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A MÁTEMÁTICA EM
ALGUNS NÚMEROS DE
MAGIA
Prof. Pedro Malagutti
Departamento de
Matemática
UFSCar
Novembro de 2018
Apresentado por:
A maior de todas as mágicas:
A Ciência nasce do espanto admirativo que os
seres humanos têm diante de uma situação
problemática, mas não é um impulso espontâneo,
sendo causada por uma aporia, isto é, uma
dificuldade insolúvel para o pensador. (Aristóteles)
PORQUE ENTÃO
ESTUDAR
MATEMÁTICA?
VAMOS INICIAR
COM UM
TORNEIO DE
PERGUNTAS E
RESPOSTAS
Questão 1
Qual é o valor de 22?
Sugestão: É o mesmo que 2 x 2.
Resposta: 4.
Questão 2
Resposta:
1,6325269194381528447734953810247...
Sugestão: Use cálculo mental. A raiz de 2 é aproximadamente igual a
1,4142135623730950488016887242097
Questão 3
Qual é o nome do quadrilátero formado por
4 lados de mesma medida e que tem quatro
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Questão 4
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rombicosidododecaedro?
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função constante. Qual é o valor da
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Sugestão: Use probabilidade condicional
ESTA SENTENÇA CONTÉM SEIS PALAVRAS
ESTA SENTENÇA NÃO CONTÉM SEIS PALAVRAS
VAMOS CONTINUAR COM LÓGICA
É FALSA. PORTANTO, SUA NEGAÇÃO:
DEVE SER VERDADEIRA.
LÓGICA
A mágica da lâmpada
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“O relógio está com quem está mentindo?”
1. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a verdade e
o relógio está com ela. Resp.: NÃO
2. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a mentira e
o relógio está com ela. Resp.: NÃO
3. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a verdade e
o relógio não está com ela. Resp.: SIM
4. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a mentira e
o relógio não está com ela. Resp.: SIM
Há muitas maneiras de
motivar o estudo da
Matemática
A Matemática tem sua beleza própria
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disto:
O que fazer?
• “Aquele que ensina Matemática e não
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recreação aritmética, pode ser um gênio
como Poincaré, um novo Weierstrass, um
George Cantor da Álgebra Moderna, mas
será sempre um péssimo, um detestável
professor” (Klein)
• “Matemática é um assunto tão sério que
ninguém deve perder a oportunidade de
torná-la divertida” (Pascal)
Divulgação da cultura
matemática
• Livros
• Circo da Ciência
• Olimpíadas de Matemática
• 2017/2018 - Festival da Matemática
• Mágicas e Matemática
A Matemática nos últimos 70 anos
• (1950) Ensino Tradicional: Um fazendeiro vendeu um saco de
batatas por 100 contos de réis. O custo de produção foi de 4/5
do preço da venda. Qual foi o lucro do fazendeiro?
• (1960) Ensino Tradicional Renovado: Um fazendeiro vendeu um
saco de batatas por Cr$100,00. O custo de produção foi de 4/5
do preço da venda, isto é, Cr$ 80,00. Qual foi o lucro do
fazendeiro?
• (1970) Matemática Moderna: Um fazendeiro trocou um conjunto
B de batatas por um conjunto D de dinheiro. A cardinalidade do
conjunto D é igual a 100 e cada elemento de D vale Cr$ 1,00.
Desenhe cem pontos representando os elementos de D. O
conjunto C de custo da produção tem 20 pontos a menos que o
conjunto D. Pinte-os de vermelho para representar o conjunto C
como um subconjunto de D e responda: qual é a cardinalidade
do conjunto lucro?
• (1980) Transcendendo o Ensino tradicional: Um fazendeiro vende
um saco de batatas por Cz$ 100,00. A sua produção custou Cz$
80,00 e o seu lucro foi de Cz$ 20,00. Sublinhe a palavra batatas e
discuta em grupo com seus colegas.
• (1990) Ensino apostilado: Localize em sua apostila no. 9, Cap. 7.3,
ítem 3 da subseção 3.7 i) a figura de um fazendeiro plantando
batatas. Com o auxílio de sua máquina de calcular digite 100 times
4 over 5 e tecle “Enter”. Subtraia o que aparece no visor de 100.
Coloque o resultado na folha de respostas do Manual Auxiliar do
Aluno na página 123 do Capítulo 9.4 e confira se sua resposta está
correta na Folha de Atividades Concluídas da seção 9.3, ítem 3 h)
do manual de referências.
