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Matemática Financeira


1) 600 = 450 (1+i)3
           1/ 3
    600 
i=              − 1 = 10,06%.
    450 

2a) 1 + I = (1 + i)12
1+1 = (1 + i)12
i = 21 / 12 −1 = 5,95%

2b) 1 + I = (1 + i) 3
1+0,39 = (1+i)3
i = 1,391/3−1 = 11,60%.

3a) 1 + I = (1 + i)12
I = 1,0612−1 = 101,22%

3b) 1 + I = (1 + i) 4
I = 1,124−1 = 57,35%

4a) A taxa é de 30%/12 = 2,5% ao mês.
1 + I = (1 + i)12
I = 1,02512−1 = 34,49%.

4b) A taxa é de 30%/4 = 7,5% ao trimestre.
1 + I = (1 + i) 4
I = 1,0754−1 = 33,55%.

4c) A taxa relativa ao período de capitalização é i/k.
              i
1 + I = (1 + ) k
              k
             k
         i
I = 1 +  − 1.
     k

              k
          i
5) lim 1 +  − 1. = ei − 1.
        k

6) O número e é o valor do montante gerado em um ano por um principal igual a 1,
a juros de 100% ao ano, capitalizados continuamente.
7a) e δ − 1 = e 0,12 − 1 = 12,75%.

7b) ln (1+i) = ln 1,6 = 47,00%

7c) Aproveitando o item anterior, 47,00%/2 = 23,50%.

8) Seja 0 a data da compra. Seja 3 o preço do artigo. Usemos a data 1 como data
focal.
Na alternativa a, paga-se A = 3.
                               1
Na alternativa b, paga-se B =      + 1 + (1 + i)
                              1+ i
        i2
B−A =       > 0.
       1+ i
Logo, como B>A, a alternativa a é preferível.

9a) Supondo uma prestação vincenda de 100 e tomando a data atual como focal:
aceitando: pago, na data 0, 70.
não aceitando: pago, na data 1, 100, o que equivale a pagar, na data 0,
  100
         = 78,74
1 + 0,27
A proposta é vantajosa.

9b) Supondo duas prestações vincendas de 100 cada e tomando a data atual
como focal:
aceitando: pago, na data 0, 120.
não aceitando: pago, na data 1, 100, e, na data 2, 100, o que equivale a pagar, na
          100        100
data 0,         +             = 140,74
        1 + 0,27 (1 + 0,27) 2
A proposta é vantajosa.

9c) Supondo três prestações vincendas de 100 cada e tomando a data atual como
focal:
aceitando: pago, na data 0, 150.
não aceitando: pago, na data 1, 100, na data 2, 100, e, na data 3, 100, o que
                               100        100            100
equivale a pagar, na data 0,         +             +              = 189,56
                             1 + 0,27 (1 + 0,27) 2
                                                     (1 + 0,27) 3
A proposta é vantajosa

      180        200
10)         +             = 272
    1 + 0,25 (1 + 0,25) 2
O preço à vista é R$ 272,00.
11a) Tomando a data focal um mês antes da compra,
    P         1 − 1,06 −3
       = 1000
  1,06           0,06

P = 352,93.

11b) Tomando a data focal no ato da compra,
         1 − 1,06 −3
P = 1000
            0,06

P = 374,11.

11c) Tomando a data focal um mês depois da compra,
                1 − 1,06 −3
  P.1,06 = 1000
                   0,06

P = 396,56.

12) O montante pago foi 400.1,034.1,055.1,09 = 626,30.
A taxa média de juros é calculada por 626,30 = 400.(1+i)10.
i = 4,59% ao mês.

13) O montante é 0,3.1,1t+0,7.1,18t.
A taxa média de juros é calculada por 0,3.1,1t+0,7.1,18t = 1.(1+i)t
                        1
         t            t t
i = (0,3.11
          ,  + 0,7.118 ) −1,
                    ,     onde t é o número de meses do investimento. Se t=1, a
taxa é 15,60%; se t=2, é 15,66%; se t → ∞ , a taxa é 18%.

