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Sentiu falta do zero?
o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenien-
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Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições,
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Atenção: você não deve decorar os símbolos de nenhum dos siste-
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Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração com-
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  1. 1. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1. Foram convocados para a prirneira f888 d8 trein8lnento da seleção brasileira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram di~penséldos 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos-jogadores continuaram em :J)5 L2---- ~I treinamento? r)_. O 'R -- ~--o-<.:-::ry'0_ cÀ0..:.. e'- ·,('·J,"-,-o_ o ,~ 6' ~)~-'''-, Á, ... R -_L-C2tW S~"" .CJ(l~':~ .0. . ~.:;~ . 1 - /.- c· '..c . Y:.~J2~ Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do."t'':;·~: : ~ :2 ~ .~. :!. .. ; ."
  2. 2. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONARIOS: ~ 1. Foram convocados para a primeira f8S8 de treinamento da seleçáo brasileira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram, .com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? .,L +~:::.:3,/...• 6 .·4 .' /;» I· r-«,
  3. 3. PR09LEMAS-COM NOl'ViEROS FRACIONARIOS 1, Foram convocados para a primeira f888 de treinamento da se!e'';20 L'!'2S!!9!!'2 de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, 'foram dispensados- 2/5 dos jogadores, continuando os restantes om treinamento. Ne ssas condições, quantos jogádores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? -"F .•....' ~'--~--"', ~:::.~O 5 ~ f<~~~?~ r> .. ,Ro~~1d.~ ~1!~~~~'2.'Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do ~.~~;)*S:..:" ' ;~~tDÚIll~fo,de páginas que o livro tem. Quantas paginas tem esse livro? ,ll:~,"fO... . .r. . . ". . ~ti!:!~,_·~ I Qo ~JJ -, J~if,~~~:f':!Para -.encher um áHJum'de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 dasfigurinhas e I!':,!:? G.abfiela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram ~:~":/: com 99.figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? 'l. r , I
  4. 4. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção hrA~i1eirede basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições: quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro? f() ';3 ~Q,co 3~ 7encher um álbum de fiqurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo?
  5. 5. /" PROBLEMAS COM NUMEROS FRACIONARIOS 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasiíeira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? 3 v C{ . ~. =-) ~ [~~"-11~ '2 / 'õ o ..)J ----O & )~~_ . .t'T,_ ~ ~ .~.~~-;1 CíLÚb "''N..N~ ..:s~ 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro? ~O dx. ~ 00 ~0 3. Para encher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo?
  6. 6. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS "". 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasih~if8de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos Jpgadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, .; -t quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro?L _ ~ ~~'~Q ~e~ C 3. Para encher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? I ~
  7. 7. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1. Foram convocados para a prirneirn f8'38 08 tr'?inarnento da se!eç§o b:2si!e!:2 de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quanlos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? .•/1- O'- ,7 cY~J»~"~ ..p;' ,., --6-vpu--'GIJ~ '.":2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do ".~~ . '}númefo de páginas que o livro tem. Quantas paginas tem esse livro? :7.f:<)[;' > "1m g JJ W . " ). . . '.~:~'.. .1=~o ImO [t.· (1/ I ' . )~ {: . 3 . ~:' :J~~1[}C) . .iJÁl~:I/i/.J-!) . ~i~3;'> Para encher um album de flgunnhas, Mana contribuiu com 1/6 das figunnhas e ~~~:_.:,~~': :~Y~'..::.Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram :~f::rr:~ ! ' . .~'~':j:"".:. " com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? t;~/f) ? O r- ." , .J.l. - ~.......v . ' .~ '~ - ('I J~ t.J, ",,-JA.,
  8. 8. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁHIOS 1. Foram convocados para a primeirR f8<:;8 0n treinarnenlo da seleçác brasileira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fél~;C do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restanto!:; em treinamento. Nessas condições, quanlos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em --<fcffU)/>V ~~_ÜJyJ~ li, ~~;OJjlY~ I ~ ~jj)lAJJ)J~ 8 ' 0~' treinamento? 2. Marco já leu 80 páginas de um I.ivro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do número de páginas que o livro tem. Qua~tas págillaS tem esse livro? , /' . 3. p~~nCher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gàbriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. SalHmdo-se que as duas contribuíram --5 com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo?
