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claro que não será possível usar o esquema "velho" com o novo objeto. Mas, será ele a
base par o novo esquema que adapta...
3.2 COMO PIAGET PODE AJUDAR NO ENSINO DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
Piaget coloca que aprender é antes de tudo, uma atitud...
4. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
"Para que haja aprendizagens realmente significativas e que promovam a
evolução de estrutura...
aprendidas sem interagirem ou se "ancorarem" com conceitos relevantes existentes na
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5. A PRÁTICA - APLICAÇÕES DAS IDÉIAS
5.1 PROCESSO DE CRIAçÃO
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ou mais "exercícios".
8) correção dos "problemas" e/ou exercícios
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adequada de modo que se possam utilizar os algoritmos apropri...
situações - problema.
Devemos notar que a Resolução de Problemas pode ser o primeiro passo em
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Usando variáveis: cálculo do número
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Quantas diagonais tem um polígono convexo 7
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A fórmula do número de diagonais
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Em nosso trabalho utilizamos essa mesma situação, porém procuramos dar
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Mas nem sempre contar é o melhor método, pois veja a figura abaixo e tente
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Modelo Matemático para nos dizer quantas aiagonats partem ae um uruco veruce ut:
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SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO 3
2. FUNÇÕES 4
2. 1 Introdução: 4
3. EQUAÇÕES - "O RESGATE" 5
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1. APRESENTAÇÃO
Caro aluno, bem vindo ao curso de Matemática do Ensino Médio do Centro Estadual
de Educação Básica para ...
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2. FUNÇÕES
2.1 Introdução:
"A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa medida
todos são m...
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3. EQUAÇÕES - "O RESGATE"
Vamos imaginar a seguinte situação:
Supomos que a massa de uma célula seja função do tempo, is...
&fo •••.• VL.l •.•L."'....., .w." ,----.. ~""" _ _
Exemplo:
1) Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (d...
Tabela 01
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3 O Triângulo
4 1 Quadrado
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Assim, podemos també...
9
Um tipo de célula especial, conhecida como "linfócito T3", que é a célula que
comanda o sistema imunológico do nosso cor...
4- Monte o modelo matemático do problema:
10
5- A situação problema acima pode ser considerada uma função? Por que? Se for...
11
b) será uma função Quadrática do 2° grau (representado graficamente por uma parábola), se sua
forma geral for do tipo f...
Obs. Preencha os dados que faltam:
Tabela 03
Velocidade Tempo 2asto (em h) Distância percorrida (em Km)
30 1 30
30 2 60
30...
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No gráfico acima podemos identificar alguns elementos e tirar algumas conclusões,
tais como:
a) o eixo horizontal é...
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4)Utilizando o modelo matemático do problema complete a tabela abaixo referente ao crescimento
mensal dessa planta dura...
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a, = 10
termo
n = n.o de termos
r = razão
Fórmula da Soma de uma P.A. Finita
Exercícios:
1- Em uma estrada são instalad...
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preço total do terreno é de R$ 19 500,00, calcule o número de prestações mensais que devem ser
pagas.
7. PROGRESSÕES GE...
17
parte do juro, dizemos que você está amortizando a dívida, e quando pagar a última parcela, você
terá pagado o juro e o...
18
Exercícios
1- Aplica-se um capital de R$ 600,00, na caderneta de poupança, durante um período de 8 meses.
Prevendo uma ...
19
4- Em um rebanho de 15 000 reses, urna foi infectada pelo vírus "vaca louca". Cada animal infectado
vive apenas dois di...
20
Exercícios:
1- Calcule os logaritmos:
a) log7 49 = b) log 1000 =
2- Um cidadão fez um empréstimo, no Banespado S/A, de ...
a) Gráfico de Linha
GRÁFICO 01
21
4500
4000I/)
~ 3500
~ 3000
I/) 2500
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~ 2000
~ 1500
~ 1000
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O
Mortalidade das V...
b) Gráfico de Barras
GRÁFICO 02
22
Mortalidade de Vacas Atingidas pelo Vírus
"Vaca Louca"
Ponta Grossa - Agosto de 2000
45...
23
Também podemos ter um Gráfico Estatístico do Problema do contágio de AIDS
c) Gráfico de Setores
GRÁFICO 03
Número de Pe...
24
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Média
Aritmética:
I 1:4=2+ 4 +8 + 16+32;;,- ...
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  1. 1. - claro que não será possível usar o esquema "velho" com o novo objeto. Mas, será ele a base par o novo esquema que adaptará a esse objeto novo: Talvez, neste exemplo, "aperta e bába" seria um título apropriado para o esquema novo. Este processo é chamado acomodação, especificamente acomodando um esquema velho para um objeto novo. Assimilação e acomodação são os dois lados da adaptação, o termo de Piaget para o que a maioria de nós chamaria aprendizagem. Porém, Piaget viu a adaptação como um processo bem mais amplo e influente sobre a aprendizagem do que a que os Behavioristas nos EUA estavam falando. Ele viu isto como um processo fundamentalmente biológico. Todos os seres vivos se adaptam às coisas, até mesmo aqueles que não possuem um sistema nervoso central ou cérebro. A assimilação e o trabalho de acomodação como pêndulo balançam para avançar nossa compreensão do mundo e nossa competência nisto. De acordo com Piaget, eles são dirigidos a um equilíbrio entre a estrutura da mente e o ambiente, levando a um certo ponto em comum entre os dois, que isso indicaria que você tem um bom (ou pelo menos um razoável) modelo de compreensão do universo. A este estado ideal ele chama equilíbrio. Em sua investigação sobre como as cnanças aprendem, notou que havia períodos onde assimilação dominava, períodos onde a acomodação dominava, e períodos de equilíbrio relativo, e que estes períodos eram semelhantes entre todas as crianças observadas em suas pesquisas. E assim ele desenvolveu a idéia de fases ou estágios de desenvolvimento cognitivo. Não é nossa intenção, no presente trabalho abordar cada um dos estágios citados por Piaget, visto que nossa proposta é dirigida a uma faixa etáría específica, logo não discutiremos passo-a-passo a teria Piagetiana, mas apenas o ceme de suas pesquisas, que é a constatação que o indivíduo aprende a partir de estruturas já existentes, onde a assimilação de novos conhecimentos só ocorre quando há um desequilíbrio de forma que o indivíduo vai assimilar para novamente acomodar. 27
