
• Χαράζω ομόκεντρους κύκλους με τη βοήθεια του διαβήτη μου και κέντρο
το σημείο Κ. Μετρώ το μήκος της ακτίνας και της διαμέτρου τους. Τι σχέση
υπάρχει ανάμεσα στο μήκος της ακτίνας και της διαμέτρου σε κάθε κύκλο;
37. 12 Λύνω προβλήματα
1. Τα 40 κιλά γάλα αποδίδουν 15 κιλά τυρί. Πόσο γάλα θα χρειαστούμε για
να πάρουμε 60 κιλά τυρί;
35
Λύση:
Απάντηση:
2. Για ένα κουστούμι χρειαζόμαστε 4 μέτρα ύφασμα πλάτους 0,9 μέτρα. Αν
το ύφασμα έχει πλάτος 0,8 μέτρα, πόσο ύφασμα θα χρειαστούμε;
Λύση:
Απάντηση:
38. 3. Από 400 κιλά αλεύρι παρασκευάζουμε 500 κιλά ψωμί. Για να
παρασκευάσουμε 750 κιλά ψωμί, πόσα κιλά αλεύρι χρειαζόμαστε;
36
Λύση:
Απάντηση:
4. Δύο συνεταίροι διέθεσαν 108.000 € για να κάνουν κάποια δουλειά.
Ύστερα όμως από κάποιο χρονικό διάστημα, η συνεργασία τους
διαλύθηκε, αφήνοντας κέρδος 72.000 €. Αν ο ένας πήρε ως κεφάλαιο και
κέρδος 130.000 €, πόσα κέρδισε ο καθένας;
Λύση:
Απάντηση:
39. 5. Ένας έμπορος αγόρασε πορτοκάλια προς 0,8 € το κιλό. Όταν πούλησε τα
πορτοκάλια, παρατήρησε ότι αύξησε τα χρήματα που είχε διαθέσει για την
αγορά των πορτοκαλιών κατά τα 3
4
37
αυτών. Με τα χρήματα που εισέπραξε
αγόρασε πάλι πορτοκάλια της ίδιας αξίας και τα πούλησε. Από τη δεύτερη
πώληση κέρδισε 20.000 €. Τελικά διαπίστωσε ότι με αυτές τις δύο
εμπορικές πράξεις διπλασίασε τα αρχικά χρήματά του. Πόσα κιλά
πορτοκάλια είχε αγοράσει την πρώτη φορά;
Λύση:
Απάντηση:
40. 6. Ένα κτηνοτρόφος, για να ταΐσει τα 20 ζώα του 15 ημέρες, χρειάζεται 500
κιλά κριθάρι. Για να ταΐσει τα 30 ζώα 20 ημέρες, πόσο κριθάρι θα
χρειαστεί;
38
Λύση:
Απάντηση:
7. Κάποιος έχει στην τσέπη του 2.200 € σε χαρτονομίσματα των 100 € και
των50 €. Αν τα χαρτονομίσματα στο σύνολό τους είναι 30, πόσα είναι των
100 και πόσα των 50;
Λύση:
Απάντηση:
41. 8. Ένας έμπορος αγόρασε συνολικά 3.000 κιλά λάδι δύο ποιοτήτων με 5 €
και 3 € το κιλό, αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες λαδιού και
πουλάει το μείγμα προς 4 € το κιλό. Στο τέλος είδε ότι ζημιώθηκε 200 €.
Πόσα κιλά λάδι από κάθε ποιότητα αγόρασε;
39
Λύση:
Απάντηση:
9. Θέλει κάποιος να πληρώσει ένα χρέος 1.280 € με 40 χαρτονομίσματα
των 10 και των 50 €. Πόσα χαρτονομίσματα των 10 € και πόσα των 50 € θα
χρειαστεί;
Λύση:
Απάντηση:
42. 10. Ένας διαγωνιζόμενος καλείται να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Για
κάθε σωστή απάντηση κερδίζει 4 μόρια, ενώ για κάθε λανθασμένη του
αφαιρείται 1 μόριο.
Τελικά συγκέντρωσε 310 μόρια.
i) Για κάθε λανθασμένη απάντηση πόσα μόρια χάνει;
ii) Πόσες σωστές και πόσες λανθασμένες απαντήσεις έδωσε;
iii) Είναι δυνατόν ο διαγωνιζόμενος να έχει δώσει σωστές απαντήσεις και
να συγκεντρώσει μηδέν μόρια;
40
Λύση:
Απάντηση:
43. 11. Ένα θέατρο έχει εισιτήρια 3 κατηγοριών. Α θέσης, αξίας 12 €, Β θέσης,
αξίας 8 € και παιδικά, αξίας 5 € το ένα. Αν μια παράσταση την
παρακολούθησαν 190 θεατές εκ των οποίων οι 40 ήσαν παιδιά, και το
θέατρο συνολικά εισέπραξε 1.800 €, πόσα εισιτήρια Α και πόσα Β θέσης
κόπηκαν;
41
Λύση:
Απάντηση:
52. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 133
16ο Πρόβλημα
Ένας πατέρας είναι μεγαλύτερος του γιου του κατά 30 χρόνια. Αν η ηλι-
κία του πατέρα είναι εξαπλάσια της ηλικίας του γιου, να βρεθούν οι ηλι-
κίες τους.
Λύση
Αν παραστήσουμε την ηλικία του γιου με: x , τότε
την ηλικία του πατέρα θα την παραστήσουμε με: x x x x x x
Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: 6x − x = 30
5x = 30
x = 30 :5 = 6
Άρα ο γιος είναι 6 ετών και ο πατέρας 6 ⋅ 6 = 36 ετών.
17ο Πρόβλημα
Ένας μανάβης πούλησε τρία είδη φρούτων (πορτοκάλια – μήλα – αχλά-
δια) και εισέπραξε 210 €. Τα χρήματα που εισέπραξε από τα πορτοκάλια
είναι διπλάσια από τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα και τα χρή-
ματα που εισέπραξε από τα αχλάδια είναι τετραπλάσια από τα χρήματα
που εισέπραξε από τα μήλα. Πόσα χρήματα εισέπραξε από κάθε είδος
φρούτων;
Λύση
Από την εκφώνηση προκύπτει ότι τα χρήματα που εισέπραξε ο μανάβης από τα
πορτοκάλια και τα αχλάδια έχουν σχέση εξάρτησης από τα χρήματα που εισέπραξε
από τα μήλα. Αν τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα τα παραστήσουμε με το
σχήμα: x
τότε τα χρήματα από τα πορτοκάλια θα παριστάνονται: x x
και τα χρήματα από τα αχλάδια θα παριστάνονται: x x x x
Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: 7x = 210
x = 210 : 7 = 30
Δηλαδή, από τα μήλα εισέπραξε 30 €.
από τα πορτοκάλια 2 ⋅30 = 60 €.
και από τα αχλάδια 4 ⋅30 =120 €.
53. 134 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
18ο Πρόβλημα
Τρία αδέλφια κληρονόμησαν από τους γονείς τους το ποσό των 330.000
€. Ο μεσαίος αδελφός πήρε 40.000 € περισσότερα από το μεγαλύτερο και
ο μικρός 40.000 € περισσότερα από το μεσαίο. Πόσα χρήματα πήρε ο
καθένας;
Λύση
Αν παραστήσουμε το μερίδιο του πρώτου με το σχήμα x
τότε το μερίδιο του δεύτερου θα είναι: x + 40.000 € και
το μερίδιο του τρίτου θα είναι: x + 40.000 € + 40.000 €.
Δηλαδή, αν από το ποσό των 330.000 € αφαιρεθούν τα επιπλέον χρήματα που
πήραν οι δύο μικροί αδελφοί,
40.000 + 40.000 + 40.000 =120.000 , τότε το ποσό που απέμεινε
330.000 −120.000 = 210.000 , μοιράζεται σε τρία ίσα μέρη.
Οπότε: 210.000 :3 = 70.000 € πήρε ο πρώτος
70.000 + 40.000 =110.000 € πήρε ο δεύτερος και
70.000 + 80.000 =150.000 € πήρε ο τρίτος.
19ο Πρόβλημα
Τέσσερις φίλοι, οι Α, Β, Γ και Δ, έχουν μαζί 500 €. Ο Γ έχει 10 € λιγότε-
ρα από τον Β, ο Δ έχει 20 € λιγότερα από τον Γ και ο Α 50 € λιγότερα
από τον Δ. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας;
Λύση
Από την εκφώνηση βλέπουμε ότι:
Τα χρήματα του Α έχουν σχέση εξάρτησης από τα χρήματα του Δ, του Δ από τα
χρήματα του Γ και του Γ από τα χρήματα του Β.
Δηλαδή, τα χρήματα των Α, Δ, Γ εξαρτώνται από τα χρήματα του Β.
Αν λοιπόν τα χρήματα του Β τα παραστήσουμε με το σχήμα: x
τότε τα χρήματα του Γ θα είναι x – 10 €
του Δ θα είναι x – 10–20 €
και του Α θα είναι x – 10–20–50 €
54. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 135
Δηλαδή, αν τα χρήματα του Γ αυξηθούν κατά 10 € του Δ αυξηθούν κατά
10 + 20 = 30 € και του Α αυξηθούν κατά 10 + 20 + 50 = 80 €
Τότε τα χρήματα του Β θα παριστάνονται με το σχήμα x
του Γ με το σχήμα x
του Δ με το σχήμα x
και του Α με το σχήμα x
Δηλαδή, οι τέσσερις φίλοι θα έχουν το ίδιο ποσό χρημάτων.
Όμως η αύξηση των χρημάτων των Γ, Δ και Α κατά 10 + 30 + 80 =120 αυξάνει
και το αρχικό ποσό κατά 120.
Έτσι το συνολικό ποσό χρημάτων που θα έπρεπε να μοιραστεί είναι:
500 +120 = 620 €.