• (2000) Faça uma pesquisa na Internet acessando o portal
batatas.com.br e localize o link problemas prontos de Matemática.
Com o botão direito do mouse acesse a home-page
www.fazendeiro.html. Faça download do software “CUSTO.EXE”.
Clique em 100 e dirija o mouse para o gif animado 4/5. Arreste-o
para o canto inferior da tela para ver a batatinha girando.
TESTES – ENEM
• (2015) Recente manchete do Revista “Enxerga” aponta para o
aumento da plantação de batatas no interior de Sergipe, o que
tem ocasionado um grande problema social para a região, ainda
não beneficiada pela transposição do Rio São Francisco, já que
muitos agricultores têm abandonado o tradicional plantio de
mandioca e macaxeira. O preço da farinha de mandioca subiu
20% no último ano, segundo dados da Associação das Farofeiras
da Zona da Mata. De acordo com a notícia veiculada em 30 de
setembro de 2013 pela “Enxerga”, o preço médio de
comercialização de um saco de batatas de 60kg na região semi-
árida é de U$ 35.00, ou seja, aproximadamente R$ 100,00. Se o
custo de produção é U$ 27, admitindo-se que este seja de 4/5, ou
seja 80%, do preço da venda e que a inflação seja nula desde
então, assinale a resposta que melhor indica o lucro médio atual
de um plantador de batatas sergipano:
( )R$ 20,00 ( )R$40,00 ( )R$60,00 ( )R$80,00 ( )R$100,00
PISA – Como melhorar a
posição brasileira no ranking:
• (2020) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$100,00. O
custo de produção é R$ 80,00. Assinale a alternativa que
corresponde ao lucro:
( )R$ 20,00 ( ) Vinte reais ( ) R$100,00 – R$ 80,00 ( )
( ) Todas as alternativas anteriores
• (2025) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$ 100,00.
O custo de produção é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00. Está
certo?
( )SIM ( ) NÃO
• (2030) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$100,00. O
custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X
no R$ 20,00.
( )R$ 20,00 ( ) R$40,00( ) R$60,00 ( )R$80,00 ( )R$100,00
A Matemática atual e do futuro
• (2009) Prolema de Mática no celular: Aêe..., rsrsrs,
galera, tô afim de tc. O teacher de Matmtca pirou cara!
 Tava misturnado battinha com sei lá, tipo assim, de
uma parada de 1 kara que se ferrou plantando batta, tá
lgd? Vou criar 1 comunidad Eu odeio maths, mas adoro
chips, falei? Já eh, bjs, bjs, see u later.... [ ], [ ], :)
FACEBOOK
(sempre) Se tivesse
só mais um dia de
vida, escolheria
passá-lo em uma
aula de Matemática.
Nunca mais acaba!
SELFIE HOT POTATE
Permutação de cartas
ILUSÃO DO
DADO
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Mágicas Matemáticas de
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EXPLICAÇÃO - PIF
Se uma afirmação é verdadeira para n = 1 e
se pudermos provar que esta mesma afirmação, sendo válida
para n também é válida para n + 1, então
a afirmação é válida para todo n (de 1 até o infinito).
O CONE GIRA CABEÇA
Livros
Muito obrigado pela sua
atenção. Até breve!
• malagutti@dm.ufscar.br
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  • 1. A MÁTEMÁTICA EM ALGUNS NÚMEROS DE MAGIA Prof. Pedro Malagutti Departamento de Matemática UFSCar Novembro de 2018 Apresentado por:
  • 2. A maior de todas as mágicas:
  • 3. A Ciência nasce do espanto admirativo que os seres humanos têm diante de uma situação problemática, mas não é um impulso espontâneo, sendo causada por uma aporia, isto é, uma dificuldade insolúvel para o pensador. (Aristóteles)
  • 4. PORQUE ENTÃO ESTUDAR MATEMÁTICA? VAMOS INICIAR COM UM TORNEIO DE PERGUNTAS E RESPOSTAS
  • 5. Questão 1 Qual é o valor de 22? Sugestão: É o mesmo que 2 x 2. Resposta: 4.
  • 6. Questão 2 Resposta: 1,6325269194381528447734953810247... Sugestão: Use cálculo mental. A raiz de 2 é aproximadamente igual a 1,4142135623730950488016887242097
  • 7. Questão 3 Qual é o nome do quadrilátero formado por 4 lados de mesma medida e que tem quatro ângulos retos? Sugestão: Começa com a letra Q. Resposta: Quadrado.
