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Curso de Formação

Capacidades Transversais no
   Ensino da Matemática
                 Sessão IV




  Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior)


                                                            1
Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
                  Área de Especialização de Matemática




Raciocínio Matemático
Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
Para que serve o Ensino da Matemática?
                             Área de Especialização de Matemática


A meu ver são principalmente o sentido crítico e a autonomia mental as
qualidades que um professor de matemática se deve esforçar por desenvolver
nos seus alunos.

Os alunos não precisam, em geral, de ser investigadores, mas precisam de
ter espírito de investigação. Intuição, experiência, lógica indutiva, lógica
dedutiva - todos estes meios se alternam constantemente na investigação
científica, numa cadeia sem fim em que é difícil destrinçar uns dos outros


Um dos objectivos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no aluno
hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os automatismos de leitura,
de escrita e de cálculo. Mas trata-se aí, manifestamente, de meios, não de
fins.
Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
Para que serve o Ensino da Matemática?
                             Área de Especialização de Matemática


O que é preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o
enciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão
desde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem
dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num
sistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismos
superficiais.

A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a
programas, mas também quanto a métodos de ensino. O professor deve
abandonar, tanto quanto possível, o método expositivo tradicional, em que o
papel dos alunos é quase cem por cento passivo, e procurar, pelo contrário,
seguir o método activo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando a
imaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à
redescoberta
Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
Para que serve o Ensino da Matemática?
                             Área de Especialização de Matemática

O professor não deve forçar a conclusão: deve deixá-la formar-se
espontaneamente no espírito do aluno.

(...) o ensino de qualquer assunto deve (...) começar pela fase intuitiva. Mas a
fase racional, que se lhe segue, é igualmente indispensável. Especialmente
em matemática, nenhum resultado pode merecer inteira confiança, enquanto
não for sancionado pela razão, isto é, demonstrado logicamente. Por isso, se
é muito importante estimular no aluno a intuição e a imaginação criadora, não
menos importante é desenvolver nele o espírito crítico, o hábito da análise
lógica e do raciocínio rigoroso.


O que se pretende acima de tudo é levar o aluno a compreender o porquê dos
processos matemáticos, em vez de lhe paralisar o espírito, automatizando-o
desde logo. (...) No ensino tradicional o aluno é tratado, precisamente, como
se fosse uma máquina, enquanto no ensino moderno se procura, por todos os
meios, levá-lo a reflectir e a reencontrar por si as ideias fundamentais que
estão na base da Matemática
Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
Para que serve o Ensino da Matemática?
                             Área de Especialização de Matemática


QUEM TERÁ AFIRMADO TUDO ISTO?



       José Sebastião e Silva (1914-1972)



Em 12 de Dezembro de 1994 completaram-se 80 anos que nasceu em Mértola
o matemático e pedagogo português José Sebastião e Silva, um dos maiores,
se não mesmo o maior vulto português na área da Matemática e do Ensino da
Matemática neste século XX.
Fundamentação Teórica




     O que se entende por Raciocínio Matemático?




CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
Raciocínio Matemático – Importância
                                          Fundamentação Teórica
No ensino da Matemática, o grande objectivo é o desenvolvimento
da capacidade dos alunos pensarem matematicamente. Trata-se, no
entanto, de um objectivo ambicioso. A simples aprendizagem de
conceitos, algoritmos e procedimentos rotineiros é insuficiente para
levar os alunos a perceber a Matemática como uma disciplina lógica
e coerente (ME, 2007). Para que exista compreensão efectiva dos
procedimentos pelo aluno, é necessário o desenvolvimento do
raciocínio. Esta compreensão dos procedimentos passa não só pela
sua aplicação, mas também por compreender porque funcionam,
como podem ser utilizados e como os seus resultados podem ser
 CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
interpretados (NCTM, 2009).
Raciocínio Matemático – Importância
                                        Fundamentação Teórica
Os actuais documentos curriculares de Matemática um pouco por todo o
mundo, e inclusivamente em Portugal, apontam o desenvolvimento do
raciocínio matemático como um objectivo central do ensino da Matemática e
alertam para a necessidade de desenvolver essa capacidade nos alunos de
forma consistente, recorrendo-se à sua utilização sistemática numa
diversidade de contextos. Efectivamente, o documento Princípios e Normas
para a Matemática Escolar (2007) e o NPMEB destacam a importância de
todos os alunos reconhecerem o raciocínio e a demonstração como aspectos
fundamentais da matemática; formularem e investigarem conjecturas
matemáticas; desenvolverem e avaliarem argumentos e provas matemáticos;
bem como seleccionarem e usarem diversos tipos de raciocínios e métodos
  CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
de demonstração.
Fundamentação Teórica
              Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano




CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
Fundamentação Teórica




CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
Fundamentação Teórica
  RaciocínioComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
             Matemático



• Formulação de conjecturas;                                  • Explicação;

• Generalização;                                              • Justificação;
• Caso particular;
                                                              • Construção de cadeias
• Contra exemplos;
                                                                argumentativas;

• Distinguir raciocínio indutivo de                           • Demonstração;
  dedutivo



CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
Raciocínio Matemático – Actividades de conjecturar e provar
                                                               Fundamentação Teórica
                Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano



Conjecturar
•   Negociar significados;
•   Valorizar;
•   Formular testes;
•   Investir na partilha e avaliação colectiva


 Provar
 • Justificar, compreender, convencer (a si próprio; a um amigo a um inimigo)
 • Produzir para avaliar;
 • Não basta verificar com exemplos;
Comunicação Matemática                           Fundamentação Teórica
Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
                              – contexto de resolução de generalização
Comunicação Matemática                           Fundamentação Teórica
Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
                              – contexto de resolução de generalização


 Que valores pode ter k para que k + 5 seja um múltiplo de 5?




Com esta tarefa espera-se que os alunos conjecturem sobre os valores
que k pode tomar e que testem e verifiquem a sua conjectura. Para a sua
resolução é necessário ter presente a noção de múltiplo de um número e
também um modo de o representar.
Comunicação Matemática                           Fundamentação Teórica
Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
                              – contexto de resolução de generalização

 Resolução de Maria
 A aluna apresenta de imediato uma resposta ao problema, sem explicitar
 o seu raciocínio, levando menos de 10 segundos entre a leitura da tarefa
 e a sua resposta:



 A partir desta resposta, e quando solicitada a explicar o seu raciocínio,
 apresenta o seguinte:




 Como a aluna usa apenas um exemplo para explicar o seu raciocínio,
 surge a necessidade de a levar a explorar um pouco mais a tarefa:
Comunicação Matemática                           Fundamentação Teórica
Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
                              – contexto de resolução de generalização

Entrevistadora: Isto é para um número, conseguimos fazer para mais
números? (apontando para o exemplo dado).

Maria: Sim.

E.: Sim? Então diz-me lá.

M.: (hesita) não sei… Com números muito grandes… Sei lá…

E.: E não podemos representar esses números por qualquer coisa? O
que é que eu sei que o k é?

M.: k é… Ah, sim! (escreve “5x + 5”)
E.: O que é que me garante que isso é um múltiplo de cinco?

M.: Porque se… Este de certeza que vai dar um múltiplo de cinco (aponta para
5x) e se somar mais cinco vai dar cinco de certeza (corrige), vai dar múltiplo
de cinco.
RACIOCÍNIO
Há autores que incluem o raciocínio numa outra categoria, a do pensamento
matemático.

        Profundo               Competências
                                 gerais de               Cooperação
      conhecimento
       matemático                raciocínio


O pensamento matemático envolve uma variedade de competências

        Persistência,          Competências
                                                          Estratégias
        organização,               de
                                                          heurísticas
         confiança             comunicação



                                    Capacidade de
                                   colocar questões


                                                                            18
Em suma…
Capacidade transversal que todos os alunos precisam de desenvolver,
independentemente dos ciclos de ensino em que se encontram; os alunos
podem apresentar processos de raciocínio distintos e, por vezes, bastante
diversificados.
Também na perspectiva de Boavida (2008), o raciocínio sempre esteve
associado à Matemática e constitui um aspecto central no ensino da
mesma, independentemente do tema ou do ano de escolaridade. Contudo,
refere que não basta a proposta de tarefas com determinadas características,
mas também a ajuda no desenvolvimento de um hábito de pensamento que
tem a ver com o “porquê das coisas”. Assim, “é importante que os alunos se
envolvam em actividades de formulação, teste e prova de conjecturas…”.