  2. 2. 3.2 COMO PIAGET PODE AJUDAR NO ENSINO DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Piaget coloca que aprender é antes de tudo, uma atitude biológica geral consistindo de acomodações e assimilações (BRASIL, 1977). Compreendendo que um indivíduo aprende por desequilíbrio das estruturas que já possui, vindo a ter necessidades de novos esquemas que lhe permitam assimilação e acomodação, podemos desenvolver atividades e estratégias de ensino que favoreçam esse desequilíbrio. Onde partir de esquemas que o indivíduo julga dominar, mas que se tomam insolúveis para o seu atual estágio forçando-o a mudar, buscar estratégias e novas posturas diante do problema (obtendo o perfil que citamos no capítulo 4). Outro aspecto da teoria de Piaget que é extremamente relevante para a aquisição do conhecimento matemático é a possibilidade de o indivíduo poder retomar ao objeto de estudo (problema) abordando-o a partir de outro nível, mais elevado, que lhe trará outros significados e novas possibilidades de conhecer, através de uma abstração reflexionante (ROSSO, 1998). Lembrando que abstrato, na teoria de Piaget é o concreto quer foi abstraído e, dependendo do nível que se encontra, o indivíduo não há a necessidade de se usar material manipulável para que ele construa seu conhecimento, logo o simples uso de um material que o aluno manipule não lhe garante que estará construindo seu conhecimento. Esse foi um cuidado que tivemos na elaboração das atividades propostas e que muito contribuiu na execução do trabalho. 28
  3. 3. 4. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA "Para que haja aprendizagens realmente significativas e que promovam a evolução de estruturas cognitivas". Talvez este seja um dos grandes princípios, ou deveria ser, que um professor deveria direcionar sua atividade docente. É nesse sentido que se apresentamos um breve resumo da Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel (BRIGUENTI, 1991) onde discutiremos rapidamente algumas de suas características e implicações para a prática educativa, onde procuraremos diferenciar a Aprendizagem Significativa da Aprendizagem Mecânica, esta com assimilações na estrutura cognitiva aquela se apoiando na atividade mnemônica. 4.1 DAVID AUSUBEL ,.-. Durante muito tempo considerou-se que a aprendizagem era simplesmente a troca de informações entre o professor que "sabe" e o aluno que "não sabe". Onde o aluno se apresenta "vazio" de conhecimento e que deve ser "preenchido" pelos conhecimentos do professor. Porém podemos afirmar que ela é muito mais que isso, ela deve levar em consideração não só a experiência, mas também a afetividade do indivíduo. Ausubel trabalha mais sobre a questão das experiências do indivíduo, para ele o principal no processo de ensino é que a aprendizagem seja significativa. Isto é, o conhecimento a ser aprendido precisa fazer algum sentido para o educando. E isto só acontece quando a nova informação "ancora-se" nos conceitos relevantes já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz. Neste processo a nova informação interage como uma estrutura de conhecimento específica, que Ausubel chama de conceito "subsunçor" . Quando o conhecimento a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já conhecido pelo aluno, ocorre o que Ausubel (BRUGUENTI, 1991) chamou de aprendizagem mecânica, ou memorização passageira. Ou seja, isto ocorre quando as 29
  4. 4. aprendidas sem interagirem ou se "ancorarem" com conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva do aprendiz. Este processo, de informações desvinculadas dos pré- conhecimentos ao quais podemos chamar de Aprendizagens Mecânicas, se evidencia quando os alunos sentem que devem decorar fórmulas, leis e macetes para provas ou avaliações, sendo que os esquece logo em seguida. Assim, podemos dizer que para haver aprendizagem significativa é preciso haver duas condições básicas: a) o educando precísa ter uma pré-disposição para aprender; b) o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo. Outra proposta de Ausubel se refere à utilização de organizadores prévios, que servem como ancoras da nova informação, agindo como ligação entre a nova informação e os subsunçores relevantes específicos. Ele distingue dois tipos de organizadores prévios os expositivos e os comparativos. São esses organizadores que permitem chegar-se a uma estratégia pedagógica que dará ao processo educativo os principios da diferenciação progressiva e da reconciliação integrativa. Vale ressaltar que deve cuidar-se de não confundir os organizadores prévios com introdução, esta tem a função de apresentar o conteúdo ao aluno, enquanto os organizadores prévios fazem com que o aluno interaja com o conteúdo a ser ministrado objetivando ativar os conhecimentos prévios para que a aprendizagem que virá seja significativa. No trabalho que desenvolvemos, e que apresentamos como anexo, com alunos do ensino médio, em nossas atividades procuramos propor atividades que se "ancoravam" nos subsunçores dos alunos procurando iniciá-Ias sempre com os organizadores prévios. 30
  5. 5. 5. A PRÁTICA - APLICAÇÕES DAS IDÉIAS 5.1 PROCESSO DE CRIAçÃO No ano de 2 000 assumimos as aulas de Matemática, para o início do Ensino Médio do Centro de Estudos Supletivos "Universidade Estadual de Ponta Grossa", que no mesmo ano passou à ser denominado CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS "UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA" que começava, então, a oferecer esse nível de ensino pela autorização da Secretaria de Estado de Educação do Paraná, até então a escola só oferecia o curso de Ensino Fundamental. O então diretor Prof. José Tadeu Dolinski, nos incumbiu de elaborar o material didático que deveríamos utilizar com os nossos alunos. Inicialmente, para ter uma base, ele me apresentou o material, em forma de apostila, que era utilizado em uma outra escola de Ponta Grossa que oferece também a modalidade de ensino supletivo. Ao analisar aquele material ficamos muito insatisfeitos quanto a sua proposta metodológica e de aquisição de conhecimentos, pois para nós, como já dissemos no capítulo 2 (item 2.2), o Homem que queremos para nossa sociedade deve ter algumas características especiais, e ao refletirmos sobre isso, essa necessidade que acreditamos ser o caminho, buscamos uma forma que a matemática pudesse contribuir para que o indivíduo possa: ../ Construir seu próprio conhecimento; ../ Resolver problemas; ../ Usar a Matemática como uma ferramenta tecnológica; ../ Para a construção das atividades do Caderno Didático, tomamos como parâmetro as seguintes condições . ../ Criar atividades que causem desequilíbrio, e que sejam significativas aos alunos; 31