  9. 9. " , .PROBLEMAS COM NUMEROS FRACIONARIOS 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasileira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos [oqadores continuaram em treinamento? ~ 'ín lcl0--{JV,(l0n~ HÜ)~ ''{('fiCQwr-n Ó. 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do nY.g"lerode páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro? V O 300 Q . -vYI rkYY7 ; J( ~ t' .~. ~ J.A/u"lB cJJ'íYJ )6?J ~,,~':J ~ara et4h~r~m álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuí~m com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? dQ _1j~ P/A 1'., ~ ir.. '" t),=! >( 2> J.1 " )C~CL· ~ Irf ..':J ; W(L~l//r1} )Q;,J *"J0 --. / v ,~ j35 j I-J 9
  10. 10. ) ) ) .J ), ).... ,) ; "j.;.: I "- )r: )-. I ~OL PROBLEMAS C.OM NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1, Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção hr::l~i!I?-!r=de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? " 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa, quantidade corresponde a 2/3 do 'número de páginas 9,u~ livro tem. Quantas páginas tem esse livro? _.2 -t ~O-=- 'bdó J " . 3"- J um ~c2- -r;>(;)(jt» ~ 3. Para encher um álbum de figurinhàs, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? . VI *~~~l3
  11. 11. PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACtONÁRtOS 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasileira de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os' restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento? 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde ~:2J3 do número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro? 3. Para encher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo? ..Q j
  12. 12. , ) PROBLEMAS COM NÚMEROS FRAC10NÁR10S 1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasilp.ir::l de basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados 2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições, quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em treinamento?~} 2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do .: número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro? ELO .,0,~ _.:.- ---- ~ ," . rol.. . e , I ..J_--- - - -- 3. Para encher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as dl.laÇcontribuíram com 99 figurinhas, quantas fi~rinhas terá esse álbum completo? _-_ ~--r--' t~·'1,·t I ;, j .:-:~:-. -- ) .J
  13. 13. ANEXO 4 Alguns sistemas de numeração antigos
  14. 14. Para determinar a posição de uma estrela no firmamento, mediam o seu ângulo de ele- vação. Para isso,criaram um instrumento cha- mado sextante (relativo à sexta parte da cir- cunferência). Para eles, era fácil construir o sextante porque já sabiam dividir a circunferência em seis partes iguais. Ilustração de sextante reproduzida em livro escrito pelo astrônomo Tycho Brahe e publicado em 1598. Dividindo a circunferência em 6 partes iguais ... ... obtém-se um ângulo de 60'. Assim criou-se o ângulo de 60°. Daí, a origem da base sessenta. • Dedos, falanges e a base sessenta Uma outra hipótese, formulada pelo próprio Georges Ifrah,é a de que a base sessenta originou-se de práticas de povos mais antigos, uns usando a base cinco e outros, a base doze. No encontro dessas culturas, ter-se-ia origina.do a base sessenta. A base cinco pode ser explicada pelos cinco dedos que temos em cada mão. A base doze, como vimos, tem também uma explicação aiatôrnica: lembra-se do processo d-:: contagem em que o dedo polegar aoonta, uma a uma, as doze falanges dos outros quatro dedos?
  15. 15. Agora mesmo falávamos da esquisitice do zero. Mas, além dessa, há outra: a base sessenta. Você não acha muito estranho os mesopotâmicos terem usado essa base? Para a base dez, há uma explicação natural:temos dez dedos nas mãos. Até para a base vinte, há uma boa explicação: temos vinte dedos se in- cluirmos os dedos dos pés. Mas, e a base sessenta? Georges Ifrah, um professor marroquino, dedicou boa parte de sua vida pesquisando a história dos números. Em sua obra, História universal dos algarismos, ele afirma que a existência da base sessenta é um mistério, uma vez que, até hoje, não se encontrou uma explicação plenamente aceitável para sua origem. Ifrah apresenta várias hipóteses. Algumas têm a ver com a Matemática, outras, com a Astronomia e há ainda as de origem mística.Vamos apre- sentar duas delas. Astronomia e a base sessenta Os povos antigos, entre os quais os babilônios, desenvolveram muito a Astronomia, a contagem do tempo, a organização do calendário. Associ- ando o movimento dos astros à circunferência e tendo percebido que o ano tem 360 dias, aproximadamente, passaram a dividir a circunferência em 360· partes iguais.Usavam essa divisão para medir ângulos, que eram muito úteis nos seus estudos de Astronomia. Essa é a origem do transferidor que, ainda hoje, usamos para medir ângulos. o ângulo de 900 corresponde a -L da circunferência. 4 ~...,." o ângulo de 1200 corresponde a -L da circunferência. 3
  16. 16. Sentiu falta do zero? o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenien- tes. Observe estes números: m3 r TI60 + 2 = 62 IT Y2 x 60 + 1 = 121 Os três números representados são diferentes, embora todos sejam escritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais. Se uma pessoa escrevesse esses números apressadamente, sem cuidado com os espaços, certamente causaria confusão. Há ainda outra dificuldade.Veja estes exemplos: 4ffi59 ,r tTI ym 61 62 .63 E agora? Como seria a representação do sessenta? Assim ~~~ ou assimY? Se fosse assim Y ~ele seria confundido com o um. Se fosse ~~~ ' então sessenta e um deveria ser assim ~ Ye não desta forma: Y y. Talvez você tenha pensado em escrever o sessenta assim:YO . Uma boa idéia! Mas os povos da Mesopotâmia ainda não tinham in- ventado um símbolo que representasse o nada Somente na fase final daquela civilização é que eles começaram a pensar num símbolo para o zero. Antes disso, por alguns séculos, a apresentação do sessenta e de alguns outros números causou muita confusão. Não é esquisito que o zero, um símbolo para o nada, faça tanta falta? a
  17. 17. AgO'-2 é mais fácil perceber o que queremos dizer com nurneraçào de base sessenta. Vamos comparar com a numeração egípcia: • na numeração egípcia, n ~O O significaum grupo de dez mais três: • na numeração mesopotâmica, y 'T'rY significaum grupo de sessenta mais três. Repare que o símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale sessenta. --~-----, Descubra que números estão escritos abaixo, no sistema de nu- meração mesopotâmico: Decifrou os números? Não fique pensando que é perda de tempo saber um pouco acerca da base sessenta. É verdade que o sistema de numeração dos povos da Mesopotâmia desapareceu há muito tempo, mas restáram vestígios dele, por exemplo, na contagem do tempo. Como você sabe, sessenta segundos compõem um minuto, e sessenta minutos compõem uma hora. Essa contagem em grupos de sessenta é herança da antiga numer-ação de base sessenta. Assim, a escrita I:30,que você vê nos relógios digitais ou nos do forno de mi- croondas, não significa I30 minutos nem 1.30 hora. l-Jote que I:30 significa 90 minutos ou 1.5 hora. Isso porque o I antes dos dois-pontos corresponde a 60 minutos
  18. 18. Escrita mesopotâmica Em nosso sistema "? ~ 1 9 W -«W 2 18 m {~ 3 27 ~ ~ 4 36 W ~W 5 45 ffi -41~V 6 54 ~ yyyy 7 63 W V 4,TI 8 72 ~ Y 4..«1 9 81 <{ Y «<{« 10 90 Notou que há algo estranho nos quatro últimos resultados, que correspondem a 63, 72, 81 e 90? Por exemplo, para o 63 esperávamos esse registro ~ m,mas o que se vê é 1m.Você pode imagi- nar uma explicação para isso? .Acontece que eles usavam um sistema de numeração de base sessen- ta. o que parece muito esquisito. Veja o significado dos últimos resultados da tabuada do nove: 60+34--- r ~- 1 :yr::~ :I I •I 'J r I i - - -, .•.- -- - - - - ~ 63 60 + 21 ~l- :;- -~A-?: I I'~"I I I I ...• __ ~ J _.. _ _ __ ~ 81 60 + 12 11'--: :.-<---w· --:I I I I ! I I I ....( __ --c .• _•• J... 72 60 + 30 • - - 1 t- -. :7:: /'/Á : 1,11~1 : I I I - - - ~ .•. . - - - - """1- 90
  19. 19. ,- Nas escavações arqueológicas, realizadas na região onde foram edificadas as cidades da Mesopotâmia, encontraram-se milhares de placas de barro que continham inscrições. Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreveram sobre essas placas quando o barro ainda estava mole. Depois, elas foram cozidas no forno para endurecer. Exercfcio de matemática de cerca de 1700 a.C. Com base nessas placas, foi possível decifrar o sistema de numeração mesopotâmico. O sinal r indica I e o sinal -« ,IO. Veja a escrita de alguns números: TIl 17 -<T3 5 11 ~W « ~ 18 20 40 Parece com o sistema egípcio, não é? Parece, mas somente no início.Uma das placas de argila encontradas nas escavações continha os resultados da tabuada do nove. Vamos mos- trar Ui. desenho dessa placa e você vai lei" urna surpresa. Examine com atenção:
  20. 20. Observe que em vez de escrever lOcam dez risquinhos, os egípcios escreviam desta maneira: Isso significa que um símbolo nvalia por dez símbolos D. Da mes- ma forma, dez símbolos n eram substituídos por um ~ e assim por diante. Notou que, na escrita dos números, os egípcios formavam grupos de dez do mesmo modo que fazemos hoje? Em nosso sistema de numera- ção, dez unidades formam a dezena: dez dezenas formam a centena e assim por diante, como ocorre também no sistema egípcio. Isso quer dizer que o sistema egípcio era decimal como o nosso, ou, em outras palavras, era um sistema de base dez. É interessante fazer uma adição usando nossa escrita dos números e, depois, a dos egípciosVeja como é feita com nossos algarismos: 1 37 +25 62 O pequeno I sobre o 3 indica a troca de dez unidades por uma deze- na, é o chamado "vai um".Algumas crianças pequenas têm dificuldade em entender esse procedimento, pois não compreendem essa troca. No en- tantó, no sistema egípcio, a conta ficaria mais fácil para elas porque podem "ver" a troca de dez unidades pela dezena. Observe: ó1úll ú1 "UOU : UOO I, I O ' + fJ) lí1 ~Ooo~ DÓ)/
  21. 21. Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições, além de documentos em papiros. Essas fontes permitiram que os arque- ólogos decifrassem o sistema de numeração egípcio.Você também pode decifrá-Io. Observe estes exemplos: onu ~~~nn uno o fi 21 325 ~~~ DOU !nnn ~ 000 fl UUU 409 1040 Já percebeu uma lógica nesse sistema, não é? Então, aceite este peque- no desafio: observe a seguir os símbolos que os egípcios usavam para os números e escreva como eles I3, 23 e 123. 10 n __ o. " _ { ------- - ~ --- ----- .--- --- --- I <f 1000 A flor de lótus (o lótus era uma planta sagrada no E9itO)1' ~ representava o milhar. __ __ '··"'"--"'----0- ...•... . . ., .••• • ._ 1 10000 O desenho de um dedo dobrado era o símbolo ....~ _':~ :~ag;,:~o~:p'"~om~., miL·· ·_~··-_-I W 1000000 Uma figura humana ajoelhada, com as mãos para o alto, ! ~ indicava o milhão. i Esse sinal indicava a dezena. Um traço vertical indicava a unidade. 100 Uma corda enrolada indicava a centena.
  22. 22. Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistema numérico. O mais utilizado deles tinha estes símbolos: - 1 ..1- ." 6 + 10 -. 2-. -t 7 ã 100-..- 3 - j 8 =f2Y 4 1000 1L 9 li 5 "10000 Esses símbolos ainda hoje são conhecidos tanto na China como no Japão. No entanto, para fazer cálculos, todos usam o mesmo sistema de numeração que nós. O antigo sistema de numeração chinês tem regras interessantes. Veja os exemplos: oitocentos e vinte e quatro cinco mil e noventa e sete /~ã 8 100 -- +Im2 10 4 5 1000 9 10 7 8 X 100 + 2 X 10 + 4 5 X 1000 + 9 X 10 + 7 Percebeu que é um sistema decimal e que tem semelhanças com o nosso sistema? Compare a nossa maneira de escrever 824 com a deles. Notou que a idéia é a mesma? A diferença é que, no nosso caso, o 100 e o 10 ficam "escondidos". não aparecem na escrita 824.
  23. 23. Atenção: você não deve decorar os símbolos de nenhum dos siste- mas numéricos antigos, pois eles já não são usados. Basta conhecer as idéias principais dos sistemas para você entender melhor os nú- meros e a Matemática. Por isso. para responder- às perguntas, sem- pre que for preciso, releia as páginas anteriores para relembrar os significados dos vários símbolos. I. Os números seguintes estão representados no sistema egípcio. Calcule os resultados das adições (se preciso, veja novamente o exemplo que foi apresentado no livro). Depois, escreva essas mes- mas adições em nosso sistema de numeração. a) ú'lú"ln 081 nnn 000 nn UD i1u g I o g nnn o nn nnfi ou nnn+ + 2. Na página 24, pedimos que você decifrasse estes números no sistema de numeração da Mesopotâmia: • y«~87 ~w25 141 Agora, decifre mais estes: yyy <{V WWY --------------------- -- - ------
  24. 24. Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração com- plexo. Por essa razão, vamos mostrá-I o apenas em parte. Veja a seguir a representação dos primeiros números: 1 6 • •• • 11 - 16- -- - •• 2 •• 7 •• 12- - ••- 17 -••• 3 ••• 8 ••• 13-- ••• •••• 9 •••• - 18 •••• 4 14 ---5 10 - 15 ••••- 19- - - . E agora, percebeu o padrão? Adivinhe a continuação: qual era o símbo- -10 para o 20? Seria este =? Não, não era essa a maneira de representar o 20. Era desta forma: • ~ A concha representava o zero. Agora, observe a representação de mais alguns números depois do 20 para entender um pouco mais o sistema: • • • • •• • • • •••• • •• ••• •••• -• ••• •••• -- - -- -21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 • ••••--- 1 x20 + =39 19 •• 2><;20 + =40 O ••• •- 3 x20 + = 66 6 5x20 + = 100 O
  25. 25. Agol-a que você já conhece vários sistemas de numeração, vamos des- tacar e comparar algumas de suas características. As representações dos números um, dois e três Veja como elas se parecem em todos estes sistemas: Sistema Representação egípcio O D~ nu mesopotâmico I" TI YY'Y romano I 11 111 - -chinês - - --maia • •• ••• Sobre a posição dos simbolos • No sistema egípcio, tanto faz escrever nu ou uno No primeiro ca- so, você terá 10 + I e, no segundo. I + 10,ou seja, sempre terá I I. • No -sisterna romano, a ordem pode fazer diferença: IV é quatro e VI é seis. • No sistema mesopotâmico, a posição também é fundamental. Uma pequena mudança na posição dos símbolos transforma 62 em 121! "Y 60 + TI 2 = 62 Y'TY 2x60 + 1= 121 Conclusão: os sistemas mesopotâmico e romano são posicionais, ou seja. mudando a posição dos símbolos. muda-se o número representado. Isso não acontece no sistema egípcio. Para você pensar: o sistema qU'2 usamos é posicional? r
  26. 26. o IJrincipio aditivo Um sistema de numeração apresenta o princípio aditivo quando o número representado é a soma dos valores de cada símbolo. Assim: u O 100 + 100 + 10 + 1O+ 10 + 1 +1 = 232 o sistema romano tem o princípio aditivo. Mas cuidado, ele também tem o princípio subtrativo. C D X X 1 V 500 - 100 + 10 + 10 + (5 - 1) = 424 A questão do zero Por falta do zero, os egípcios eram obrigados a usar símbolos diferen- tes para 10, 100, I000, 10000, etc. Note que nós usamos apenas os sím- bolos I e °para todos esses números. Os mesopotâmicos também não conheciam o zero, daí a confusão na escrita dos números, em que um espaço entre os sinais podia mudar o seu valor. E as contas? Final~ente, comparando os sistemas, podemos saber se são adequa- dos para fazer contas. No sistema egípcio, é fácilfazer algumas contas, mas é pre- ciso escrever muito. Para fazer adições, basta juntar os símbolos e, se preciso, fazer trocas: + nlln n nn I " OU '. I U RI I I I ~ g 11) Uf --,' Dez U foram trocados por um f)). ? ;

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