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Fim                        Instituto de Física Teórica-UNESP
                                        São Paulo
                        http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel


                                      Aula II
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                 • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos,
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                   podem ser bastante complexas.
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                 • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos,
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                 • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como
Fim
                   populações não interagentes.
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                 • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como
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                   populações não interagentes.Outras vezes, não é
                   assim.
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                 • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como
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                   populações não interagentes.Outras vezes, não é
                   assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações
                   entre espécies.
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                   podem ser bastante complexas.
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                 • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como
Fim
                   populações não interagentes.Outras vezes, não é
                   assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações
                   entre espécies.
                 • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
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                 • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como
Fim
                   populações não interagentes.Outras vezes, não é
                   assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações
                   entre espécies.
                 • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
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                 • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies:
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                      •   P REDAÇÃO:
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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ainda de                  para a espécie (B),
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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ainda de                  para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável
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                          para (A).
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
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                      •   C OMPETIÇÃO:
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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ainda de                  para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
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                      •   C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e
                          vice-versa.
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
Fim

                      •   C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e
                          vice-versa.

                      •   S IMBIOSE OU M UTUALISMO:
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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ainda de                  para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
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                      •   C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e
                          vice-versa.

                      •   S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é
                          favorável a (B) e vice-versa.
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                      •    P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial
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ainda de                  para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável
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                          para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa.
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                      •   C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e
                          vice-versa.

                      •   S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é
                          favorável a (B) e vice-versa.
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                 • A predação é uma das interação entre espécies das mais
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Para além de     • Ecologicamente, é a interação mais direta.
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Lotka-Volterra

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Mais além        • Vamos agora ver um modelo matemático simples para
ainda de
Lotka-Volterra     descreve-la.
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Mais além        • Vamos agora ver um modelo matemático simples para
ainda de
Lotka-Volterra     descreve-la.
Fim              • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra.
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Mais além        • Vamos agora ver um modelo matemático simples para
ainda de
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Fim              • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra.

                                               Vito Volterra (1860-1940), matemático italiano,

                                               chegou à sua equação instigado pelo seu futuro

                                               genro, Umberto d’Ancona, que buscava explicar

                                               porque observavam-se oscilações na quantidade

                                               de peixes predadores capturados em certos por-

                                               tos do Mar Adriático.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                 As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
                 Seja
ainda de
Lotka-Volterra
                   • N(t) o número de predadores,
Fim                • V(t) o número de presas.
                 Nas transparências seguintes, a, b, c e d serão constantes positivas
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                             As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra   O número de presas deve crescer quando não há predadores:
Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
                                        dV
                                              = aV
                                         dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                          As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra   Mas a presença de predadores deve diminuir a taxa de
Mais além
ainda de
                               crescimento das presas:
Lotka-Volterra

Fim
                                  dV
                                       = V(a − bP)
                                  dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                             As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação
                 Já a população de predadores deve decrescer na ausência de
Lotka-Volterra

Para além de
                                          presas:
Lotka-Volterra

Mais além                            dV
ainda de                                  = V(a − bP)
Lotka-Volterra                       dt
Fim




                                          dP
                                               = −dP
                                          dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                               As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 Mas a presença das presas deve fazer a população de predadores
Para além de
                                            crescer:
Lotka-Volterra
                                       dV
Mais além
ainda de                                    = V(a − bP)
Lotka-Volterra                         dt
Fim




                                       dP
                                            = P(cV − d)
                                       dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                      As equações de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação
                 As duas equações acopladas são conhecidas po
Lotka-Volterra
                          Equações de Lotka Volterra
Para além de
Lotka-Volterra
                              dV
Mais além
ainda de
                                   = V(a − bP)
Lotka-Volterra                dt
Fim




                              dP
                                   = P(cV − d)
                              dt