  6. 6. v Buscar cnar problemas ae apucaçao e lJIUUlClUê1:' ê1UCllV;', ./ Guiar a organização do material de forma a possibilitar aulas dentro da metodologia da resolução de problemas. Para nós a resolução de problemas é uma das alternativas metodológicas do ensmo da Matemática, e acreditamos que seja importante, nesse momento esclarecermos um pouco mais sobre como vemos essa questão, para isso usaremos dois documentos, cujos títulos são, respectivamente: Sobre a Resolução de Problemas I e Sobre a Resolução de Problemas lI, utilizados pela Prof". Dr'. Regina luzia C de Buriasco, durante suas aulas no curso de Especialização em Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina em 1997, é ele que segue em sua integra: SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS I Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a Resolução de Problemas, assim chamada porque considera que o estudo da matemática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser resolvido sempre partindo de problemas. Examinemos a tabela abaixo: Esquema de aula na Tendência Esquema de aula na Tendência da Tradicional Resolução de Problemas 1) O prof" explica a matéria (teoria). 1) O prof' apresenta um problema - escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s). 2) O prof" mostra exemplos. 2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm. 3) O prof' propõe "exercícios" semelhantes 3) Quando os alunos encontram algum aos exemplos dados para que os alunos obstáculo (falta algum conteúdo necessário resolvam. para a resolução do problema) o prof' apresenta, de alguma forma, esse conteúdo. 4) O prof" (ou um aluno) resolve no quadro 4) Resolvido o problema, os alunos discutem de giz os exercícios. sua solução, se necessário com a ajuda do prof", Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário. Fazendo a sistematização do conteúdo. 5) O prof' propõe aos alunos outros 5) O prof' apresenta outro problema - "exercícios" já não tão semelhantes aos escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s). exemplos que ele resolveu. 6) prof" (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro de giz. 7) O prof' propõe "problemas", se for o caso, 32
  7. 7. ou mais "exercícios". 8) correção dos "problemas" e/ou exercícios dos "exercícios". 9) O prof" começa outro assunto. Podemos observar que no esquema Tradicional temos uma aula trabalhada linearmente enquanto dentro da tendência da Resolução de Problemas o conteúdo é trabalhado de maneira a se ter uma espiralidade, de maneira que a intervenção do professor, quando necessária, é unicamente para fornecer um conhecimento que os alunos ainda não têm. De acordo com a tendência da Resolução de Problemas, o prazer em se estudar é a alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade a resolução, maior a satisfação. Na proposta de se ensinar Matemática através da Resolução de Problemas, uma das questões mais importantes é: "Como apresentar um problema de modo que os alunos": 1°) queiram resolver o problema; 2°) compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução. Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência do professor nas aulas de matemática, ensinar a "arte de resolver problemas". SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 11 Na Resolução de Problemas, atual tendência da Educação Matemática, podemos classificar os "problemas" em cinco categorias, a saber: 1. exercícios de Reconhecimento - são os que pedem apenas que o aluno reconheça ou relembre um fato, uma definição, etc. Requerem simples memória; 2. exercício algoritmico - são os que podem ser resolvidos através do uso de um algoritmo, ou procedimento passo-a-passo; 3. problemas de aplicação - são os que precisam da mudança da 33
  8. 8. linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de modo que se possam utilizar os algoritmos apropriados. São os problemas de palavras; 4. problemas em aberto - são que não contém no seu enunciado pista alguma para sua resolução; 5. situação - problema - são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a "manejar" as próprias situações. Dão origem às situações que originam a modelagem ou modelação, conforme a forma que ele surge. Eis alguns exemplos: Exercícios de O triângulo que possur todos os lados de mesmo Reconhecimento comprimento é chamado ........ Exercício Algoritmico Calcule: 324 + 54 - 21 Resolva: 2x +5 = 17 Problema de Quantos metros de um tecido que custa R$ 15,00 posso Aplicação comprar com R$ 250,00? Problema em aberto Quantos triângulos diferentes podem ser desenhados tendo os dois maiores lados com comprimentos 6 em 8 cm? Situação - Problema Faça a planta do quarto que você gostaria de ter. Uma grande parte das atividades que constam dos livros didáticos são das três primeiras categorias. A característica comum entre às três é o fato de conterem a estratégia para sua resolução nos próprios enunciados. Por essa razão, apenas os problemas das duas últimas categorias são considerados problemas de fato. A experiência de "modelar" uma situação, ou de resolver um problema em aberto, absolutamente necessária no estudo da Matemática, deveria ser dada em todos os níveis de ensino. Para que os alunos aprendam Matemática, é preciso que lhes seja dada a oportunidade de resolver problemas de fato, ou seja, problemas em aberto e 34
  9. 9. situações - problema. Devemos notar que a Resolução de Problemas pode ser o primeiro passo em direção à Modelagem (Texto elaborado pela professora Regina Luzia C. de Buriasco, baseado no artigo de Thomas Butts, in NTCM, YEARBOOK, 1980.) Como infelizmente dentre os livros didáticos existentes não havia nenhum que se enquadrava, a nosso ver, dentro do que julgávamos ideal, a saída encontrada foi criar um material que satisfizesse esses nossos anseios. Ao refletirmos sobre as necessidades desse material, começamos a imaginar suas característica, tais como a de ter o conteúdo específico como um todo interligado e de conteúdos fosse enxuto e ao mesmo tempo suficiente para os objetivos traçados, que abrisse a possibilidade de integrar outras disciplinas, começamos, então a buscar em outros livros didáticos, de Matemática, Física, Química e de Biologia questões ou situações que pudessem ser interligadas. Durante essa pesquisa reunimos muitos materiais (os livros pesquisados são citados como bibliografia da apostila) em termos de conteúdo específico, após esse levantamento começamos a segunda etapa que era a de construir o material didático que utilizaríamos. Nesse momento acreditamos ser interessante que apresentemos um exemplo de como foi feita a construção de alguns problemas que estão na apostila. Na página 6 da apostila apresentamos um problema geométrico com o título "MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRICO", esse problema foi assim apresentado inicialmente no livro "Matemática na Medida Certa" - 2a edição, de Jakubo e Lellis da T" série editado pela Scipione de 1994, nas páginas 33 e 34. Como poderão perceber o exercício na forma em que aparece no livro citado, explora apenas o aspecto geométrico, iniciando com um bom raciocínio dedutivo, porém ele não permite que os alunos concluam a fórmula das diagonais, na página 34 ele simplesmente apresenta a fórmula já pronta. 35
