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QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMINHA LIGHT
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
Segue abaixo um divertido probleminha que admite duas respostas
Problema
Num reino distante quaisquer dois cavaleiros ou são amigos ou inimigos e
cada cavaleiro tem exatamente três inimigos. Nesse reino vigora a seguinte lei
entre os cavaleiros: um inimigo do meu amigo é meu inimigo.
Quantas possibilidades há para o número de cavaleiros desse reino?
(RPM/IME/USP)
Uma solução é mais ou menos imediata: 4 cavaleiros, todos inimigos entre si.
Suponhamos, agora, que "a" seja amigo de "b".
A lei implica que se o conjunto de amigos de "a" é {b} união M, então o
conjunto dos amigos de "b" será {a} união M.
Isso significa que "a" e "b" têm os mesmos 3 inimigos. Vamos chamá-los de "x",
"y" e "z".
Se "x" for inimigo de "y", então os 3 inimigos de "x" serão "a", "b" e "y" e os 3
inimigos de "y" serão "a", "b", e "x".
Logo, "x" e "y" serão necessariamente amigos de "z".
Mas se "x" é inimigo de "y" e "y" é amigo de "z" então, pela lei, "x" terá que ser
inimigo de "z" ==>contradição ==>"x" é amigo de "y".
De forma análoga, concluímos que "x" e "y" são amigos de "z".
Mas "x", "y" e "z" ainda tem um terceiro inimigo. Vamos chamá-lo de "c".
Como os inimigos de "a" e "b" são "x", "y" e "z", concluímos que "c" será amigo
de "a" e de "b".
Com isso, achamos a segunda solução:
6 cavaleiros: a, b, c, x, y, z tais que:
a, b, c são amigos entre si;
x, y, z são amigos entre si;
a, b, c são inimigos de x, y, z.
Suponhamos que haja um sétimo cavaleiro. Vamos chamá-lo de "h".
É claro que "h" só pode ser amigo de "a", "b", "c", "x", "y" e "z", pois cada um
desses já tem 3 inimigos.
Mas "a" é inimigo de "x". Como "x" é amigo de "h", a lei implica que "a" é
inimigo de "h" ==> contradição ==>"h" tem que ser inimigo de "x"
==>contradição ==> não pode haver um sétimo cavaleiro.
Logo, temos apenas as duas soluções descritas acima.
Confira essa discussão em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg01240.html

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  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMINHA LIGHT Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. Segue abaixo um divertido probleminha que admite duas respostas Problema Num reino distante quaisquer dois cavaleiros ou são amigos ou inimigos e cada cavaleiro tem exatamente três inimigos. Nesse reino vigora a seguinte lei entre os cavaleiros: um inimigo do meu amigo é meu inimigo. Quantas possibilidades há para o número de cavaleiros desse reino? (RPM/IME/USP)
  • 3. Uma solução é mais ou menos imediata: 4 cavaleiros, todos inimigos entre si. Suponhamos, agora, que "a" seja amigo de "b". A lei implica que se o conjunto de amigos de "a" é {b} união M, então o conjunto dos amigos de "b" será {a} união M. Isso significa que "a" e "b" têm os mesmos 3 inimigos. Vamos chamá-los de "x", "y" e "z". Se "x" for inimigo de "y", então os 3 inimigos de "x" serão "a", "b" e "y" e os 3 inimigos de "y" serão "a", "b", e "x". Logo, "x" e "y" serão necessariamente amigos de "z".
  • 4. Mas se "x" é inimigo de "y" e "y" é amigo de "z" então, pela lei, "x" terá que ser inimigo de "z" ==>contradição ==>"x" é amigo de "y". De forma análoga, concluímos que "x" e "y" são amigos de "z". Mas "x", "y" e "z" ainda tem um terceiro inimigo. Vamos chamá-lo de "c". Como os inimigos de "a" e "b" são "x", "y" e "z", concluímos que "c" será amigo de "a" e de "b". Com isso, achamos a segunda solução: 6 cavaleiros: a, b, c, x, y, z tais que: a, b, c são amigos entre si;
  • 5. x, y, z são amigos entre si; a, b, c são inimigos de x, y, z. Suponhamos que haja um sétimo cavaleiro. Vamos chamá-lo de "h". É claro que "h" só pode ser amigo de "a", "b", "c", "x", "y" e "z", pois cada um desses já tem 3 inimigos. Mas "a" é inimigo de "x". Como "x" é amigo de "h", a lei implica que "a" é inimigo de "h" ==> contradição ==>"h" tem que ser inimigo de "x" ==>contradição ==> não pode haver um sétimo cavaleiro. Logo, temos apenas as duas soluções descritas acima. Confira essa discussão em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg01240.html