14a) Usando a data da compra como data focal e considerando um preço igual a
30,
          10      10
21 = 10+      +
         1 + i (1 + i) 2

Resolvendo, i = 51,08%.

14b) Tomando para data focal a data da compra e considerando um preço igual a
30,
      10      10        10
21 =      +         +
     1 + i (1 + i) 2 (1 + i) 3
Resolvendo, i = 20,20%

14c) Tomando para data focal a data da compra e considerando um preço igual a
30,
10           10           10
21 =        2
                +        3
                             +
     (1 + i)  (1 + i) (1 + i) 4
Resolvendo, i = 12,81%.


15) Arbitrando o preço em 100 e usando a data da compra como data focal,
           50    50
100−x >       +
          1,05 1,05 2
x < 7,03%.

16a) 100 = 94 (1+i)
i = 6,38%.

16b) 100 = 88 (1+i)2
i = 6,60%.

16c) 100 = 72 (1+i)3
i = 6,84%.

17) Sem reciprocidade, receberia 88 para pagar 100 em dois meses. Com
reciprocidade, recebe 0,8.88 = 70,4 para pagar 100−17,6.1,022 = 81,69.
81,69 = 70,4.(1+i)2
i = 7,72%.

18a) i/365 < i/360

18b) 1000.0,12.16/360 = 5,33

1000.0,12.16/365 = 5,26.

18c) O montante é 1000.(1+0,12)16/360 = 1005,05 e os juros são de R$ 5,05;
O montante é 1000.(1+0,12)16/365 = 1004,98 e os juros são de R$ 4,98.

19) 700.0,12.11/30 = 30,80.

20) a) 48% ao trimestre.
b) I = 1,153−1 = 52,09% ao trimestre.
c) 100 = 64.(1+I); I = 56,25% ao trimestre.
A melhor é a e a pior é c.

21) 1,124−1 = 57,35% são os juros quadrimestrais. Deve cobrar 57,35%/4 =
14,33% ao mês.

22a) 300.1,153 = 456,26.
8
                 3+
22b) 300. 1,15        30   = 473,59.

22c) 456,26+456,26.0,15.8/30 = 474,51


     400     1 − 1,06 −10
23a)      =P
     1,06        0,06
P = 51,27.

               1 − 1,06 −10
23b) 400 = P
                   0,06
P = 54,35.

                           1 − 1,06 −10
23c) 400.1,06 = P
                               0,06
P = 57,61.

24a) P = Ai = 50 000.0,006 = 300,00.

     A      P
24b)     =
    1+ i i
   50000
P=        .0,006 = 298,21.
   1,006

                                                     1 − 1,005 −360
25) O montante que você deve acumular é 100                         = 16 679,16
                                                          0,005
               1 − 1,005 −360
Para isso, P                  .1,005360 = 16 679,16 e P = 16,60.
                    0,005

                                                  100
26) O montante que você deve acumular é                = 20 000 .
                                                 0,005
               1 − 1,005 −420
Para isso, P                  .1,005 420 = 20 000 e P = 14,04.
                    0,005

                                                     0,1
27) A prestação pela tabela Price é P = 3 000                 = 562,33 .
                                                  1 − 1,1−8
A amortização pelo SAC é 3 000/8 = 375.
TABELA PRICE
ÉPOCA     PRESTAÇÃO           JUROS AMORTIZAÇÃO           ESTADO DA DÍVIDA
0              -                  -          -                 3 000,00
1            562,33            300,00      262,33              2 737,67
2            562,33            273,77      288,56              2 449,11
3            562,33            244,91      317,42              2 131,69
4            562,33            213,17      349,16              1 782,53
5            562,33            178,25      384,08              1 398,45
6            562,33            139,84      422,49               975,96
7            562,33             97,60      464,73               511,23
8            562,35             51,12      511,23                  -