                          É HORA DE ESTUDÁ - LAS !
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                      Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                       Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                       Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                       Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                       Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                        Lotka-Volterra: análise
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Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
                     • Integração numérica das equações.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                         Lotka-Volterra: análise
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Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
                     • Integração numérica das equações. O que é isso?
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                         Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
                     • Integração numérica das equações. O que é isso?
                     • Análise qualitativa.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                         Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
                     • Integração numérica das equações. O que é isso?
                     • Análise qualitativa. O que é isso?
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                         Lotka-Volterra: análise
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra
                 • Temos lindas equações.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas não a sua solução.
Mais além
ainda de         • E as equações não tem soluções em termos de funções
Lotka-Volterra
                   elementares.
Fim
                 • Q UE FAZER ????????
                 • Dois caminhos
                     • Integração numérica das equações. O que é isso?
                     • Análise qualitativa. O que é isso?
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                            Lotka-Volterra: análise qualitativa
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Voltemos às nossas equações :
Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                            Lotka-Volterra: análise qualitativa
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Voltemos às nossas equações :
Predação
                                                   dV
Lotka-Volterra                                        = V(a − bP)
                                                   dt
Para além de
Lotka-Volterra                                     dP
                                                      = P(cV − d)
Mais além                                          dt
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                            Lotka-Volterra: análise qualitativa
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Voltemos às nossas equações :
Predação
                                                     dV
Lotka-Volterra                                          = V(a − bP)
                                                     dt
Para além de
Lotka-Volterra                                       dP
                                                        = P(cV − d)
Mais além                                            dt
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
                 • Divida a segunda pela primeira:
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                            Lotka-Volterra: análise qualitativa
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Voltemos às nossas equações :
Predação
                                                     dV
Lotka-Volterra                                          = V(a − bP)
                                                     dt
Para além de
Lotka-Volterra                                       dP
                                                        = P(cV − d)
Mais além                                            dt
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
                 • Divida a segunda pela primeira:

                                                     dP   P(cV − d)
                                                        =
                                                     dV   V(a − bP)
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                            Lotka-Volterra: análise qualitativa
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Voltemos às nossas equações :
Predação
                                                     dV
Lotka-Volterra                                          = V(a − bP)
                                                     dt
Para além de
Lotka-Volterra                                       dP
                                                        = P(cV − d)
Mais além                                            dt
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
                 • Divida a segunda pela primeira:

                                                     dP   P(cV − d)
                                                        =
                                                     dV   V(a − bP)


                 • Assim podemos obter:

                                              dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                         =
                                                  P            V
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                    Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação             dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                =
Lotka-Volterra           P            V
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                            Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                     dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                        =
Lotka-Volterra                                   P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                             Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                     dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                        =
Lotka-Volterra                                   P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                   a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                        dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                           =
Lotka-Volterra                                      P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                        dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                           =
Lotka-Volterra                                      P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
                 • Ou seja
                                       cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                          dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                             =
Lotka-Volterra                                        P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
                 • Ou seja
                                        cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H


                 • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do
                     sistema de Lotka-Volterra.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                          dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                             =
Lotka-Volterra                                        P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
                 • Ou seja
                                        cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H


                 • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do
                     sistema de Lotka-Volterra.
                 • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos
                     pontos que obedecem a equação acima.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                          dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                             =
Lotka-Volterra                                        P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
                 • Ou seja
                                        cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H


                 • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do
                     sistema de Lotka-Volterra.
                 • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos
                     pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Continuação
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 •
Predação                                          dP(a − bP)   dV(cV − d)
                                                             =
Lotka-Volterra                                        P            V
Para além de
Lotka-Volterra   • Integramos de ambos os lados:
Mais além
ainda de                                       a ln P − bP = cV − d ln V + H
Lotka-Volterra

Fim
                     onde H é uma constante.
                 • Ou seja
                                        cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H


                 • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do
                     sistema de Lotka-Volterra.
                 • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos
                     pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                               Trajetórias de fase
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra                                              dV
                                                               = V(a−bP)
Para além de
                                                            dt
Lotka-Volterra

Mais além                                                   dP
ainda de
                                                               = P(cV−d)
                                                            dt
Lotka-Volterra