Το ποσό των 620 € είναι τετραπλάσιο των χρημάτων του Β όπως προκύπτει και
από το σχήμα .
Οπότε: τα χρήματα του Β είναι 620 : 4 =155 €
του Γ είναι 155 −10 =145 €
του Δ είναι 155 − 30 =125 €
και του Α είναι 155 − 80 = 75 €.
20ο Πρόβλημα
Τρία αυτοκίνητα διέτρεξαν συνολικά απόσταση 4.578 Km. Το πρώτο
διέτρεξε 328 Km περισσότερα από τα διπλάσια χιλιόμετρα που διέτρεξε
το δεύτερο. Το τρίτο διέτρεξε 235 Km λιγότερα από τα διπλάσια χιλιό-
μετρα που διέτρεξε το δεύτερο. Πόσα χιλιόμετρα διέτρεξε το καθένα:
Λύση
Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος τα χιλιόμετρα που διέτρεξαν τα
αυτοκίνητα α και γ έχουν σχέση με τα χιλιόμετρα που διέτρεξε το αυτοκίνητο β.
Αν τα χιλιόμετρα του β τα παραστήσουμε με το σχήμα x
Τότε τα χιλιόμετρα του α θα είναι: x x +328Km
και του γ θα είναι: x x –235Km
Από την παράσταση βλέπουμε ότι, αν το α αυτοκίνητο διέτρεxε 328 Km λιγό-
τερα και το γ 235 Km περισσότερα, από τα διπλάσια χιλιόμετρα του β, τότε όλα
μαζί θα διέτρεχαν:
55. 136 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
(4578 − 328) + 235 = 4485 Km, τα οποία θα ήσαν 5 φορές τα χιλιόμετρα που
διέτρεξε το β – αυτοκίνητο.
Άρα το β – αυτοκίνητο διέτρεξε 4.485:5 = 897 Km.
το α – αυτοκίνητο διέτρεξε 2 ⋅897 + 328 = 2.122 Κm
και το γ – αυτοκίνητο 2 ⋅897 − 235 =1.559 Km.
21ο Πρόβλημα
Τρία αδέλφια έχουν σήμερα, άθροισμα ηλικιών 50 χρόνια.
i) Πριν από 10 χρόνια πόσο ήταν το άθροισμα των ηλικιών τους;
ii) Ύστερα από 10 χρόνια πόσο θα είναι το άθροισμα των ηλικιών τους;
Λύση
i) Πριν από δέκα χρόνια ο καθένας θα ήταν μικρότερος κατά 10 χρόνια. Συ-
νεπώς, το άθροισμα των ηλικιών τους θα ήταν κατά 10 +10 +10 = 30 χρόνια λιγό-
τερο. Άρα 50 − 30 = 20 χρόνια.
ii) Ύστερα από 10 χρόνια ο καθένας θα έχει μεγαλώσει κατά 10 χρόνια. Συ-
νεπώς, το άθροισμα των ηλικιών τους θα έχει αυξηθεί κατά 10 +10 +10 = 30 . Άρα
50 + 30 = 80 χρόνια.
22ο Πρόβλημα
Ένας πατέρας γεννήθηκε το 1937 και έχει σήμερα (το έτος 2005) κόρη
κατά 37 χρόνια μικρότερή του. Πότε γεννήθηκε η κόρη του; Πότε γεν-
νήθηκε ο παππούς της κόρης του, ο οποίος είναι σήμερα κατά 55 χρόνια
μεγαλύτερός της;
Λύση
Όταν γεννήθηκε η κόρη του, εκείνος ήταν 37 ετών. Συνεπώς η κόρη του γεννή-
θηκε το 1937 + 37 =1974 . Το 1974, το έτος που γεννήθηκε η εγγονή, ο παππούς
ήταν 55 ετών. Συνεπώς, ο παππούς γεννήθηκε το 1974 − 55 =1919 .
Παρατήρηση
Τα παρακάτω προβλήματα 23 και 24 εντάσσονται στη γενική κατηγορία προβλημάτων τα
οποία αναφέρονται σε χρονικές μεταβολές μεγεθών με σταθερό ρυθμό και ζητούν σε πόσα
χρόνια θα ικανοποιούν τα μεγέθη αυτά μια συγκεκριμένη σχέση.
56. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 137
Το βασικό σκεπτικό με το οποίο βρίσκουμε την κατάλληλη σχέση εξάρτησης των δοσμέ-
νων μεγεθών με την οποία θα επιλύσουμε το πρόβλημα είναι το εξής:
Βρίσκουμε αρχικά τη μεταβολή των δοσμένων μεγεθών στον 1 χρόνο. Η μεταβολή αυτή
παραμένει σταθερή για όλα τα υπόλοιπα χρόνια (σταθερός ρυθμός μεταβολής). Στη συνέχεια
το πρόβλημα επιλύεται συνήθως με διαίρεση.
23ο Πρόβλημα
Μια μητέρα είναι σήμερα 40 ετών, και το άθροισμα των ηλικιών των
τριών παιδιών της είναι 45 χρόνια.
i) Πριν από πόσα χρόνια η ηλικία της μητέρας ήταν διπλάσια του α-
θροίσματος της ηλικίας των παιδιών;
ii) Ύστερα από πόσα χρόνια το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας θα
ισούται με το άθροισμα της ηλικίας των παιδιών;
Λύση
i) Σήμερα, η ηλικία της μητέρας είναι 40 ετών, και το διπλάσιο του αθροίσματος
των ηλικιών των παιδιών είναι 2 ⋅ 45 = 90 .
Διαφορά: Δ = 90 − 40 = 50 χρόνια.
Πριν από ένα χρόνο η μητέρα ήταν 39 ετών, και το διπλάσιο του αθροίσματος
των ηλικιών των παιδιών ήταν: 2(45 − 3) = 2 ⋅ 42 = 84 χρόνια.
Διαφορά: Δ1 = 84 − 39 = 45 χρόνια.
Όμοια, πριν από 2 χρόνια η μητέρα ήταν 38 ετών, και το διπλάσιο του αθροί-
σματος των ηλικιών των παιδιών ήταν: 2(45 − 6) = 2 ⋅39 = 78 .
Διαφορά: Δ2 = 78 − 38 = 40 χρόνια.
Δηλαδή, η σημερινή διαφορά Δ = 50 χρόνια (μεταξύ του διπλάσιου του α-
θροίσματος των ηλικιών των παιδιών και της ηλικίας της μητέρας), πριν από
ένα χρόνο ήταν μικρότερη κατά 5 χρόνια, πριν από 2 χρόνια ήταν μικρότερη
κατά 10 χρόνια, πριν από 3 χρόνια ήταν μικρότερη κατά 15 χρόνια κ.ο.κ.
Πριν από 50 :5 =10 χρόνια η διαφορά Δ ήταν μηδενισμένη.
Συνεπώς, πριν από 10 χρόνια η ηλικία της μητέρας ήταν ίση με το διπλάσιο
του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών.
Πράγματι, πριν από 10 χρόνια η μητέρα ήταν 40 −10 = 30 ετών, και το διπλά-
σιο του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών ήταν:
57. 138 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
2 ⋅ (45 − 3⋅10) = 2(45 − 30) = 2 ⋅15 = 30 .
ii) Σήμερα, οι ηλικίες των παιδιών έχουν άθροισμα 45 χρόνια, και το διπλάσιο της
ηλικίας της μητέρας είναι 80 χρόνια.
Διαφορά, Δ = 80 − 45 = 35 χρόνια.
Ύστερα από ένα χρόνο το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών θα είναι
45 + 3 = 48 , και το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας (40 +1)⋅ 2 = 82 .
Διαφορά: Δ1 = 82 − 48 = 34 χρόνια.
Όμοια, ύστερα από 2 χρόνια η διαφορά θα είναι
( ) ( ) Δ2 = 2 ⋅ 40 + 2 − 45 + 6 = 84 − 51= 33 χρόνια.
Δηλαδή, η σημερινή διαφορά Δ = 35 χρόνια (μεταξύ του διπλάσιου της ηλικί-
ας της μητέρας και του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών) μετά από ένα
χρόνο μικραίνει κατά ένα χρόνο, ύστερα από δύο χρόνια μικραίνει κατά δύο
χρόνια κ.ο.κ.
Συνεπώς ύστερα από 35:1= 35 χρόνια η διαφορά θα έχει μηδενιστεί.
Άρα ύστερα από 35 χρόνια το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας θα ισούται με
το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών.
24ο Πρόβλημα
Ένας βοσκός έχει ένα κοπάδι 250 προβάτων, το οποίο αυξάνεται κάθε
χρόνο κατά 50 πρόβατα. Ένας άλλος βοσκός έχει επίσης ένα κοπάδι με
610 πρόβατα.
i) Αν το δεύτερο κοπάδι μειώνεται κατά 40 πρόβατα το χρόνο, ύστε-
ρα από πόσα χρόνια τα δύο κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος προ-
βάτων;
ii) Αν το δεύτερο κοπάδι αυξάνεται κατά 10 πρόβατα το χρόνο, ύστε-
ρα από πόσα χρόνια τα δύο κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος προ-
βάτων;
iii) Αν το δεύτερο κοπάδι αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 80 πρόβατα
• ύστερα από πόσα χρόνια τα κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος
προβάτων;
• ύστερα από πόσα χρόνια το δεύτερο κοπάδι θα έχει 690 πρόβα-
τα περισσότερα από το πρώτο;
58. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 139
Λύση
i) Αρχικά το 2ο κοπάδι έχει 610 – 250 = 360 πρόβατα επιπλέον.
Μετά από 1 χρόνο θα έχει (610 – 40) – (250 + 50) = 270 πρόβατα επιπλέον
Άρα σε 1 χρόνο (και κάθε χρόνο) η διαφορά του μεγέθους των δύο κοπαδιών
μειώθηκε κατά 360 – 270 = 90 πρόβατα.
