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O OBJETO MODELO MATEMÁTICO E SUAS DIVERSAS
REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS: UMA CONCEPÇÃO DE
MODELAGEM MATEMÁTICA
Ednilson Sergio Ramalho de Souza1
Universidade Federal do Pará-UFPA
Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI
ednilson.souza@yahoo.com.br
Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo2
Universidade Federal do Pará-UFPA
Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI
adilson@ufpa.br
Resumo
Baseando-nos nos estudos do Filósofo e psicólogo Raymond Duval sobre as transformações de
registros semióticos na área da educação matemática, temos por objetivo propor a incorporação
dos estudos de Duval ao processo de modelagem matemática. Buscando responder à seguinte
questão de pesquisa: como favorecer significado à diversidade de representações matemáticas
aplicadas durante o processo de ensino-aprendizagem de Matemática? propomos que sejam
privilegiadas as conversões e leituras das diversas representações matemáticas de um mesmo
objeto matemático, o objeto modelo matemático. Por analogia ao conceito de número,
argumentamos que um modelo matemático pode ser “visto” como um objeto matemático e,
como tal, pode ser objetivado por diferentes representações matemáticas. Uma tabela, um
gráfico ou uma equação algébrica obtidos a partir de um mesmo problema constituem, dessa
forma, em diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático.
Cada uma dessas diversas representações matemáticas “carrega” um teor matemático que deve
ser explorado em situações de aprendizagem. À medida que o sujeito faz as conversões e
leituras das várias formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático aumenta sua
compreensão sobre a situação ou problema, favorecendo, portanto, à ação sobre a realidade à
sua volta.
Palavras-chave: Objeto modelo matemático, Representações matemáticas, Conversões
semióticas.
1.0 Introdução
Observando-se um pouco a história da ciência é fácil notar que uma constante
indiscutível no desenvolvimento do conhecimento é a crescente construção de
representações matemáticas seja para descrever algum aspecto da natureza ou algum
1
Professor de Física e Mestrando em Educação em Ciências e Matemáticas pelo Instituto de Educação
Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.
2
Docente do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas do Instituto de
Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.
2
fenômeno (social, físico, biológico, psicológico etc.). Nesse contexto, não podemos
preterir a importância destas no processo de ensino e aprendizagem. Em algumas
disciplinas – como Matemática ou Física –, é comum o uso de alguma equação
matemática para dar sustentação à compreensão de conceitos ou fenômenos (seja para
fazer previsão, inferência ou auxiliar na explicação do professor). Devido a essa
generalização na aplicação de representações matemáticas durante o processo de ensino
de tais disciplinas, as equações são apresentadas aos alunos apenas como ferramenta
auxiliar na aprendizagem, muitas vezes de forma estanque ou estática, restando aos
discentes somente memorizá-las, sem encontrar sentido3
ou dar significado em suas
aplicações.
Nosso objetivo geral é propor a incorporação dos estudos de Duval sobre as
transformações de registros semióticos ao processo de modelagem matemática.
Almejamos com isso que seja favorecida a compreensão do significado das diversas
formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático, levando o discente a
distinguir o objeto matemático de sua representação. Tal escopo pode ser efetivado
pedagogicamente quando se privilegiam as conversões e tratamentos4
, bem como as
leituras e interpretações das diversas representações matemáticas construídas a partir de
um mesmo problema real.
Nesse panorama é que identificamos nossa questão de pesquisa: como favorecer
significado à diversidade de representações matemáticas aplicadas no processo de
ensino-aprendizagem de Matemática?
3
Vygotsky distingue dois componentes do significado da palavra: o significado propriamente dito e o
sentido. O significado propriamente dito refere-se ao sistema de relações objetivas que se formou no
processo de desenvolvimento da palavra, consistindo num núcleo relativamente estável de compreensão
da palavra, compartilhado por todas as pessoas que a utiliza. O sentido, por sua vez, refere-se ao
significado da palavra pra cada indivíduo, composto por relações que dizem respeito ao contexto de uso
da palavra e às vivências afetivas do indivíduo (OLIVEIRA, 1999, p. 50) (grifos do autor).
4
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo,
efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números;
resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade
e de simetria.
As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os
mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação
gráfica (DUVAL, 2008, p. 16).
3
2.0 Representações
Numa visão semiótica e cognitiva, pode-se entender que “uma representação é
uma notação ou signo ou conjunto de símbolos que ‘re-presenta’ algo para nós, ou seja,
ela representa alguma coisa na ausência dessa coisa” (EYSENCK e KEANE apud
FERNADES, 2000, p. 10)5
. Segundo Raymond Duval (2009), Piaget recorre à noção de
representação como “evocação dos objetos ausentes” (grifos do autor).
Para Duval (idem), as representações podem ser classificadas de acordo com as
oposições interna/externa e consciente/não-consciente. Ver quadro 1.
Quadro 1 - Tipos e funções de representações (Fonte: Duval, 2009).
Interna Externa
Consciente Mental
• Função de
objetivação
Semiótica
• Função de
objetivação
• Função de expressão
• Função de tratamento
intencional
Não-consciente Computacional
• Função de tratamento
automático ou quase
instantâneo.
Percebemos que este autor classifica as representações em três grandes tipos:
mental, semiótica e computacional. As representações mentais são internas e
conscientes, elas não necessitam de um significante para representar o objeto, são
geralmente identificadas às “imagens mentais”. As representações semióticas também
são conscientes, mas externas, necessitam de um significante (símbolo, reta, curva,
sons...) para representar o objeto. As representações computacionais são internas e não
conscientes, podem ser algoritmizáveis ou codificáveis. Os modelos mentais6
são
exemplos desse tipo de representação.
Fernandes (2000) informa que as representações externas são utilizadas
principalmente na comunicação entre os indivíduos. As internas são utilizadas no
processamento mental (pensamento). Dentre as representações externas podemos
5
EYSENK, M. E; KEANE, M. T. Cognitive pisichology: a student’s hadbook. Hove: Lawrence Erlbaum,
1990.
6
Modelos mentais são representações internas análogas ao sistema representado, podem ser “rodados” ou
“simulados” na mente do indivíduo para compreender ou explicar tal sistema (Moreira, 1996).
4
distinguir a pictórica (desenhos, figuras, diagramas) e as linguísticas (palavra escrita ou
falada). As representações internas são utilizadas pela mente e podem ser divididas
didaticamente em distribuídas (redes neurais artificiais) e simbólicas: proposicionais do
“tipo-linguagem” e analógica (imagens mentais e modelos mentais). Ver figura 1.
Representações
Externas Internas
Simbólicas Distribuídas
Analógicas
Imagens Modelos
mentais
ProposicionaisPictóricas Lingüísticas
Figura 1 - Diagrama das diferentes representações (Fonte: FERNANDES, 2000, p. 11).