                                            SAC
ÉPOCA     PRESTAÇÃO           JUROS         AMORTIZAÇÃO   ESTADO DA DÍVIDA
0              -                  -               -            3 000,00
1            675,00            300,00           375,00         2 625,00
2            637,50            262,50           375,00         2 250,00
3            600,00            225,00           375,00          1 875,00
4            562,50            187,50           375,00          1 500,00
5            525,00             150,00          375,00          1 125,00
6            487,50             112,50          375,00           750,00
7            450,00              75,00          375,00           375,00
8            412,50              37,50          375,00              -


                                 0,01
28a) A prestação é 35 000                   = 420,06
                             1 − 1,01−180

              1 − 1,01−80
28b) 420,06               = 23 056,28.
                  0,01

29a) A amortização é 35 000/180 = 194,44.
A dívida na época da 99a prestação é 81.194,44 = 15 750.
Os juros da centésima prestação são 157,50 e a centésima prestação é igual a
194,44+157,50 = 351,94.

29b) O estado da dívida é 80.194,44 = 15 555,56.

30a) Supondo a dívida igual a 100, a prestação para 150 meses é
                0,01
P150 = 100              = 1,29 e a prestação para 300 meses é
           1 − 1,01−150
0,01
P300 = 100            = 1,05
         1 − 1,01−300
A redução é de 0,24/1,29 = 18%, aproximadamente.

                                   1 − 1,01−75
30b) A dívida na época 75 é 1,29               ≅ 68
                                       0,01

32% da dívida já foi amortizada.

31a) Supondo a dívida igual a 300, a prestação para 150 meses é
       300
P150 =     +3=5
       150
                                      300
A prestação para 300 meses é P300 =       +3= 4
                                      300
A redução é de 20%.

31b) 50%.

                                        0,12
32) A original custa, por ano, 280                 = 77,7
                                     1 − 1,12 −5

A alternativa.

                                      300
33) O custo de comprar é 2000 −              = 1777,42
                                   1,0130
                                                    0,01
Isso equivale a um custo mensal 1777,42                      = 68,87 mais a manutenção,
                                               1 − 1,01−30
dando um custo mensal total de 73,87.
É melhor comprar.

34)
dinheiro                    100                                  1516
preço                       1                                    12,09
Poder de compra             100                                  1516/12,09 ≅ 125

A rentabilidade real foi de 25%.

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Mat em financeira sol vol2 cap2