Επομένως για να μηδενισθεί η αρχική διαφορά θα πρέπει να περάσουν
360 : 90 = 4 χρόνια.
ii) Ομοίως μετά από 1 χρόνο το 2ο κοπάδι θα έχει
(610 + 10) – (250 + 50) = 320 επιπλέον πρόβατα.
Άρα σε 1 χρόνο η διαφορά μειώνεται κατά 360 – 320 = 40 πρόβατα και για να
μηδενισθεί θα περάσουν 360 : 40 = 9 χρόνια.
iii) Στον 1ο χρόνο το 2ο κοπάδι θα έχει (610 + 80) – (250 + 50) = 390 πρόβατα ε-
πιπλέον.
Δηλαδή σε 1 χρόνο η διαφορά αυξάνεται κατά 390 – 360 = 30 πρόβατα.
• Η αρχική διαφορά 360 πρόβατα των δύο κοπαδιών αυξάνεται κάθε χρόνο
κατά 30 πρόβατα, συνεπώς ποτέ τα δύο κοπάδια δεν θα έχουν το ίδιο πλή-
θος προβάτων.
• Για να αποκτήσει το 2ο κοπάδι 690 – 360 = 330 πρόβατα επιπλέον της αρ-
χικής διαφοράς προβάτων θα περάσουν 330 : 30 = 11 χρόνια.
25ο Πρόβλημα
Διαθέτουμε 3 διαφορετικά είδη ψωμιού, 4 διαφορετικά είδη τυριού και
5 διαφορετικά είδη ζαμπόν. Πόσα διαφορετικά σάντουιτς μπορούμε να
κάνουμε;
Λύση
Ένα σάντουιτς θα περιέχει τρία πράγματα (Ψ, Τ, Ζ) ψωμί, τυρί και ζαμπόν. Δύο
σάντουιτς θα είναι διαφορετικά, αν διαφέρουν τουλάχιστον σε ένα από τα τρία εί-
δη. Ας φτιάξουμε πρώτα σάντουιτς χωρίς ζαμπόν.
Έχουμε δύο ομάδες μονάδων «τα 3 είδη ψωμιού» και τα «4 είδη τυριού». Κάθε
μονάδα της πρώτης ομάδας (ένα ψωμί) συνδυάζεται με όλες τις μονάδες της δεύ-
τερης ομάδας (ένα τυρί).
Τα ζεύγη αυτά θα είναι το πλήθος 3⋅ 4 =12 .
Τώρα διαθέτουμε πάλι δύο ομάδες μονάδων.
59. 140 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
«Τα 12 μισό – ετοιμασμένα σάντουιτς» και «τα 5 διαφορετικά είδη ζαμπόν».
Κάθε μονάδα της πρώτης ομάδας συνδυάζεται με όλες τις μονάδες της δεύτε-
ρης ομάδας.
Τα ζεύγη που θα προκύψουν μας δίνουν το πλήθος των σάντουιτς που θα κά-
νουμε. Δηλαδή: 12 ⋅5 = 60 διαφορετικά σάντουιτς.
26ο Πρόβλημα
Σ’ ένα σχολείο διδάσκουν 5 μαθηματικοί, 8 φιλόλογοι και 3 φυσικοί. Ο
διευθυντής του σχολείου θέλει να επιλέξει μια τριμελή επιτροπή η οποία
να αποτελείται από ένα μαθηματικό (Μ), ένα φιλόλογο (Φ) και ένα φυσι-
κό (φ). Με πόσους τρόπους μπορεί να συγκροτηθεί η τριμελής επιτροπή;
Λύση
Αν κάθε μαθηματικός συνδυαστεί με όλους τους φιλολόγους, θα προκύψουν
5⋅8 = 40 διμελείς επιτροπές.
Αν τώρα κάθε διμελής επιτροπή (με ένα Μ και ένα Φ) συνδυαστεί με όλους
τους φυσικούς, θα προκύψουν 40 ⋅3 =120 επιτροπές.
Συνεπώς, ο δ/ντής έχει τη δυνατότητα να επιλέξει μία από τις 120 επιτροπές
που προκύπτουν.
27ο Πρόβλημα
Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (Σχήμα 1) η περίμετρος Ρ είναι 56
cm.
μήκος
πλάτος
Σχήμα 1
Αν το μήκος του ορθογωνίου αυξηθεί κατά 5 cm και το πλάτος κατά 3 cm,
να υπολογιστεί η περίμετρός του νέου ορθογωνίου.
Λύση
Από το σχήμα προκύπτει ότι η περίμετρος του ορθογωνίου είναι διπλάσια του
αθροίσματος του μήκους με το πλάτος. Αν το μήκος αυξηθεί κατά 5 cm και το
60. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 141
πλάτος κατά 3 cm, το άθροισμά τους θα αυξηθεί κατά 5 + 3 = 8 cm και επομένως η
περίμετρος θα αυξηθεί κατά 2 ⋅8 =16 cm. Άρα η περίμετρος του νέου ορθογωνίου
θα είναι 56 +16 = 72 cm.
28ο Πρόβλημα
i) Αν οι διαστάσεις του σχήματος (1) διπλασιαστούν, δείξτε ότι το εμβα-
δό του Ε, τετραπλασιάζεται.
μήκος
πλάτος
Σχήμα (1)
ii) Αν οι διαστάσεις του σχήματος (2) διπλασιαστούν, δείξτε ότι ο όγκος
του οκταπλασιάζεται.
x
ψ
z
Σχήμα (2)
Λύση
i) Γνωρίζουμε ότι E = xy .
Έστω τώρα E' το εμβαδό του νέου ορθογώνιου παραλληλογράμμου· τότε
E' = (2x)⋅ (2y) = 4xy
= 4(xy)
= 4E . Άρα το E' είναι τετραπλάσιο του Ε.
ii) Γνωρίζουμε ότι V = xyz .
Έστω τώρα V' ο όγκος του νέου ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου· τότε
V' = (2x)(2y)(2z) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z
= 8xyz
= 8V . Άρα ο V΄ είναι οκταπλάσιος του V.
61. 142 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
29ο Πρόβλημα
. Οκτώ φίλοι θέλουν να φωτογραφηθούν ανά δύο. Πόσες πόζες θα τραβήξει
ο φωτογράφος; Αν κάθε φίλος αγοράσει όλες τις φωτογραφίες στις οποίες
εμφανίζεται, πόσες φωτογραφίες θα πρέπει να εκτυπώσει ο φωτογράφος;
Λύση
Ο φωτογράφος λέει στους φίλους. «Ένας ένας από σας θα ποζάρει με καθέναν
από τους υπόλοιπους μία φορά και θα απομακρύνεται».
Έτσι: την πρώτη φορά τραβήχτηκαν 7 πόζες, αφού οι φίλοι ήσαν 8
τη δεύτερη φορά 6 πόζες, αφού οι φίλοι που
απέμειναν ήσαν 7
την τρίτη φορά 5 --//-- 6
την τέταρτη φορά 4 --//-- 5
την πέμπτη φορά 3 --//-- 4
την έκτη φορά 2 --//-- 3
την έβδομη φορά 1 --//-- 2
και την όγδοη φορά 0, αφού ο 8ος φίλος που απέμεινε
δεν έχει «ταίρι», για να φωτογραφιστεί.
Σύνολο ποζών 28.
Κάθε φίλος θα εμφανίζεται σε 7 φωτογραφίες.
Επομένως, ο φωτογράφος θα εκτυπώσει 7 ⋅8 = 56 φωτογραφίες.
30ο Πρόβλημα
Πόσους διψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0, 1,
5, 6, 7;
Λύση
Η θέση των δεκάδων θα καλυφθεί με ένα από το ψηφία 1, 5, 6, 7, διότι ο αριθ-
μός θέλουμε να είναι διψήφιος ενώ η θέση των μονάδων θα καλυφθεί με ένα από
τα ψηφία 0, 1, 5, 6, 7.
Συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα.
62. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 143
Μονάδες
Δεκάδες
0 1 5 6 7
1 10 11 15 16 17
5 50 51 55 56 57
6 60 61 65 66 67
7 70 71 75 76 77
Συνολικά θα σχηματιστούν 20 διψήφιοι αριθμοί.
Μια άλλη σκέψη:
Αν ένα από τα ψηφία των δεκάδων συνδυαστεί με κάθε ψηφίο των μονάδων, θα
προκύψουν τόσοι διψήφιοι αριθμοί όσα τα ψηφία των μονάδων, δηλαδή 5.
Άρα, αν όλα τα ψηφία των δεκάδων συνδυαστούν με καθένα από τα ψηφία των
μονάδων θα προκύψουν 4 ⋅5 = 20 το πλήθος διψήφιοι αριθμοί.
31ο Πρόβλημα
Ένας γυμναστής τοποθετεί τους μαθητές ενός σχολείου κατά επτάδες.
Αν τους τοποθετήσει κατά πεντάδες, σχηματίζονται 10 σειρές περισσό-
τερες. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο;
Λύση
;
άγνωστο πλήθος επτάδων
πλήθος μαθητών
που έφυγαν από
τις επτάδες=2 (πλήθος επτάδων)
;
10 πεντάδες πλήθος μαθητών
που έφυγαν από
τις επτάδες
Από την κάθε επτάδα φεύγουν δύο μαθητές και προκύπτει μία πεντάδα. Με τον
τρόπο αυτό από το συνολικό πλήθος των επτάδων προκύπτουν ισάριθμες πεντάδες
και το πλήθος των μαθητών που θα σχηματίσουν τις επιπλέον πεντάδες είναι δύο
63. 144 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
φορές το πλήθος των επτάδων. Όμως οι μαθητές που βγήκαν από τις επτάδες σχη-
μάτισαν δέκα σειρές πεντάδων επιπλέον, άρα το πλήθος τους είναι 10 · 5 = 50.
Επομένως θα ισχύει:
2 · (πλήθος επτάδων) = 50, πλήθος επτάδων = 50 : 2 = 25.