As representações semióticas não são externas nem internas. Porém, toda
representação externa é semiótica (DUVAL, 2009). De maneira geral são sistemas de
expressão e representação para os números, notações simbólicas para os objetos,
escrituras algébricas e lógica que contenham o estatuto de línguas paralelas à linguagem
natural para exprimir as relações e as operações: figuras geométricas, representações em
perspectiva, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas etc. As representações
externas são, por natureza, representações semióticas. Isto porque a produção de uma
representação externa efetua-se, necessariamente, por meio da operacionalização de um
sistema semiótico (DUVAL, 2009).
Depreende-se do que foi visto acima que, numa concepção semio-cognitiva, o
termo representação é usado principalmente com o apelo de proporcionar uma “visão”
de um objeto ausente. Essa “visão” pode ser mediada por um significante, no caso das
representações semióticas ou sem mediação de significantes, no caso das representações
mentais e computacionais. Passemos a discutir sobre o termo modelo.
5
3.0 Modelos
Bassanezi (2004) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte da
realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo comum
é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-
los através de um sistema artificial: o modelo.
Infere-se da citação acima que o termo modelo possui, necessariamente, a
função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções, tomada de
decisões. O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua
flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles
podem servir para compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38).
Borges (1997) contribui ressaltando que,
Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto
ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias
Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na
existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos.
Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade.
(BORGES, 1997, p. 207).
Esse autor argumenta também que quando uma coisa é análoga a outra, implica
que uma comparação entre suas estruturas é feita e a analogia é o veículo que expressa
os resultados de tal comparação. Analogias são, portanto, ferramentas para o raciocínio
e para a explicação.
Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa
que, necessariamente, possibilite explicações, inferências, predições, tomada de
decisões por meio de analogias entre o modelo (representante) e a coisa modelada
(representado). Enquanto que uma simples representação apenas evoca algo que está
ausente, uma representação do tipo modelo, além de evocar o àquilo que está ausente,
possibilita explicação e descrição.
Um modelo, por exemplo, de um motor de carro (planta, maquete, protótipo)
deve permitir que o engenheiro explique o seu funcionamento e tome decisões a partir
da “leitura” desse modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um
modelo, visto que não possibilitará nenhuma explicação científica. Será apenas uma
representação de um motor, apenas o representará em sua ausência.
6
Logo, podemos refletir que, de maneira geral, todo modelo é uma representação,
mas nem toda representação constitui-se em um modelo. Para que uma representação
“torne-se” um modelo, esta deve permitir algum tipo de “leitura” (explicação,
inferência, predição, dedução, tomada de decisão). É certo afirmar que a leitura de uma
representação depende, dentre outras coisas, do conhecimento prévio (do repertório
cognitivo) do sujeito. Desta maneira, a distinção entre esses dois termos (representação
e modelo) não é algo trivial, ocorre a nível mental, a nível cognitivo. Um modelo seria,
então, uma representação com capacidade de possibilitar leitura sobre o representado.
Representação
modelo
(cognitivo)
Figura 2. A distinção entre representação e modelo ocorre a nível cognitivo, depende do
conhecimento prévio do sujeito.
Talvez a dificuldade em distinguir uma simples representação de uma representação do
tipo modelo ocorra devido haver um obstáculo epistemológico ocasionado pelo uso
frequente do termo modelo como sinônimo de representação.
4.0 Representação matemática ou modelo matemático?
Considerando o que foi exposto nos parágrafos precedentes, somos levados a
pensar que um modelo matemático seria uma representação matemática que possibilite
algum tipo de interpretação ou leitura científica do objeto de modelagem. Dito em
outras palavras: um modelo matemático é uma representação com certo grau de
significado científico. Caso essa representação matemática não favoreça alguma leitura
científica para o sujeito, ela não será um modelo matemático, tão somente será uma
representação semiótica sem significado matemático. Deste modo, a distinção entre
representação matemática e modelo matemático depende de quem tenta “ler” tal
representação. O que pode ser modelo matemático para um sujeito, para o outro não
7
passará de uma simples representação matemática sem significado científico. É o
repertório cognitivo do sujeito que determinará essa distinção.
O mapa acústico da figura 3 poderá ajudar a exemplificar essa assertiva.
Figura 3. Mapa acústico construído durante uma atividade de modelagem matemática. Modelo
matemático ou representação matemática? (Fonte: ROZAL, 2007, p. 109)
Esse mapa acústico pode ser considerado um modelo matemático? Ele propicia
alguma informação matemática que possa ser deduzida por inferência? Pode-se predizer
alguma tendência matemática?
Vamos analisar essas perguntas de duas maneiras: uma leitura ingênua do mapa
não é capaz de inferir informações matemáticas implícitas, não consegue predizer
alguma tendência matemática significativa. Uma pessoa mais experiente, habilidosa e
capacitada em ler esse tipo de mapa, provavelmente inferiria informações matemáticas
e físicas implícitas na figura. Poderia, com certa facilidade, predizer algum
comportamento matemático ou físico. No primeiro caso, a figura seria apenas uma
representação matemática, no segundo, seria um modelo matemático. Depreende-se
desse exemplo que o conceito de modelo matemático torna-se relativo quando se leva
em consideração o conhecimento prévio do indivíduo. Ou seja, o que é modelo
matemático para um sujeito pode não ser para outro.
O significado de uma representação matemática depende do “histórico” que se
constrói com ela durante sua elaboração. Por isso acreditamos que o processo de
8
modelagem matemática possa propiciar essa significação, favorecendo, portanto, à
“leitura” das representações matemáticas construídas.
5.0 Modelo matemático como um objeto matemático
No contexto da modelagem matemática, uma tabela, um gráfico ou uma equação
algébrica construídos a partir de um mesmo problema representam o mesmo objeto
matemático, o qual chamaremos de objeto modelo matemático. É “manuseando” o
objeto modelo matemático que o modelador faz leituras sobre a situação real, da mesma
maneira que é “manuseando” uma reta (curva) que o matemático faz a leitura de um
gráfico. Um mesmo objeto modelo matemático pode ser externalizado semioticamente
por várias representações matemáticas. Cada uma dessas representações conserva o
mesmo objeto matemático, porém possuem significação operatória diferente. Exigem
custos cognitivos diferentes.
Quando operamos um número, estritamente falando, não estamos operando um
número, mas a representação semiótica do objeto matemático número7
. O mesmo objeto
matemático número pode ser representado por diversas representações matemáticas.
10 representam o mesmo objeto matemático número que pode ser representado
semioticamente de diversas formas (decimal, radicais, potência de base dez, fração etc).
Cada forma exige um tratamento diferente para ser operado. “Em efeito, na escritura de
um número, é preciso distinguir a significação operatória fixada ao significante e o
número representado” (DUVAL, 2009, p. 60) (grifos do autor).
É essencial jamais confundir os objetos matemáticos, como os
números, as funções, as retas etc, com suas representações, que dizer,
as escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os
traçados de figuras... porque um mesmo objeto matemático pode ser
dado através de representações muito diferentes.