  • 8. Questão 4 Quantas faces quadradas possui o rombicosidododecaedro? Sugestão: Observe a figura, os quadrados são vizinhos dos pentágonos: Resposta: 30.
  • 9. Questão 5 O gráfico da função abaixo representa uma função constante. Qual é o valor da constante? Resposta: 1. Sugestão: Observe o número que aparece na figura.
  • 10. Questão 6 Qual é a função cujo gráfico está representado na figura? Resposta: ex . sen (x) . (1/x) Sugestão: É o produto de uma exponencial por uma função trigonométrica por uma função racional.
  • 11. Questão 7 Quanto é 10% de 100? Resposta: 10 Sugestão: É o mesmo que 100 dividido por 10 ou uma dezena.
  • 12. Questão 8 Tomando-se um empréstimo de R$ 400,00 por 10 meses, se os juros foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último mês, qual será o montante pago? Resposta: R$ 626,30 Sugestão: basta multiplicar 400 por (1,03)4 (1,05)5 (1,09).
  • 13. Questão 9 Qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda? Resposta: 1/2 Sugestão: É o mesmo que a metade de um inteiro. As chances são de 1 para 2 ou de 50%. A resposta deve vir na forma de uma fração.
  • 14. Questão 10 Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando de fato ela existe. Entretanto o teste aponta um resultado falso-positivo para 1% das pessoas testadas sadias. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que seu exame foi positivo? Resposta: 95/294 Sugestão: Use probabilidade condicional
  • 15. ESTA SENTENÇA CONTÉM SEIS PALAVRAS ESTA SENTENÇA NÃO CONTÉM SEIS PALAVRAS VAMOS CONTINUAR COM LÓGICA É FALSA. PORTANTO, SUA NEGAÇÃO: DEVE SER VERDADEIRA.
  • 16. LÓGICA A mágica da lâmpada A mágica do relógio “O relógio está com quem está mentindo?” 1. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a verdade e o relógio está com ela. Resp.: NÃO 2. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a mentira e o relógio está com ela. Resp.: NÃO 3. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a verdade e o relógio não está com ela. Resp.: SIM 4. A pergunta foi feita para a pessoa que fala a mentira e o relógio não está com ela. Resp.: SIM
  • 17. Há muitas maneiras de motivar o estudo da Matemática A Matemática tem sua beleza própria
  • 18. O que alguns alunos pensam disto:
  • 19.
  • 20. O que fazer? • “Aquele que ensina Matemática e não pratica, de quando em quando, uma recreação aritmética, pode ser um gênio como Poincaré, um novo Weierstrass, um George Cantor da Álgebra Moderna, mas será sempre um péssimo, um detestável professor” (Klein) • “Matemática é um assunto tão sério que ninguém deve perder a oportunidade de torná-la divertida” (Pascal)
  • 21. Divulgação da cultura matemática • Livros • Circo da Ciência • Olimpíadas de Matemática • 2017/2018 - Festival da Matemática • Mágicas e Matemática
  • 22. A Matemática nos últimos 70 anos • (1950) Ensino Tradicional: Um fazendeiro vendeu um saco de batatas por 100 contos de réis. O custo de produção foi de 4/5 do preço da venda. Qual foi o lucro do fazendeiro? • (1960) Ensino Tradicional Renovado: Um fazendeiro vendeu um saco de batatas por Cr$100,00. O custo de produção foi de 4/5 do preço da venda, isto é, Cr$ 80,00. Qual foi o lucro do fazendeiro? • (1970) Matemática Moderna: Um fazendeiro trocou um conjunto B de batatas por um conjunto D de dinheiro. A cardinalidade do conjunto D é igual a 100 e cada elemento de D vale Cr$ 1,00. Desenhe cem pontos representando os elementos de D. O conjunto C de custo da produção tem 20 pontos a menos que o conjunto D. Pinte-os de vermelho para representar o conjunto C como um subconjunto de D e responda: qual é a cardinalidade do conjunto lucro?