Άρα συνολικό πλήθος μαθητών 25 · 7 = 175.
Άρα το σχολείο έχει 175 μαθητές.
32ο Πρόβλημα
Τρεις φίλοι μοιράζουν κάποια μήλα με τον εξής τρόπο: Ο α΄ πήρε τα
μισά μήλα συν 1 μήλο, ο β τα μισά από τα υπόλοιπα συν 4 μήλα και ο
τρίτος τα μισά απ’ όσα έμειναν συν 5 μήλα. Τελικά έμειναν και 8 μήλα
αδιάθετα. Πόσα μήλα πήρε ο καθένας;
Λύση
Το παρακάτω σχεδιάγραμμα δείχνει τον τρόπο μοιρασιάς των μήλων.
Μήλα
;
ο α πήρε
έμειναν
τα μισά
+1
τα μισά
–1
διαφορά 2 μήλα
τα μισά
+4 μήλα
τα μισά
–4 μήλα
ο β πήρε
έμειναν
διαφορά 8 μήλα
τα μισά
+5 μήλα
τα μισά
–5 μήλα
ο γ πήρε
έμειναν
διαφορά 10 μήλα
(8 μήλα)
Ακολουθώντας τώρα πορεία από το τέλος προς την αρχή θα έχουμε:
Έμειναν 8 μήλα.
Ο γ πήρε 10 μήλα περισσότερα από αυτά που έμειναν 8 +10 =18 μήλα.
Πριν ο γ πάρει το μερίδιό του το καλάθι είχε 8 +18 = 26 μήλα.
Ο β πήρε 8 μήλα περισσότερα από τα 26, δηλαδή πήρε 8 + 26 = 34 μήλα.
Πριν ο β πάρει το μερίδιό του το καλάθι είχε 26 + 34 = 60 μήλα.
Ο α πήρε 2 μήλα περισσότερα από τα 60, δηλαδή πήρε 60 + 2 = 62 μήλα.
Πριν ο α πάρει το μερίδιό του, το καλάθι είχε 60 + 62 =122 μήλα.
64. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 145
Προβλήματα τεσσάρων πράξεων προς λύση
3.1. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 640 και διαφορά 100. Να βρεθούν οι αριθμοί.
(Α. 370, 270)
3.2. Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 523.
Να βρεθούν οι αριθμοί (δύο φυσικοί αριθμοί λέγονται διαδοχικοί, αν διαφέ-
ρουν κατά 1).
(Α. 261, 262)
3.3. Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 144. Να βρεθούν οι αριθ-
μοί. (τρεις ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί λέγονται διαδοχικοί, αν, γραφό-
μενοι κατά αύξουσα σειρά, ο καθένας είναι μεγαλύτερος κατά 1 του προη-
γούμενού του)
(Α. 47, 48, 49)
3.4. Τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 406. Να βρεθούν οι
αριθμοί.
(Α. 100, 101, 102, 103)
3.5. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 100, και ο ένας είναι 24 φορές μεγαλύτερος
από τον άλλο. Να βρεθούν οι αριθμοί.
(Α. 96, 4)
3.6. Η διαφορά δύο αριθμών είναι 150, και ο ένας είναι 6 φορές μικρότερος από
τον άλλο. Να βρεθούν οι αριθμοί.
(Α. 180 – 30)
3.7. Ένας έμπορος κρασιού έχει τρία βαρέλια κρασί, τα οποία περιέχουν 610 κι-
λά κρασί. Το πρώτο περιέχει 50 κιλά λιγότερο από το δεύτερο και 40 κιλά
περισσότερο από το τρίτο. Πόσα κιλά περιέχει το καθένα;
(Α. 200, 250, 160)
3.8. Τρεις φίλοι μοιράστηκαν το ποσό των 38.000 € ως εξής:
Ο πρώτος πήρε δεκαπενταπλάσια χρήματα από το δεύτερο και ο τρίτος 5
φορές λιγότερα από τον πρώτο. Πόσα € πήρε ο καθένας;
(Α. α – 30.000, β – 2.000, γ – 6.000)
3.9. Ένα Λύκειο έχει 350 μαθητές.
65. 146 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
Η Α΄ τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από τη Γ΄ τάξη και η Β΄ έχει 10 μαθητές
περισσότερους από τη Γ΄ τάξη. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη;
(Α. Α, 170, Β, 95, Γ, 85)
3.10. Μια θεατρική παράσταση την παρακολούθησαν 290 θεατές (άνδρες – γυ-
ναίκες – παιδιά). Από αυτούς, οι άνδρες ήσαν 40 περισσότεροι από τις γυ-
ναίκες και τα παιδιά 60 λιγότερα από τους άνδρες. Πόσοι είναι οι άνδρες, οι
γυναίκες και τα παιδιά;
(Α. α – 130, γ – 90, π – 70)
3.11. Τα 80 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν 15 € περισσότερο από όσο κοστίζουν τα
65 κιλά πορτοκάλια. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό πορτοκάλια;
(Α. 1 €)
3.12. Ένα κιλό αλεύρι αποδίδει 1.400 γραμμάρια ψωμί. Πόσα κιλά ψωμί θα φτιά-
ξουμε από 28 σακιά αλεύρι των 50 κιλών το καθένα;
(Α. 1.960)
3.13. Τρεις φίλοι έχουν κοινό ταμείο για τα έξοδά τους. Ο πρώτος έχει καταθέσει
στο κοινό ταμείο το ποσό των 300 € ο δεύτερος το ποσό των 200 € και ο τρί-
τος το ποσό των 500 €.
Στο τέλος κάποιας εκδρομής περίσσεψαν 400 €. Πώς πρέπει να μοιραστεί το
υπόλοιπο του ταμείου, αφού τα έξοδα ήταν ίδια για όλους;
(Α. 100, 0, 300)
3.14. Ένας έμπορος αξιοποιεί στη δουλειά του το ποσό των 50.000 € και κερδίζει
κάθε χρόνο το ποσό των 10.000 €.
Ένας άλλος έμπορας εμπορεύεται το ποσό των 30.000 € και κερδίζει κάθε
χρόνο το ποσό των 15.000 €.
Ύστερα από πόσα χρόνια τα κεφάλαια τους, αυξημένα κατά τα κέρδη τους
θα γίνουν ίσα;
(Α. 4)
3.15. Τα 6 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν όσο τα 7 κιλά μανταρίνια. Αν τα 2 κιλά μα-
νταρίνια κοστίζουν 96 λεπτά του €, πόσο κοστίζει το ένα κιλό πορτοκάλια;
(Α. 56 λεπτά του €)
3.16. Ένας τεχνίτης εργάστηκε μαζί με το βοηθό του κάποιες ημέρες. Γι’ αυτή τη
δουλειά πληρώθηκαν ο μεν τεχνίτης με 500 €, ο δε βοηθός με 400 €. Αν το
66. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 147
μεροκάματο του τεχνίτη είναι 10 € παραπάνω από το μεροκάματο του βοη-
θού, πόσες ημέρες εργάστηκαν και πόσο είναι το μεροκάματο του καθενός;
(Α. 10, τ – 50, β – 40)
3.17. Ένας μελισσοκόμος πουλάει το μέλι του και εισπράττει 3.000 €. Αν το που-
λούσε κατά 40 λεπτά του € το κιλό ακριβότερα, θα εισέπραττε 3.500 €. Πό-
σα κιλά μέλι πούλησε;
(Α. 1250)
3.18. Ένας υαλοπώλης αγόρασε ποτήρια προς 50 λεπτά του € το καθένα. Στη με-
ταφορά των έσπασαν 10 δωδεκάδες. Τα υπόλοιπα τα πουλάει προς 55 λεπτά
του € το ένα και ζημιώνεται 40 €. Πόσα ποτήρια είχε αγοράσει;
(Α. 520)
3.19. Για εργασία μιας βδομάδας (5 ημέρες), 10 χτίστες και 12 βοηθοί τους εισέ-
πραξαν συνολικά 5.650 €. Αν το μεροκάματο του χτίστη είναι κατά 25 € πε-
ρισσότερο από το μεροκάματο του βοηθού, πόσο είναι το μεροκάματο του
καθενός;
(Α. χ- 65, β – 40)
3.20. Ο Νίκος είναι σήμερα 15 ετών και είναι 25 έτη μικρότερος από τον πατέρα
του. Ο πατέρας του ήταν 5 ετών, όταν ο παππούς του είχε τη σημερινή ηλι-
κία του πατέρα του. Όταν γεννήθηκε ο Νίκος, ο παππούς πέθανε. Πόσα χρό-
νια έζησε ο παππούς;
(Α. 60)
3.21. Μια μάνα είναι σήμερα 36 ετών και έχει τρία παιδιά ηλικίας 12, 10 και 8
ετών αντίστοιχα. Ύστερα από πόσα χρόνια η ηλικία της μάνας θα είναι ίση
με το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών;
(Α. 3)
3.22. Ένα αστικό λεωφορείο με εισιτήριο 80 λεπτά του € εισέπραξε σε μια δια-
δρομή 120 €. Αν οι επιβάτες που ανέβηκαν κατά τη διαδρομή, ήσαν τριπλά-
σιοι απ’ αυτούς που κατέβηκαν, και το λεωφορείο έφτασε στο τέλος της
διαδρομής με 130 επιβάτες, με πόσους επιβάτες ξεκίνησε από την αφετηρία;
(Α. 90)
67. 148 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.23. Αν κάποιος είχε στην τσέπη του 100 € περισσότερα απ’ όσα έχει, θα μπο-
ρούσε να αγοράσει ένα κοστούμι αξίας 1.250 € και θα του περίσσευαν 40 €.
Πόσα χρήματα έχει στην τσέπη του;
(Α. 1.190)
3.24. Ένας, με τα χρήματα που έχει στην τσέπη του σκοπεύει να αγοράσει 18 δί-
σκους μουσικής. Ο καταστηματάρχης όμως του κάνει έκπτωση 2 € το δίσκο.
Έτσι αγοράζει 4 δίσκους περισσότερους από όσους είχε προγραμματίσει.
Πόσα € αγόρασε τον ένα δίσκο; Πόσα χρήματα είχε στην τσέπη του; Πόσα €
πουλιόταν ο ένας δίσκος;
(Α. 9 – 198 – 11)
3.25. Ένας έμπορος αγόρασε ύφασμα προς 5 € το μέτρο. Από το ύφασμα, τα 24
μέτρα, τα πούλησε προς 8 € το μέτρο και τα υπόλοιπα, επειδή δεν υπήρχε
ζήτηση, τα πούλησε σε προσφορά 3 € το μέτρο. Στο τέλος, είδε ότι δεν κέρ-
δισε, αλλά ούτε και ζημιώθηκε. Πόσα μέτρα ύφασμα είχε αγοράσει τελικά;
(Α. 60)
3.26. Ένας έμπορος θέλησε να μοιράσει σε 10 φτωχές οικογένειες ένα τόπι ύφασμα,
δίνοντας σε κάθε οικογένεια από 5 m ύφασμα. Παρατήρησε όμως ότι οι φτω-
χές οικογένειες ήσαν 12 και όχι 10. Έτσι, για να μην ξοδέψει περισσότερα
χρήματα, μοίρασε με τον ίδιο τρόπο στις 12 οικογένειες άλλο τόπι ύφασμα,
φτηνότερο κατά 2 € το μέτρο. Ποια είναι η τιμή του μέτρου για κάθε τόπι;
(Α. α – 12, β – 10)
3.27. Ένας εργαζόμενος έχασε ένα πρωί, το λεωφορείο που τον μεταφέρει στη
δουλειά του. Έτσι, αναγκάστηκε να πάρει ταξί.
Το ταξί κοστίζει 1 € η σημαία και 80 λεπτά του € το χιλιόμετρο.
Αν γι’ αυτή τη μετακίνηση ο εργαζόμενος πλήρωσε 13 €, πόσα χιλιόμετρα
μακριά από τη δουλειά του κατοικεί; (Α. 15 Km)
3.28. Οι μαθητές ενός σχολείου αποφάσισαν να πάνε κάποια εκδρομή. Υπολόγι-
σαν ότι αν πλήρωναν 8 € ο καθένας τους, θα έλειπαν 500 € για να καλύψουν
τα έξοδα της εκδρομής, ενώ αν πλήρωναν 10 € ο καθένας, θα κάλυπταν τα
έξοδα της εκδρομής και θα περίσσευαν 300 €. Πόσοι μαθητές έλαβαν μέρος
στην εκδρομή και ποιο είναι το κόστος της;
(Α. μ – 400 , κ – 3.700)
68. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 149
3.29. Ένας μαθητής θέλει να αγοράσει 20 βιβλία, αλλά του λείπουν 80 €. Αν όμως
αγόραζε 15 βιβλία, θα του περίσσευαν 50 €. Πόσο τιμάται το κάθε βιβλίο,
και πόσα χρήματα έχει ο μαθητής;
(Α. 26 – 440)
3.30. Σε μια εταιρεία εργάζονται 4 επιστήμονες, 8 ειδικευμένοι εργάτες και 15
ανειδίκευτοι εργάτες. Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ε-
πιλέξουμε μια τριμελή επιτροπή που να περιλαμβάνει ένα άτομο από κάθε
κατηγορία;
(Α. 480)
3.31. Σε ένα τραπέζι είναι καλεσμένα 5 ζευγάρια. Αν ανταλλάξουν μεταξύ τους
χειραψίες, πόσες χειραψίες θα πραγματοποιηθούν;
(Α. 40)
3.32. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0, 1,
2, 3, 4;
(Α. 100)
3.33. Πόσους τριψήφιους αριθμούς που να τελειώνουν σε 5 μπορούμε να σχημα-
τίσουμε με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5;
(Α. 30)
3.34. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, των οποίων το πρώτο ψηφίο είναι 4
και το τελευταίο 5;
(Α. 100)
3.35. Αν οι στρατιώτες ενός κέντρου εκπαίδευσης σχηματίσουν τετράδες τότε θα
προκύψουν 50 σειρές περισσότερες απ’ όσες θα προκύψουν, αν παρατα-
χθούν σε εξάδες. Πόσους στρατιώτες έχει το κέντρο;
(Α.600)
3.36. Μια νοικοκυρά ξόδεψε σε μια μέρα τα μισά αυγά που είχε και δύο ακόμα.
Τη δεύτερη μέρα ξόδεψε τα μισά από τα υπόλοιπα και 5 αυγά. Την τρίτη
μέρα ξόδεψε πάλι τα μισά απ’ όσα απέμειναν και 1 αυγό. Τελικά δεν έμεινε
κανένα αυγό. Πόσα αυγά είχε αρχικά;
(Α. 32)
69. 150 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΟΥ
ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ
Τέχνασμα λέμε την «έξυπνη» σκέψη με την οποία λύνουμε εύκολα και γρήγο-
ρα, ένα πρόβλημα.
3.3.1. Το τέχνασμα της ψευδούς υπόθεσης
1ο Πρόβλημα
Ένα τρένο μεταφέρει 200 επιβάτες α΄ και β΄ θέσης. Το εισιτήριο της α΄ θέ-
σης κοστίζει 8 € και της β΄, 5 €. Αν όλοι οι επιβάτες πλήρωσαν συνολικά 1.240
€, πόσοι επιβάτες έχουν εισιτήριο α΄ και πόσοι β΄ θέσης;
Λύση
Ας υποθέσουμε ότι όλοι οι επιβάτες έχουν εισιτήριο α΄ θέσης.
Τότε, θα πρέπει όλοι μαζί να πληρώσουν: 200 ⋅8 =1.600 €.
Αυτοί όμως, πλήρωσαν 1.240 €, δηλαδή 1.600 −1.240 = 360 € λιγότερα.
Το πλεόνασμα των 360 € οφείλεται στο γεγονός ότι, σύμφωνα με την υπόθεσή
μας, κάθε επιβάτης της β΄ θέσης πλήρωσε εισιτήριο κατά 8 − 5 = 3 € ακριβότερο.
Άρα οι επιβάτες της β΄ θέσης θα είναι: 360 :3 =120 , οπότε της α΄ θέσης, θα εί-
ναι: 200 −120 = 80 .
Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε αν υποθέσουμε ότι, όλοι οι επιβάτες έ-
χουν εισιτήριο β΄ θέσης.
Τότε, θα πρέπει όλοι μαζί, να πληρώσουν 200 ⋅5 =1.000 €.
Αυτοί όμως πλήρωσαν 1.240 −1.000 = 240 € περισσότερα.
Το έλλειμμα αυτό των 240 € οφείλεται στο γεγονός ότι, σύμφωνα με την υπό-
θεσή μας, κάθε επιβάτης της α΄ θέσης πλήρωσε εισιτήριο κατά 8 − 5 = 3 € φθηνό-
τερο.
Άρα οι επιβάτες της α΄ θέσης θα είναι: 240 :3 = 80 , οπότε της β΄ θέσης, θα εί-
ναι: 200 − 80 =120 .
70. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 151
Παρατήρηση
Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, στηριχτήκαμε σε μια «ψευδή» υπόθεση,
ότι όλοι οι επιβάτες έχουν εισιτήριο της μιας ή της άλλης κατηγορίας.
Γι’ αυτό και το τέχνασμα που χρησιμοποιήσαμε το ονομάζουμε «τέχνασμα της
ψευδούς υπόθεσης».
2ο Πρόβλημα
Ένας αγρότης εκτρέφει κότες και κουνέλια. Όλα τα ζώα του έχουν 50 κε-
φάλια και 140 πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια;
Λύση
Προφανώς τα ζώα του είναι 50, αφού κάθε ζώο έχει ένα κεφάλι.
Ας υποθέσουμε ότι όλα τα ζώα του είναι κουνέλια.
Τότε θα είχαν: 50 ⋅ 4 = 200 πόδια.
Δηλαδή, 200 −140 = 60 πόδια περισσότερα.
Αυτό οφείλεται στο ότι τις κότες τις υπολογίσαμε για κουνέλια.
Μια κότα έχει 2 πόδια και όχι 4.
Συνεπώς, τα 60 επιπλέον πόδια, προήλθαν από τα 2 παραπάνω πόδια που βά-
λαμε σε κάθε κότα.
Άρα οι κότες είναι 60 : 2 = 30 και τα κουνέλια είναι: 50 − 30 = 20 .
Παρατηρήσεις
1. Το πρόβλημα αυτό λύνεται με όμοιο τρόπο, αν υποθέσουμε ότι όλα τα ζώα είναι
κότες.
2. Το συγκεκριμένο πρόβλημα αναφέρεται στο βιβλίο «Η μαθηματική ανακάλυψη»
του George Polya και λύνεται με τον εξής παράξενο τρόπο:
Ο αγρότης υποθέτει ότι οι κότες στηρίζονται μόνο στο 1 πόδι και τα κουνέλια,
μόνο στα δύο πίσω πόδια τους.
Έτσι τα πόδια των ζώων είναι τα μισά των πραγματικών.
Δηλαδή, 140 : 2 = 70 .
Τα ζώα, όμως είναι 50. Τα επιπλέον πόδια, 70 − 50 = 20 , ανήκουν στα κουνέλια.
Όμως με τον τρόπο που σκέπτεται ο αγρότης, κάθε κουνέλι έχει 1 πόδι παραπάνω
από την κότα.
Άρα, τα κουνέλια είναι 20 και οι κότες 50 − 20 = 30 .
71. 152 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3ο Πρόβλημα
Ένας έμπορος αγόρασε συνολικά 400 κιλά κρασί α΄ και β΄ ποιότητας προς 3
€ και 1 € το κιλό αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες και σκοπεύει να το
πουλήσει προς 2 € το κιλό, υπολογίζοντας έτσι ότι θα κερδίσει 100 €. Πόσα
κιλά κρασί από κάθε ποιότητα αγόρασε;
Λύση
Από την πώληση του κρασιού θα εισπράξει: 400 ⋅ 2 = 800 €.