(DUVAL, 2009, p. 14)
Podemos então admitir que um modelo matemático compreende as diversas
representações matemáticas (tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, mapas,
equações) construídas para externalizar o mesmo objeto modelo matemático a partir de
7
O conceito de número na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto
de estudo de diversos pensadores. Pitágoras, por exemplo, considerava o número a essência e o princípio
de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numérico apresenta-se "como a ciência do tempo puro"
(http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero, acesso em 27/07/09).
9
um mesmo problema. Em outras palavras, o mesmo conteúdo matemático referente ao
mesmo objeto modelo matemático pode ser externalizado por diversas representações
matemáticas (diversas formas), as quais constituem um modelo matemático.
tabela
gráfico
mapa
esquema
equações outros
modelo matemático
Figura 4. Um modelo matemático compreende as diversas formas de se representar
semioticamente o mesmo objeto modelo matemático.
Entendemos que para dar significado ou encontrar sentido (compreender) um
objeto modelo matemático é necessário saber discriminar o conteúdo representado por
suas várias representações matemáticas, pois, “...não se pode ter compreensão em
matemáticas, se nós não distinguimos um objeto de sua representação” (Duval, 2009, p.
14). Um ensino centrado na atividade de conversão semiótica poderá ajudar o aprendiz a
fazer essa discriminação.
Assim, o acesso ao objeto modelo matemático se faz por meio de suas várias
representações matemáticas, ou seja, por meio do modelo matemático. Não temos
acesso direto ao objeto modelo matemático, somente às suas representações
matemáticas. Esse paradoxo cognitivo do modelo matemático tem levado muitos
modeladores a lidarem com as diversas representações matemáticas do mesmo objeto
modelo matemático pensando estar lidando com o próprio objeto matemático. Isso
contribui para a ilusão de que uma tabela, um gráfico, um diagrama obtidos de um
mesmo problema durante o processo de modelagem matemática são distintos objetos
matemáticos. Essas representações matemáticas referem-se ao mesmo objeto modelo
matemático ou ao mesmo conteúdo matemático. São várias formas de se representar o
mesmo conteúdo.
Sendo assim, pensamos que a conversão e leitura das várias representações
matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático contribuem para a sua
significação e compreensão. Essa nossa assertiva está alicerçada na afirmação de
10
Raymond Duval (2008) sobre a coordenação de dois registros semióticos ocorrer
quando se compreende o objeto matemático. Dessa forma, acreditamos que não basta
somente os alunos construírem e aplicarem representações matemáticas para
apreenderem um objeto matemático (a substância do modelo matemático), mas
converterem e interpretarem as diferentes representações matemáticas de um mesmo
objeto matemático.
A figura 5 mostra três representações matemáticas heterogêneas de um mesmo
objeto modelo matemático ou três representações matemáticas do mesmo conteúdo
matemático obtidos de um mesmo problema. Tais representações matemáticas formam
um modelo matemático tridimensional8
que permite melhor leitura sobre a situação.
0 0
50 10
80 16
90 18
100 20
110 22
120 25
velocidade (km/h) distância (m)
y = 0,204x
Figura 5. Três representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático: um
modelo matemático tridimensional.
8
Chamaremos de modelo matemático tridimensional ao modelo matemático constituído por três
representações matemáticas. Cada representação matemática fornece uma leitura (significação operatória)
de um ângulo particular do modelo matemático.
11
Muitas atividades de modelagem matemática têm sido realizadas sem atentarem ao
discernimento entre objeto matemático e sua representação matemática. Os alunos têm
sido conduzidos durante o processo como meros “produtores” de representações
matemáticas, não são levados a realizar conversões e entrelaçamentos entre as várias
representações de um mesmo objeto modelo matemático. Basta fazer uma pesquisa
básica nos trabalhos de modelagem publicados nos anais e trabalhos acadêmicos para
perceber que se tem considerado como produto final de modelagem matemática uma
tabela, uma equação ou um gráfico. Não se tem orientado os alunos a realizarem “idas e
voltas” entre as várias formas de se conceber um mesmo objeto modelo matemático.
Um gráfico, uma equação ou uma tabela devem ser considerados como ponto de
partida para realizar as conversões e leituras entre as diversas formas de se representar o
mesmo conteúdo matemático e não como produto final do processo de modelagem.
6.0. Um “fazer” para o processo de modelagem matemática
Chaves e Espírito Santo ao refletirem sobre as diversas possibilidades de uso e
aplicação da modelagem matemática em sala de aula concebem-na como um processo
gerador de um ambiente de ensino-aprendizagem no qual os conteúdos matemáticos
podem ser vistos imbricados a outros conteúdos de outras áreas do conhecimento, por
exemplo, de Física. Tendo-se, dessa forma uma visão holística do problema em
investigação.
Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é
construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a
ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes,
alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo
desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem
do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender
Modelagem Matemática como um processo gerador de um
ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como
mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da
Modelagem na perspectiva da Educação Matemática (grifos dos
autores)
(CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159)
Biembengut e Hein (2003) entendem por modelagem matemática como uma arte
que envolve a formulação, a resolução e a elaboração de expressões que servirão não
12
apenas para uma solução em particular, mas que sejam usadas para outras aplicações e
teorias.
Jonei Babosa (2001) argumenta que a modelagem matemática “...é um ambiente
de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio
da matemática, situações com referência na realidade” (p. 46). Ele reflete que a maneira
de se organizar as atividades de modelagem matemática depende, principalmente, do
contexto escolar, da experiência do professor e dos interesses dos alunos. Sendo que a
configuração curricular do processo pode ser vista em termos de “casos”.
No caso 1 a descrição da situação, os dados reais e os problemas são trazidos
pelo professor, cabendo aos alunos apenas a tarefa de resolução,
No caso 1, o fato de o professor ter simplificado e formulado o
problema não significa a ausência de indagação pelos alunos. Ela está
presente durante o engajamento dos alunos no processo de resolução.
O problema posto pelo professor é uma indagação geradora de outras.
O nível de questionamento dos alunos, certamente, depende do papel
estimulador do professor: “Qual o caminho?”, “Por quê?”, “Como?”,
“Tem certeza? etc.”
(BARBOSA, 2001, p. 39-40).
No caso 2 o professor traz para a sala de aula um problema não-matemático, ou
seja, cabe ao professor formular e apresentar o problema. A coleta de dados qualitativos
e quantitativos necessários para resolver o problema fica a cargo dos alunos.
No caso 3 são escolhidos temas para desenvolver a pesquisa.
...o levantamento de informações, a formulação de problemas e a
resolução destes cabem aos alunos. A ênfase está em estimular os
alunos a identificar situações problemáticas, formulá-las
adequadamente e resolvê-las.
(Ibidem, p. 39).
Os casos de Barbosa não devem ser tomados como formas prescritivas rígidas de
organização das atividades de modelagem. Dependendo do contexto escolar e da
maturidade do professor e dos alunos com relação à modelagem, pode-se “passear”
entre os casos “(...) de modo a se nutrirem reciprocamente” (ibidem, p. 40).