  10. 10. ~,.:...~ -- Usando variáveis: cálculo do número de diagonais Quantas diagonais tem um polígono convexo 7 Para responder a essa pergunta, podemos contar as diagonais: .•...,:-' ~. o diagonal 2 diagonais 5 diagonais 9 diagonais Mas nem sempre é fácil contar as diagonais de um polrgono. Veja este polígono de 10 lados: c E J H Observe que, neste caso, de cada vértice saem 7 diagonais. Como são 10 vértices, poderfamos pensar que o total de diagonais é 10 . 7. S6 que, desse jeito, contamos cada diagonal duas vezes. Veja, por exemplo, a diagonal AO. Ela foi contada quando pensamos nas diagonais que saem de A e quando pensamos nas que saem de O. Portanto, o número de diagonais do polígono de 10 lados é: 10 . 7 - 35 2 - Muito bem, respondemos à pergunta para o polígono de 10 lados. E os polígonos de 11 lados, 20 lados, ete.? Para esses infinitos casos vamos calcular o número de diagonais usando uma variável que representa o número de lados do polígono. 36
  11. 11. A fórmula do número de diagonais Imagine um polígono de n lados. Neste caso, a variável n representa qualquer número natural maior que 2. Esse polfgono tem também n vértices. Quantas diagonais saem de cada vértice? v Veja: do vértice V saem díagonais para todos os outros vértices, exceto para o próprio V e para os dois vértices vizinhos a ele. Conclusão: de cada vértice saem n - 3 diagonais. Para obter o total de diagonais, multiplicamos n - 3 por n (porque são n vértices) e dividimos por 2 (para não contar duas vezes cada diagonal). d = n(n - 3) 2 Essa é a fórmula que fornece o número de diagonais (d) de um polígono convexo de n lados. ; ~i I' Exemplo Se o poJ(gono tiver 15 lados, calculamos o valor numérico da expressão para n 15: n(n - 3) 2 d = 15· (15-3) 2 d 6 15· ~ 90 r = 1 Um polfgono de 15 lados tem 90 diagonais. -'34 --------------------------------------- 37
  12. 12. Em nosso trabalho utilizamos essa mesma situação, porém procuramos dar seqüência nesse raciocínio dedutivo, fazendo apenas o papel de condutores do processo. Usamos como base dessa condução as idéias apresentadas no início deste trabalho, norteados por Piaget, Ausubel, Goleman, etc. Buscamos pautar a apresentação do problema aos alunos de forma a que ele se apoiasse nos subsunçores ausubelianos através dos organizadores prévios. Como? Talvez seja a pergunta que os adeptos de uma aplicação direta e arreflexiva de conteúdos matemáticos possam fazer, a resposta que podemos dar, de acordo com o nosso referencial bibliográfico e a nossa prática seria que: ../ ao propormos o problema discutimos com os alunos sobre ele de ~ maneira indireta" ~ exemp o, no problema transcrito abaixo iniciamos comentando sobre as formas geométricas que os cercavam, levamos latas de óleo vazias, caixas de pasta de dente, cesto de lixo, caixa do chocolate toblerone, etc., na seqüência começamos por perguntar que formas eles lembravam de coisas de suas casas, sugiram lembranças da geladeira, do guarda-roupas e, fmalmente a que eu queria, televisão, foi quando eu lancei a pergunta - que dentro do meu planejamento seria o agente desequilibrador citado por Piaget, ao mesmo tempo, com as lembranças forçadas eu os fiz iniciar o processo de organizadores prévios, sob os quais eu iria fazer a ancoragem do assunto em si, que era levar ao conceito de função - como era que as pessoas se referiam à medida de uma televisão, eles responderam em polegadas, nesse momento perguntei-lhes se eles sabiam o que era polegada, (como havia dois torneiros mecânicos em uma das turmas), eles conseguiram explicar para os colegas já as demais turmas já tinham ouvido falar, mas, (não conseguiam conceituar), nesse momento trabalhamos o que são e para que servem as medidas, discutimos o sistema arcaico e depois, voltamos a pergunta sobre como se media a televisão. É importante notar que já 38
  13. 13. de insngá-Ios em seus conhecimentos previos, e estavamos procurando fazer com eles passassem a se sentir ínteragindo com o problema, de forma que ele tomasse "seu" problema. Quando sentimos que já estávamos com os alunos em condições de seguirmos com a atividade trabalhamos a diagonal da televisão, a partir daí entramos no tema diagonal e desenvolvemos a seqüência didática que o problema estruturado permitia. Como perceberão a introdução ao cálculo de diagonais apresentado no livro do Jakubo e Lellis, passa em nosso trabalho, a ser uma seqüência didática completa como podemos observar na transcrição de um trecho das páginas 6, 7 e 8 da apostila: Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica) Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as diagonais: o diagonais 12 diagonais 2 diagonais 5 diagonais 20 diagonais 39
  14. 14. Mas nem sempre contar é o melhor método, pois veja a figura abaixo e tente dizer quantas diagonais ela tem. ~~~ E agora? Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja conveniente podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim: d pode ser o n.o de diagonais do polígono; n pode ser o nosso número de lados. Observando todas as figura e montando uma tabela teremos (complete as duas últimas linhas): Tabela 01 Número de Número de Norne da figura lados (o) diagonais de cada vértice " O Triângulo-' 4 1 Quadrado 5 2 Pentágono 6 " Hexágono-' 8 5 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono n Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de diagonais de cada vértice? Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um 40
  15. 15. Modelo Matemático para nos dizer quantas aiagonats partem ae um uruco veruce ut: um polígono, cuja expressão matemática você escreverá no espaço abaixo: Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também quantas são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo (complete as linhas que faltam): Tabela 02 Número de Número de Total de lados diagonais de cada vértice diagonais 3 O O 4 2 2 5 2 5 6 3 9 8 5 20 9 10 n Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um polígono qualquer é expresso por: Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada situação, é simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático, teríamos: 41
  16. 16. 2 SUMÁRIO 1. APRESENTAÇÃO 3 2. FUNÇÕES 4 2. 1 Introdução: 4 3. EQUAÇÕES - "O RESGATE" 5 4. MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRlCO 6 5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS 8 5.1. BIOLOGIA 8 5.2 FÍSICA 11 5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA 13 6. PROGRESSÃO ARlTMÉTICA (P.A.) 14 7. PROGRESSÕES GEOMÉTRlCAS (P.G.) 16 8. LOGARlTMO 19 9. ESTATÍSTICA 20 9.1 MÉDIA ARlTMÉTICA 23 9.2. MODA (Mo) 24 9.3 MEDIANA (Md) 24 10. APROXIMAÇÕES 24 11- PROBLEMAS 26 12. BIBLIOGRAFIA 34