Fim




                 As trajetórias de fase da equação de Lotka-Volterra, com
                 a = b = c = d = 1. Cada curva corresponde a um valor de H. As
                 curvas obedecem à: cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                   mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                    mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                 • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de        órbitas.
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                    mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                 • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de        órbitas.
Lotka-Volterra
                 • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                    mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                 • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de        órbitas.
Lotka-Volterra
                 • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de         • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                        Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                         • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                            mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                         • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                órbitas.
Lotka-Volterra
                                         • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                 • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 • Tome um ponto no espaço de fase.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                          Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                          • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                             mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                          • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                 órbitas.
Lotka-Volterra
                                          • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                  • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 • Tome um ponto no espaço de fase.
                 • Ele representa um certo número de presas e predadores.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                          Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                          • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                             mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                          • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                 órbitas.
Lotka-Volterra
                                          • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                  • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 • Tome um ponto no espaço de fase.
                 • Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 • Por este ponto passa uma curva.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                          Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                          • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                             mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                          • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                 órbitas.
Lotka-Volterra
                                          • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                  • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 • Tome um ponto no espaço de fase.
                 • Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 • Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                            • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                               mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                            • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                   órbitas.
Lotka-Volterra
                                            • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                    • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 •   Tome um ponto no espaço de fase.
                 •   Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 •   Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
                 •   Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço
                     de fase.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                            • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                               mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                            • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                   órbitas.
Lotka-Volterra
                                            • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                    • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 •   Tome um ponto no espaço de fase.
                 •   Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 •   Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
                 •   Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço
                     de fase.
                 • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                            • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                               mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                            • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                   órbitas.
Lotka-Volterra
                                            • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                    • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 •   Tome um ponto no espaço de fase.
                 •   Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 •   Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
                 •   Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço
                     de fase.
                 • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial.
                 • O sistema é periódico.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Lotka-Volterra: oscilações
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                                            • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou
Predação
                                               mais comumente, de espaço de fase.
Lotka-Volterra
                                            • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de
Para além de                                   órbitas.
Lotka-Volterra
                                            • No caso, temos órbitas fechadas.
Mais além
ainda de                                    • O que representam?
Lotka-Volterra

Fim


                 •   Tome um ponto no espaço de fase.
                 •   Ele representa um certo número de presas e predadores.
                 •   Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
                 •   Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço
                     de fase.
                 • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial.
                 • O sistema é periódico.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
                                                      • e de 8 até 3 aumenta de
                                                         novo
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
                                                      • e de 8 até 3 aumenta de
                                                         novo
                                                      • e assim por diante.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
                                                      • e de 8 até 3 aumenta de
                                                         novo
                                                      • e assim por diante.

                           O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
                                                      • e de 8 até 3 aumenta de
                                                         novo
                                                      • e assim por diante.

                           O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO .
                                           O DE PREDADORES TAMBÉM .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                Oscilações II
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Muio bem, o sistema é periódico.
Predação         • Vamos reparar mais de perto.
Lotka-Volterra   • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo:
Para além de
Lotka-Volterra                                        • Vamos ver como evolui a
Mais além                                                variável V (as presas).
ainda de
Lotka-Volterra                                        • de 1 até 3 seu número
                                                         aumenta.
Fim
                                                      • de 3 até 8 seu número
                                                         diminui.
                                                      • e de 8 até 3 aumenta de
                                                         novo
                                                      • e assim por diante.

                           O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO .
                                           O DE PREDADORES TAMBÉM .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 E as soluções ?
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           E as soluções ?
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam
Predação            qualitativamente.
Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           E as soluções ?
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam
Predação            qualitativamente.
Lotka-Volterra   • Já é bastante:
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                              E as soluções ?
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes     • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam
Predação            qualitativamente.
Lotka-Volterra   • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações
                    periódicas nas populações das espécies.
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
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Lotka-Volterra

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                                                              E as soluções ?
R.A. Kraenkel

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Predação            qualitativamente.
Lotka-Volterra   • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações
                    periódicas nas populações das espécies.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas,
Mais além
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Lotka-Volterra

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                                                              E as soluções ?
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Lotka-Volterra   • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações
                    periódicas nas populações das espécies.
Para além de
Lotka-Volterra   • Mas, e as SOLUÇÕES ?.
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                    periódicas nas populações das espécies.
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Lotka-Volterra   • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!.
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                    periódicas nas populações das espécies.
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                    periódicas nas populações das espécies.
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Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra

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ainda de
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                         presas
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Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de
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Lotka-Volterra
                         presas
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Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra

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Lotka-Volterra
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Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
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Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
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Lotka-Volterra
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Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo,
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Predação
                       • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de
Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo, e por falta de comida começam a diminuir
                          também.
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                       • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de
Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo, e por falta de comida começam a diminuir
                          também.
                        • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a
                          se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
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Predação
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Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo, e por falta de comida começam a diminuir
                          também.
                        • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a
                          se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
                        • e assim por diante....
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                   • As equações de Lotka-Volterra nos dizem:
Predação
                       • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de
Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
ainda de                • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento.
Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo, e por falta de comida começam a diminuir
                          também.
                        • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a
                          se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
                        • e assim por diante....
                   • Faz sentido!
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Lotka-Volterra
                         presas
Para além de
Lotka-Volterra         • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai
Mais além                 aumentando
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Lotka-Volterra
                          Depois de um certo tempo, começam a diminuir.
Fim
                        • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu
                          máximo, e por falta de comida começam a diminuir
                          também.
                        • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a
                          se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
                        • e assim por diante....
                   • Faz sentido!
                   • Será verdade?
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                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
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                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
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Lotka-Volterra

Fim
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                                                               O mundo real
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                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
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                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico.
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
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                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
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 Populações
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                      •   Mas isto é fácil concertar.
Lotka-Volterra

Fim
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                                                                             O mundo real
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                      •   Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas.
Lotka-Volterra

Fim
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                                                                            O mundo real
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                      •   Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra

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Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d).
Fim
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
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                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                          maior V, maior a taxa de crescimento.
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Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
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Fim
                          maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!!
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                          maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                          natural supor que a taxa de crescimento também se sature.
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                          maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                          natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                          saciedade
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                          maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                          natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                          saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
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                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
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                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas,
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
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Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma
                    feição geral,
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Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
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                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma
                    feição geral, que é a existência de oscilações ,
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                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma
                    feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras,
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                           O mundo real
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma
                    feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de
                    periodicidade.
Métodos
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                                                                           O mundo real
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes
                 • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais?
Predação
                 • Em parte.
Lotka-Volterra
                 • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas:
Para além de
Lotka-Volterra         • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não
Mais além                 logístico. Não contém mecanismo de saturação .
ainda de                    • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza!
Lotka-Volterra
                       • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto
Fim
                         maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria
                         natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de
                         saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
                       • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
                 • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
                 • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser
                    um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma
                    feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de
                    periodicidade.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                 Mais além ainda de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

Espécies
Interagentes

Predação

Lotka-Volterra

Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

Fim
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                          Mais além ainda de Lotka-Volterra
R.A. Kraenkel

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Interagentes

Predação
                 • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas
Lotka-Volterra
                   espécies que têm relações de predação , competição e simbiose.
Para além de
Lotka-Volterra

Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

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Predação
                 • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas
Lotka-Volterra
                   espécies que têm relações de predação , competição e simbiose.
Para além de
Lotka-Volterra   • Exemplo simples:
Mais além
ainda de
Lotka-Volterra