Entendemos que modelagem matemática é um processo que visa à elaboração de
representações matemáticas com “poder” de descrição e explicação. Em se tratando de
13
ensino-aprendizagem, esse processo gera um ambiente cognitivo que favorece a
significação dos conteúdos abordados. As representações matemáticas construídas a
partir de um mesmo problema servem como mediadoras entre o pensamento (sujeito
cognitivo) e o mundo (objeto de modelagem). Isto é, o sujeito cognitivo só é
“conhecido” quando objetivado por representações semióticas, pelas representações
matemáticas. Por outro lado as representações matemáticas devem ser “potentes” para
“traduzir” o pensamento do sujeito na forma “mais fiel” possível. “...las
representaciones simbólicas (cuadros, gráficas y fórmulas algebraicas) son um ayuda
preciosa, y se a bien entonces que a formulación de lãs relaciones y a representaciones
enriquecen a conceptualización” (VERGNAUD, 2007, p. 298)9
.
Isso exige que o sujeito articule ou coordene diversas representações semióticas
para externalizar o seu raciocínio durante o processo de modelagem. A mobilização de
várias representações matemáticas de um mesmo conteúdo evidencia que ele
compreende suas ações e, portanto, atribui significado ou apreende significativamente o
objeto de estudo.
Deste modo, pensamos que “ter uma concepção do processo de Modelagem
importa para a forma como se coloca em prática ou como se cria e organiza atividades
dessa natureza para a sala de aula” (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 150). É
nesse sentido que concebemos pedagogicamente nossas atividades de modelagem no
sentido de privilegiar as conversões e leituras das diversas representações
matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático.
7.0 Considerações finais
Um ambiente desenvolvido em situações de ensino-aprendizagem é construído
em função das decisões que o professor, baseando-se nos seus objetivos e em sua
metodologia, realiza em classe. Dessa forma, em um processo de ensino e de
aprendizagem podem ser gerados, basicamente, dois ambientes: i) um ambiente
centrado na figura, principalmente, do professor ou ii) um ambiente em que o aluno é
9
“...as representações simbólicas (quadros, gráficos e fórmulas algébricas) são uma ajuda preciosa, e se
bem empregado na formulação das relações e representações enriquecem a conceitualização”
(VERGNAUD, 2007, p. 298) (tradução nossa).
14
mais participativo e atuante. O primeiro refere-se ao dito “método tradicional de ensino”
e o segundo tem as características do ambiente de modelagem matemática.
O ambiente centrado somente na figura do professor é o que normalmente
predomina em nossas instituições de ensino (escolas, universidades, faculdades). Esse
ambiente, gerado pelo método tradicional, não oportuniza de maneira relevante o “saber
fazer” do aprendiz, pois o aluno não é incentivado a investigar, a pesquisar, a
questionar, a problematizar, a conjecturar, enfim, não é estimulado a pensar. Esse
ambiente de ensino foi o que Paulo Freire chamou de ambiente “bancário”,
A narração, de que o educador é o sujeito, conduz os educandos à
memorização mecânica do conteúdo narrado. Mais ainda, a narração
os transforma em “vasilhas”, em recipientes a serem “enchidos” pelo
educador. Quanto mais vá “enchendo” os recipientes com seus
“depósitos”, tanto melhor educador será. Quanto mais se deixem
docilmente “encher”, tanto melhores educandos serão.
(FREIRE, 2007, p. 66).
Outro ambiente que pode ser criado ou gerado em um processo de ensino
caracteriza-se pela participação mais ativa do aluno. O discente passa a ser “estudante”
em busca do conhecimento, o diálogo professor-aluno é favorecido, o aprendiz é mais
atuante, mais operante. Quando o discente é mais participativo, ele desenvolve o “saber
fazer”, as atitudes procedimentais, ele pode expor suas dúvidas e curiosidades, suas
dificuldades e potencialidades.
A curiosidade como inquietação indagadora, como inclinação ao
desvelamento de algo, como pergunta verbalizada ou não, como
procura de esclarecimento, como sinal de atenção que sugere alerta
faz parte integrante do fenômeno vital. Não haveria criatividade sem a
curiosidade que nos move e que nos põe pacientemente impacientes
diante do mundo que não fizemos, acrescentando a ele algo que
fazemos.
(FREIRE, 2008, p. 32).
No nosso entender uma característica essencial que diferencia o ambiente de
modelagem matemática de outros ambientes é a conduta ou comportamento de
modelador matemático. Enquanto que nos outros ambientes as representações
matemáticas são construídas e aplicadas como ferramenta ou instrumento auxiliar na
aprendizagem, no ambiente de modelagem matemática estas representações são a
“coluna vertebral” da aprendizagem.
15
Essa é uma característica que diferencia, por exemplo, o ambiente da resolução
de problemas do ambiente de modelagem matemática. Na primeira, as representações
matemáticas são aplicadas ou construídas como ferramental ou meio para se resolver
um problema, sendo estes o objeto de estudo dessa metodologia de ensino. Na segunda
o mesmo problema passa a ser a ferramenta que tornará possível o estudo das
representações matemáticas.
Quadro 2. Objeto de estudo da modelagem matemática em comparação com a resolução de
problemas.
Metodologia Objeto de estudo Ferramenta
Modelagem matemática Representações matemáticas Problemas
Resolução de problemas Problemas Representações matemáticas
Tanto aqueles que se propõem a ensinar quanto aqueles que se propõem a
pesquisar por modelagem matemática devem ter clareza quanto ao ambiente de
modelagem matemática ser fruto da postura que se adota enquanto modelador
matemático. E, na nossa visão, essa postura deve privilegiar o estudo da construção,
conversão e leitura das diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto
modelo matemático. Mudando-se a conduta do aprendiz, muda-se o ambiente de
aprendizagem.
8.0 Referências
BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros
professores. 2001. 256f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2ed. São
Paulo: Contexto, 2004, 389p.
BIEMBENGUT, M, S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3ed. São Paulo:
Contexto, 2003, 127p.
BORGES, A. T. Um estudo de modelos mentais. Revista Investigação em Ensino de
Ciências, Rio Grande do Sul, v. 2, n. 3, dez 1997. Disponível em
<http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID34/v2_n3_a1997.pdf> Acesso em 13 set
2009.
CHAVES, M. I. A.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem matemática: uma
concepção e várias possibilidades. Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, ano 21,
n. 30, Fev 2008. Disponível em
16
<http://cecemca.rc.unesp.br/ojs/index.php/bolema/article/view/1781/1568 >. Acesso em
13 set 2009.
DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo da
compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em
matemática: registros de representação semiótica. 4 ed. Campinas: Papirus, 2008, p.11-
33.
____. Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais.
Tradução: Lênio Levy e Marisa Silveira. São Paulo: Editora da Física, 2009, 113p.