  • 1. Matemática Financeira 1) 600 = 450 (1+i)3 1/ 3  600  i=   − 1 = 10,06%.  450  2a) 1 + I = (1 + i)12 1+1 = (1 + i)12 i = 21 / 12 −1 = 5,95% 2b) 1 + I = (1 + i) 3 1+0,39 = (1+i)3 i = 1,391/3−1 = 11,60%. 3a) 1 + I = (1 + i)12 I = 1,0612−1 = 101,22% 3b) 1 + I = (1 + i) 4 I = 1,124−1 = 57,35% 4a) A taxa é de 30%/12 = 2,5% ao mês. 1 + I = (1 + i)12 I = 1,02512−1 = 34,49%. 4b) A taxa é de 30%/4 = 7,5% ao trimestre. 1 + I = (1 + i) 4 I = 1,0754−1 = 33,55%. 4c) A taxa relativa ao período de capitalização é i/k. i 1 + I = (1 + ) k k k  i I = 1 +  − 1.  k k  i 5) lim 1 +  − 1. = ei − 1.  k 6) O número e é o valor do montante gerado em um ano por um principal igual a 1, a juros de 100% ao ano, capitalizados continuamente.
  • 2. 7a) e δ − 1 = e 0,12 − 1 = 12,75%. 7b) ln (1+i) = ln 1,6 = 47,00% 7c) Aproveitando o item anterior, 47,00%/2 = 23,50%. 8) Seja 0 a data da compra. Seja 3 o preço do artigo. Usemos a data 1 como data focal. Na alternativa a, paga-se A = 3. 1 Na alternativa b, paga-se B = + 1 + (1 + i) 1+ i i2 B−A = > 0. 1+ i Logo, como B>A, a alternativa a é preferível. 9a) Supondo uma prestação vincenda de 100 e tomando a data atual como focal: aceitando: pago, na data 0, 70. não aceitando: pago, na data 1, 100, o que equivale a pagar, na data 0, 100 = 78,74 1 + 0,27 A proposta é vantajosa. 9b) Supondo duas prestações vincendas de 100 cada e tomando a data atual como focal: aceitando: pago, na data 0, 120. não aceitando: pago, na data 1, 100, e, na data 2, 100, o que equivale a pagar, na 100 100 data 0, + = 140,74 1 + 0,27 (1 + 0,27) 2 A proposta é vantajosa. 9c) Supondo três prestações vincendas de 100 cada e tomando a data atual como focal: aceitando: pago, na data 0, 150. não aceitando: pago, na data 1, 100, na data 2, 100, e, na data 3, 100, o que 100 100 100 equivale a pagar, na data 0, + + = 189,56 1 + 0,27 (1 + 0,27) 2 (1 + 0,27) 3 A proposta é vantajosa 180 200 10) + = 272 1 + 0,25 (1 + 0,25) 2 O preço à vista é R$ 272,00.
  • 3. 11a) Tomando a data focal um mês antes da compra, P 1 − 1,06 −3 = 1000 1,06 0,06 P = 352,93. 11b) Tomando a data focal no ato da compra, 1 − 1,06 −3 P = 1000 0,06 P = 374,11. 11c) Tomando a data focal um mês depois da compra, 1 − 1,06 −3 P.1,06 = 1000 0,06 P = 396,56. 12) O montante pago foi 400.1,034.1,055.1,09 = 626,30. A taxa média de juros é calculada por 626,30 = 400.(1+i)10. i = 4,59% ao mês. 13) O montante é 0,3.1,1t+0,7.1,18t. A taxa média de juros é calculada por 0,3.1,1t+0,7.1,18t = 1.(1+i)t 1 t t t i = (0,3.11 , + 0,7.118 ) −1, , onde t é o número de meses do investimento. Se t=1, a taxa é 15,60%; se t=2, é 15,66%; se t → ∞ , a taxa é 18%. 14a) Usando a data da compra como data focal e considerando um preço igual a 30, 10 10 21 = 10+ + 1 + i (1 + i) 2 Resolvendo, i = 51,08%. 14b) Tomando para data focal a data da compra e considerando um preço igual a 30, 10 10 10 21 = + + 1 + i (1 + i) 2 (1 + i) 3 Resolvendo, i = 20,20% 14c) Tomando para data focal a data da compra e considerando um preço igual a 30,