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  • 1. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Métodos Matemáticos em Biologia de Predação Lotka-Volterra Populações Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Roberto André Kraenkel Lotka-Volterra Fim Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula II
  • 2. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 3. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 4. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim
  • 5. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra
  • 6. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra 5 Mais além ainda de Lotka-Volterra
  • 7. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra 5 Mais além ainda de Lotka-Volterra 6 Fim
  • 8. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 9. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 10. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 11. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra Fim
  • 12. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.
  • 13. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.
  • 14. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies.
  • 15. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies. • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
  • 16. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies. • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
  • 17. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 18. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 19. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 20. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), Lotka-Volterra Fim
  • 21. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). Fim
  • 22. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim
  • 23. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO:
  • 24. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa.
  • 25. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO:
  • 26. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.
  • 27. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.
  • 28. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 29. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 30. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 31. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim
  • 32. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra.
  • 33. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra. Vito Volterra (1860-1940), matemático italiano, chegou à sua equação instigado pelo seu futuro genro, Umberto d’Ancona, que buscava explicar porque observavam-se oscilações na quantidade de peixes predadores capturados em certos por- tos do Mar Adriático.
  • 34. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além Seja ainda de Lotka-Volterra • N(t) o número de predadores, Fim • V(t) o número de presas. Nas transparências seguintes, a, b, c e d serão constantes positivas
  • 35. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra O número de presas deve crescer quando não há predadores: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim dV = aV dt
  • 36. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mas a presença de predadores deve diminuir a taxa de Mais além ainda de crescimento das presas: Lotka-Volterra Fim dV = V(a − bP) dt
  • 37. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Já a população de predadores deve decrescer na ausência de Lotka-Volterra Para além de presas: Lotka-Volterra Mais além dV ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = −dP dt
  • 38. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Mas a presença das presas deve fazer a população de predadores Para além de crescer: Lotka-Volterra dV Mais além ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = P(cV − d) dt
  • 39. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação As duas equações acopladas são conhecidas po Lotka-Volterra Equações de Lotka Volterra Para além de Lotka-Volterra dV Mais além ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = P(cV − d) dt É HORA DE ESTUDÁ - LAS !
  • 40. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 41. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 42. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim
  • 43. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ????????
  • 44. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos
  • 45. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações.
  • 46. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso?
  • 47. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa.
  • 48. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa. O que é isso?
  • 49. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa. O que é isso?
  • 50. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 51. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 52. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira:
  • 53. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira: dP P(cV − d) = dV V(a − bP)
  • 54. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira: dP P(cV − d) = dV V(a − bP) • Assim podemos obter: dP(a − bP) dV(cV − d) = P V
  • 55. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 56. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 57. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim
  • 58. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante.
  • 59. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
  • 60. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra.
  • 61. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima.
  • 62. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
  • 63. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
  • 64. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Trajetórias de fase R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra dV = V(a−bP) Para além de dt Lotka-Volterra Mais além dP ainda de = P(cV−d) dt Lotka-Volterra Fim As trajetórias de fase da equação de Lotka-Volterra, com a = b = c = d = 1. Cada curva corresponde a um valor de H. As curvas obedecem à: cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
  • 65. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 66. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 67. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 68. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 69. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim
  • 70. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase.
  • 71. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores.
  • 72. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.
  • 73. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
  • 74. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase.
  • 75. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial.
  • 76. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. • O sistema é periódico.
  • 77. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. • O sistema é periódico.
  • 78. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 79. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 80. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 81. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 82. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 83. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 84. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim
  • 85. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui.
  • 86. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo
  • 87. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante.
  • 88. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO .
  • 89. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO . O DE PREDADORES TAMBÉM .
  • 90. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO . O DE PREDADORES TAMBÉM .
  • 91. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 92. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 93. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 94. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 95. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 96. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 97. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 98. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 99. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 100. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra Fim
  • 101. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra • Aqui está: Fim
  • 102. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra • Aqui está: Fim
  • 103. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 104. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 105. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 106. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 107. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 108. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Fim
  • 109. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim
  • 110. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo,
  • 111. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também.
  • 112. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
  • 113. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante....
  • 114. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante.... • Faz sentido!
  • 115. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante.... • Faz sentido! • Será verdade?
  • 116. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 117. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 118. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 119. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 120. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 121. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 122. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. Lotka-Volterra Fim
  • 123. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Lotka-Volterra Fim
  • 124. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra Fim
  • 125. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Fim
  • 126. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento.
  • 127. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!!
  • 128. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.
  • 129. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade
  • 130. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
  • 131. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
  • 132. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
  • 133. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:
  • 134. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas,
  • 135. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral,
  • 136. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações ,
  • 137. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras,
  • 138. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de periodicidade.
  • 139. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de periodicidade.
  • 140. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 141. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas Lotka-Volterra espécies que têm relações de predação , competição e simbiose. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  • 142. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas Lotka-Volterra espécies que têm relações de predação , competição e simbiose. Para além de Lotka-Volterra • Exemplo simples: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim