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Value-at-Risk:
Overview, Parte 2
          Análise de Risco (2)
                    R.Vicente




                                 1
Resumo
PARTE 1: MEDINDO VaR
   Fatores de Risco
   Valor em Risco (VaR)
   Profit & Loss (P&L)
   VaR Paramétrico
   Calculando o VaR

PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES
   Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA)
   Estimando Correlações
   GARCH

PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES
   Letras “Gregas”
   Aproximação Delta
   Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)
   Aproximação Delta-Gama
   Aproximação de Cornish-Fisher
   Transformações de Johnson

Bibliografia
                                                   2
Parte 1
Medindo VaR




              3
Fatores de Risco
Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de
mercado:
                              V ( S1 , S 2 ,..., S N )
  Estes fatores podem ser :
  • Preços de mercado;
  • Taxas de juro;
  • Spreads de crédito;
  A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no
  valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:


  ΔV (S1, S2 ,..., SN ) =V (S1(t +Δt),..., SN (t +Δt)) −V (S1(t),..., SN (t))
      Profit & Loss
                                                                                4
Value at Risk
                        −VaRx %

  P(ΔV < −VaRx % ) =      ∫       dv p (v) = 1− x
                         −∞



                                                             x%
                 FATOR 1


                                                    Nível de confiança   x
                                        Janela
                 FATOR 2                  de
                                        Tempo                    VaRα


Mark-to-market
                    σ                                                        5
Benchmark Value at Risk
      Retorno Esperado Livre de Risco


                                        B-VaR x




                                                  r ( t ) Δt
  Δ BV (S) = V (S(t + Δt )) −V (S(t ))e                        6
P&L como Combinação Linear dos
 Fatores de Risco
                V (S(t + Δt )) ≈ V (S(t ) + ΔS)
                                        ∂VN
              V (S + ΔS) ≈ V (S) + ∑         ΔS j
                                   j =1 ∂S j

Equivalente                      N
                                   ∂V ⎛ ΔS j ⎞
                                        ⎜    ⎟
  Delta                 ΔV ≈ ∑ S j      ⎜
                                        ⎜ S ⎟
                                             ⎟
                                             ⎟
                             j =1  ∂S j ⎜ j ⎠
                                        ⎝


                 ∂V              ΔS j                N
        δj ≡ S j          Rj ≡                ΔV ≈ ∑ δ j R j
                 ∂S j                Sj              j =1



                                                               7
P&L como Combinação Linear dos
Fatores de Risco: Exemplo
 P&L em Reais de Ação negociada em Dólar:
            V ( S A , S FX ) = S A S FX
            ΔV ≈ δ A RA + δFX RFX
              ∂V
     δA ≡ S A      = S A S FX = V
              ∂S A
                     ∂V
      δFX ≡ S FX          = S FX S A = V
                    ∂S FX
            ΔV ≈ V ( RA + RFX )
                                            8
P&L com Benchmark


     Δ BV ≈ V ( S + ΔS ) −V ( S )e rΔt
                  N
Δ BV ≈ V ( S ) + ∑ δ j R j −V ( S )(1 + rΔt )
                  j =1
                         N
          Δ BV ≈ ∑ δ j R j −VrΔt
                      j =1




                                                9
VaR Paramétrico
Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano
geométrico:
                    dS (t )
                            = μdt + σ dW (t ) ,
                     S (t )
onde dW(t) é um processo de Wiener com

                    dW (t ) = εt dt       εt ~ N (0,1)
Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:

                       ⎛   σ2 ⎞
                 RΔt = ⎜μ − ⎟ Δt + σε Δt
                       ⎜      ⎟
                              ⎟
                       ⎜
                       ⎝   2⎠ ⎟
                                                                10
VaR Paramétrico
Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos
têm valor esperado nulo:

                          RΔt = σε Δt

O P&L futuro na janela de tempo Δt para um ativo com um único
fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:


                 ΔS ≈ S σε Δt           ε ~ N (0,1)



                                                                           11
VaR Paramétrico
   Utilizando volatilidade diária e   Δt = 1
                                           obtemos o P&L potencial para 1
   dia como:
                                                      ΔS ≈ Sσε
                                                 Empregando a definição de VaR:


P (ε )                                                VaR = ασ S
                                                   Confiança    α
                          ε=0                      95%          1,645
                                                   97,5%        1,960
          ε = −ασ                                  99%          2,326
     (1-x) %
                                                                             12
VaR Paramétrico com Benchmark

    A perda potencial considerando o benchmark é:

                      ΔS ≈ −ασ S − Sr


    Empregando a definição de VaR:

                      VaR = (ασ + r ) S



                                                    13
VaR de uma Carteira
  Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de
  Risco:


Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal
multidimensional:

                      1            ⎡1    −1 ⎤
           p(R ) =            exp ⎢ R ⋅ C R ⎥
                   2π Det (C)     ⎢⎣ 2      ⎥⎦
 Temos que:

                    Rj = 0               R j Rk = C jk
                                                                      14
VaR de uma Carteira
 O VaR da carteira é:   VaRPort = ασ PortV

                    σ Port = (ΔV ) − ΔV
                           2              2        2



                                               ⎡            ⎤
                                                                 2

                          = ∑ δ j δk R j Rk − ⎢⎢ ∑ δ j R j ⎥⎥
                            jk                 ⎢⎣ j         ⎥⎦
                          = ∑ δ j δk C jk
                               jk


        onde   C jk é   a matriz de covariância.


