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Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP
Carlos Guido Ferrario Lobo
Tipos de agrupamentos
• Diferem um do outro pela
ordem ou natureza dos
elementos.
Arranjo
• Não diferem pela ordem dos
seus elementos.
Combinação
• São grupos fazendo a troca de
posições de todos os elementos.
Permutação
Arranjos Simples
CORRIDAS-ELEIÇÕES-DISPUTAS
O quadrangular final de um torneio mundial
de basquete é disputado por quatro
seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia.
De quantas maneiras distintas podemos ter
os três primeiros colocados?
Arranjos (Definição)
• Arranjos são agrupamentos nos quais a
ordem ou a natureza dos seus
elementos FAZ A DIFERENÇA.
• É preciso ter um conjunto de elementos
distintos com uma quantidade qualquer
de elementos, sendo que os arranjos
simples formados irão possuir n
elementos, sendo que essa quantidade
será igual ou menor que a quantidade
de elementos do conjunto.
Arranjos (Fórmula)
Dado um conjunto com n elementos distintos,
chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a
qualquer sequência ordenada de k elementos distintos
escolhidos entre os n existentes.
Exemplo 1: A senha
• A senha de um cartão eletrônico é formada por
duas letras distintas acompanhadas por uma
sequência de três algarismos distintos. Quantas
senhas poderiam ser “confeccionadas”?
Exemplo 2: Pares ordenados
• Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever
todos os arranjos desses quatro elementos
tomados dois a dois (pares ordenados).
Permutação
Simples e
com repetição
ANAGRAMAS–
FORMAÇÕES
Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro,
vão fazer uma selfie. De quantas maneiras
elas podem ser dispostas, colocadas lado a
lado?
Permutação (Definição)
• São grupos formados, fazendo a
troca de posições de todos os
elementos envolvidos.
• Notemos que a permutação é
um caso particular de arranjo,
pois, dado um conjunto com n
elementos distintos,
selecionamos exatamente n
elementos para formar a
sequencia ordenada.
Permutação (Fórmula)
Permutação de n elementos.
Exemplo 1: Centenas distintas
• Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e
8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja,
sem repetir o mesmo algarismo.
Exemplo 2: ANAGRAMAS
• Anagramas são todas as palavras formadas, com
ou sem sentido, pelas letras da palavra dada,
embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas
existem da palavra azul?
15
Permutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos
repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não
aparecerá mudanças na posição.
Generalizando:
n
n!
P,,

!! !
Exemplo 3: ANAGRAMAS
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m”
aparentemente não houve mudança. O mesmo
com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o
raciocínio:

Pn 10!

10 9 8 7  6 5  4 3!
 151200
P1 P2 P3 2!3! 2! 2 3!2
Combinação
Simples
EQUIPES-JUNTASMÉDICAS-GRUPOS
Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio –
participam de um concurso em que serão
sorteadas três bicicletas do tipo mountain
bike. Quais os possíveis resultados do
concurso?
Combinação (Definição)
• Dado um conjunto A com n
elementos distintos, chama-se
combinação dos n elementos
de A, tomados k a k, a qualquer
subconjunto de A formado por
k elementos.
• Notemos que neste caso a troca
da ordem dos elementos não
caracteriza novos
agrupamentos
Combinação de n elementos,
tomados k a k.
Exemplo 1: A comissão
• Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6
meninas. Quantas comissões de dois meninos de
duas meninas podem ser formadas?
Exemplo 2: DIA DE PIZZA
• Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de
pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma
família pode escolher três desses sabores?
Observação
• Tanto arranjo como combinação são
agrupamentos de k elementos
distintos escolhidos a partir de um
conjunto de n elementos. A diferença é
que, no arranjo, se mudarmos a
ordem dos elementos de certo
agrupamento, obteremos um novo
agrupamento; na combinação,
mudando a ordem dos elementos de
certo agrupamento, obteremos o
mesmo agrupamento.
Carlos Santos Junior
Professor de Matemática
Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP
Carlos Guido Ferrario Lobo
carlos.dasilva@al.sesi.org.br
carlossantosjr@outlook.com.br

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  • 1. Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo
  • 2. Tipos de agrupamentos • Diferem um do outro pela ordem ou natureza dos elementos. Arranjo • Não diferem pela ordem dos seus elementos. Combinação • São grupos fazendo a troca de posições de todos os elementos. Permutação
  • 4. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?
  • 5. Arranjos (Definição) • Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem ou a natureza dos seus elementos FAZ A DIFERENÇA. • É preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
  • 6. Arranjos (Fórmula) Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
  • 7. Exemplo 1: A senha • A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”?
  • 8. Exemplo 2: Pares ordenados • Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois (pares ordenados).
  • 10. Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão fazer uma selfie. De quantas maneiras elas podem ser dispostas, colocadas lado a lado?
  • 11. Permutação (Definição) • São grupos formados, fazendo a troca de posições de todos os elementos envolvidos. • Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequencia ordenada.
  • 13. Exemplo 1: Centenas distintas • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e 8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.
  • 14. Exemplo 2: ANAGRAMAS • Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas existem da palavra azul?
  • 15. 15 Permutação com repetição É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição. Generalizando: n n! P,,  !! !
  • 16. Exemplo 3: ANAGRAMAS Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”. Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o raciocínio:  Pn 10!  10 9 8 7  6 5  4 3!  151200 P1 P2 P3 2!3! 2! 2 3!2
  • 18. Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio – participam de um concurso em que serão sorteadas três bicicletas do tipo mountain bike. Quais os possíveis resultados do concurso?
  • 19. Combinação (Definição) • Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos. • Notemos que neste caso a troca da ordem dos elementos não caracteriza novos agrupamentos
  • 20. Combinação de n elementos, tomados k a k.
  • 21. Exemplo 1: A comissão • Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. Quantas comissões de dois meninos de duas meninas podem ser formadas?
  • 22. Exemplo 2: DIA DE PIZZA • Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?
  • 23. Observação • Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.
  • 24. Carlos Santos Junior Professor de Matemática Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo carlos.dasilva@al.sesi.org.br carlossantosjr@outlook.com.br