  17. 17. 3 1. APRESENTAÇÃO Caro aluno, bem vindo ao curso de Matemática do Ensino Médio do Centro Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos da Universidade Estadual de Ponta Grossa (CEEBJA- UEPG), procuraremos nesse tempo que estaremos juntos tornar o aprendizado da Matemática simples e objetivo, procurando aplicar seus conceitos em situações o mais próximo possível das enfrentadas por vocês no dia-a-dia. Desta forma, acreditamos estar propiciando a vocês a aquisição de um conjunto de ferramentas e conhecimentos extremamente úteis que podem agilizar, e muito, os seus afazeres, pois a quantidade de Matemática que usamos diariamente é incomensurável (impossível de ser medida) e muitas vezes não nos apercebemos disso. Ao irmos num supermercado; ao fazermos um bolo; uma reforma na casa; uma leitura de jornal; ou executarmos uma manutenção preventiva de automóveis, motocicletas, bicicletas, etc.; ou mesmo se pretendemos ter uma compreensão clara e objetiva do mundo que nos cerca, para isso estaremos usando a Matemática. O Matemático, Físico e Artista italiano Galileu Galilei disse certa vez: "A Matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo" esta frase é bastante expressiva no sentido de entendermos o porque de se aprender Matemática, ainda nos dá uma pista sobre o significado da palavra Matemática. A Palavra Matemática tem origem na conjunção de duas palavras gregas Materna que significa Conhecimento e tica que significa arte, assim, Matemática quer dizer A arte .-- do conhecimento. Também entendemos que nos dias atuais a palavra Matemática significa resolver problemas. Assim trabalharemos a Matemática em dois sentidos: • no de que ela nos fornece Conhecimentos para "ler" o mundo; • no de que é uma ferramenta muito útil para Resolver Problemas. Dificuldades'? É claro que as teremos! Porém, não podemos desanimar ou desistir ao encontrarmos algumas dificuldades, que sem dúvida virão, mas juntos com certeza avançaremos. BOAS AULAS! Prof. Waguer Siudici Sebastião
  18. 18. 4 2. FUNÇÕES 2.1 Introdução: "A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa medida todos são matemáticos e fazem matemática conscientemente. Comprar no supermercado, medir um rolo de papel de parede ou decorar uma jarra de cerâmica com desenhos regulares éfazer matemática." (Davis e Hersh, 1989.) Desde o seu aparecimento na terra, o homem tem recorrido à matemática. A utilização da Matemática em nossas vidas é tão grande e tão intuitiva que muitas vezes torna-se dificil quando nos perguntam da sua importância, citar alguma coisa, porque ela é parte integrante da nossa vida. Desde as coisas mais simples do cotidiano até a sofisticação da tecnologia moderna dependem da Matemática. Na história da humanidade, a matemática foi descrita inicialmente como a ciência da quantidade e do espaço. A própria natureza forneceu elementos para que as noções iniciais sobre quantidade e forma se desenvolvessem paralelamente no processo de aquisição do conhecimento matemático pela humanidade. Cabe observar, que na ânsia de compreender a realidade, o homem foi desenvolvendo e aprimorando esse conhecimento através da observação, análise, comparação, interpretação, etc. Devido em parte à necessidade comunicação, os matemáticos, estabeleceram convenções, criando símbolos. Assim a Matemática adquiriu uma característica especial: a possibilidade de ser descrita por uma linguagem formal, que em certo sentido espelha exatamente o seu conteúdo, mas que se constitui em um conjunto de fórmulas e regras que se distanciam do real, mas que não devem, de maneira alguma dar a você, aluno, a sensação de que lhe é impossível aprendê-la, pois, historicamente, o fazer matemático nas várias sociedades esteve e está permeado pela necessidade de solucionar problemas que podem ser gerados por uma necessidade social ou uma questão puramente matemática. Em conseqüência disto, já não é mais possível estudar-se a matemática isoladamente das demais disciplinas e do mundo real. As idéias matemáticas devem estar ao alcance de todos e devem ser compreendidas não só pelos matemáticos, mas por todos aqueles que dela irão utilizar-se de algum modo. Concluímos então, que todos devemos aprendê-Ia, pois a sua compreensão irá possibilitar a leitura e organização dos eventos do mundo e também, porque a matemática, representa um aspecto da nossa existência enquanto seres humanos. A matemática nunca está pronta, acabada, nenhuma formalização é estabelecida de uma vez por todas. Uma definição, um conceito serão enunciados cada vez mais precisamente à medida que forem necessários à resolução de problemas mais e mais complexos. O atual conceito de função, por exemplo, só foi alcançado pelos matemáticos após um longo período (de aproximadamente um século e meio) de evolução do Cálculo e é exatamente este conceito que vamos explorar a partir de já.
  19. 19. 5 3. EQUAÇÕES - "O RESGATE" Vamos imaginar a seguinte situação: Supomos que a massa de uma célula seja função do tempo, isto é, se formos cronometrar o desenvolvimento dela diremos que ela possui uma determinada massa no momento que começamos a cronometrar, e que ela cresce em determinada velocidade causando unicamente pelo seu metabolismo interior. Ora como você poderia determinar a taxa de crescimento dessa célula? Tente traduzir o que foi proposto usando apenas números, você consegue? Não!!!? Ora então você está diante da mesma dificuldade que o Homem já teve ao tentar compreender e explicar os fenômenos do mundo que o cerca. Para poder sair de um problema como esse que um hindu Bháskara que por volta do ano 1000d.C. Escreveu o livro Lilavat e mais ou menos em 900 d.C. que um árabe chamado Mohamed Ibn-Musa Al-Khowarism escreveu o livro Al-Jebr r' que trazia uma nova representação de números (foi nesse livro que o povo europeu conheceu os Algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e uma nova forma de fazer contas utilizando letras e não mais o ábaco. Assim, quando você usa uma letra para representar um número você não está usando a "matemática moderna" como muitos pensam, pois matemática moderna é uma coisa totalmente diferente disso. Portanto para resolvermos um problema de forma a ele poder ser aplicado em qualquer caso semelhante usamos letras que podem representar as palavras que desejo encontrar. Quando procedemos desta forma, usando letras para descobrirmos aquilo que desejamos descobrir estamos usando a parte da álgebra conhecida como Equações. Equação é uma palavra de origem latina, que por sua vez deriva do árabe "adala" que quer dizer igualar em peso. É por esse motivo que a resolução de equações está envolvida com o sentido de igualdade, mantendo o "peso". A partir de agora vamos relembrar a maneira que isso é feito: 1- Dois Homens, trabalhando carpem um terreno em 8h. Seis Homens levarão quanto tempo para carpirem um terreno de igual tamanho? 2- O litro de gasolina custava, no final do mês de julho de 2000, R$ 1,389 (em média). Após uma multa de R$ 50000000,00, dada à Petrobrás, por um acidente ecológico causado pelo vazamento de óleo em Araucária no Paraná, houve um aumento do preço dos combustíveis. Assim, a gasolina passou a custar R$ 1,499(também em média). Qual foi a taxa de aumento do preço da gasolina (porcentagem de aumento)? 3- O ar que respiramos é composto de 79% de nitrogênio, 21% de oxigênio e 0,03% de gás carbônico e diversos outros gases. O pulmão de um adulto saudável tem capacidade para aproximadamente 1,51 de ar. Calcule a quantidade de oxigênio e de nitrogênio que temos ao respirarmos (inflando totalmente) nossos pulmões.
  20. 20. &fo •••.• VL.l •.•L."'....., .w." ,----.. ~""" _ _ Exemplo: 1) Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica) Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as diagonais: o diagonais 2 diagonais 5 diagonais 12 diagonais Mas nem sempre contar é o melhor método, quantas diagonais ela tem 20 diagonais pois veja a figura abaixo e tente dizer E agora? Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja conveniente podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim: d pode ser o n.? de diagonais do polígono; n pode ser o nosso número de lados. Observando todas as figura e montando uma tabela teremos (complete as duas últimas linhas):
  21. 21. Tabela 01 Número de lados (n) Número de diagonais de Nome da figura cada vértice 3 O Triângulo 4 1 Quadrado 5 2 Pentágono 6 ,., Hexágono-' 8 5 Octógono 9 láf Eneágono 10 + Decágono n 0-3 Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de diagonais de cada vértice? Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um Modelo Matemático para nos dizer quantas diagonais partem de um 6nico vértice de um polígono, cuja expressão matemática você escreverá no espaço abaixo: Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também quantas são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo (complete as linhas que faltam): Tabela 02 Número de lados Número de diagonais de cada Total de diagonais vértice 3 O O 4 17J. 2 5 2 5 6 ,., 9-' 8 5 20 9 c;, J::;' 10 J- 3Ç- n VI - .~ 'VL ( l/l 'S) 2- Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um polígono qualquer é expresso por: Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada situação, é simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático, teríamos: Dados:
  22. 22. 8 ) n= 12 lados usando o d = n.(n-3) I d= 54 2 1 modelo matemático: d = 12.(12 - 3) d = 12.9 2 2 d= ? Assim, podemos também estabelecer um gráfico do modelo acima: Cl j~ '1 -> Como você pode perceber é muito mais rápido e fácil saber o resultado sabendo utilizar o modelo. 5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS 5.1. BIOLOGIA "Não há dúvidas de que crescimento é um problema biológico, e que deve ser resolvido por experimentação, e não na mesa de um matemático. Mas, para se penetrar profundamente na natureza deste fenômeno, devemos combinar o método experimental com a teoria matemática. Uma possibilidade que tem sido desenvolvida por brilhantes pesquisadores. A combinação do método experimental com a teoria quantitativa é, em geral, uma das mais potentes ferramentas nas mãos da Ciência Contemporânea." (G.F. Gause - biólogo) A exemplo da palavra Matemática, a palavra Biologia também tem origem em duas palavras gregas Bios que significa vida e logos que significa estudo, logo, Biologia é a ciência que se dedica ao estudo de todas as coisas vivas, o Homem, os vegetais e animais, porém a Biologia não estuda a vida em si mas os fenômenos vitais e as leis que os regem. Um dos importantes campos da Biologia é a Citologia que é o estudo das células. Mas o que é uma célula? Podemos dizer que é a menor porção da componente dos seres vivos, que possui uma característica morfológica (tem forma definida) e fisiológica (desempenha funções excretoras, alimentícias, etc.) que crescem e se reproduzem. Assim, todos os seres vivos são compostos de células. Do ponto de vista Biológico é importante saber até quanto a célula crescerá, sua reprodução, seu volume, seu tamanho, etc. São nessas questões que a Matemática pode auxiliar a Biologia, como uma ferramenta que auxilia o trabalho de um mecânico, a Matemática fornecerá os instrumentos de cálculo que possui para ajudar a Biologia a compreender melhor essas questões.
  23. 23. 9 Um tipo de célula especial, conhecida como "linfócito T3", que é a célula que comanda o sistema imunológico do nosso corpo, mantendo-nos seguros de agentes nocivos, como os vírus e as bactérias. Atividade Instruções: Você recebeu um cartão com uma letra no canto superior esquerdo conforme o indicado abaixo. A A seguir, será tocada uma música e você deve dançar, trocando constantemente de par. Quando a música parar, você deve anotar no seu cartão a letra do cartão da pessoa que estava com você no momento que a música parou. Vamos fazer isso várias vezes, e você sempre deverá anotar todas as letras que estiverem no cartão do seu colega. Ao final preencheremos a tabela abaixo: 1 - Complete a tabela n." de pessoas com a letra A na rodada O n.o de pessoas com a letra A na rodada 1 n.o de pessoas com a letra A na rodada 2 n.o de pessoas com a letra A na rodada 3 n.o de pessoas com a letra A na rodada 4 n.o de pessoas com a letra A na rodada 5 2. Monte o Diagrama da Tabela Acima 3- Faça um gráfico do quadro acima: y -----1----------------------------~x
  24. 24. 4- Monte o modelo matemático do problema: 10 5- A situação problema acima pode ser considerada uma função? Por que? Se for uma função, que tipo de função será? R: --------------------------------------------------------------------- "Função é toda relação entre dois conjuntos onde todo elemento do r conjunto está relacionado a um único elemento do 2° conjunto", a) (n." de contatos) (contaminados) é função c) A B não é função b) d) A B 5 6 7 8 é função Os tipos de função que podemos ter são muitos: a) será uma função Afim ou do 10 grau (representado graficamente por uma linha reta), se sua forma geral for do tipo f(x) = a + bx;
  25. 25. 11 b) será uma função Quadrática do 2° grau (representado graficamente por uma parábola), se sua forma geral for do tipo f(x) = ax2 + bx + c; c) será uma função exponencial (representado graficamente por uma curva exponencial), se sua forma geral for do tipo f(x) = ; a" d) será uma função logarítmica (representado graficamente por uma curva logarítmica), se sua forma geral for do tipo f(x) =log, x (com b > O); d) será uma função trigonométrica, se sua forma geral for do tipo f(x) = sen x, ou cos x, ou tg x, ou cossec x, ou sec x ou cotg x.. A situação proposta, na atividade da "Dança da AIDS" , como percebemos, simula a transmissão de uma doença infecto-contagiosa. Toda doença dessa natureza precisa, para se propagar, de um vetor ou agente transmissor e o número de pessoas infectadas aumenta numa velocidade exponencial. A AIDS ou SIDA (Síndrome da Imuno-Deficiência Adquirida) tem, segundo consta, sua origem no continente Africano, sendo que os primeiros casos foram registrados na década de 60, ainda como uma doença desconhecida, o vírus destrói o sistema imunológico e tem um período de incubação de cerca de 5 anos (período que a pessoa ainda não demonstra os sintomas e mais infecta outras pessoas).O vírus da AIDS chama-se HfV, sendo transmitindo pelo sangue (principalmente transfusões) e por relações sexuais diretas (sem preservativos). Hoje sabemos que ela tinha como hospedeiro (organismo que aloja o vírus sem, porém, ser infectado por ele) um macaco não se sabendo ao certo como o vírus foi transportado para o ser humano. Não existe cura para a AIDS, o que existe é uma combinação de vários medicamentos que impedem as ações do vírus, deixando-o incubado. Sem esse "coquetel" de medicamentos o indivíduo morre no prazo médio de um ano depois do vírus eclodir. Normalmente a pessoa morre de doenças respiratórias como gripes, pneumonias, etc. Outros exemplos de vírus, com potencial devastador ao se humano, descoberto nas últimas décadas são: • O Ebola, com os primeiros casos de incidência registrados no Zaire (África), após o contágio leva indivíduo em 7 dias, seus sintomas são: febre alta e erupções cutâneas (feridas), destruição dos órgãos internos; • Gripe espanhola, seus primeiros casos são registrados no início do século no continente europeu, de tempos em tempos ela surge e faz suas vítimas; • O Influenza um vírus de gripe também muito forte. • A Hepatite B, que é um que ataca o sangue Entre outros. 5.2 FíSICA A velocidade com que um vírus se propaga pode ser encontrada facilmente através da Mecânica que é a parte da Física que estuda os movimentos. Isto é muito parecido com o que nos apresenta a Física que nos diz que a velocidade é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-Io, assim se considerarmos um móvel que se desloca com uma velocidade de 30Km/h, teremos:
  26. 26. Obs. Preencha os dados que faltam: Tabela 03 Velocidade Tempo 2asto (em h) Distância percorrida (em Km) 30 1 30 30 2 60 30 3 90 30 4 30 5 30 6 V t Chamando d de distância percorrida, v de velocidade e t de tempo, o modelo matemático que descreve a condição acima pode ser escrito da seguinte forma: Podemos perceber que a partir da tabela acima se pode visualizar melhor, em um gráfico, que relacione a distância percorrida com o tempo gasto para percorrê-Ia: Esse tipo de gráfico é composto por dois segmentos de retas perpendiculares entre si e formando um ângulo de 90° Essas retas recebem o nome eixo cartesiano. O nome eixo cartesiano se deve ao matemático francês René Descartes (1596-1650) - que era formado em Direito e trabalhou em atividades militares em vários países, inclusive com o holandês Maurício de Nassau - que em 1637 escreveu o livro "Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências" também conhecido como "Discurso sobre a ordem e o método" e por volta de 1628 escreveu sua obra de maior contribuição para a matemática chamada simplesmente de La Géométrie e La Dioptrique, ambos como um apêndice do Discurso, em La Géométrie Descartes apresentou a matemática que unia Álgebra com a Geometria, que passou a ser conhecida como Geometria Analítica ou Geometria Cartesiana (o nome Cartesiana se deve ao fato de que na época todas as publicações científicas deviam ser feitas em latim e o nome de René Descartes em latim era Renatu Cartesianus). Assim, hoje usamos os chamado eixo cartesiano quando desejamos representar geometricamente (gráfico) um acontecimento ou fenômeno observado e estudado. Logo: t
  27. 27. 13 o v No gráfico acima podemos identificar alguns elementos e tirar algumas conclusões, tais como: a) o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas; b) o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas; c) os valores, nas abscissas à esquerda do ponto Osão negativos e os da direita positivos; d) os valores, nas ordenadas abaixo do ponto Osão negativos e os acima são positivos; e) o segmento que representa a distância percorrida pelo móvel é uma reta. 5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA Assim, a exemplo do que ocorre na Física, a velocidade de crescimento de uma célula também pode ser obtida por uma função, pois quando dizemos que mo = m(t) é muito parecido com d = V.t (da tabela 03), lembrando que se quisermos saber a velocidade teremos v = lis , logo: li! lim km=- M onde k é a constante de proporcionalidade da taxa de crescimento da equação da equação Porém, essa célula não continuará crescendo para sempre, chegará um momento em que o crescimento irá se estabilizar. Portanto sua representação gráfica não será a mesma da velocidade, que é uma crescente constante, mas como ficaria então? Sendo que uma planta de massa m=100g cresce 4g nas próximas 24 horas, queremos determinar: 1) Em quanto tempo se tornará uma árvore de 10Kg? Instante 1° dia 2° dia 3° dia 4° dia 5° dia 6° dia 7° dia 8° dia 9° dia Massa(2) 100 104 108,25 2° dia Mfmal= Minieial.(l+ir Mtlnal=100.(1+0.04)2 M2 = 100. 2)De quanto aumentará sua massa em um dia quando a planta estiver com 100kg? 3)Monte o modelo matemático que expresse o problema proposto.
  28. 28. 14 4)Utilizando o modelo matemático do problema complete a tabela abaixo referente ao crescimento mensal dessa planta durante o período de um ano. Mês 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° Ano 5)Esboce um gráfico representativo do problema de acordo com os dados obtidos na tabela do exercício 4. Também em relação à propagação de um vírus, o que nos importa é que podemos utilizar a Matemática para ajudar a prever o aumento da incidência desses vírus e até traçar metas para atingir o seu controle, entendendo o problema como uma série numérica ou seqüência numérica que pode ser analisada. Porém o que é uma seqüência numérica? "É todo o conjunto de números cujos elementos seguem uma certa ordem. " No caso do contágio da AIOS do problema trabalhado, nele a ordem é dada por: y = 2x ou seja f(x) = 2x Que chamamos de seqüência exponencial. Mas existem outros tipos de seqüências numéricas, tais como as Progressões Aritméticas e as Progressões Geométricas. 6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) "É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r, chamado de razão da progressão" . Fórmula do termo geral de uma P.A. an = aI + (n - 1).r onde: a, = último termo
  29. 29. 15 a, = 10 termo n = n.o de termos r = razão Fórmula da Soma de uma P.A. Finita Exercícios: 1- Em uma estrada são instalados telefones SOS a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones instalados num trecho que vai do km 5 até o km 61, sabendo que nessas marcas há telefones instalados. Conte inclusive com esses dois telefones. 2- Um cidadão comprou na loja Baxi-Jango, roupas e calçados, em 12 prestações, uma em cada mês, sendo que a primeira será de R$ 50,00, a segunda será de R$ 52,00, a terceira será de R$ 54,00, a quarta de R$ 56,00, e assim sucessivamente. Responda: a) qual será o valor da 123 prestação? b) qual foi o total da compra? c) Faça um gráfico das prestações. 3- Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês após a compra, o segundo, de R$ 550,00, será feito dois meses depois da compra, o terceiro, de R$ 600,00, será feito 3 meses após a compra e assim por diante (isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior acrescido de R$ 50,00). Sabendo que o
  30. 30. 16 preço total do terreno é de R$ 19 500,00, calcule o número de prestações mensais que devem ser pagas. 7. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.) "Progressão Geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante q que a razão da P.G." Fórmula do Termo Geral da P.G. onde: ao= último termo a, = 1° termo q = razão n = n.° de termos Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. finita s = a1·(1-qn) n l-q onde: Sn= Soma dos n primeiros termos n = n.° de termos q = razão ai = 1° termo Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. infinita onde: SOC! = Soma dos n primeiros termos q = razão aI = 1°termo Uma das maiores aplicações das P.G. encontra-se na Matemática Financeira, para calcular juros. Juro é o "aluguel" que se cobra do uso do dinheiro. Assim, quando você faz uma compra em uma loja, e vai pagar a prazo é como se o dono da loja lhe emprestasse o dinheiro para a compra e você o devolvesse aos poucos. Quando, você paga parte do Capital emprestado, junto com
  31. 31. 17 parte do juro, dizemos que você está amortizando a dívida, e quando pagar a última parcela, você terá pagado o juro e o capital juntos. Esta é a modalidade mais comum do mercado, porém se você paga apenas o juro da dívida, chegará um momento que você deverá pagar todo o capital emprestado, esse é o caso da dívida externa brasileira, que parece nunca ter fim. Há dois tipos de juros, o Juro Simples, onde a taxa de juros incide apenas uma vez sobre o capital, e o Juro Composto, onde calculamos juros sobre juros. Fórmula do Juro Composto I M = C.(1+i)" M = montante C = capital i = taxa n = período ou tempo. Exemplo: 1- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações de juros simples de 6%. Calcule: a) Qual o juro cobrado? b) Qual o valor de cada prestação? 2- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações a JUro composto de 6%. a.m. Calcule: a) Qual o juro cobrado? b) Qual o valor de cada prestação?