                                                                     15
VaR de uma Carteira
 Alternativamente podemos escrever:

              VaRPort = ασ PortV
                    = αV        ∑δ δ C
                                jk
                                      j k        jk



                                     ⎛ C jk ⎞ ⎟
                                     ⎜
                    = ∑ (αV σ j δ j )⎜        ⎟
                                     ⎜        ⎟(αV σk δk )
                                              ⎟
                      jk             ⎜ σ j σk ⎠
                                     ⎝
                    =     ∑ VaR ρ
                           jk
                                      j     jk   VaRk

                    = VaR ⋅ ρVaR                         Matriz de
                                                        Correlação   16
Parte 2
Estimando Volatilidades e Correlações




                                    17
Estimando Volatilidades
 Média Móvel
                            1 T 2
                σ MA (t ) =   ∑ R (t − j )
                            T j=1



 EWMA(Exponentially Weighted Moving Average)

                                  T
           σ EWMA (t ) = (1− λ )∑ λ j−1 R 2 (t − j )
                                  j =1


                                                       18
c/ 98%
                                                               Intervalo
                                                                                     -10%
                                                                                      -8%
                                                                                      -6%
                                                                                      -4%
                                                                                      -2%
                                                                                       0%
                                                                                       2%
                                                                                       4%
                                                                                       6%
                                                                                       8%
                                                                                      10%




               -12%
               -10%
                -8%
                -6%
                -4%
                -2%
                 0%
                 2%
                 4%
                 6%
                 8%
                10%
                12%
     fev-01                                                                fev-01

     mar-01                                                                mar-01

     abr-01                                                                abr-01

     mai-01                                                                mai-01

     jun-01                                                                jun-01

      jul-01                                                                jul-01

     ago-01                                                                ago-01

     set-01                                                                set-01

     out-01                                                                out-01

     nov-01                                                                nov-01

     dez-01                                                                dez-01
                                                                                               MA (21 d.u.)




     jan-02                                                                jan-02
                                                                                                              Estimando Volatilidades




     fev-02                                                                fev-02

     mar-02                                                                mar-02

     abr-02                                                                abr-02
                                  EWMA (fator de decaimento=0,97)




     mai-02                                                                mai-02

     jun-02                                                                jun-02

      jul-02                                                                jul-02

     ago-02                                                                ago-02
                  10
                                                                                        11




                falhas




19
                                                                                      falhas
-12%
               -10%
                -8%
                -6%
                -4%
                -2%
                 0%
                 2%
                 4%
                 6%
                 8%
                10%
                12%
                                                                        -12%
                                                                        -10%
                                                                         -8%
                                                                         -6%
                                                                         -4%
                                                                         -2%
                                                                          0%
                                                                          2%
                                                                          4%
                                                                          6%
                                                                          8%
                                                                         10%
                                                                         12%


     fev-01                                                   fev-01

     mar-01                                                   mar-01

     abr-01                                                   abr-01

     mai-01                                                   mai-01

     jun-01                                                   jun-01

      jul-01                                                   jul-01

     ago-01                                                   ago-01

     set-01                                                   set-01

     out-01                                                   out-01

     nov-01                                                   nov-01

     dez-01                                                   dez-01

     jan-02                                                   jan-02
                                                                                                                    Estimando Volatilidades




     fev-02                                                   fev-02

     mar-02                                                   mar-02
                          EWMA (fator de decaimento = 0,70)




     abr-02                                                   abr-02
                                                                                  EWMA (fator de decaimento=0,97)




     mai-02                                                   mai-02

     jun-02                                                   jun-02

      jul-02                                                   jul-02

     ago-02                                                   ago-02
                   22
                                                                           11




                 falhas




20
                                                                         falhas
EWMA: Exponentially
Weighted Moving Average
O estimador EWMA para volatilidades é definido como:
                     T

                    ∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
            σt =
            ˆ       τ =1
                            T
                                              , 0 < λ <1
                           ∑ λ τ −1
                           τ =1

Observando que o fator de normalização é por uma progressão
geométrica:
                     T
                             1− λ T +1
                   ∑ λ = 1− λ
                   τ =1
                        τ −1



                                                              21
EWMA: Exponentially
Weighted Moving Average
Assim:
                                T
                      (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
             σt =
             ˆ                 τ =1
                                           T +1
                                                       , 0 < λ <1
                                    1− λ

Utilizando janelas infinitas teremos:


                                        ∞
                    σt = (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
                    ˆ
                                        τ =1



                                                                    22
EWMA:Forma Recorrente
O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:

                   ∞
   ˆt2 = (1−λ)∑λτ−1Rt2 τ
   σ                 −
                  τ =1

       = (1−λ)(R +λR +λ R + )
                        2
                       t−1
                                2
                               t−2
                                       2      2
                                             t−3

       = (1−λ) R +λ(1−λ)(R +λR +λ R + )
                     2
                    t−1
                                        2
                                       t−2
                                                    2
                                                   t−3
                                                          2     2
                                                               t−4
                                      ∞
       = (1−λ)Rt2 1 +λ(1−λ)∑λτ−1R(2t−1)−τ
                −
                                     τ =1

       = (1−λ)Rt2 1 +λσt2−1
                −     ˆ
                                                                     23
EWMA: Janela Efetiva
O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A
massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:
                             ∞
           Ω∞ = (1−λ)∑λτ
            K
                            τ =K

                = λ K (1−λ)(1+λ +λ2 + ) = λ K
                                     =1

Se fixarmos esta massa em um valor de confiança   ϒ   %
                                                      (e.g. 99%, 99,5%)
podemos calcular a janela efetiva utilizada:

                             ln(1− ϒ % )
                          K=
                                 ln λ
                                                                          24
EWMA: Janela Efetiva
                        Nível de Confiança
     Lambda     95,0%     98,0%       99,0%   99,5%
         0,99    298        389        458     527
         0,98    148        194        228     262
         0,97     98        128        151     174
         0,96     73         96        113     130
         0,95     58         76         90     103
         0,94     48         63         74      86
         0,93     41         54         63      73
         0,92     36         47         55      64
         0,91     32         41         49      56
         0,90     28         37         44      50
         0,89     26         34         40      45
         0,88     23         31         36      41
         0,87     22         28         33      38
         0,86     20         26         31      35
         0,85     18         24         28      33    25
EWMA: Otimização de                                       λ
Definimos o erro na predição da variância como:

                         εt +1t = R −σ
                                     2
                                     ˆt2+1t
                                    t +1



 O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total
 em uma janela de T dias:

                                     T
                       E(λ) =      ∑ε
                                    t =1
                                           2
                                           t +1 t
                                                    (λ)



                                                                         26
EWMA: Correlações
O EWMA pode ser generalizado para covariâncias:


                                         ∞
                  C jk ,t = (1− λ )∑ λ τ −1 R j ,t−τ Rk ,t−τ
                  ˆ
                                        τ =1




A versão recorrente é:


                   ˆ          ˆ
                   C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1


                                                                     27
EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
 O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.

                   ˆ          ˆ
                   C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1

Suponha que     ˆ
                Ct−1seja positiva semi-definida, então:
                            ˆ
                        u ⋅ Ct−1u ≥ 0 ∀u
Analisando o segundo termo teremos:

                                              ⎛           ⎞
                                                                     2
                                              ⎜ u R ⎟ ≥0
                ∑ u j ( R j ,t−1Rk ,t−1 )uk = ⎜∑ j j ,t−1 ⎠
                 j ,k
                                              ⎜
                                              ⎜
                                              ⎝        j
                                                          ⎟
                                                          ⎟
                                                          ⎟
                                                                         28
EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
Combinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-
definidas:

∑u C
   ˆ
        j   jk ,t uk = λ ∑ u j C jk ,t−1uk + (1− λ )∑ u j ( R j ,t−1 Rk ,t−1 ) uk ≥ 0
                               ˆ
 jk                      jk                           jk

      Assim:


       (u ⋅ C
            ˆ
                t −1                ) (
                                    ˆ
                    u ≥ 0 ∀ u ⇒ u ⋅ Ct u ≥ 0 ∀ u                     )
      Basta então garantirmos que       ˆ
                                        C1seja positiva semi-definida
      escolhendo :
                               ˆ
                               C jk ,1 ≡ R j ,0 Rk ,0
                                                                                   29
EWMA: Matrizes de Correlação
As correlações são obtidas a partir das covariâncias:




                                          C jk
                             ρ jk =
                                         C jj Ckk




                                                        30
EWMA: Otimização de                                     λ
para Covariância
Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é
necessário que λ seja único. Definimos o erro na predição da
covariância como:
                                                ˆ
                  ε jk ,t+1t = Rj ,t +1Rk ,t+1 −C jk ,t +1t

 O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro
 quadrado total em uma janela de T dias:

                                         T
                          E jk (λ) =    ∑ jk
                                         ε2 ,t+1t (λ)
                                        t =1




                                                                        31
EWMA: Otimização de                                   λ
para Covariância
A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar   λ jk
com o inverso do erro mínimo:
                             λ = ∑θ jk λ
                                *              *
                                               jk
                                     j≤k
  Onde:
                                        1
                                   E jk (λ* )
                          θ jk =          jk
                                    ⎡ 1 ⎤
                                 ∑ ⎢⎢ E (λ* ) ⎥⎥
                                 jk ⎢ jk
                                    ⎣        jk ⎥
                                                ⎦

                                                                    32
GARCH
Um modelo GARCH(p,q) é definido como:
                               p            q
                σt2 = α0 + ∑α j Rt2 j + ∑β jσt2− j
                                  −
                              j=1           j=1



 A versão mais simples é o GARCH(1,1):


                    σ = α0 + α R + β σ
                      2
                      t
                                       2
                                    1 t−1
                                              2
                                            1 t−1




                                                     33
GARCH
A versão mais simples é o GARCH(1,1):


                    σ = α0 + α R + β σ
                       2
                       t
                                         2
                                      1 t−1
                                                     2
                                                   1 t−1

A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima
assumindo que     Rt2 1 = σ 2 :
                    −


                                                    α0
         σ = α0 + α1σ + β1σ
           2                2        2
                                              σ =
                                               2

                                                  1−α1 −β1

Para que a volatilidade faça sentido é necessário que:     α1 + β1 < 1
                                                                         34
GARCH
A curtose não-condicional é dada por:

                                  6α12
                        κ=
                           1−3α12 − 2α1β1 −β12
, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais.




                                                       35
GARCH : Determinando Parâmetros
O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição
condicional normal:                              ⎡       2 ⎤
                         p ( Rt σt ) =
                                          1
                                             exp ⎢− Rt 2 ⎥
                                       2πσt2     ⎢ 2σt ⎥
                                                 ⎣       ⎦
 Assumindo a dinâmica:

 Rt = εt σt      εt ~ N (0,1)                 σt2 = α0 + α1Rt2 1 + β1σt2−1
                                                             −

                                {Rt }t=defini-se
                                     T
  Dada a trajetória empírica                       uma função erro:
                                       1

                           ⎡T            ⎤    T ⎡              ⎤
                                                     Rt2 1
   E (α0 , α1 , β ) = − ln ⎢∏ p ( Rt σt )⎥ = ∑ ⎢ 2 + ln (2πσt )
                                                            2 ⎥

                           ⎣⎢ t =1       ⎦⎥ t =1 ⎢⎣ 2σt  2     ⎥
                                                               ⎦
  A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de
  otimização (e.g. Gradiente Escalonado).
                                                                          36
GARCH


           Volatilidade

   0,140
   0,120
   0,100
   0,080
   0,060
   0,040
   0,020
   0,000
             1
            56
           111
           166
           221
           276
           331
           386
           441
           496
           551
           606
           661
           716
           771
           826
           881
           936
           991
                          37
Parte 3
Risco de Ativos Não-Lineares




                               38
“Gregas”
O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do
prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:

                       ΔV ( S , τ , σ I , r )
Uma expansão em série de Taylor nos fornece:


                          ∂V        1∂V    2
                                                    ∂V
                                         2 (
                                            ΔS ) +
                                                2
 ΔV ( S , τ , σ I , r )        ΔS +                     Δr
                          ∂S        2 ∂S            ∂r
                          1 ∂ 2V         ∂V          ∂V
                               2 (
                                  Δr ) +
                                      2
                        +                     Δσ I −    Δt
                          2 ∂r           ∂σ I        ∂τ
                                                               39
“Gregas”
    ∂V                                 ∂ 2V
 Δ=                                  Γ= 2
    ∂S                                 ∂S
 DELTA                                   GAMA


    ∂V                        ∂V
                               2
 ρ=        [ρ ] = $T   ρ′ =           [ρ ′ ] = $ 2 T 2
    ∂r                        ∂r 2
 RÔ                                Convexidade RÔ

    ∂V                    ∂V
 Λ=        [Λ] = $     Θ=             [Θ] = $T −1
    ∂σ I                  ∂t
 “VEGA”                              TETA
                                                    40
P&L em função de Retornos
  Observando o retorno de preços com carregamento:

          ⎛ e−( τ −Δt ) rt+Δt ( τ −Δt ) ⎞
                                        ⎟
          ⎜
  RP = ln ⎜ −τ rt ( τ ) rt (Δt )Δt ⎟ = [ rt (τ ) − rt (Δt ) ]Δt − τΔr
                                        ⎟
          ⎜ e
          ⎝             e               ⎟
                                        ⎠
                                     RP
                            Δr     −
                                     τ

                                      1 2 2     ρ
      ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ + RS S Γ − RP
                                      2         τ
                              1 ρ′
                                 2 ( P)
                                       2
                            +       R + Λσ I Rσ +ΘΔt
                              2τ                                        41
Aproximação Delta
         ΔV ( S , τ , σ I , r )      RS S Δ

                   RS = εσ S Δt
                     ε ~ N (0;1)

              VaRDelta = ασ S S Δ

   1 contrato de opção =   Δ   unidades de ativo objeto

                                                          42
Aproximação Delta




                    43
Aproximação Linear

                                    ρ
   ΔV ( S , τ , σ I , r )   RS S Δ − RP + Λσ I Rσ +ΘΔt
                                    τ


                                        ⎛εS ⎞
    RS = εS σ S Δt                      ⎜ ⎟
                                        ⎜ ⎟
                                        ⎜εP ⎟ ~ N (0, C )
                                        ⎜ ⎟
    RP = εP σ P Δt                      ⎜ ⎟
                                        ⎜ε ⎟⎟
                                        ⎝ ⎟
                                        ⎜ I⎠
    Rσ = εI σ I Δt
                                  Variância-
                                 covariância
                                                            44
Aproximação Linear

    VaRLinear = α W CW −ΘΔt
                  T



               ⎛ SΔ ⎞
                    ⎟
               ⎜
               ⎜    ⎟
               ⎜ ρ⎟
               ⎜− ⎟
            W =⎜    ⎟
               ⎜ τ⎟
               ⎜    ⎟
                    ⎟
               ⎜
               ⎜σ Λ⎟⎟
               ⎜ I ⎠
               ⎝    ⎟
                    ⎟


                              45
Aproximação Delta-Gama
                                          1 2 2
                               ΔV = SΔRS + S ΓRS
                                          2

                                                                    4
                                                             x 10
  4000                                                 3.5



  3500
                                                        3


  3000
                                                       2.5

  2500
                                                        2

  2000

                                                       1.5
  1500


                                                        1
  1000



   500                                                 0.5



     0                                                  0
      -5   -4   -3   -2   -1   0   1   2   3   4   5         0          2   4   6   8   10   12   14   16   18   20




                                                                                                                 46
                     Cumulantes 1 e 2                                   Todos Cumulantes
Aproximação Delta-Gama




                         47
Aproximação Delta-Gama




                         48
Aproximação Delta-Gama
 Truncada
                            1 4 2
var (ΔV ) = S Δ var ( RS ) + S Γ var ( RS ) +ΔΓRS S 3 cov( RS , RS )
                2   2                   2       2                2

                            4
                                           R2
                                       −
                        dR
cov ( RS , R ) = ∫                         2 σS
                                              2
            2                      3
                                  R e             =0
                                                          var ( RS ) = 2 var 2 ( RS )
            S
                        2πσ   2                                  2

                              S



                                      1 4 2 4
         VaR ≅ α var (ΔV ) = α S Δ σ + S Γ σS2    2   2
                                                      S
                                      2
     Truncamento até Segundo
                                                                                 49
           Cumulante
Aproximação Delta-Gama
   ΔV = V (x + Δx) −V (x)
           n
             ∂V         1 n n ∂ 2V
       ≈∑         Δx j + ∑∑                  Δx j Δxk
        j =1 ∂x j       2 j =1 k =1 ∂x j ∂xk
           n
                   1 n n
       = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
         j =1      2 j =1 k =1


              ∂V                         ∂V 2
      δj = xj             Γ jk = x j xk
              ∂x j                      ∂x j ∂xk
                                                        50
Aproximação Delta-Gama
              n
                    1 n n
     ΔV = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
          j =1      2 j=1 k =1

        r ~ N (0, C ) ⇒ ΔV ∼ ϕ


   ϕ ⇔ ln ϕ ⇔ μ, σ , c3 , c4 ,..., cn
          ˆ            2




     Função Geratriz   Cumulantes
                                        51
Cumulantes

      ϕ ( w) = ∫ dx e
      ˆ                 ixw
                              ϕ ( x)


                 ∂ ln ϕ ( w)
                   n
                      ˆ
      cn = (−i )
               n

                   ∂w  n
                             w=0



                                       52
Cumulantes
                                        r ~ N (0, C )

                          1
               μ = ΔV = Tr (ΓC )
                           2
                                1
          σ = (ΔV − μ ) = δ Cδ + Tr (ΓC ) 2
           2           2    T

                                2
         c3 = (ΔV − μ) = 3δ T C ΓCδ + Tr (ΓC )3
                         3



   c4 = (ΔV − μ) = 12δ T C (ΓC ) 2 δ + 3Tr (ΓC ) 4 + 3σ 4
                   4



               1          ⎡(ΓC )n ⎤ + 1 n !δ T C (ΓC ) n−2 δ
cn = (ΔV − μ) = (n −1)!Tr ⎢
               n

               2          ⎣       ⎥⎦ 2

                                                            53
Aproximação de Cornish-Fisher

         Densidade arbitrária    ϕ   .
                            x

                 Φ( x) = ∫ du ϕ (u )
                            −∞

   O VaR é definido como:
                   −VaR

                    ∫     du ϕ (u ) = p
                    −∞
                          ou
                    VaR = Φ−1 ( p)
                                          54
Aproximação de Cornish-Fisher
                    z

 Seja     F ( z ) = ∫ du f (u ) uma distribuição com forma
                    −∞


  analítica e quantis    F −1 ( p )   conhecidos (por ex: distribuição
 gaussiana).


                    Cornish-Fisher



        Φ−1 ( p )       como função de       F −1 ( p )

                                                                         55
Aproximação de Cornish-Fisher
 Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para

 p − percentil de    ΔV − μ    é:
                       σ


                                      ⎛ c4   ⎞ 1              ⎛ ⎞
                                                                      2
           1 2      c3  1 3                  ⎟ − (2α3 − 5α )2 ⎜ c3 ⎟
α p ≈ α p + (α p −1) 3 + (α p − 3α p )⎜ 4 − 3⎟
                                      ⎜                       ⎜ ⎟
           6        σ   24            ⎜σ
                                      ⎝      ⎟
                                             ⎠ 36   p     p
                                                              ⎝ ⎟
                                                              ⎜σ3 ⎠




O VaR pode então ser calculado como:        VaR = α p σ + μ
                                                                 56
Transformação de Johnson

 X ~ N (0,1) e f ( X )   tem distribuição similar a   ΔV

              VaR ≈ f (α p )

                   Função monotônica




                                                           57
Transformação de Johnson

 Transformação com limite inferior:

                         ⎡ X −γ ⎤
           f ( X ) = exp ⎢      ⎥ +ξ    f (X ) ≥ ξ
                         ⎢⎣ δ ⎥⎦

 Transformação com limite superior:

                    ⎡ X −γ ⎤
                exp ⎢      ⎥ (ξ + λ ) + ξ
                    ⎢⎣ δ ⎥⎦
       f (X ) =                             ξ ≤ f ( X ) ≤ ξ +λ
                           ⎡ X −γ ⎤
                   1 + exp ⎢        ⎥
                           ⎢⎣ δ ⎥⎦

                                                                 58
Transformação de Johnson

 Transformação sem limites:

                             ⎡ X −γ ⎤
              f ( X ) = sinh ⎢      ⎥λ +ξ
                             ⎢⎣ δ ⎥⎦


 Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido
 a partir dos quatro primeiros cumulantes.




                                                               59
Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);

•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;
•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;

                        Leituras Complementares
Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-
Normal Approximations
Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways



                                                                            60

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  • 1. Value-at-Risk: Overview, Parte 2 Análise de Risco (2) R.Vicente 1
  • 2. Resumo PARTE 1: MEDINDO VaR Fatores de Risco Valor em Risco (VaR) Profit & Loss (P&L) VaR Paramétrico Calculando o VaR PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA) Estimando Correlações GARCH PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES Letras “Gregas” Aproximação Delta Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta) Aproximação Delta-Gama Aproximação de Cornish-Fisher Transformações de Johnson Bibliografia 2
  • 4. Fatores de Risco Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de mercado: V ( S1 , S 2 ,..., S N ) Estes fatores podem ser : • Preços de mercado; • Taxas de juro; • Spreads de crédito; A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida: ΔV (S1, S2 ,..., SN ) =V (S1(t +Δt),..., SN (t +Δt)) −V (S1(t),..., SN (t)) Profit & Loss 4
  • 5. Value at Risk −VaRx % P(ΔV < −VaRx % ) = ∫ dv p (v) = 1− x −∞ x% FATOR 1 Nível de confiança x Janela FATOR 2 de Tempo VaRα Mark-to-market σ 5
  • 6. Benchmark Value at Risk Retorno Esperado Livre de Risco B-VaR x r ( t ) Δt Δ BV (S) = V (S(t + Δt )) −V (S(t ))e 6
  • 7. P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco V (S(t + Δt )) ≈ V (S(t ) + ΔS) ∂VN V (S + ΔS) ≈ V (S) + ∑ ΔS j j =1 ∂S j Equivalente N ∂V ⎛ ΔS j ⎞ ⎜ ⎟ Delta ΔV ≈ ∑ S j ⎜ ⎜ S ⎟ ⎟ ⎟ j =1 ∂S j ⎜ j ⎠ ⎝ ∂V ΔS j N δj ≡ S j Rj ≡ ΔV ≈ ∑ δ j R j ∂S j Sj j =1 7
  • 8. P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco: Exemplo P&L em Reais de Ação negociada em Dólar: V ( S A , S FX ) = S A S FX ΔV ≈ δ A RA + δFX RFX ∂V δA ≡ S A = S A S FX = V ∂S A ∂V δFX ≡ S FX = S FX S A = V ∂S FX ΔV ≈ V ( RA + RFX ) 8
  • 9. P&L com Benchmark Δ BV ≈ V ( S + ΔS ) −V ( S )e rΔt N Δ BV ≈ V ( S ) + ∑ δ j R j −V ( S )(1 + rΔt ) j =1 N Δ BV ≈ ∑ δ j R j −VrΔt j =1 9
  • 10. VaR Paramétrico Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano geométrico: dS (t ) = μdt + σ dW (t ) , S (t ) onde dW(t) é um processo de Wiener com dW (t ) = εt dt εt ~ N (0,1) Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento: ⎛ σ2 ⎞ RΔt = ⎜μ − ⎟ Δt + σε Δt ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ 10
  • 11. VaR Paramétrico Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos têm valor esperado nulo: RΔt = σε Δt O P&L futuro na janela de tempo Δt para um ativo com um único fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma: ΔS ≈ S σε Δt ε ~ N (0,1) 11
  • 12. VaR Paramétrico Utilizando volatilidade diária e Δt = 1 obtemos o P&L potencial para 1 dia como: ΔS ≈ Sσε Empregando a definição de VaR: P (ε ) VaR = ασ S Confiança α ε=0 95% 1,645 97,5% 1,960 ε = −ασ 99% 2,326 (1-x) % 12
  • 13. VaR Paramétrico com Benchmark A perda potencial considerando o benchmark é: ΔS ≈ −ασ S − Sr Empregando a definição de VaR: VaR = (ασ + r ) S 13
  • 14. VaR de uma Carteira Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco: Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal multidimensional: 1 ⎡1 −1 ⎤ p(R ) = exp ⎢ R ⋅ C R ⎥ 2π Det (C) ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Temos que: Rj = 0 R j Rk = C jk 14
  • 15. VaR de uma Carteira O VaR da carteira é: VaRPort = ασ PortV σ Port = (ΔV ) − ΔV 2 2 2 ⎡ ⎤ 2 = ∑ δ j δk R j Rk − ⎢⎢ ∑ δ j R j ⎥⎥ jk ⎢⎣ j ⎥⎦ = ∑ δ j δk C jk jk onde C jk é a matriz de covariância. 15
  • 16. VaR de uma Carteira Alternativamente podemos escrever: VaRPort = ασ PortV = αV ∑δ δ C jk j k jk ⎛ C jk ⎞ ⎟ ⎜ = ∑ (αV σ j δ j )⎜ ⎟ ⎜ ⎟(αV σk δk ) ⎟ jk ⎜ σ j σk ⎠ ⎝ = ∑ VaR ρ jk j jk VaRk = VaR ⋅ ρVaR Matriz de Correlação 16
  • 17. Parte 2 Estimando Volatilidades e Correlações 17
  • 18. Estimando Volatilidades Média Móvel 1 T 2 σ MA (t ) = ∑ R (t − j ) T j=1 EWMA(Exponentially Weighted Moving Average) T σ EWMA (t ) = (1− λ )∑ λ j−1 R 2 (t − j ) j =1 18
  • 19. c/ 98% Intervalo -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fev-01 fev-01 mar-01 mar-01 abr-01 abr-01 mai-01 mai-01 jun-01 jun-01 jul-01 jul-01 ago-01 ago-01 set-01 set-01 out-01 out-01 nov-01 nov-01 dez-01 dez-01 MA (21 d.u.) jan-02 jan-02 Estimando Volatilidades fev-02 fev-02 mar-02 mar-02 abr-02 abr-02 EWMA (fator de decaimento=0,97) mai-02 mai-02 jun-02 jun-02 jul-02 jul-02 ago-02 ago-02 10 11 falhas 19 falhas
  • 20. -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fev-01 fev-01 mar-01 mar-01 abr-01 abr-01 mai-01 mai-01 jun-01 jun-01 jul-01 jul-01 ago-01 ago-01 set-01 set-01 out-01 out-01 nov-01 nov-01 dez-01 dez-01 jan-02 jan-02 Estimando Volatilidades fev-02 fev-02 mar-02 mar-02 EWMA (fator de decaimento = 0,70) abr-02 abr-02 EWMA (fator de decaimento=0,97) mai-02 mai-02 jun-02 jun-02 jul-02 jul-02 ago-02 ago-02 22 11 falhas 20 falhas
  • 21. EWMA: Exponentially Weighted Moving Average O estimador EWMA para volatilidades é definido como: T ∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 σt = ˆ τ =1 T , 0 < λ <1 ∑ λ τ −1 τ =1 Observando que o fator de normalização é por uma progressão geométrica: T 1− λ T +1 ∑ λ = 1− λ τ =1 τ −1 21
  • 22. EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Assim: T (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 σt = ˆ τ =1 T +1 , 0 < λ <1 1− λ Utilizando janelas infinitas teremos: ∞ σt = (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 ˆ τ =1 22
  • 23. EWMA:Forma Recorrente O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência: ∞ ˆt2 = (1−λ)∑λτ−1Rt2 τ σ − τ =1 = (1−λ)(R +λR +λ R + ) 2 t−1 2 t−2 2 2 t−3 = (1−λ) R +λ(1−λ)(R +λR +λ R + ) 2 t−1 2 t−2 2 t−3 2 2 t−4 ∞ = (1−λ)Rt2 1 +λ(1−λ)∑λτ−1R(2t−1)−τ − τ =1 = (1−λ)Rt2 1 +λσt2−1 − ˆ 23
  • 24. EWMA: Janela Efetiva O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é: ∞ Ω∞ = (1−λ)∑λτ K τ =K = λ K (1−λ)(1+λ +λ2 + ) = λ K =1 Se fixarmos esta massa em um valor de confiança ϒ % (e.g. 99%, 99,5%) podemos calcular a janela efetiva utilizada: ln(1− ϒ % ) K= ln λ 24
  • 25. EWMA: Janela Efetiva Nível de Confiança Lambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5% 0,99 298 389 458 527 0,98 148 194 228 262 0,97 98 128 151 174 0,96 73 96 113 130 0,95 58 76 90 103 0,94 48 63 74 86 0,93 41 54 63 73 0,92 36 47 55 64 0,91 32 41 49 56 0,90 28 37 44 50 0,89 26 34 40 45 0,88 23 31 36 41 0,87 22 28 33 38 0,86 20 26 31 35 0,85 18 24 28 33 25
  • 26. EWMA: Otimização de λ Definimos o erro na predição da variância como: εt +1t = R −σ 2 ˆt2+1t t +1 O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: T E(λ) = ∑ε t =1 2 t +1 t (λ) 26
  • 27. EWMA: Correlações O EWMA pode ser generalizado para covariâncias: ∞ C jk ,t = (1− λ )∑ λ τ −1 R j ,t−τ Rk ,t−τ ˆ τ =1 A versão recorrente é: ˆ ˆ C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1 27
  • 28. EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidas O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas. ˆ ˆ C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1 Suponha que ˆ Ct−1seja positiva semi-definida, então: ˆ u ⋅ Ct−1u ≥ 0 ∀u Analisando o segundo termo teremos: ⎛ ⎞ 2 ⎜ u R ⎟ ≥0 ∑ u j ( R j ,t−1Rk ,t−1 )uk = ⎜∑ j j ,t−1 ⎠ j ,k ⎜ ⎜ ⎝ j ⎟ ⎟ ⎟ 28
  • 29. EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidas Combinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi- definidas: ∑u C ˆ j jk ,t uk = λ ∑ u j C jk ,t−1uk + (1− λ )∑ u j ( R j ,t−1 Rk ,t−1 ) uk ≥ 0 ˆ jk jk jk Assim: (u ⋅ C ˆ t −1 ) ( ˆ u ≥ 0 ∀ u ⇒ u ⋅ Ct u ≥ 0 ∀ u ) Basta então garantirmos que ˆ C1seja positiva semi-definida escolhendo : ˆ C jk ,1 ≡ R j ,0 Rk ,0 29
  • 30. EWMA: Matrizes de Correlação As correlações são obtidas a partir das covariâncias: C jk ρ jk = C jj Ckk 30
  • 31. EWMA: Otimização de λ para Covariância Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é necessário que λ seja único. Definimos o erro na predição da covariância como: ˆ ε jk ,t+1t = Rj ,t +1Rk ,t+1 −C jk ,t +1t O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: T E jk (λ) = ∑ jk ε2 ,t+1t (λ) t =1 31
  • 32. EWMA: Otimização de λ para Covariância A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar λ jk com o inverso do erro mínimo: λ = ∑θ jk λ * * jk j≤k Onde: 1 E jk (λ* ) θ jk = jk ⎡ 1 ⎤ ∑ ⎢⎢ E (λ* ) ⎥⎥ jk ⎢ jk ⎣ jk ⎥ ⎦ 32
  • 33. GARCH Um modelo GARCH(p,q) é definido como: p q σt2 = α0 + ∑α j Rt2 j + ∑β jσt2− j − j=1 j=1 A versão mais simples é o GARCH(1,1): σ = α0 + α R + β σ 2 t 2 1 t−1 2 1 t−1 33
  • 34. GARCH A versão mais simples é o GARCH(1,1): σ = α0 + α R + β σ 2 t 2 1 t−1 2 1 t−1 A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima assumindo que Rt2 1 = σ 2 : − α0 σ = α0 + α1σ + β1σ 2 2 2 σ = 2 1−α1 −β1 Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: α1 + β1 < 1 34
  • 35. GARCH A curtose não-condicional é dada por: 6α12 κ= 1−3α12 − 2α1β1 −β12 , ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais. 35
  • 36. GARCH : Determinando Parâmetros O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição condicional normal: ⎡ 2 ⎤ p ( Rt σt ) = 1 exp ⎢− Rt 2 ⎥ 2πσt2 ⎢ 2σt ⎥ ⎣ ⎦ Assumindo a dinâmica: Rt = εt σt εt ~ N (0,1) σt2 = α0 + α1Rt2 1 + β1σt2−1 − {Rt }t=defini-se T Dada a trajetória empírica uma função erro: 1 ⎡T ⎤ T ⎡ ⎤ Rt2 1 E (α0 , α1 , β ) = − ln ⎢∏ p ( Rt σt )⎥ = ∑ ⎢ 2 + ln (2πσt ) 2 ⎥ ⎣⎢ t =1 ⎦⎥ t =1 ⎢⎣ 2σt 2 ⎥ ⎦ A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado). 36
  • 37. GARCH Volatilidade 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 1 56 111 166 221 276 331 386 441 496 551 606 661 716 771 826 881 936 991 37