Αφού στοχεύει σε ένα κέρδος 100 €, η τιμή αγοράς του κρασιού θα είναι
800 −100 = 700 €.
Το πρόβλημα λύνεται με το τέχνασμα της ψευδούς υπόθεσης.
Έστω ότι όλο το κρασί είναι α΄ ποιότητας.
Τότε η τιμή αγοράς του είναι 400 ⋅3 =1.200 €.
Δηλαδή, 1.200 − 700 = 500 € περισσότερα από το πραγματικό κόστος.
Αυτό οφείλεται στο ότι η τιμή κόστους κάθε κιλού κρασιού β΄ ποιότητας, υπο-
θέσαμε ότι αυξήθηκε κατά 3 −1= 2 €.
Συνεπώς, η διαφορά των 500 € οφείλεται σ’ αυτή την ανά κιλό αύξηση της τι-
μής κόστους του κρασιού της β΄ ποιότητας.
Άρα το κρασί της β΄ ποιότητας είναι 500 : 2 = 250 κιλά και το κρασί της α΄
ποιότητας 400 − 250 =150 κιλά.
4ο Πρόβλημα
Ένας εργαζόμενος, για μιας μέρας δουλειά, αμείβεται με το ποσό των 40 €
και την τροφή του. Αν όμως μια ημέρα δεν δουλέψει του αφαιρείται το ποσό
των 8 €. Στο τέλος του μήνα πληρώθηκε με το ποσό των 720 €.
i) Την ημέρα που δεν εργάζεται πόσα χρήματα χάνει;
ii) Πόσες ημέρες εργάστηκε;
iii) Είναι δυνατόν να εργαστεί κάποιες ημέρες και στο τέλος του μήνα να
μην εισπράξει χρήματα;
Λύση
i) Αν δεν εργαστεί μια ημέρα θα χάσει το μεροκάματο 40 €, αλλά και θα πληρώ-
σει 8 € για την τροφή του. Συνολικά θα χάσει 48 €.
ii) Έστω ότι εργάστηκε όλες τις ημέρες.
Τότε, στο τέλος του μήνα θα έπρεπε να εισπράξει 40 ⋅30 =1.200 €.
Εκείνος όμως εισέπραξε 1.200 − 720 = 480 € λιγότερα.
72. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 153
Έχασε λοιπόν 480 €. Κάθε ημέρα που δεν εργάζεται χάνει 48 €.
Άρα δε δούλεψε 480 : 48 =10 ημέρες. Συνεπώς, δούλεψε 30 −10 = 20 ημέρες.
iii) Αφού δεν εισέπραξε χρήματα, έχασε έναν πλήρη μισθό, δηλαδή 40 ⋅30 =1200 €.
Συνεπώς, δε δούλεψε 1.200 : 48 = 25 ημέρες. Άρα, αν δουλέψει 5 ημέρες το
μήνα, δε θα εισπράξει χρήματα, διότι το ποσό που θα εισέπραττε από τις 5 ημέρες
δουλειάς ( 5⋅ 40 = 200 €) είναι το ίδιο με το ποσό που θα του παρακρατούσαν για
τις 25 ημέρες που δε δούλεψε ( 25⋅8 = 200 €).
Προβλήματα προς λύση
3.37. Κάποιος έχει στην τσέπη του 2.200 € σε χαρτονομίσματα των 100 € και των
50 €. Αν τα χαρτονομίσματα στο σύνολό τους είναι 30, πόσα είναι των 100
και πόσα των 50;
(Α. 14 των 100, 16 των 50)
3.38. Ένας έμπορος αγόρασε συνολικά 3.000 κιλά λάδι δύο ποιοτήτων με 5 € και
3 € το κιλό, αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες λαδιού και πουλάει το
μείγμα προς 4 € το κιλό. Στο τέλος είδε ότι ζημιώθηκε 200 €. Πόσα κιλά λά-
δι από κάθε ποιότητα αγόρασε;
(Α. α – 1.600, β – 1.400)
3.39. Ένας διαγωνιζόμενος καλείται να απαντήσει σε 100 ρωτήσεις. Για κάθε σω-
στή απάντηση κερδίζει 4 μόρια, ενώ για κάθε λανθασμένη του αφαιρείται 1
μόριο.
Τελικά συγκέντρωσε 310 μόρια.
i) Για κάθε λανθασμένη απάντηση πόσα μόρια χάνει;
ii) Πόσες σωστές και πόσες λανθασμένες απαντήσεις έδωσε;
iii) Είναι δυνατόν ο διαγωνιζόμενος να έχει δώσει σωστές απαντήσεις και
να συγκεντρώσει μηδέν μόρια;
(Α. i) 5 ii) 82 18 iii) ναι, αρκεί να δώσει 20 σωστές και 80 λάθος).
3.40. Θέλει κάποιος να πληρώσει ένα χρέος 1.280 € με 40 χαρτονομίσματα των 10
και των 50 €. Πόσα χαρτονομίσματα των 10 € και πόσα των 50 € θα χρεια-
στεί;
(Α. 18, 22)
73. 154 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.41. Ένα θέατρο έχει εισιτήρια 3 κατηγοριών. Α θέσης, αξίας 12 €, Β θέσης, αξί-
ας 8 € και παιδικά, αξίας 5 € το ένα. Αν μια παράσταση την παρακολούθη-
σαν 190 θεατές εκ των οποίων οι 40 ήσαν παιδιά, και το θέατρο συνολικά
εισέπραξε 1.800 €, πόσα εισιτήρια Α και πόσα Β θέσης κόπηκαν;
(Α. 100, 50)
3.42. Στα 15 θρανία μιας τάξης κάθονται 37 μαθητές. Τα αγόρια κάθονται ανά 3
σε κάθε θρανίο και τα κορίτσια ανά 2. Αν δεν υπάρχουν κενές θέσεις, πόσα
είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια.
(Α. α – 21, κ – 16)
3.3.2. Το τέχνασμα των ίσων ποσοτήτων
1ο Πρόβλημα
Ένας μαθητής αγόρασε τον ίδιο αριθμό βιβλίων και τετραδίων. Ένα βιβλίο
κοστίζει 5 € και ένα τετράδιο 2 €. Αν για όλα πλήρωσε 35 €, πόσα βιβλία και
πόσα τετράδια αγόρασε;
Λύση
Ο μαθητής αγόρασε τόσα τετράδια όσο βιβλία.
Ένα βιβλίο κοστίζει: 5 €
Ένα τετράδιο κοστίζει: 2 €
Σύνολο: 7 €
Δηλαδή, με 7 € αγοράζει ένα βιβλίο και ένα τετράδιο.
Άρα, με 35 € αγόρασε 35: 7 = 5 κομμάτια από κάθε είδος.
2ο Πρόβλημα
Ένας έμπορoς αγόρασε από 4 είδη προϊόντων την ίδια ποσότητα και σε τι-
μή μονάδας 5, 2, 3 και 10 €, αντίστοιχα. Αν για όλη αυτή τη διαδικασία πλή-
ρωσε 3.600 €, πόσες μονάδες από κάθε είδος αγόρασε;
Λύση
Αγόρασε την ίδια ποσότητα από κάθε είδος.
Η τιμή, ανά μονάδα, του α΄ είδους κοστίζει: 5 €,
74. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 155
Η τιμή, ανά μονάδα, του β΄ είδους: 2 €,
Η τιμή, ανά μονάδα, του γ΄ είδους: 3 €
Η τιμή, ανά μονάδα, και το δ΄ είδους: 10 €
Σύνολο: 20 €
Δηλαδή, κάθε 20 € αγοράζει και μία μονάδα από κάθε είδος.
Άρα, από κάθε είδος αγόρασε 3.600 : 20 =180 μονάδες.
3ο Πρόβλημα
Μια νοικοκυρά πήγε στο μανάβη αποφασισμένη να αγοράσει την ίδια πο-
σότητα μήλων και πορτοκαλιών. Τα μήλα κοστίζουν 2 € το κιλό και τα πορτο-
κάλια 1 € το κιλό. Επειδή όμως δε βρήκε όσα πορτοκάλια είχε προγραμματί-
σει, τα συμπλήρωσε με μήλα. Έτσι αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα
είχε προγραμματίσει. Για όλα τα φρούτα που αγόρασε, πλήρωσε 40 €. Πόσα
κιλά πορτοκάλια αγόρασε, πόσα κιλά μήλα και πόσα κιλά από κάθε είδος είχε
προγραμματίσει να αγοράσει;
Λύση
Η νοικοκυρά αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα είχε προγραμματίσει.
Γιατί το έκανε αυτό; Διότι ο μανάβης δεν είχε τόσα κιλά πορτοκάλια όσα ήθελε να
αγοράσει.
Έτσι αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα ήθελε και 4 κιλά πορτοκάλια
λιγότερα απ’ όσα ήθελε.
Δηλαδή, συνολικά τα μήλα που αγόρασε ήταν 8 κιλά περισσότερα από τα πορ-
τοκάλια.
Τα 8 κιλά μήλα κοστίζουν 8⋅ 2 =16 €.
Οπότε, με τα 40 −16 = 24 € αγόρασε ίσες ποσότητες μήλα και πορτοκάλια (φυ-
σικά όχι αυτές που είχε προγραμματίσει).
Αλλά, 1 κιλό μήλα κοστίζει 2 €
1 κιλό πορτοκάλια κοστίζει 1 €
Σύνολο 3 €
Με 3 € αγοράζει ένα κιλό από κάθε είδος, οπότε με τα 24 € αγοράζει 24 :3 = 8
κιλά από κάθε είδος.
75. 156 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
Συνεπώς, τελικά αγόρασε 8 κιλά πορτοκάλια, και 16 κιλά μήλα ενώ είχε προ-
γραμματίσει να αγοράσει 12 κιλά από το κάθε είδος.
Άλλη σκέψη
Η νοικοκυρά παίρνοντας 4 κιλά μήλα επιπλέον πληρώνει 4 ⋅ 2 = 8 € περισσότε-
ρα απ’ όσα θα πλήρωνε για αγορά ίσων ποσοτήτων μήλων και πορτοκαλιών.
Ναι, αλλά αγοράζοντας 4 κιλά πορτοκάλια λιγότερα θα πληρώσει και 4 ⋅1= 4 €
λιγότερα.
Συνεπώς, συνολικά πληρώνει 8 − 4 = 4 € επιπλέον.
Δηλαδή, για αγορά ίσων ποσοτήτων μήλων – πορτοκαλιών τελικά θα πλήρωνε
40 − 4 = 36 €.
Αλλά 1 κιλό μήλα κοστίζει 2 €
1 κιλό πορτοκάλια κοστίζει 1 €
Σύνολο 3 €
Με 3 € αγοράζει ένα κιλό από κάθε είδος, οπότε με 36 € αγοράζει 36 :3 =12
κιλά φρούτα από κάθε είδος.
Άρα, είχε προγραμματίσει να αγοράσει 12 κιλά από κάθε είδος και αγόρασε 16
κιλά μήλα και 8 κιλά πορτοκάλια.
Παρατήρηση
Τρία είναι τα κύρια γνωρίσματα του προηγούμενου τεχνάσματος που γίνονται
φανερά από την εκφώνηση του προβλήματος.
• η αγορά ίσων ποσοτήτων από διάφορα μεγέθη.
• η συνολική αξία τους και
• η τιμή μονάδας κάθε μεγέθους
Οπότε το άθροισμα των τιμών των μονάδων όλων των μεγεθών δηλώνει την α-
γορά ενός ζεύγους, μιας τριάδας κτλ. μονάδων των μεγεθών που αγοράσαμε.
Έτσι διαιρώντας τη συνολική αξία με το άθροισμα των τιμών των μονάδων όλων
των μεγεθών, βρίσκουμε το ζητούμενο πλήθος των μονάδων των μεγεθών. Τα παρα-
πάνω δεν ισχύουν μόνο για προβλήματα αγοράς αλλά γενικά σε προβλήματα ίσων
ποσοτήτων διαφορετικών μεγεθών.
76. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 157
Προβλήματα προς λύση
3.43. Το μεροκάματο ενός τεχνίτη είναι 60 €, ενώ του βοηθού του 32 €. Αν για
ίσο αριθμό ημερών εργασίας εισέπραξαν και οι δύο 920 €, πόσα πήρε ο κα-
θένας;
(Α. τ – 600, β – 320)
3.44. Ένα συνεργείο αποτελείται από 2 μηχανικούς, 3 εργοδηγούς, 10 τεχνίτες και
12 βοηθούς. Το μεροκάματο του καθενός είναι 100 €, 80 €, 60 € και 32 €
αντίστοιχα. Αν από κάποια δουλειά, για ίσο αριθμό ημερών εργασίας, εισέ-
πραξαν 21.360 €, πόσα πήρε ο καθένας;
(Α. μ – 1.500, ε – 1.200, τ – 900, β – 480)
3.45. Δύο εργαζόμενοι πληρώνουν στο ασφαλιστικό ταμείο τους για ένα μήνα
ασφάλισης 600 € ο ένας και 400 € ο άλλος. Αν για τα ίδια χρόνια ασφάλισης
πλήρωσαν και οι δύο μαζί 240.000 €, πόσα χρόνια ασφάλισης έχει ο καθέ-
νας;
(Α. 20)
3.46. Ένας μανάβης αγόρασε τον ίδιο αριθμό τελάρων από τρία είδη φρούτων. Αν
η τιμή των φρούτων είναι 3 €, 1 € και 2 €, ανά κιλό ενώ το βάρος ανά τελά-
ρο είναι 18 κιλά, 15 κιλά και 12, κιλά αντίστοιχα, και η όλη αγορά έχει κό-
στος 930 €, πόσα τελάρα αγόρασε από κάθε είδος φρούτου;
(Α. 10)
77. 158 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.3.3. Το τέχνασμα των κατάλληλων πολλαπλασιαστών
1ο Πρόβλημα
Η τιμή 3 ποδηλάτων (Π) και 4 μοτοσικλετών (Μ) είναι 8.750 €, ενώ η τιμή
2 ποδηλάτων και 6 μοτοσικλετών είναι 12.500 €. Πόσα ευρώ τιμάται το ένα
ποδήλατο και πόσα η μία μοτοσικλέτα;
Λύση
3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 € (1)
2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 € (2)
Μήπως μπορούμε τις σχέσεις (1) και (2) να τις αλλάξουμε με σκοπό να πετύ-
χουμε στις δύο νέες σχέσεις που θα προκύψουν να υπάρχει ίδια ποσότητα για το
ένα τουλάχιστον μέγεθος από τα «ποδήλατα – μοτοσικλέτες»;
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να δημιουργήσουμε σχέσεις στις οποίες να υπάρ-
χουν οι ίδιες ποσότητες ποδηλάτων.
Παρατηρούμε ότι:
αν τα μεγέθη της (1) σχέσης τα διπλασιάσουμε και της (2) τα τριπλασιάσουμε
δηλαδή:
3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 € 2 ⋅
2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 € ⋅3
θα έχουμε
3⋅ 2 = 6Π και 4 ⋅ 2 = 8Μ κοστίζουν 2 ⋅8.750 =17.500 € (3)
2 ⋅3 = 6Π και 6 ⋅3 =18Μ κοστίζουν 3⋅12.500 = 37.500 € (4)
Από τις (3) και (4) φαίνεται ότι η διαφορά 37.500 −17.500 = 20.000 € οφείλε-
ται στο ότι αγοράσαμε 18 − 8 =10Μ επιπλέον.
Συνεπώς, η τιμή της μοτοσικλέτας θα είναι 20.000 :10 = 2.000 €.
Ας εργαστούμε πάλι με όμοιο τρόπο με σκοπό να πετύχουμε στις σχέσεις (1)
και (2) να υπάρχει η ίδια ποσότητα μοτοσικλετών.
3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 €
2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 €
⋅3
→
2 ⋅
9Π και 12Μ κοστίζουν 26.250 € (5)
4Π και 12Μ κοστίζουν 25.000 € (6)
78. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 159
Από τις (5) και (6) φαίνεται ότι η διαφορά 26.250 − 25.000 =1.250 € οφείλεται
στο ότι αγοράσαμε 9 − 4 = 5Π επιπλέον.
Άρα η τιμή του ποδηλάτου θα είναι 1.250 :5 = 250 €. Θα μπορούσαμε επίσης
να βρούμε την τιμή του ενός ποδηλάτου, από την σχέση (1) ή (2) αφού γνωρίζουμε
την τιμή της μιας μοτοσικλέτας.
2ο Πρόβλημα
Πέντε κιλά φασόλια (Φ), 3 κιλά φακές (φ) και 7 κιλά ρεβίθια (ρ) κοστίζουν
49 €. Δύο κιλά φασόλια, 5 κιλά φακές και 3 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 28 €.
Οκτώ κιλά φασόλια, 4 κιλά φακές και 5 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 52 €. Πόσα
ευρώ κοστίζει το κιλό από κάθε είδος;
Λύση
5 κ.Φ, 3 κ.φ. και 7 κ.ρ. κοστίζουν 49 € (1)
2 κ.Φ, 5 κ.φ. και 3 κ.ρ. κοστίζουν 28 € (2)
8 κ.Φ, 5 κ.φ. και 5 κ.ρ. κοστίζουν 52 € (3)
Ας προσπαθήσουμε, ακολουθώντας την πορεία του προηγούμενου παραδείγμα-
τος, οι σχέσεις (1), (2) και (2), (3) να αποκτήσουν ίσες ποσότητες κιλών από κά-
ποιο είδος π.χ. φασόλια
2 ⋅
5 κ.Φ, 3 κ.φ και 7 κ.ρ κοστίζουν 49 €
2 κ.Φ, 5 κ.φ και 3 κ.ρ κοστίζουν 28 € ⋅5
10 κ.Φ, 6 κ.φ και 14 κ.ρ κοστίζουν 49 ⋅ 2 = 98 € (4)
10 κ.Φ, 25 κ.φ και 15 κ.ρ κοστίζουν 28⋅5 =140 € (5)
4 ⋅
2 κ.Φ, 5 κ.φ και 3 κ.ρ κοστίζουν 28 €
8 κ.Φ, 4 κ.φ και 5 κ.ρ κοστίζουν 52 € ⋅1
8 κ.Φ, 20 κ.φ και 12 κ.ρ κοστίζουν 112 € (6)
8 κ.Φ, 4 κ.φ και 5 κ.ρ κοστίζουν 52 € (7)
79. 160 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
Από τις (4) και (5) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 140 − 98 = 42 € οφείλεται
στην επιπλέον ποσότητα: «19 κ.φ και 1 κ.ρ»
Όμοια, από τις (6) και (7) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 112 − 52 = 60 €
οφείλεται στην επιπλέον ποσότητα: « 16 κ.φ και 7 κ.ρ».
7 ⋅
και 19 κ.φ, 1 κ.ρ κοστίζουν 42 €
και 16 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 60 € ⋅1
και 133 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 294 € (8)
και 16 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 60 € (9)
Από τις (8) και (9) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 294 − 60 = 235 € οφείλε-
ται στο ότι αγοράστηκαν 133 −16 =117 κ. φακές επιπλέον.
Συνεπώς, 1 κιλό φακές κοστίζει 234 :117 = 2 €.
Από την σχέση (7) έχουμε ότι 19 κιλά φακές κοστίζουν 19 ⋅ 2 = 38 €, οπότε 1
κιλό ρεβίθια θα κοστίζει 42 − 38 = 4 €.
