Modulo matematica

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Ilhéus . 2012
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO
ENSINO DA MATEMÁTICA

Universidade Estadual de
Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena F...

Ficha Catalográfica
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Projeto Gráfico e Diagramação
Jam...

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Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dorn...

DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
EMENTA
OBJETIVO
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática...

OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa...

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos
anos iniciais do Ensino Fundamenta...

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SUMÁRIO

NÚMERO
E OPERAÇÕES
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
• elaborar situações nas quais seus estuda...

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1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é
Matemática e ...

maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode
favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliaç...

Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a re...

c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos,
identificando onde há mais ou menos objetos, associam ele...

d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico
e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, com...

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f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações
associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reco...

h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que
compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade...

Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese
coordenada ...

coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a
partir de estruturas cognitivas mais simples que se...

dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos...

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Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
(BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecime...

0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton
(0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso p...

Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um ...

Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando,
sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte...

Outras práticas de contagem e registro utilizavam
cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no
início do século XI...

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Os quipus também serviam de representações de calendários,
fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagen...

ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em
Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
O sur...

algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos
algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.
Es...

longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio
onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco consti...

corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7
ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte...

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Centena Dezena Unidade
Número 7 7 7
Valor relativo do 7 700 70 7
7 7 unidades 7 unidades
7 0 7 dezenas 70 unidades
7 0 0 7...

especialmente complexa, a da composição aditiva, que a
criança precisa compreender.
As atividades de contagem mais comuns ...

um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de
instruções, para obter uma solução para certo tipo de
problema.
Por ex...

Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1) Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não alt...

5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
Resolver uma soma: 34 + 25:
a) Primeiro decompomos o 34 = 30 ...

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Na multiplicação, podemos:
a) Decompor um dos fatores e usar a
propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
7 x 15 =
(7 ...

culos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais. Utilização de es-
timativas para avaliar a adequação de...

interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos
exemplificar esta técnica utilizando a soma da...

b) Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com
a subtração, é preciso também que a criança ap...

d) Agora, na casa das dezenas, temos
12 bolinhas e podemos retirar 3;
e) Finalmente, das 6 centenas
retiramos 4 e obtemos...

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Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de
subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade...

a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo.
Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem ...

Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00.
Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transfor...

Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no
contexto do exemplo 3:
Observe que o diagrama da comparação i...

Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para
dar lugar a uma única transformação, sendo que a transform...

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Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no
formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos ...

inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles
em cada tipo de situação.
Quadro 1 - Alguns conceito...

Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = trans...

Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia.
Esses resultados se referem às respostas dada...

e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a
mesma ideia da autora.
Santana (2010) aponta erros comet...

Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que
compõem o pr...

balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o
estudante à reflexão através da interpretação da situ...

operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo
de procedimento inviabiliza uma análise mais prof...

7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
• Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação...

ATIVIDADES
1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2
(quilômetros
quadrados).
a) Quantos algarismos tem ...

Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a) Como você trabalharia esse erro com seu alun...

c) Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela.
Quantos reais tem Cláudio?
d) Telma e Marilene arrecadara...

envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos
ter situações de: composição, transformação, compar...

CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta
dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
CENTURION...

aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010.
S...

Suas anotações
..............................................................................................................

ESPAÇO E
FORMA
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
yy analisar e discutir situações nas quais seus...

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS
Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas
no dia a dia enc...

procedimentos/processos para efetuá-las e
revertê-las;
• comparar as formas e posições dos objetos,
a fim de estabelecer ...

são mais conhecidas, experimentadas.
Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser
exploradas intencionalmente ...

desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas
que habitam o espaço e transformá-las de modo in...

adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber
quantas pirâmides podem ser construídas com uma fo...

as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las
de modo consciente para:
• posicionar e localizar objetos;
• a...

Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde
está situado seu coração.
Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a v...

sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos
de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à
lembrança e...

intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação
de propriedades do espaço e forma que permitem a...

Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela
sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai...

Para discutirmos um pouco mais, tomemos como
exemplo duas situações:
• Situação 1: uma turma de 2º ano acaba de
voltar da...

espaciaisquenãoforamevidenciadasporestetipoderepresentação,como,
por exemplo, luminosidade, ventilação e acústica dos ambi...

Figura 35 – Partindo da exploração do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
Figura 36 – Partindo da represent...

ATIVIDADES
Vamos explorar algumas situações em sala de aula.
Exploração do espaço (localização, orientação, posição) a par...

Com esse exemplo, podemos levar o aluno a uma
experimentação pelo caminho da representação, partindo
da planta, ou seja, r...

Atividade 2: distribua a seus alunos a planificação de 2
sólidos geométricos. Peça-lhes que os dobrem, determinem
quais sã...

Formas planas: investigando seus contornos
Atividade 1: professor, com o auxílio de um Geoplano
ou papel pontilhado repres...

Atividades envolvendo arte e a questão estética
Atividade 1: professor, apresente a seus alunos a gravura
da borboleta. Di...

Figura 42 - Obras artísticas.
Módulo 5 I Volume 3 87UESC
Espaço e forma
2Unidade

RESUMINDO
Nesta unidade analisamos e discutimos situações-problema que
envolvem a utilização do pensamento geométrico. Des...

material didático para educação a distância no contexto da educação
matemática. Disponível nos textos da Biblioteca da Ass...

Suas anotações
..............................................................................................................

TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
TABELAS E GRÁFICOS
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
yy reconhecer a ...

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE
INFORMAÇÃO
A inserção do ensino de conceitos básicos de Estatística desde
os anos in...

Probabilidade
• Exploração da ideia de probabi-
lidade em situações-problema
simples, identificando sucessos
possíveis, s...

germinação das sementes etc.) ou da tomada de decisões (investigar o medo
das crianças com fins pedagógicos).
Em ambos os ...

levantamento de dados.
2.3 Execução da pesquisa
Uma vez definida a população a ser investigada e o instrumento para
coleta...

Cazorla e Utsumi (2010) defendem que os alunos devam ter uma
participação ativa no processo de construção de seus conhecim...

e a identificação de um problema. Portanto este é o primeiro
elemento a ser construído numa pesquisa. É a partir dele que
...

Um outro exemplo, bastante intuitivo, é a queda dos
corpos, como conta a lenda da maçã que caiu na cabeça de
Isaac Newton....

que interferem no resultado, tais com: luz (com ou sem luz),
a adubação (com ou sem adubo), a irrigação (controlando a
qua...

Outroaspectoligadoaosfenômenosésuaqualidadedeobservável.
Os fenômenos provenientes das ciências exatas, naturais e biológi...

• Será que os adultos têm melhor memória do que
as crianças?
• Todas as sementes germinam quando plantadas?
• Os menino...

fatores que modificam a variável dependente.
O diagrama a seguir apresenta uma síntese das variáveis envolvidas
nessa hipó...

se um aspecto da teoria de Piaget é válido, essa pessoa terá
que elaborar uma pesquisa para confirmar ou não o que
Piaget ...

leva em consideração um critério bastante claro, a idade,
contudo, sua operacionalização será muito trabalhosa, pois
impli...

dasprópriascriançasentãoestaremosrespondendoaquestão
“quais são os maiores medos das crianças?”. Se investigarmos
esses me...

4.1 Censo ou amostra
Além da delimitação da população, é preciso definir
se coletamos os dados com todos os sujeitos que c...

diversas formas de selecionar a amostra, refletindo junto com as crianças
o que pode acontecer com um ou outro procediment...

podemos recorrer ao boletim, às atas finais da escola e fazer esse
levantamento a partir desses dados. Assim, o aluno é a ...

para registrar de forma escrita seus sentimentos.
d) Chamar aluno por aluno, solicitar que eles digam
em voz alta qual é ...

peso etc. Ou, se estivéssemos investigando o desempenho escolar, as
variáveis seriam: notas nas disciplinas, disciplina fa...

Coleção de
objetos
(família do
aluno)
Número de pessoas da família que moram com o aluno.
Quantidade de metros cúbicos de ...

b) Operacionalização das variáveis
Além de aprendermos a reconhecer os tipos de variáveis, é
importante saber que elas pod...

i) Exemplo de pergunta com uma única escolha (categorias
mutuamente excludentes):
Marque com X a alternativa que você con...

Como coletar uma variável quantitativa?
Vejamos um exemplo de uma variável quantitativa contínua: idade
a) Data de nasc...

podemos querer saber se os mais jovens pensam e votam de
uma forma diferenciada dos mais velhos. Podemos pensar que
as pes...

umquestionário,quedevecontemplarasvariáveisemestudo,jádiscutidas
anteriormente, que são a idade, o gênero e o tipo de medo...

Na pesquisa que utiliza o jogo da memória com os alunos da
classe e seus responsáveis (dados emparelhados, Figura 47), as ...

experimental, podemos controlar vários desses fatores e escolher os que
deixaremos variar.
Para registrar a germinação em ...

trabalha esse tipo de classificação. O problema aparece
quando os objetos não são padronizados. Portanto, o
trabalho com c...

podemos registrar real e imaginário (Figura 49).
Medo Ser real Medo Tipo
Barata sim Barata real
Mula sem cabeça não Mula s...

sua frequência e acreditam que uma variável qualitativa é quantitativa
porque há números envolvidos em sua contagem. Por e...

Outro erro conceitual, encontrado inclusive em
livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD),...

Figura 53 – Tratamento univariado de variáveis quantitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 17.
Assumem
poucos valore...

5.2 Tabela versus tabela estatística
Antes de iniciar o tratamento, torna-se necessário
esclarecer o que é uma tabela desd...

Alguns livros chamam este arranjo de tabela, rol de dados,
planilha de dados, banco de dados. Neste módulo, optamos
por ch...

Distribuição de frequência
por categorias (a)
Distribuição de
frequência por pontos (b)
Distribuição de frequência
por int...

usarmos a palavra tabela, estaremos fazendo como sinônimo
de tabela estatística.
5.3 Do caos à organização de dados
Uma ve...

Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos cujo time
favorito é o Palmeiras”, fazemos a contagem e anotamos em
uma tabel...

Figura 58 - Exemplo de ficha de coleta de dados e arcabouço da planilha de dados em branco e preenchida. Fonte:
elaborado ...

Quadro 4 - Planilha de dados da pesquisa: “do que você tem mais medo?”
Dados primários (brutos) Dados secundários
Nome G I...

Observe que nem todo mundo pode concordar com
que Tiranossauro ou Dinossauro sejam categorizados como
“imaginário personag...

Contudo, nesse tipo de sistematização, podemos esquecer de
contar um aluno ou algum aluno distraído pode levantar a mão
du...

Note que 18 do total de 33 alunos são meninas, portanto, teríamos uma fração de 18/33
do total de alunos. Precisamos, tran...

Acreditamos que para trabalhar neste nível escolar não podemos
ser rigorosos com a construção das tabelas, até porque as g...

tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias. A tabela também
mostra que a diferença entre as classes de medos de men...

aos alunos que formem filas de acordo com o time de sua preferência,
como podemos observar no esquema da Figura 64.
Time d...

Também podemos utilizar ícones, escudos ou
camisetas dos times, confeccionados com cartolina,
emborrachadosoucomadesivos,d...

exemplo a altura, pois são variáveis visíveis e fáceis de trabalhar. Outras
variáveis podem atrapalhar ao invés de ajudar....

c) Construindo o gráfico de barras / colunas
O gráfico de barras é apropriado para representar as variáveis
qualitativas....

Na construção do gráfico no papel e lápis, lembramos ao professor
a necessidade das barras terem a mesma largura, o mesmo ...

A rigor o gráfico de barras de uma variável deve utilizar
apenas uma cor, não deveríamos utilizar duas cores ou mais.
Cont...

b) Construindo o gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é utilizado para representar variáveis
qualitativas, quando esta...

c) Construindo o gráfico de linhas
O gráfico de linhas normalmente é utilizado quando queremos
mostrar uma tendência nos ...

ATIVIDADES
Só se aprende Estatística fazendo Estatística. Por essa razão
sugerimos que a cada aula se aplique o conhecimen...

Pedro 1º ano B M 6 anos e 1 mês 1,04 6
Ana 1º ano B F 5 anos e 2 meses 1,20 5
Telma 1º ano B F 6 anos e 5 meses 1,08 6
Val...

Suas anotações
..............................................................................................................

TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
yy calcular as...

1 VIVEMOS NUM MUNDO PERMEADO DE ESTATÍSTICAS
Quem não conhece a média aritmética, ou simplesmente média? A
maioria das pe...

renda em torno de um a cinco salários mínimos e que poucas pessoas têm
renda muito alta. Neste caso a renda média sofrerá ...

quantitativa que se repete com maior frequência.
No caso do exemplo do medo, a moda é a classe de medo real, pois 20
aluno...

Figura 79 - Consumo anual per capita de açúcar no Brasil. * valor interpolado.
Fonte: Elaborado pelos autores a partir dos...

de Ana foram: 8 no primeiro bimestre; 6 no segundo; 7 no terceiro e 7
no quarto. Para calcular a nota média, primeiro temo...

quatro alunos que coloquem o dinheiro em cima da mesa e juntamos
tudo, a soma dará 24 reais (10 + 7 + 3 + 4). A seguir dis...

Figura 81 - A média como a razão entre duas variáveis.
Média = Total de irmãos = 6 irmãos = 1,5 irmãos por aluno
Nº de alu...

divisão exata e elas têm várias estratégias de distribuição, como mostra o
trabalho de Selva e Borba (2005). O problema ap...

Discuta com os alunos esta situação. Pergunte a eles o que achariam,
se essa situação fosse verdadeira, se tomássemos toda...

incluíam as seguintes: “existem duas crianças mais velhas e uma mais
jovem”, “vírgula três significa que, mais tarde, a cr...

o número de pessoas em carros de passeio que passaram por uma ponte,
num período determinado, solicitou às crianças que ca...

2.3 Calculando (encontrando) a Mediana
Para apresentar a mediana, vamos nos reportar ao trabalho de Cazorla
e Oliveira (20...

Como existem cinco dados (n é ímpar), a posição que a mediana
ocupa será o terceiro lugar (3º), pois abaixo do terceiro lu...

b. Se o número de dados for par, dividir por dois e calcular a média
desse valor e de seu sucessor (dados ordenados). Por...

930 cm, que dividido por seis resulta 155 cm. Isto é, cinco cm a mais,
enquanto que o impacto na mediana foi de apenas um ...

Calculando a frequência absoluta
acumulada:
• Quantos alunos temos com
idades até 7 anos? 5 alunos.
• Quantos alunos tem...

Muitas vezes, podemos intuir o valor da média analisando visualmente os dados. Por
exemplo, suponha que desejamos, sem faz...

Exemplo de relatório final de pesquisa
Foi realizada uma pesquisa com 33 alunos do 3º ano A, do Colégio
ABC, da cidade de ...

Tabela 5 - Distribuição dos tipos de medo por subclasse em relação ao gênero e idade (em
porcentagem)
Figura 87 - Distribu...

ATIVIDADES
Dando continuidade à análise de dados da pesquisa da altura das
crianças, iniciada na unidade III, e tomando co...

REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemát...

analisando a contribuição da calculadora. 28 Reunião Anual da ANPED,
2005. Disponível em: <www.anped.org.br/reunioes/28/te...

GUIMARÃES, G., FERREIRA, V.; ROAZZI, A. Interpretar e
construir gráficos de barras: o que sabem os alunos de 3ª série do e...

Suas anotações
..............................................................................................................

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