  32. 32. 18 Exercícios 1- Aplica-se um capital de R$ 600,00, na caderneta de poupança, durante um período de 8 meses. Prevendo uma média de juro de 0,98% a.m. para a caderneta de poupança nesse período, qual será a estimativa de juros obtido? 2- Uma financeira empresta dinheiro à funcionários públicos a uma taxa de 3,5% a.m. Um funcionário da UE.P.G. toma emprestado R$ 1 450,00 para pagar em 12 meses. Calcule: a) o montantente que ele irá pagar do empréstimo; b) o valor do juro pago. 3- Um cidadão comprou, na loja Baneta-pé, roupas e brinquedos num total de R$ 235,00. Ele resolveu financiar sua compra em 5 vezes, em parcelas iguais de RS 50,00 por mês. Calcule: a) o total final da compra; b) o total de juro pago; c) a taxa de juros cobrada pela loja.
  33. 33. 19 4- Em um rebanho de 15 000 reses, urna foi infectada pelo vírus "vaca louca". Cada animal infectado vive apenas dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada três é infectado urna única vez, em quanto tempo o vírus terá exterminado metade do rebanho? Obs. Para resolvermos este exercício teremos que utilizar urna operação da matemática chamada Logaritmos. Mas o que são Logaritmos? 8. LOGARITMO "Logaritmo é a operação que tem por objetivo e princípio básico transformar urna multiplicação em uma adição ou urna divisão em uma subtração cujos esquemas de cálculo se baseiam nos estudos de John Napier um matemático escocês que publicou suas obras sobre logaritmos entre os anos de 1614 e 1619". o princípio do logaritmo está numa pergunta "a quanto devemos elevar um número para obter o outro?" Ou seja: 2X = 8? ou seja log, 8 = ? Forma Geral de um Logaritmo Log, a = x (lê-se logaritmo de a na base b é igual a x) ou seja bX = a (lê-se a quanto se deve elevar b para se obter a) Propriedades dos Logaritmos e r 3a 4a sa Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade loz, b = 1 loz, 1 = O log b aY = v.log, a log, b" = X b'oga - b - a 6a 7a ga 9a Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade Cologaritmo Multiplicação de Divisão de Mudança de Base lozaritmandos lozaritmandos C010gba = -10gba log, a.c = log, a + log, c a 1 log, a log, - =log, a - log, ogba =-- c log, b Obs. Quando o logaritmo não possuir indicação numérica da base esta será sempre 10. Exemplo: log 100 = 2 (lê-se logaritmo de 100 na base 10 é 2)
  34. 34. 20 Exercícios: 1- Calcule os logaritmos: a) log7 49 = b) log 1000 = 2- Um cidadão fez um empréstimo, no Banespado S/A, de R$ 1 500,00, a uma taxa de 3,6% a.m., o montante pago foi de R$ 2 189,95. Quanto tempo ele demorou para pagar o empréstimo? (lembre-se que M= c.(1+i]", onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa e n o período ou tempo do empréstimo). 3- Sendo f(x) = log x, faça o gráfico desta função. 9. ESTATíSTICA Agora, "voltando ao problema da vaca louca" faça um gráfico da mortande das vacas, porém para permitir uma melhor visualização desse "evento", vamos fazê-lo usando os Gráficos Estatísticos, que são: Gráfico de Linha, Gráfico de Barras (Verticais e Horizontais), Gráfico de Setores. Para compor um gráfico, é necessário que se tenha: a) Título - que é o nome do gráfico, que deve responder às perguntas "o que?, onde? e quando?"; b) Fonte - que é a informação da origem dos dados;
  35. 35. a) Gráfico de Linha GRÁFICO 01 21 4500 4000I/) ~ 3500 ~ 3000 I/) 2500 C'CS ~ 2000 ~ 1500 ~ 1000 c: 500 O Mortalidade das Vacas Atingidas pelo Vírus "Vaca Louca" Ponta Grossa - Agosto de 2000 , / / /,/ / ~ ~~ ~ Tempo (dias)
  36. 36. b) Gráfico de Barras GRÁFICO 02 22 Mortalidade de Vacas Atingidas pelo Vírus "Vaca Louca" Ponta Grossa - Agosto de 2000 4500 4220 4000 11I 3500ta t: o 3000~ 11I 2500ta o 2000ta > 1500ai "O o 1000:2 500 3 9 O " rv <:, b< ~ <o ~ <o ~<::- ~"q) s&-1>' q) Tempo (em dias)
  37. 37. 23 Também podemos ter um Gráfico Estatístico do Problema do contágio de AIDS c) Gráfico de Setores GRÁFICO 03 Número de Pessoas Infectadas com o Vírus da AIOS Ponta Grossa - Agosto de 2000 1 2 4 8 A partir dos gráficos podemos fazer as análises que envolvem conceitos estatísticos, permitindo fazer inferências a respeito dos dados obtidos, tais como média, mediana e moda. 64 9.1 MÉDIA ARITMÉTICA "Média é o valor de cada parcela de uma soma, de maneira que elas tenham o mesmo valor", ou seja, é a soma das parcelas dividida pelo número de parcelas.
  38. 38. 24 Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Média Aritmética: I 1:4=2+ 4 +8 + 16+32;;,- 64 x= 7 : 127 x=-- 7 I x = 71 9.2. MODA (Mo) "São as freqüências mais repetidas de maior valor possível". Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Moda: Mo = 64. 9.3 MEDIANA (Md) "É o termo central de uma amostra". Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Mediana: Dados: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Md=8. 10. APROXIMAÇÕES Quando se trabalha com valores expressos em casas decimais, pode ser que seja mais prático e necessário fazer aproximações, para um menor número de casas decimais ou mesmo para o inteiro. Porém, para poder fazer isto é necessário seguir certas regras, que descrevemos abaixo: 1°) se o número a ser excluído for maior do que 5, aumenta-se uma unidade ao número anterior a ele; 2°) se o número a ser excluído for menor ou igual a 5, o número anterior a ele permanece o mesmo. Exemplos: 1) Faça a aproximação para duas casas decimais os números: a) 23,432 = 23,43 b)23,435 = 23,43 c)23,436 = 23,44

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