Όμοια από την σχέση (1) έχουμε:
3 κιλά φακές κοστίζουν 3⋅ 2 = 26 €
7 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 7 ⋅ 4 = 28 €
Σύνολο: 34 €
Άρα, τα 5 κιλά φασόλια κοστίζουν 49 − 34 =15 €, και το ένα κιλό φασόλια
13:5 = 3 €.
Παρατήρηση
Τα βασικά γνωρίσματα του προηγούμενου τεχνάσματος είναι οι διαφορετικές
σχέσεις που μας δίνει η εκφώνηση του προβλήματος. Η καθεμιά απ’ τις σχέσεις
αυτές μας δίνει τη συνολική αξία διάφορων μονάδων των ίδιων πάντοτε διαφο-
ρετικών μεγεθών. Η προσπάθειά μας τότε είναι να δημιουργήσουμε δύο σχέσεις
οι οποίες να έχουν το ίδιο πλήθος μονάδων στο ένα τουλάχιστον μέγεθος.
80. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 161
Προβλήματα προς λύση
3.47. Ένα κιλό ζάχαρη και 1 κιλό καφές κοστίζουν 10 €, ενώ 3 κιλά ζάχαρη και 7
κιλά καφές κοστίζουν 62 €. Πόσο κοστίζει το κιλό από κάθε είδος;
(Α. ζ – 2, κ – 8)
3.48. Αγόρασε κάποιος από το φούρνο τη μια ημέρα 3 τυρόπιτες και 2 σάντουϊτς
συνολικής αξίας 13 € και την άλλη ημέρα 4 τυρόπιτες και 3 σάντουϊτς συνο-
λικής αξίας 18 €.
Την τρίτη ημέρα σκέπτεται να αγοράσει 5 τυρόπιτες και 7 σάντουϊτς. Αν οι
τιμές της τυρόπιτας και του σάντουϊτς δεν άλλαξαν, πόσα ευρώ θα πληρώσει
την τρίτη ημέρα;
(Α. 29 €)
3.49. Δύο κιλά βούτυρο, 3 κιλά λίπος και 4 κιλά μέλι κοστίζουν 70 €.
Τρία κιλά βούτυρο, 5 κιλά λίπος και 2 κιλά μέλι κοστίζουν 76 €.
Τέσσερα κιλά βούτυρο, 2 κιλά λίπος και 8 κιλά μέλι κοστίζουν 116 €.
Πόσο κοστίζει το κιλό από κάθε είδος;
(Α. Β – 10, Λ – 6, Μ – 8)
3.50. Τρεις τεχνίτες και 5 βοηθοί για δουλειά μιας ημέρας πήραν 380 €.
Πέντε τεχνίτες και 3 βοηθοί για δουλειά μιας ημέρας πήραν 420 €.
Πόσα ευρώ είναι το μεροκάματο του τεχνίτη και πόσα του βοηθού;
(Α. Τ – 60, Β – 40)
81. 162 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.3.4. Τέχνασμα αλλαγής ισοδυναμιών
1ο Πρόβλημα
Ένας έμπορος αγόρασε 4 video και 5 Η/Υ. Πλήρωσε γι’ αυτή την αγορά
15.808 €. Πόσο τιμάται κάθε είδος, αν γνωρίζουμε ότι η αξία ενός Η/Υ είναι
20 φορές μεγαλύτερη από την αξία ενός video;
Λύση
Ένας Η/Υ κοστίζει όσο τα 20 video. Οι 5 Η/Υ κοστίζουν όσο τα 100 video.
Συνεπώς, η χρηματική αξία 4 video, 5 Η/Υ είναι ίση με τη χρηματική αξία
100 + 4 =104 video. Άρα 104 video κοστίζουν 15.808 €. Επομένως 1 video κοστί-
ζει 15.808:104 =152 € και 1 Η/Υ =152 ⋅ 20 = 3040 €.
2ο Πρόβλημα
Τέσσερις άνδρες και 5 γυναίκες αμείβονται για κάποια δουλειά, με το ποσό
των 1.100 €. Αν η απόδοση 6 ανδρών ισοδυναμεί με την απόδοση 9 γυναι-
κών, πόσα χρήματα θα πάρει ο άνδρας και πόσα η γυναίκα;
Λύση
Έχουμε: «4 άνδρες και 5 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 1.100 €»
«6 άνδρες αποδίδουν όσο 9 γυναίκες».
Αν τριπλασιάσουμε τα μεγέθη της πρώτης σχέσης και διπλασιάσουμε τα μεγέθη
της δεύτερης τότε θα δημιουργήσουμε δύο νέες σχέσεις που θα περιέχουν τον ίδιο
αριθμό ανδρών.
«12 άνδρες και 15 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 3.300 €»
«12 άνδρες αποδίδουν όσο 18 γυναίκες».
Άρα, 18 +15 = 33 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 3.300 €.
Συνεπώς, κάθε γυναίκα θα πάρει 3.300 :33 =100 € και κάθε άνδρας θα πάρει
(9 ⋅100): 6 =150 €.
Παρατήρηση
Το κύριο γνώρισμα αυτού του τεχνάσματος είναι η έκφραση «α μονάδες ενός
ποσού Α ισοδυναμούν με β μονάδες ενός άλλου ποσού Β».
Με βάση αυτή τη σχέση προσπαθούμε τις δοσμένες μονάδες του ποσού Α να
τις αντιστοιχίσουμε σε μονάδες του ποσού Β της ίδιας αξίας.
Το τέχνασμα της αλλαγής ισοδυναμιών εμπεριέχει το τέχνασμα των κατάλ-
ληλων πολλαπλασιαστών.
82. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 163
Προβλήματα προς λύση
3.51. Είκοσι κιλά βούτυρο και 15 κιλά λίπος κοστίζουν 470 €.
Πόσο κοστίζει το κιλό το βούτυρο και πόσο το λίπος, αν 5 κιλά βούτυρο κο-
στίζουν όσο 8 κιλά λίπος;
(Α. β – 16, λ – 10)
3.52. Δέκα πηδήματα σκύλου και 15 πηδήματα αλεπούς έχουν συνολικά 35 μέτρα
μήκος.
Αν 3 πηδήματα σκύλου, ισοδυναμούν σε μήκος, με 6 πηδήματα αλεπούς,
πόσο μήκος έχει το πήδημα του σκύλου και πόσο της αλεπούς;
(Α. σ – 2 m, α – 1 m)
3.53. Πέντε κιλά βούτυρο, 10 κιλά τυρί και 12 κιλά ανθότυρο κοστίζουν 190 €.
Πόσο κοστίζει το κάθε είδος, αν 4 κιλά βούτυρο κοστίζουν όσο τα 5 κιλά
τυρί και τα 5 κιλά τυρί όσο τα 8 κιλά ανθότυρο.
(Α. β – 10, τ – 8, α – 5)
3.54. Σε μια διασκέδαση συμμετέχουν 24 άνδρες, 30 γυναίκες και 10 παιδιά. Το
σύνολο των εξόδων ανήλθε στο ποσό των 520 €. Πόσα πλήρωσε ένας άν-
δρας, μια γυναίκα και ένα παιδί, αν γνωρίζουμε ότι 4 άνδρες πληρώνουν όσα
οι 5 γυναίκες και, 3 γυναίκες όσα τα 6 παιδιά;
(Α. α – 10, γ – 8, π – 4)
3.55. Ένας έμπορος πούλησε 6 πουκάμισα και 9 σακάκια. Από την πώληση αυτή
εισέπραξε 570 €. Αν τα 5 πουκάμισα αξίζουν όσο αξίζουν τα 2 σακάκια, πό-
σα € πουλήθηκε ένα πουκάμισο και πόσα ένα σακάκι;
(Α. π – 20, σ – 50)
3.56. Με 3.000 € ένας έμπορος μπορεί να αγοράσει 18 σακάκια και 14 παντελόνια
ή 12 σακάκια και 26 παντελόνια. Πόσο κοστίζει κάθε σακάκι και κάθε πα-
ντελόνι;
(Α, σ – 120, π – 60)
83. 164 Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων
3.3.5. Το τέχνασμα της κυκλικής πρόσθεσης
1ο Παράδειγμα
Μια οικογένεια έχει τρία παιδιά, το Νίκο, το Μιχάλη και την Αργυρούλα.
Οι ηλικίες του Νίκου και του Μιχάλη έχουν άθροισμα 30 χρόνια, του Μι-
χάλη και της Αργυρούλας έχουν άθροισμα 18 χρόνια, ενώ της Αργυρούλας
και του Νίκου έχουν άθροισμα 24 χρόνια. Να βρεθούν οι ηλικίες των παι-
διών.
Λύση
Έστω ότι α, β και γ οι ηλικίες του Νίκου, του Μιχάλη και της Αργυρούλας, α-
ντίστοιχα.
Τότε
α+β =
0
=18
=
3
24
β+γ
γ+α
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα 30 +18 + 24 = 72 είναι ίσο με το διπλάσιο του
αθροίσματος των ηλικιών των τριών παιδιών, αφού η ηλικία κάθε παιδιού προστί-
θεται δύο φορές.
Άρα, 72 : 2 = 36 χρόνια είναι το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών.
Οπότε, ο Νίκος είναι 36 −18 =18 ετών
ο Μιχάλης είναι 36 − 24 =12 ετών
και η Αργυρούλα είναι 36 − 30 = 6 ετών.
2ο Παράδειγμα
Ένας έμπορος διαθέτει 4 τόπια ύφασμα. Το άθροισμα των μηκών του πρώ-
του, δεύτερου και τρίτου είναι 45 m, του δεύτερου, τρίτου και τέταρτου εί-
ναι 37 m, του τρίτου, τέταρτου και πρώτου είναι 42 m και του τέταρτου,
πρώτου και δευτέρου είναι 47 m. Να βρεθεί το μήκος κάθε τοπιού.