Ponte, Branco e Matos (2008) afirmam que raciocinar “envolve sobretudo
encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento” .
Comunicação Matemática                         Fundamentação Teórica
Raciocínio Matemáticonum contexto de resolução de problemas:Actividades de generalização
                              (indutivo e dedutivo) – Uma experiência com alunos do 9.º ano


 O tipo de raciocínio utilizado por Maria é pouco claro, dado que apresenta a
 sua resposta ao problema antes de explicar o seu raciocínio. Contudo,
 atendendo ao tempo que Maria demora a responder ao problema e à
 apresentação imediata de uma generalização para o valor de k, é plausível
 supor o recurso ao raciocínio dedutivo.
 Por outro lado, na justificação dada posteriormente, Maria usa um exemplo
 para iniciar a sua explicação, tenta justificar a sua resolução de modo
 indutivo. Apenas a hesitação em usar mais casos particulares para justificar a
 sua resposta e a facilidade com que representa o valor geral de k sugere que
 Maria utiliza efectivamente o raciocínio dedutivo desde o início da sua
 resolução.
Números às avessas
Pensa num número de dois algarismos. Escreve o número que se obtém
lendo-o da direita para a esquerda. Subtrai o maior do menor. Que diferença
obténs?
Faz mais experiências com outros números. Observa as diferenças.
Consegues encontrar um padrão?
Formula uma conjectura baseada nas experiencias feitas.
A conjectura será válida? Prova-a
53- 35 = 18;   54 – 45 = 9;   92 – 29= 63; 84 – 48= 36;

72 – 27 =45; 63 -36= 27;      91 – 19= 72; 42 – 24= 18
               ….



53- 35 = 18;   54 – 45 = 9;   92 – 29= 63; 84 – 48= 36;

72 – 27 =45; 63 -36= 27;      91 – 19= 72; 42 – 24= 18
               ….




        Mas há mais regularidades….
• A diferença entre os algarismos tem influencia no múltiplo ode
  9 que se obtém, vamos ver….

 75 -57 = 18                        Conjetura:
                                    A diferença entre dois números
 7- 5 = 2, logo 2 x 9 = 18          deste tipo é sempre um múltiplo
                                    de nove, que corresponde ao
                                    produto de nove pela diferença
                                    entre os algarismos de qualquer
 83 -38 = 45
                                    dos números em causa
 8 – 3 = 5, logo 5 x 9 = 45

  Prova:
  • Chamemos a ao algarismo das dezenas e b ao algarismo das unidades.
  • Então ab será o nosso número, ou seja, 10a+b
  • O número às avessas será ba, ou seja, 10b+a;
  • Fazendo a diferença entre os dois vamos ter:
O que prova a conjetura!!
Prova:
Os cacifos
Numa escola há mil alunos e mil cacifos.
•Passa o 1.º aluno e abre todos os cacifos;
•Passa o 2.º aluno e “muda o estado”
 (se está aberto fecha e se está fechado abre) dos cacifos de
  ordem múltiplo de 2;
•Passa o 3.º aluno e “muda o estado” Passa o 4.º aluno e “muda o estado”
•Quando passar o 1000.º aluno quantos cacifos ficam abertos?


    Cacifos: 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
    196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576,
    625, 676, 729, 784, 841, 900, 961


         Quadrados perfeitos         Porquê?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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21
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24
25
Posição do Quadrado     Coordenadas do Centro
                       X                    y

         1             2                    2
         2             5                    3
         3             8                    4
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  • 1. Curso de Formação Capacidades Transversais no Ensino da Matemática Sessão IV Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior) 1
  • 2. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Área de Especialização de Matemática Raciocínio Matemático
  • 3. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Para que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de Matemática A meu ver são principalmente o sentido crítico e a autonomia mental as qualidades que um professor de matemática se deve esforçar por desenvolver nos seus alunos. Os alunos não precisam, em geral, de ser investigadores, mas precisam de ter espírito de investigação. Intuição, experiência, lógica indutiva, lógica dedutiva - todos estes meios se alternam constantemente na investigação científica, numa cadeia sem fim em que é difícil destrinçar uns dos outros Um dos objectivos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no aluno hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os automatismos de leitura, de escrita e de cálculo. Mas trata-se aí, manifestamente, de meios, não de fins.
  • 4. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Para que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de Matemática O que é preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o enciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão desde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num sistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismos superficiais. A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas também quanto a métodos de ensino. O professor deve abandonar, tanto quanto possível, o método expositivo tradicional, em que o papel dos alunos é quase cem por cento passivo, e procurar, pelo contrário, seguir o método activo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando a imaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta
  • 5. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Para que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de Matemática O professor não deve forçar a conclusão: deve deixá-la formar-se espontaneamente no espírito do aluno. (...) o ensino de qualquer assunto deve (...) começar pela fase intuitiva. Mas a fase racional, que se lhe segue, é igualmente indispensável. Especialmente em matemática, nenhum resultado pode merecer inteira confiança, enquanto não for sancionado pela razão, isto é, demonstrado logicamente. Por isso, se é muito importante estimular no aluno a intuição e a imaginação criadora, não menos importante é desenvolver nele o espírito crítico, o hábito da análise lógica e do raciocínio rigoroso. O que se pretende acima de tudo é levar o aluno a compreender o porquê dos processos matemáticos, em vez de lhe paralisar o espírito, automatizando-o desde logo. (...) No ensino tradicional o aluno é tratado, precisamente, como se fosse uma máquina, enquanto no ensino moderno se procura, por todos os meios, levá-lo a reflectir e a reencontrar por si as ideias fundamentais que estão na base da Matemática
  • 6. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Para que serve o Ensino da Matemática? Área de Especialização de Matemática QUEM TERÁ AFIRMADO TUDO ISTO? José Sebastião e Silva (1914-1972) Em 12 de Dezembro de 1994 completaram-se 80 anos que nasceu em Mértola o matemático e pedagogo português José Sebastião e Silva, um dos maiores, se não mesmo o maior vulto português na área da Matemática e do Ensino da Matemática neste século XX.
  • 7. Fundamentação Teórica O que se entende por Raciocínio Matemático? CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 8. Raciocínio Matemático – Importância Fundamentação Teórica No ensino da Matemática, o grande objectivo é o desenvolvimento da capacidade dos alunos pensarem matematicamente. Trata-se, no entanto, de um objectivo ambicioso. A simples aprendizagem de conceitos, algoritmos e procedimentos rotineiros é insuficiente para levar os alunos a perceber a Matemática como uma disciplina lógica e coerente (ME, 2007). Para que exista compreensão efectiva dos procedimentos pelo aluno, é necessário o desenvolvimento do raciocínio. Esta compreensão dos procedimentos passa não só pela sua aplicação, mas também por compreender porque funcionam, como podem ser utilizados e como os seus resultados podem ser CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA interpretados (NCTM, 2009).
  • 9. Raciocínio Matemático – Importância Fundamentação Teórica Os actuais documentos curriculares de Matemática um pouco por todo o mundo, e inclusivamente em Portugal, apontam o desenvolvimento do raciocínio matemático como um objectivo central do ensino da Matemática e alertam para a necessidade de desenvolver essa capacidade nos alunos de forma consistente, recorrendo-se à sua utilização sistemática numa diversidade de contextos. Efectivamente, o documento Princípios e Normas para a Matemática Escolar (2007) e o NPMEB destacam a importância de todos os alunos reconhecerem o raciocínio e a demonstração como aspectos fundamentais da matemática; formularem e investigarem conjecturas matemáticas; desenvolverem e avaliarem argumentos e provas matemáticos; bem como seleccionarem e usarem diversos tipos de raciocínios e métodos CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA de demonstração.
  • 10. Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 12. Fundamentação Teórica RaciocínioComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Matemático • Formulação de conjecturas; • Explicação; • Generalização; • Justificação; • Caso particular; • Construção de cadeias • Contra exemplos; argumentativas; • Distinguir raciocínio indutivo de • Demonstração; dedutivo CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 13. Raciocínio Matemático – Actividades de conjecturar e provar Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Conjecturar • Negociar significados; • Valorizar; • Formular testes; • Investir na partilha e avaliação colectiva Provar • Justificar, compreender, convencer (a si próprio; a um amigo a um inimigo) • Produzir para avaliar; • Não basta verificar com exemplos;
  • 14. Comunicação Matemática Fundamentação Teórica Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização
  • 15. Comunicação Matemática Fundamentação Teórica Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização Que valores pode ter k para que k + 5 seja um múltiplo de 5? Com esta tarefa espera-se que os alunos conjecturem sobre os valores que k pode tomar e que testem e verifiquem a sua conjectura. Para a sua resolução é necessário ter presente a noção de múltiplo de um número e também um modo de o representar.
  • 16. Comunicação Matemática Fundamentação Teórica Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização Resolução de Maria A aluna apresenta de imediato uma resposta ao problema, sem explicitar o seu raciocínio, levando menos de 10 segundos entre a leitura da tarefa e a sua resposta: A partir desta resposta, e quando solicitada a explicar o seu raciocínio, apresenta o seguinte: Como a aluna usa apenas um exemplo para explicar o seu raciocínio, surge a necessidade de a levar a explorar um pouco mais a tarefa:
  • 17. Comunicação Matemática Fundamentação Teórica Raciocínio MatemáticonumActividades de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano – contexto de resolução de generalização Entrevistadora: Isto é para um número, conseguimos fazer para mais números? (apontando para o exemplo dado). Maria: Sim. E.: Sim? Então diz-me lá. M.: (hesita) não sei… Com números muito grandes… Sei lá… E.: E não podemos representar esses números por qualquer coisa? O que é que eu sei que o k é? M.: k é… Ah, sim! (escreve “5x + 5”) E.: O que é que me garante que isso é um múltiplo de cinco? M.: Porque se… Este de certeza que vai dar um múltiplo de cinco (aponta para 5x) e se somar mais cinco vai dar cinco de certeza (corrige), vai dar múltiplo de cinco.
  • 18. RACIOCÍNIO Há autores que incluem o raciocínio numa outra categoria, a do pensamento matemático. Profundo Competências gerais de Cooperação conhecimento matemático raciocínio O pensamento matemático envolve uma variedade de competências Persistência, Competências Estratégias organização, de heurísticas confiança comunicação Capacidade de colocar questões 18
  • 19. Em suma… Capacidade transversal que todos os alunos precisam de desenvolver, independentemente dos ciclos de ensino em que se encontram; os alunos podem apresentar processos de raciocínio distintos e, por vezes, bastante diversificados. Também na perspectiva de Boavida (2008), o raciocínio sempre esteve associado à Matemática e constitui um aspecto central no ensino da mesma, independentemente do tema ou do ano de escolaridade. Contudo, refere que não basta a proposta de tarefas com determinadas características, mas também a ajuda no desenvolvimento de um hábito de pensamento que tem a ver com o “porquê das coisas”. Assim, “é importante que os alunos se envolvam em actividades de formulação, teste e prova de conjecturas…”. Ponte, Branco e Matos (2008) afirmam que raciocinar “envolve sobretudo encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento” .
  • 20. Comunicação Matemática Fundamentação Teórica Raciocínio Matemáticonum contexto de resolução de problemas:Actividades de generalização (indutivo e dedutivo) – Uma experiência com alunos do 9.º ano O tipo de raciocínio utilizado por Maria é pouco claro, dado que apresenta a sua resposta ao problema antes de explicar o seu raciocínio. Contudo, atendendo ao tempo que Maria demora a responder ao problema e à apresentação imediata de uma generalização para o valor de k, é plausível supor o recurso ao raciocínio dedutivo. Por outro lado, na justificação dada posteriormente, Maria usa um exemplo para iniciar a sua explicação, tenta justificar a sua resolução de modo indutivo. Apenas a hesitação em usar mais casos particulares para justificar a sua resposta e a facilidade com que representa o valor geral de k sugere que Maria utiliza efectivamente o raciocínio dedutivo desde o início da sua resolução.
  • 21.
  • 22. Números às avessas Pensa num número de dois algarismos. Escreve o número que se obtém lendo-o da direita para a esquerda. Subtrai o maior do menor. Que diferença obténs? Faz mais experiências com outros números. Observa as diferenças. Consegues encontrar um padrão? Formula uma conjectura baseada nas experiencias feitas. A conjectura será válida? Prova-a
  • 23. 53- 35 = 18; 54 – 45 = 9; 92 – 29= 63; 84 – 48= 36; 72 – 27 =45; 63 -36= 27; 91 – 19= 72; 42 – 24= 18 …. 53- 35 = 18; 54 – 45 = 9; 92 – 29= 63; 84 – 48= 36; 72 – 27 =45; 63 -36= 27; 91 – 19= 72; 42 – 24= 18 …. Mas há mais regularidades….
  • 24. • A diferença entre os algarismos tem influencia no múltiplo ode 9 que se obtém, vamos ver…. 75 -57 = 18 Conjetura: A diferença entre dois números 7- 5 = 2, logo 2 x 9 = 18 deste tipo é sempre um múltiplo de nove, que corresponde ao produto de nove pela diferença entre os algarismos de qualquer 83 -38 = 45 dos números em causa 8 – 3 = 5, logo 5 x 9 = 45 Prova: • Chamemos a ao algarismo das dezenas e b ao algarismo das unidades. • Então ab será o nosso número, ou seja, 10a+b • O número às avessas será ba, ou seja, 10b+a; • Fazendo a diferença entre os dois vamos ter:
  • 25. O que prova a conjetura!!
  • 26.
  • 28. Os cacifos Numa escola há mil alunos e mil cacifos. •Passa o 1.º aluno e abre todos os cacifos; •Passa o 2.º aluno e “muda o estado” (se está aberto fecha e se está fechado abre) dos cacifos de ordem múltiplo de 2; •Passa o 3.º aluno e “muda o estado” Passa o 4.º aluno e “muda o estado” •Quando passar o 1000.º aluno quantos cacifos ficam abertos? Cacifos: 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 Quadrados perfeitos Porquê?
  • 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 30.
  • 31. Posição do Quadrado Coordenadas do Centro X y 1 2 2 2 5 3 3 8 4 4 11 5 … 20 59 21 … n 3n-1 n+1