  • 38. Parte 3 Risco de Ativos Não-Lineares 38
  • 39. “Gregas” O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros: ΔV ( S , τ , σ I , r ) Uma expansão em série de Taylor nos fornece: ∂V 1∂V 2 ∂V 2 ( ΔS ) + 2 ΔV ( S , τ , σ I , r ) ΔS + Δr ∂S 2 ∂S ∂r 1 ∂ 2V ∂V ∂V 2 ( Δr ) + 2 + Δσ I − Δt 2 ∂r ∂σ I ∂τ 39
  • 40. “Gregas” ∂V ∂ 2V Δ= Γ= 2 ∂S ∂S DELTA GAMA ∂V ∂V 2 ρ= [ρ ] = $T ρ′ = [ρ ′ ] = $ 2 T 2 ∂r ∂r 2 RÔ Convexidade RÔ ∂V ∂V Λ= [Λ] = $ Θ= [Θ] = $T −1 ∂σ I ∂t “VEGA” TETA 40
  • 41. P&L em função de Retornos Observando o retorno de preços com carregamento: ⎛ e−( τ −Δt ) rt+Δt ( τ −Δt ) ⎞ ⎟ ⎜ RP = ln ⎜ −τ rt ( τ ) rt (Δt )Δt ⎟ = [ rt (τ ) − rt (Δt ) ]Δt − τΔr ⎟ ⎜ e ⎝ e ⎟ ⎠ RP Δr − τ 1 2 2 ρ ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ + RS S Γ − RP 2 τ 1 ρ′ 2 ( P) 2 + R + Λσ I Rσ +ΘΔt 2τ 41
  • 42. Aproximação Delta ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ RS = εσ S Δt ε ~ N (0;1) VaRDelta = ασ S S Δ 1 contrato de opção = Δ unidades de ativo objeto 42
  • 44. Aproximação Linear ρ ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ − RP + Λσ I Rσ +ΘΔt τ ⎛εS ⎞ RS = εS σ S Δt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜εP ⎟ ~ N (0, C ) ⎜ ⎟ RP = εP σ P Δt ⎜ ⎟ ⎜ε ⎟⎟ ⎝ ⎟ ⎜ I⎠ Rσ = εI σ I Δt Variância- covariância 44
  • 45. Aproximação Linear VaRLinear = α W CW −ΘΔt T ⎛ SΔ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ρ⎟ ⎜− ⎟ W =⎜ ⎟ ⎜ τ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ Λ⎟⎟ ⎜ I ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ 45
  • 46. Aproximação Delta-Gama 1 2 2 ΔV = SΔRS + S ΓRS 2 4 x 10 4000 3.5 3500 3 3000 2.5 2500 2 2000 1.5 1500 1 1000 500 0.5 0 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 46 Cumulantes 1 e 2 Todos Cumulantes
  • 49. Aproximação Delta-Gama Truncada 1 4 2 var (ΔV ) = S Δ var ( RS ) + S Γ var ( RS ) +ΔΓRS S 3 cov( RS , RS ) 2 2 2 2 2 4 R2 − dR cov ( RS , R ) = ∫ 2 σS 2 2 3 R e =0 var ( RS ) = 2 var 2 ( RS ) S 2πσ 2 2 S 1 4 2 4 VaR ≅ α var (ΔV ) = α S Δ σ + S Γ σS2 2 2 S 2 Truncamento até Segundo 49 Cumulante
  • 50. Aproximação Delta-Gama ΔV = V (x + Δx) −V (x) n ∂V 1 n n ∂ 2V ≈∑ Δx j + ∑∑ Δx j Δxk j =1 ∂x j 2 j =1 k =1 ∂x j ∂xk n 1 n n = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk j =1 2 j =1 k =1 ∂V ∂V 2 δj = xj Γ jk = x j xk ∂x j ∂x j ∂xk 50
  • 51. Aproximação Delta-Gama n 1 n n ΔV = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk j =1 2 j=1 k =1 r ~ N (0, C ) ⇒ ΔV ∼ ϕ ϕ ⇔ ln ϕ ⇔ μ, σ , c3 , c4 ,..., cn ˆ 2 Função Geratriz Cumulantes 51
  • 52. Cumulantes ϕ ( w) = ∫ dx e ˆ ixw ϕ ( x) ∂ ln ϕ ( w) n ˆ cn = (−i ) n ∂w n w=0 52
  • 53. Cumulantes r ~ N (0, C ) 1 μ = ΔV = Tr (ΓC ) 2 1 σ = (ΔV − μ ) = δ Cδ + Tr (ΓC ) 2 2 2 T 2 c3 = (ΔV − μ) = 3δ T C ΓCδ + Tr (ΓC )3 3 c4 = (ΔV − μ) = 12δ T C (ΓC ) 2 δ + 3Tr (ΓC ) 4 + 3σ 4 4 1 ⎡(ΓC )n ⎤ + 1 n !δ T C (ΓC ) n−2 δ cn = (ΔV − μ) = (n −1)!Tr ⎢ n 2 ⎣ ⎥⎦ 2 53
  • 54. Aproximação de Cornish-Fisher Densidade arbitrária ϕ . x Φ( x) = ∫ du ϕ (u ) −∞ O VaR é definido como: −VaR ∫ du ϕ (u ) = p −∞ ou VaR = Φ−1 ( p) 54
  • 55. Aproximação de Cornish-Fisher z Seja F ( z ) = ∫ du f (u ) uma distribuição com forma −∞ analítica e quantis F −1 ( p ) conhecidos (por ex: distribuição gaussiana). Cornish-Fisher Φ−1 ( p ) como função de F −1 ( p ) 55
  • 56. Aproximação de Cornish-Fisher Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para p − percentil de ΔV − μ é: σ ⎛ c4 ⎞ 1 ⎛ ⎞ 2 1 2 c3 1 3 ⎟ − (2α3 − 5α )2 ⎜ c3 ⎟ α p ≈ α p + (α p −1) 3 + (α p − 3α p )⎜ 4 − 3⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 6 σ 24 ⎜σ ⎝ ⎟ ⎠ 36 p p ⎝ ⎟ ⎜σ3 ⎠ O VaR pode então ser calculado como: VaR = α p σ + μ 56
  • 57. Transformação de Johnson X ~ N (0,1) e f ( X ) tem distribuição similar a ΔV VaR ≈ f (α p ) Função monotônica 57
  • 58. Transformação de Johnson Transformação com limite inferior: ⎡ X −γ ⎤ f ( X ) = exp ⎢ ⎥ +ξ f (X ) ≥ ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ Transformação com limite superior: ⎡ X −γ ⎤ exp ⎢ ⎥ (ξ + λ ) + ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ f (X ) = ξ ≤ f ( X ) ≤ ξ +λ ⎡ X −γ ⎤ 1 + exp ⎢ ⎥ ⎢⎣ δ ⎥⎦ 58
  • 59. Transformação de Johnson Transformação sem limites: ⎡ X −γ ⎤ f ( X ) = sinh ⎢ ⎥λ +ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes. 59
  • 60. Bibliografia • Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997. • RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com); •Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk •Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk; •Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics; Leituras Complementares Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma- Normal Approximations Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways 60