  • 4. 10 10 10 21 = 2 + 3 + (1 + i) (1 + i) (1 + i) 4 Resolvendo, i = 12,81%. 15) Arbitrando o preço em 100 e usando a data da compra como data focal, 50 50 100−x > + 1,05 1,05 2 x < 7,03%. 16a) 100 = 94 (1+i) i = 6,38%. 16b) 100 = 88 (1+i)2 i = 6,60%. 16c) 100 = 72 (1+i)3 i = 6,84%. 17) Sem reciprocidade, receberia 88 para pagar 100 em dois meses. Com reciprocidade, recebe 0,8.88 = 70,4 para pagar 100−17,6.1,022 = 81,69. 81,69 = 70,4.(1+i)2 i = 7,72%. 18a) i/365 < i/360 18b) 1000.0,12.16/360 = 5,33 1000.0,12.16/365 = 5,26. 18c) O montante é 1000.(1+0,12)16/360 = 1005,05 e os juros são de R$ 5,05; O montante é 1000.(1+0,12)16/365 = 1004,98 e os juros são de R$ 4,98. 19) 700.0,12.11/30 = 30,80. 20) a) 48% ao trimestre. b) I = 1,153−1 = 52,09% ao trimestre. c) 100 = 64.(1+I); I = 56,25% ao trimestre. A melhor é a e a pior é c. 21) 1,124−1 = 57,35% são os juros quadrimestrais. Deve cobrar 57,35%/4 = 14,33% ao mês. 22a) 300.1,153 = 456,26.
  • 5. 8 3+ 22b) 300. 1,15 30 = 473,59. 22c) 456,26+456,26.0,15.8/30 = 474,51 400 1 − 1,06 −10 23a) =P 1,06 0,06 P = 51,27. 1 − 1,06 −10 23b) 400 = P 0,06 P = 54,35. 1 − 1,06 −10 23c) 400.1,06 = P 0,06 P = 57,61. 24a) P = Ai = 50 000.0,006 = 300,00. A P 24b) = 1+ i i 50000 P= .0,006 = 298,21. 1,006 1 − 1,005 −360 25) O montante que você deve acumular é 100 = 16 679,16 0,005 1 − 1,005 −360 Para isso, P .1,005360 = 16 679,16 e P = 16,60. 0,005 100 26) O montante que você deve acumular é = 20 000 . 0,005 1 − 1,005 −420 Para isso, P .1,005 420 = 20 000 e P = 14,04. 0,005 0,1 27) A prestação pela tabela Price é P = 3 000 = 562,33 . 1 − 1,1−8 A amortização pelo SAC é 3 000/8 = 375.
  • 6. TABELA PRICE ÉPOCA PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO ESTADO DA DÍVIDA 0 - - - 3 000,00 1 562,33 300,00 262,33 2 737,67 2 562,33 273,77 288,56 2 449,11 3 562,33 244,91 317,42 2 131,69 4 562,33 213,17 349,16 1 782,53 5 562,33 178,25 384,08 1 398,45 6 562,33 139,84 422,49 975,96 7 562,33 97,60 464,73 511,23 8 562,35 51,12 511,23 - SAC ÉPOCA PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO ESTADO DA DÍVIDA 0 - - - 3 000,00 1 675,00 300,00 375,00 2 625,00 2 637,50 262,50 375,00 2 250,00 3 600,00 225,00 375,00 1 875,00 4 562,50 187,50 375,00 1 500,00 5 525,00 150,00 375,00 1 125,00 6 487,50 112,50 375,00 750,00 7 450,00 75,00 375,00 375,00 8 412,50 37,50 375,00 - 0,01 28a) A prestação é 35 000 = 420,06 1 − 1,01−180 1 − 1,01−80 28b) 420,06 = 23 056,28. 0,01 29a) A amortização é 35 000/180 = 194,44. A dívida na época da 99a prestação é 81.194,44 = 15 750. Os juros da centésima prestação são 157,50 e a centésima prestação é igual a 194,44+157,50 = 351,94. 29b) O estado da dívida é 80.194,44 = 15 555,56. 30a) Supondo a dívida igual a 100, a prestação para 150 meses é 0,01 P150 = 100 = 1,29 e a prestação para 300 meses é 1 − 1,01−150
  • 7. 0,01 P300 = 100 = 1,05 1 − 1,01−300 A redução é de 0,24/1,29 = 18%, aproximadamente. 1 − 1,01−75 30b) A dívida na época 75 é 1,29 ≅ 68 0,01 32% da dívida já foi amortizada. 31a) Supondo a dívida igual a 300, a prestação para 150 meses é 300 P150 = +3=5 150 300 A prestação para 300 meses é P300 = +3= 4 300 A redução é de 20%. 31b) 50%. 0,12 32) A original custa, por ano, 280 = 77,7 1 − 1,12 −5 A alternativa. 300 33) O custo de comprar é 2000 − = 1777,42 1,0130 0,01 Isso equivale a um custo mensal 1777,42 = 68,87 mais a manutenção, 1 − 1,01−30 dando um custo mensal total de 73,87. É melhor comprar. 34) dinheiro 100 1516 preço 1 12,09 Poder de compra 100 1516/12,09 ≅ 125 A rentabilidade real foi de 25%.