  • 23. • (1980) Transcendendo o Ensino tradicional: Um fazendeiro vende um saco de batatas por Cz$ 100,00. A sua produção custou Cz$ 80,00 e o seu lucro foi de Cz$ 20,00. Sublinhe a palavra batatas e discuta em grupo com seus colegas. • (1990) Ensino apostilado: Localize em sua apostila no. 9, Cap. 7.3, ítem 3 da subseção 3.7 i) a figura de um fazendeiro plantando batatas. Com o auxílio de sua máquina de calcular digite 100 times 4 over 5 e tecle “Enter”. Subtraia o que aparece no visor de 100. Coloque o resultado na folha de respostas do Manual Auxiliar do Aluno na página 123 do Capítulo 9.4 e confira se sua resposta está correta na Folha de Atividades Concluídas da seção 9.3, ítem 3 h) do manual de referências. • (2000) Faça uma pesquisa na Internet acessando o portal batatas.com.br e localize o link problemas prontos de Matemática. Com o botão direito do mouse acesse a home-page www.fazendeiro.html. Faça download do software “CUSTO.EXE”. Clique em 100 e dirija o mouse para o gif animado 4/5. Arreste-o para o canto inferior da tela para ver a batatinha girando.
  • 24. TESTES – ENEM • (2015) Recente manchete do Revista “Enxerga” aponta para o aumento da plantação de batatas no interior de Sergipe, o que tem ocasionado um grande problema social para a região, ainda não beneficiada pela transposição do Rio São Francisco, já que muitos agricultores têm abandonado o tradicional plantio de mandioca e macaxeira. O preço da farinha de mandioca subiu 20% no último ano, segundo dados da Associação das Farofeiras da Zona da Mata. De acordo com a notícia veiculada em 30 de setembro de 2013 pela “Enxerga”, o preço médio de comercialização de um saco de batatas de 60kg na região semi- árida é de U$ 35.00, ou seja, aproximadamente R$ 100,00. Se o custo de produção é U$ 27, admitindo-se que este seja de 4/5, ou seja 80%, do preço da venda e que a inflação seja nula desde então, assinale a resposta que melhor indica o lucro médio atual de um plantador de batatas sergipano: ( )R$ 20,00 ( )R$40,00 ( )R$60,00 ( )R$80,00 ( )R$100,00
  • 25. PISA – Como melhorar a posição brasileira no ranking: • (2020) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Assinale a alternativa que corresponde ao lucro: ( )R$ 20,00 ( ) Vinte reais ( ) R$100,00 – R$ 80,00 ( ) ( ) Todas as alternativas anteriores • (2025) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00. Está certo? ( )SIM ( ) NÃO • (2030) Um fazendeiro vende um saco de batatas por R$100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00. ( )R$ 20,00 ( ) R$40,00( ) R$60,00 ( )R$80,00 ( )R$100,00
  • 26. A Matemática atual e do futuro • (2009) Prolema de Mática no celular: Aêe..., rsrsrs, galera, tô afim de tc. O teacher de Matmtca pirou cara!  Tava misturnado battinha com sei lá, tipo assim, de uma parada de 1 kara que se ferrou plantando batta, tá lgd? Vou criar 1 comunidad Eu odeio maths, mas adoro chips, falei? Já eh, bjs, bjs, see u later.... [ ], [ ], :) FACEBOOK
  • 27. (sempre) Se tivesse só mais um dia de vida, escolheria passá-lo em uma aula de Matemática. Nunca mais acaba! SELFIE HOT POTATE
  • 28.
  • 30. ILUSÃO DO DADO Mundo da Matemática Mundo da Magia
  • 31. Mágicas Matemáticas ARITMÉTICA • Dados empilhados • Multiplicação de dinheiro • Cartas e números primos • Adivinhação do aniversário
  • 33. GEOMETRIA • Caixas encaixantes • Quadratura do círculo quadratura imediata jornal
  • 34. TOPOLOGIA • A mágica da janelinha • Barbantes nós e truques com barbantes
  • 37. Mágica das funções bijetoras e a recuperação da permutação perdida 1 2 3 4 6 5 1 2 3 4 6 5
  • 39. EXPLICAÇÃO - PIF Se uma afirmação é verdadeira para n = 1 e se pudermos provar que esta mesma afirmação, sendo válida para n também é válida para n + 1, então a afirmação é válida para todo n (de 1 até o infinito).
  • 40. O CONE GIRA CABEÇA
  • 42. Muito obrigado pela sua atenção. Até breve! • malagutti@dm.ufscar.br • www.dm.ufscar.br • www.ppgece.ufscar.br FIM