FERNANDES, R. G. Modelos mentais em Mecânica Introdutória: uma simulação
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O objeto modelo matemático e suas diversas representações semióticas (2015 03 28 13_13_45 utc)

  • 1. na O OBJETO MODELO MATEMÁTICO E SUAS DIVERSAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS: UMA CONCEPÇÃO DE MODELAGEM MATEMÁTICA Ednilson Sergio Ramalho de Souza1 Universidade Federal do Pará-UFPA Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI ednilson.souza@yahoo.com.br Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo2 Universidade Federal do Pará-UFPA Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI adilson@ufpa.br Resumo Baseando-nos nos estudos do Filósofo e psicólogo Raymond Duval sobre as transformações de registros semióticos na área da educação matemática, temos por objetivo propor a incorporação dos estudos de Duval ao processo de modelagem matemática. Buscando responder à seguinte questão de pesquisa: como favorecer significado à diversidade de representações matemáticas aplicadas durante o processo de ensino-aprendizagem de Matemática? propomos que sejam privilegiadas as conversões e leituras das diversas representações matemáticas de um mesmo objeto matemático, o objeto modelo matemático. Por analogia ao conceito de número, argumentamos que um modelo matemático pode ser “visto” como um objeto matemático e, como tal, pode ser objetivado por diferentes representações matemáticas. Uma tabela, um gráfico ou uma equação algébrica obtidos a partir de um mesmo problema constituem, dessa forma, em diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático. Cada uma dessas diversas representações matemáticas “carrega” um teor matemático que deve ser explorado em situações de aprendizagem. À medida que o sujeito faz as conversões e leituras das várias formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático aumenta sua compreensão sobre a situação ou problema, favorecendo, portanto, à ação sobre a realidade à sua volta. Palavras-chave: Objeto modelo matemático, Representações matemáticas, Conversões semióticas. 1.0 Introdução Observando-se um pouco a história da ciência é fácil notar que uma constante indiscutível no desenvolvimento do conhecimento é a crescente construção de representações matemáticas seja para descrever algum aspecto da natureza ou algum 1 Professor de Física e Mestrando em Educação em Ciências e Matemáticas pelo Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA. 2 Docente do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas do Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.
  • 2. 2 fenômeno (social, físico, biológico, psicológico etc.). Nesse contexto, não podemos preterir a importância destas no processo de ensino e aprendizagem. Em algumas disciplinas – como Matemática ou Física –, é comum o uso de alguma equação matemática para dar sustentação à compreensão de conceitos ou fenômenos (seja para fazer previsão, inferência ou auxiliar na explicação do professor). Devido a essa generalização na aplicação de representações matemáticas durante o processo de ensino de tais disciplinas, as equações são apresentadas aos alunos apenas como ferramenta auxiliar na aprendizagem, muitas vezes de forma estanque ou estática, restando aos discentes somente memorizá-las, sem encontrar sentido3 ou dar significado em suas aplicações. Nosso objetivo geral é propor a incorporação dos estudos de Duval sobre as transformações de registros semióticos ao processo de modelagem matemática. Almejamos com isso que seja favorecida a compreensão do significado das diversas formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático, levando o discente a distinguir o objeto matemático de sua representação. Tal escopo pode ser efetivado pedagogicamente quando se privilegiam as conversões e tratamentos4 , bem como as leituras e interpretações das diversas representações matemáticas construídas a partir de um mesmo problema real. Nesse panorama é que identificamos nossa questão de pesquisa: como favorecer significado à diversidade de representações matemáticas aplicadas no processo de ensino-aprendizagem de Matemática? 3 Vygotsky distingue dois componentes do significado da palavra: o significado propriamente dito e o sentido. O significado propriamente dito refere-se ao sistema de relações objetivas que se formou no processo de desenvolvimento da palavra, consistindo num núcleo relativamente estável de compreensão da palavra, compartilhado por todas as pessoas que a utiliza. O sentido, por sua vez, refere-se ao significado da palavra pra cada indivíduo, composto por relações que dizem respeito ao contexto de uso da palavra e às vivências afetivas do indivíduo (OLIVEIRA, 1999, p. 50) (grifos do autor). 4 Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica (DUVAL, 2008, p. 16).
  • 3. 3 2.0 Representações Numa visão semiótica e cognitiva, pode-se entender que “uma representação é uma notação ou signo ou conjunto de símbolos que ‘re-presenta’ algo para nós, ou seja, ela representa alguma coisa na ausência dessa coisa” (EYSENCK e KEANE apud FERNADES, 2000, p. 10)5 . Segundo Raymond Duval (2009), Piaget recorre à noção de representação como “evocação dos objetos ausentes” (grifos do autor). Para Duval (idem), as representações podem ser classificadas de acordo com as oposições interna/externa e consciente/não-consciente. Ver quadro 1. Quadro 1 - Tipos e funções de representações (Fonte: Duval, 2009). Interna Externa Consciente Mental • Função de objetivação Semiótica • Função de objetivação • Função de expressão • Função de tratamento intencional Não-consciente Computacional • Função de tratamento automático ou quase instantâneo. Percebemos que este autor classifica as representações em três grandes tipos: mental, semiótica e computacional. As representações mentais são internas e conscientes, elas não necessitam de um significante para representar o objeto, são geralmente identificadas às “imagens mentais”. As representações semióticas também são conscientes, mas externas, necessitam de um significante (símbolo, reta, curva, sons...) para representar o objeto. As representações computacionais são internas e não conscientes, podem ser algoritmizáveis ou codificáveis. Os modelos mentais6 são exemplos desse tipo de representação. Fernandes (2000) informa que as representações externas são utilizadas principalmente na comunicação entre os indivíduos. As internas são utilizadas no processamento mental (pensamento). Dentre as representações externas podemos 5 EYSENK, M. E; KEANE, M. T. Cognitive pisichology: a student’s hadbook. Hove: Lawrence Erlbaum, 1990. 6 Modelos mentais são representações internas análogas ao sistema representado, podem ser “rodados” ou “simulados” na mente do indivíduo para compreender ou explicar tal sistema (Moreira, 1996).
  • 4. 4 distinguir a pictórica (desenhos, figuras, diagramas) e as linguísticas (palavra escrita ou falada). As representações internas são utilizadas pela mente e podem ser divididas didaticamente em distribuídas (redes neurais artificiais) e simbólicas: proposicionais do “tipo-linguagem” e analógica (imagens mentais e modelos mentais). Ver figura 1. Representações Externas Internas Simbólicas Distribuídas Analógicas Imagens Modelos mentais ProposicionaisPictóricas Lingüísticas Figura 1 - Diagrama das diferentes representações (Fonte: FERNANDES, 2000, p. 11). As representações semióticas não são externas nem internas. Porém, toda representação externa é semiótica (DUVAL, 2009). De maneira geral são sistemas de expressão e representação para os números, notações simbólicas para os objetos, escrituras algébricas e lógica que contenham o estatuto de línguas paralelas à linguagem natural para exprimir as relações e as operações: figuras geométricas, representações em perspectiva, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas etc. As representações externas são, por natureza, representações semióticas. Isto porque a produção de uma representação externa efetua-se, necessariamente, por meio da operacionalização de um sistema semiótico (DUVAL, 2009). Depreende-se do que foi visto acima que, numa concepção semio-cognitiva, o termo representação é usado principalmente com o apelo de proporcionar uma “visão” de um objeto ausente. Essa “visão” pode ser mediada por um significante, no caso das representações semióticas ou sem mediação de significantes, no caso das representações mentais e computacionais. Passemos a discutir sobre o termo modelo.
  • 5. 5 3.0 Modelos Bassanezi (2004) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá- los através de um sistema artificial: o modelo. Infere-se da citação acima que o termo modelo possui, necessariamente, a função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções, tomada de decisões. O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38). Borges (1997) contribui ressaltando que, Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos. Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade. (BORGES, 1997, p. 207). Esse autor argumenta também que quando uma coisa é análoga a outra, implica que uma comparação entre suas estruturas é feita e a analogia é o veículo que expressa os resultados de tal comparação. Analogias são, portanto, ferramentas para o raciocínio e para a explicação. Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa que, necessariamente, possibilite explicações, inferências, predições, tomada de decisões por meio de analogias entre o modelo (representante) e a coisa modelada (representado). Enquanto que uma simples representação apenas evoca algo que está ausente, uma representação do tipo modelo, além de evocar o àquilo que está ausente, possibilita explicação e descrição. Um modelo, por exemplo, de um motor de carro (planta, maquete, protótipo) deve permitir que o engenheiro explique o seu funcionamento e tome decisões a partir da “leitura” desse modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não possibilitará nenhuma explicação científica. Será apenas uma representação de um motor, apenas o representará em sua ausência.
  • 6. 6 Logo, podemos refletir que, de maneira geral, todo modelo é uma representação, mas nem toda representação constitui-se em um modelo. Para que uma representação “torne-se” um modelo, esta deve permitir algum tipo de “leitura” (explicação, inferência, predição, dedução, tomada de decisão). É certo afirmar que a leitura de uma representação depende, dentre outras coisas, do conhecimento prévio (do repertório cognitivo) do sujeito. Desta maneira, a distinção entre esses dois termos (representação e modelo) não é algo trivial, ocorre a nível mental, a nível cognitivo. Um modelo seria, então, uma representação com capacidade de possibilitar leitura sobre o representado. Representação modelo (cognitivo) Figura 2. A distinção entre representação e modelo ocorre a nível cognitivo, depende do conhecimento prévio do sujeito. Talvez a dificuldade em distinguir uma simples representação de uma representação do tipo modelo ocorra devido haver um obstáculo epistemológico ocasionado pelo uso frequente do termo modelo como sinônimo de representação. 4.0 Representação matemática ou modelo matemático? Considerando o que foi exposto nos parágrafos precedentes, somos levados a pensar que um modelo matemático seria uma representação matemática que possibilite algum tipo de interpretação ou leitura científica do objeto de modelagem. Dito em outras palavras: um modelo matemático é uma representação com certo grau de significado científico. Caso essa representação matemática não favoreça alguma leitura científica para o sujeito, ela não será um modelo matemático, tão somente será uma representação semiótica sem significado matemático. Deste modo, a distinção entre representação matemática e modelo matemático depende de quem tenta “ler” tal representação. O que pode ser modelo matemático para um sujeito, para o outro não
  • 7. 7 passará de uma simples representação matemática sem significado científico. É o repertório cognitivo do sujeito que determinará essa distinção. O mapa acústico da figura 3 poderá ajudar a exemplificar essa assertiva. Figura 3. Mapa acústico construído durante uma atividade de modelagem matemática. Modelo matemático ou representação matemática? (Fonte: ROZAL, 2007, p. 109) Esse mapa acústico pode ser considerado um modelo matemático? Ele propicia alguma informação matemática que possa ser deduzida por inferência? Pode-se predizer alguma tendência matemática? Vamos analisar essas perguntas de duas maneiras: uma leitura ingênua do mapa não é capaz de inferir informações matemáticas implícitas, não consegue predizer alguma tendência matemática significativa. Uma pessoa mais experiente, habilidosa e capacitada em ler esse tipo de mapa, provavelmente inferiria informações matemáticas e físicas implícitas na figura. Poderia, com certa facilidade, predizer algum comportamento matemático ou físico. No primeiro caso, a figura seria apenas uma representação matemática, no segundo, seria um modelo matemático. Depreende-se desse exemplo que o conceito de modelo matemático torna-se relativo quando se leva em consideração o conhecimento prévio do indivíduo. Ou seja, o que é modelo matemático para um sujeito pode não ser para outro. O significado de uma representação matemática depende do “histórico” que se constrói com ela durante sua elaboração. Por isso acreditamos que o processo de
  • 8. 8 modelagem matemática possa propiciar essa significação, favorecendo, portanto, à “leitura” das representações matemáticas construídas. 5.0 Modelo matemático como um objeto matemático No contexto da modelagem matemática, uma tabela, um gráfico ou uma equação algébrica construídos a partir de um mesmo problema representam o mesmo objeto matemático, o qual chamaremos de objeto modelo matemático. É “manuseando” o objeto modelo matemático que o modelador faz leituras sobre a situação real, da mesma maneira que é “manuseando” uma reta (curva) que o matemático faz a leitura de um gráfico. Um mesmo objeto modelo matemático pode ser externalizado semioticamente por várias representações matemáticas. Cada uma dessas representações conserva o mesmo objeto matemático, porém possuem significação operatória diferente. Exigem custos cognitivos diferentes. Quando operamos um número, estritamente falando, não estamos operando um número, mas a representação semiótica do objeto matemático número7 . O mesmo objeto matemático número pode ser representado por diversas representações matemáticas. 10 representam o mesmo objeto matemático número que pode ser representado semioticamente de diversas formas (decimal, radicais, potência de base dez, fração etc). Cada forma exige um tratamento diferente para ser operado. “Em efeito, na escritura de um número, é preciso distinguir a significação operatória fixada ao significante e o número representado” (DUVAL, 2009, p. 60) (grifos do autor). É essencial jamais confundir os objetos matemáticos, como os números, as funções, as retas etc, com suas representações, que dizer, as escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados de figuras... porque um mesmo objeto matemático pode ser dado através de representações muito diferentes. (DUVAL, 2009, p. 14) Podemos então admitir que um modelo matemático compreende as diversas representações matemáticas (tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, mapas, equações) construídas para externalizar o mesmo objeto modelo matemático a partir de 7 O conceito de número na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitágoras, por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numérico apresenta-se "como a ciência do tempo puro" (http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero, acesso em 27/07/09).
  • 9. 9 um mesmo problema. Em outras palavras, o mesmo conteúdo matemático referente ao mesmo objeto modelo matemático pode ser externalizado por diversas representações matemáticas (diversas formas), as quais constituem um modelo matemático. tabela gráfico mapa esquema equações outros modelo matemático Figura 4. Um modelo matemático compreende as diversas formas de se representar semioticamente o mesmo objeto modelo matemático. Entendemos que para dar significado ou encontrar sentido (compreender) um objeto modelo matemático é necessário saber discriminar o conteúdo representado por suas várias representações matemáticas, pois, “...não se pode ter compreensão em matemáticas, se nós não distinguimos um objeto de sua representação” (Duval, 2009, p. 14). Um ensino centrado na atividade de conversão semiótica poderá ajudar o aprendiz a fazer essa discriminação. Assim, o acesso ao objeto modelo matemático se faz por meio de suas várias representações matemáticas, ou seja, por meio do modelo matemático. Não temos acesso direto ao objeto modelo matemático, somente às suas representações matemáticas. Esse paradoxo cognitivo do modelo matemático tem levado muitos modeladores a lidarem com as diversas representações matemáticas do mesmo objeto modelo matemático pensando estar lidando com o próprio objeto matemático. Isso contribui para a ilusão de que uma tabela, um gráfico, um diagrama obtidos de um mesmo problema durante o processo de modelagem matemática são distintos objetos matemáticos. Essas representações matemáticas referem-se ao mesmo objeto modelo matemático ou ao mesmo conteúdo matemático. São várias formas de se representar o mesmo conteúdo. Sendo assim, pensamos que a conversão e leitura das várias representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático contribuem para a sua significação e compreensão. Essa nossa assertiva está alicerçada na afirmação de
  • 10. 10 Raymond Duval (2008) sobre a coordenação de dois registros semióticos ocorrer quando se compreende o objeto matemático. Dessa forma, acreditamos que não basta somente os alunos construírem e aplicarem representações matemáticas para apreenderem um objeto matemático (a substância do modelo matemático), mas converterem e interpretarem as diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto matemático. A figura 5 mostra três representações matemáticas heterogêneas de um mesmo objeto modelo matemático ou três representações matemáticas do mesmo conteúdo matemático obtidos de um mesmo problema. Tais representações matemáticas formam um modelo matemático tridimensional8 que permite melhor leitura sobre a situação. 0 0 50 10 80 16 90 18 100 20 110 22 120 25 velocidade (km/h) distância (m) y = 0,204x Figura 5. Três representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático: um modelo matemático tridimensional. 8 Chamaremos de modelo matemático tridimensional ao modelo matemático constituído por três representações matemáticas. Cada representação matemática fornece uma leitura (significação operatória) de um ângulo particular do modelo matemático.
  • 11. 11 Muitas atividades de modelagem matemática têm sido realizadas sem atentarem ao discernimento entre objeto matemático e sua representação matemática. Os alunos têm sido conduzidos durante o processo como meros “produtores” de representações matemáticas, não são levados a realizar conversões e entrelaçamentos entre as várias representações de um mesmo objeto modelo matemático. Basta fazer uma pesquisa básica nos trabalhos de modelagem publicados nos anais e trabalhos acadêmicos para perceber que se tem considerado como produto final de modelagem matemática uma tabela, uma equação ou um gráfico. Não se tem orientado os alunos a realizarem “idas e voltas” entre as várias formas de se conceber um mesmo objeto modelo matemático. Um gráfico, uma equação ou uma tabela devem ser considerados como ponto de partida para realizar as conversões e leituras entre as diversas formas de se representar o mesmo conteúdo matemático e não como produto final do processo de modelagem. 6.0. Um “fazer” para o processo de modelagem matemática Chaves e Espírito Santo ao refletirem sobre as diversas possibilidades de uso e aplicação da modelagem matemática em sala de aula concebem-na como um processo gerador de um ambiente de ensino-aprendizagem no qual os conteúdos matemáticos podem ser vistos imbricados a outros conteúdos de outras áreas do conhecimento, por exemplo, de Física. Tendo-se, dessa forma uma visão holística do problema em investigação. Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes, alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender Modelagem Matemática como um processo gerador de um ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da Modelagem na perspectiva da Educação Matemática (grifos dos autores) (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159) Biembengut e Hein (2003) entendem por modelagem matemática como uma arte que envolve a formulação, a resolução e a elaboração de expressões que servirão não
  • 12. 12 apenas para uma solução em particular, mas que sejam usadas para outras aplicações e teorias. Jonei Babosa (2001) argumenta que a modelagem matemática “...é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade” (p. 46). Ele reflete que a maneira de se organizar as atividades de modelagem matemática depende, principalmente, do contexto escolar, da experiência do professor e dos interesses dos alunos. Sendo que a configuração curricular do processo pode ser vista em termos de “casos”. No caso 1 a descrição da situação, os dados reais e os problemas são trazidos pelo professor, cabendo aos alunos apenas a tarefa de resolução, No caso 1, o fato de o professor ter simplificado e formulado o problema não significa a ausência de indagação pelos alunos. Ela está presente durante o engajamento dos alunos no processo de resolução. O problema posto pelo professor é uma indagação geradora de outras. O nível de questionamento dos alunos, certamente, depende do papel estimulador do professor: “Qual o caminho?”, “Por quê?”, “Como?”, “Tem certeza? etc.” (BARBOSA, 2001, p. 39-40). No caso 2 o professor traz para a sala de aula um problema não-matemático, ou seja, cabe ao professor formular e apresentar o problema. A coleta de dados qualitativos e quantitativos necessários para resolver o problema fica a cargo dos alunos. No caso 3 são escolhidos temas para desenvolver a pesquisa. ...o levantamento de informações, a formulação de problemas e a resolução destes cabem aos alunos. A ênfase está em estimular os alunos a identificar situações problemáticas, formulá-las adequadamente e resolvê-las. (Ibidem, p. 39). Os casos de Barbosa não devem ser tomados como formas prescritivas rígidas de organização das atividades de modelagem. Dependendo do contexto escolar e da maturidade do professor e dos alunos com relação à modelagem, pode-se “passear” entre os casos “(...) de modo a se nutrirem reciprocamente” (ibidem, p. 40). Entendemos que modelagem matemática é um processo que visa à elaboração de representações matemáticas com “poder” de descrição e explicação. Em se tratando de
  • 13. 13 ensino-aprendizagem, esse processo gera um ambiente cognitivo que favorece a significação dos conteúdos abordados. As representações matemáticas construídas a partir de um mesmo problema servem como mediadoras entre o pensamento (sujeito cognitivo) e o mundo (objeto de modelagem). Isto é, o sujeito cognitivo só é “conhecido” quando objetivado por representações semióticas, pelas representações matemáticas. Por outro lado as representações matemáticas devem ser “potentes” para “traduzir” o pensamento do sujeito na forma “mais fiel” possível. “...las representaciones simbólicas (cuadros, gráficas y fórmulas algebraicas) son um ayuda preciosa, y se a bien entonces que a formulación de lãs relaciones y a representaciones enriquecen a conceptualización” (VERGNAUD, 2007, p. 298)9 . Isso exige que o sujeito articule ou coordene diversas representações semióticas para externalizar o seu raciocínio durante o processo de modelagem. A mobilização de várias representações matemáticas de um mesmo conteúdo evidencia que ele compreende suas ações e, portanto, atribui significado ou apreende significativamente o objeto de estudo. Deste modo, pensamos que “ter uma concepção do processo de Modelagem importa para a forma como se coloca em prática ou como se cria e organiza atividades dessa natureza para a sala de aula” (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 150). É nesse sentido que concebemos pedagogicamente nossas atividades de modelagem no sentido de privilegiar as conversões e leituras das diversas representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático. 7.0 Considerações finais Um ambiente desenvolvido em situações de ensino-aprendizagem é construído em função das decisões que o professor, baseando-se nos seus objetivos e em sua metodologia, realiza em classe. Dessa forma, em um processo de ensino e de aprendizagem podem ser gerados, basicamente, dois ambientes: i) um ambiente centrado na figura, principalmente, do professor ou ii) um ambiente em que o aluno é 9 “...as representações simbólicas (quadros, gráficos e fórmulas algébricas) são uma ajuda preciosa, e se bem empregado na formulação das relações e representações enriquecem a conceitualização” (VERGNAUD, 2007, p. 298) (tradução nossa).
  • 14. 14 mais participativo e atuante. O primeiro refere-se ao dito “método tradicional de ensino” e o segundo tem as características do ambiente de modelagem matemática. O ambiente centrado somente na figura do professor é o que normalmente predomina em nossas instituições de ensino (escolas, universidades, faculdades). Esse ambiente, gerado pelo método tradicional, não oportuniza de maneira relevante o “saber fazer” do aprendiz, pois o aluno não é incentivado a investigar, a pesquisar, a questionar, a problematizar, a conjecturar, enfim, não é estimulado a pensar. Esse ambiente de ensino foi o que Paulo Freire chamou de ambiente “bancário”, A narração, de que o educador é o sujeito, conduz os educandos à memorização mecânica do conteúdo narrado. Mais ainda, a narração os transforma em “vasilhas”, em recipientes a serem “enchidos” pelo educador. Quanto mais vá “enchendo” os recipientes com seus “depósitos”, tanto melhor educador será. Quanto mais se deixem docilmente “encher”, tanto melhores educandos serão. (FREIRE, 2007, p. 66). Outro ambiente que pode ser criado ou gerado em um processo de ensino caracteriza-se pela participação mais ativa do aluno. O discente passa a ser “estudante” em busca do conhecimento, o diálogo professor-aluno é favorecido, o aprendiz é mais atuante, mais operante. Quando o discente é mais participativo, ele desenvolve o “saber fazer”, as atitudes procedimentais, ele pode expor suas dúvidas e curiosidades, suas dificuldades e potencialidades. A curiosidade como inquietação indagadora, como inclinação ao desvelamento de algo, como pergunta verbalizada ou não, como procura de esclarecimento, como sinal de atenção que sugere alerta faz parte integrante do fenômeno vital. Não haveria criatividade sem a curiosidade que nos move e que nos põe pacientemente impacientes diante do mundo que não fizemos, acrescentando a ele algo que fazemos. (FREIRE, 2008, p. 32). No nosso entender uma característica essencial que diferencia o ambiente de modelagem matemática de outros ambientes é a conduta ou comportamento de modelador matemático. Enquanto que nos outros ambientes as representações matemáticas são construídas e aplicadas como ferramenta ou instrumento auxiliar na aprendizagem, no ambiente de modelagem matemática estas representações são a “coluna vertebral” da aprendizagem.
  • 15. 15 Essa é uma característica que diferencia, por exemplo, o ambiente da resolução de problemas do ambiente de modelagem matemática. Na primeira, as representações matemáticas são aplicadas ou construídas como ferramental ou meio para se resolver um problema, sendo estes o objeto de estudo dessa metodologia de ensino. Na segunda o mesmo problema passa a ser a ferramenta que tornará possível o estudo das representações matemáticas. Quadro 2. Objeto de estudo da modelagem matemática em comparação com a resolução de problemas. Metodologia Objeto de estudo Ferramenta Modelagem matemática Representações matemáticas Problemas Resolução de problemas Problemas Representações matemáticas Tanto aqueles que se propõem a ensinar quanto aqueles que se propõem a pesquisar por modelagem matemática devem ter clareza quanto ao ambiente de modelagem matemática ser fruto da postura que se adota enquanto modelador matemático. E, na nossa visão, essa postura deve privilegiar o estudo da construção, conversão e leitura das diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático. Mudando-se a conduta do aprendiz, muda-se o ambiente de aprendizagem. 8.0 Referências BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores. 2001. 256f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2ed. São Paulo: Contexto, 2004, 389p. BIEMBENGUT, M, S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3ed. São Paulo: Contexto, 2003, 127p. BORGES, A. T. Um estudo de modelos mentais. Revista Investigação em Ensino de Ciências, Rio Grande do Sul, v. 2, n. 3, dez 1997. Disponível em <http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID34/v2_n3_a1997.pdf> Acesso em 13 set 2009. CHAVES, M. I. A.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem matemática: uma concepção e várias possibilidades. Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, ano 21, n. 30, Fev 2008. Disponível em
  • 16. 16 <http://cecemca.rc.unesp.br/ojs/index.php/bolema/article/view/1781/1568 >. Acesso em 13 set 2009. DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. 4 ed. Campinas: Papirus, 2008, p.11- 33. ____. Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. Tradução: Lênio Levy e Marisa Silveira. São Paulo: Editora da Física, 2009, 113p. FERNANDES, R. G. Modelos mentais em Mecânica Introdutória: uma simulação computacional. 2000. 158f. Dissertação (Mestrado em Física) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2000. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 37 ed. São Paulo: Paz e Terra, 2008, 146p. FREIRE, P. Pedagogia do oprimido. 46 ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2007, 213p. MOREIRA, M. A. Modelos mentais. Revista Investigação em Ensino de Ciências, Rio Grande do Sul, v. 1, n. 3, dez 1996. Disponível em <http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID17/v1_n3_a1.pdf>. Acesso em 13 set 2009. OLIVEIRA, M. K. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento, um processo sócio- histórico. São Paulo: Scipione, 1999, 109p. PINHEIRO, T. F. Modelização de variáveis: uma maneira de caracterizar o papel estruturador da matemática no conhecimento científico. In: PIETROCOLA, M. (Org.). Ensino de física: conteúdo, metodologia e epistemologia numa concepção integradora. Florianópolis: UFSC, 2001. p. 33-150. ROZAL, E. F. Modelagem matemática e os temas transversais na educação de jovens e adultos. Belém, 2007. 164f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemáticas) – NPADC, Universidade Federal do Pará. VERGNAUD, G. ¿En qué sentido la teoría de los campos conceptuales puede ayudarnos para facilitar aprendizaje significativo?. Revista Investigação em Ensino de Ciências, Rio Grande do Sul, v. 12, n. 2, ago 2007. Disponível em <http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID172/v12_n2_a2007.pdf>. Acesso em 13 set 2009.