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SUMÁRIO – TERCEIRO VOLUME



CAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SER
ENSINADO ................................................................................................................................    013

CAPÍTULO 01: AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................                                                   018
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NOTÁVEIS ................................................................................                              020
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                 026
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                               028
RESPOSTAS ................................................................................................................................   035
TABELA DE SENOS, COSSENOS E TANGENTES DE 0º ATÉ 90º ...........................................                                              036


CAPÍTULO 02: O CICLO TRIGONOMÉTRICO.
MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO E COMPRIMENTO DE UM ARCO ................................                                                          037
CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................................................................................                  041
ARCOS CÔNGRUOS ...................................................................................................................           043
ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ..............................................                                                  046
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                 047
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                               048
RESPOSTAS ................................................................................................................................   050


CAPÍTULO 03: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................      051
ALGUMAS NOTAÇÕES IMPORTANTES ..................................................................................                              051
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO ...........................................                                                   052
FUNÇÃO PERIÓDICA ...............................................................................................................             060
FUNÇÃO y = sen x ......................................................................................................................      060
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sen x .................................                                                   061
FUNÇÃO y = cos x ......................................................................................................................      065
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cos x .................................                                                   066
FUNÇÃO y = tg x ........................................................................................................................     071
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x ...................................                                                  072
FUNÇÃO y = cotg x ....................................................................................................................       077
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cotg x ...............................                                                    077
FUNÇÃO y = sec x ......................................................................................................................      081
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sec x .................................                                                   081
FUNÇÃO y = cossec x .................................................................................................................        083
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cossec x ............................                                                     083
RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – IDENTIDADES .......................                                                              085
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                 087
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                               092
RESPOSTAS ................................................................................................................................   099
CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE.
SIMETRIAS ..................................................................................................................................   100
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ................................................................................                                 100

                        π            
ARCOS DA FORMA  n. ± x  ...................................................................................................                  104
                        2            
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                   109
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                                 110
RESPOSTAS ................................................................................................................................     114


CAPÍTULO 05:TRANSFORMAÇÕES.
ADIÇÃO DE ARCOS ...................................................................................................................            116
SOMA DE VÁRIOS ARCOS ........................................................................................................                  117
SUBTRAÇÃO DE ARCOS ...........................................................................................................                 119
DUPLICAÇÃO DE ARCOS .........................................................................................................                  120
SOMA DE SENOS OU DE COSSENOS DE ARCOS EM P.A. ...................................................                                              123
TRIPLICAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................                  123
FÓRMULAS DE SIMPSON .........................................................................................................                  124
CÁLCULO DO SENO E DO COSSENO DO ARCO nα .............................................................                                          124
BISSECÇÃO DE ARCOS .............................................................................................................               124
SENO, COSSENO E TANGENTE EM FUNÇÃO DA TANGENTE DO ARCO METADE .........                                                                        127
FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE (TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO) .............................                                                              127
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                   132
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                                 136
RESPOSTAS ................................................................................................................................     143


CAPÍTULO 06:EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – INTRODUÇÃO ..............................................................                                           144
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES ...............................................................                                           144
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO ELEMENTARES ......................................................                                                157
EQUAÇÕES SOLUCIONÁVEIS POR OUTROS ARTIFÍCIOS ..................................................                                                166
SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................................                                        181
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                   183
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                                 188
RESPOSTAS ................................................................................................................................     195


CAPÍTULO 07:INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES ............................................................................................                          197
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                   206
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                                 208
RESPOSTAS ................................................................................................................................     210
CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS.
FUNÇÃO ARCO-SENO ...............................................................................................................             211
FUNÇÃO ARCO-COSSENO .......................................................................................................                  211
FUNÇÃO ARCO-TANGENTE .....................................................................................................                   212
FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE ...............................................................................................                       212
FUNÇÃO ARCO-SECANTE ........................................................................................................                 213
FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE ................................................................................................                      213
SOMAS DE FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ....................................................................                                    215
ALGUMAS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ........                                                                       216


EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                 217
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                               219
RESPOSTAS ................................................................................................................................   222


CAPÍTULO 09:RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS.
LEI DOS COSSENOS ..................................................................................................................          223
LEI DOS SENOS OU TEOREMA DE LAMY ..............................................................................                              224
ÁREA DE UM TRIÂNGULO .......................................................................................................                 226
LEI DAS TANGENTES OU TEOREMA DE NEPPER ................................................................                                      227
FÓRMULAS DE BRIGGS ...........................................................................................................               227
TEOREMA DAS PROJEÇÕES OU DE CARNOT ......................................................................                                    227
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................                 228
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................                               230
RESPOSTAS ................................................................................................................................   236

APÊNDICE
FORMULÁRIO-RESUMO DO TERCEIRO VOLUME ...............................................................                                         241
Outra solução:
                                          B              sen α = 0,6

                                                         cos α = 0,8
                             α
                                          x              tg α = 0,75
                    α            2α
                                                         x2 + y2 = 2500           (I)
     D             50    C            A

                               x      3       150 + 3 y
         Pela tg α, temos:          = ⇒x=                                         (II)
                            50 + y y             4
         Substituindo (II) em (I), encontramos:
               2
 150 + 3 y                 22500 + 900 y + 9 y 2
             + y = 2500 ⇒                         + y 2 = 2500 .
                 2

    4                                16
        Ou ainda: 25 y 2 + 900 y − 17500 = 0 ⇒ y 2 + 36 y − 700 = 0 , cujas soluções são y1 = 14 e y2 = –
50 (não serve).
        Para y = 14, encontramos x = 48.
RESPOSTA: alternativa c.

EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFGO) No triângulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordem, são:

a) 2 e    3.
b)   3 – 1 e 2.                                       x
   2 3       6− 2
c)       e          .                       y       135º      15º
     3          3
      6− 2 2 3
d)            e     .                                          2
       3          3
e) 2 e 3 – 1.
RESOLUÇÃO:
       O melhor truque a ser utilizado na resolução dessa questão é “completar” o triângulo
retângulo conforme a figura abaixo, em que o ângulo A é reto:
                          B

                                                             x

                                          y       135º           15º
                                                                          C
                                                                 2
                                              D


                                                         A

                                                         25
CICLO TRIGONOMÉTRICO:
       Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a um
sistema de coordenadas ortogonais com origem em seu centro. Convencionemos como sentido
positivo de percurso dessa circunferência o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos
ponteiros do relógio) e, em contrapartida, o sentido negativo será o oposto (a favor do movimento
dos ponteiros do relógio). A intersecção do semi-eixo positivo das abscissas do sistema de
coordenadas com a circunferência (ponto A na figura abaixo) será a origem dos arcos, isto é, o
ponto a partir do qual marcaremos os arcos que serão considerados sobre a circunferência. A esse
conjunto chamamos de ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico ou circunferência
trigonométrica.
       Os arcos com os quais trabalharemos, marcados sobre o ciclo, serão denominados arcos
trigonométricos e esses, ao contrário do que ocorre na Geometria Plana, poderão ter medidas
maiores do que 360º (bastando para isso que se percorra todo o ciclo mais de uma vez no sentido
positivo) ou menores do que 0º (bastando para isso que se percorra o ciclo, a partir da origem dos
arcos, no sentido negativo).
       Sempre que, para chegarmos à extremidade de um arco, precisarmos, a partir da origem dos
arcos, percorrer o ciclo no sentido positivo, esse arco terá medida positiva; em caso contrário, terá
medida negativa.

                                                                           Na figura, temos:
                            B(0, 1)
            Γ                                                O(0, 0) – origem do sist. cartesiano.
                                                             A – origem dos arcos.
                                               F+     F – extremidade do arco AF (α > 0).
                                                             E – extremidade do arco AE (γ < 0).
                                       α

 C(–1, 0)         O(0, 0)              γ        A(1, 0)
                                                       –

                                           E

                            D(0, –1)

       Existe uma correspondência entre os pontos da reta real e os pontos do ciclo. A cada
número real corresponde um único ponto do ciclo que é sua imagem. O ponto O do eixo real tem
como correspondente o ponto A do ciclo. O sentido positivo de percurso do eixo real corresponde
ao sentido positivo de percurso do ciclo (sentido anti-horário) enquanto que o sentido negativo de
percurso do eixo real corresponde ao sentido negativo de percurso do ciclo (sentido horário).
       Dessa maneira, chamando o ciclo trigonométrico de Γ, e fixando uma origem A nesse ciclo,
criamos uma função F : R → Γ, de forma que, para determinarmos a imagem de um número real x
qualquer, devemos:

   • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido positivo, se x > 0; ou
   • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido negativo, se x < 0.
                                              41
OBS.: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome de
tangentóide. As retas verticais que passam pelos pontos x = kπ + π 2 , k ∈ Z são as chamadas
assíntotas.



DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x:

                                                                           π
       Para funções do tipo y = a + b . tg (mx + n), temos período p =         e temos imagem igual a
                                                                           m
R. Na verdade, cada um dos números reais a, b e m provoca uma deformação no gráfico de y = tg
x. Veja gráficos comparativos no intervalo [0, 2π] abaixo:


                                        x
A) f(x) = tg x      e       g ( x) = tg   .
                                        2


                                      período de f = π rad

                                                         período de g = 2π rad




                             O        π/2       π        3π/2       2π 5π/2         3π




                                                                              x
                             f(x) = tg x                          g ( x) = tg  
                                                                              2

       Houve uma dilatação horizontal no gráfico de y = tg x, porque 0 < m < 1; se tivéssemos m >
1, haveria uma compressão horizontal.



                                                    72
1 + cot g 2 x
6) EEAR – 2/2004 – turma A – A expressão                                 é idêntica à (ao):
                                                             1 + tg 2 x
a) tg2 x. b) sen2 x. c) cotg2 x. d) cos2 x.
7) EEAR – 2/2005 – Existirá x ∈ R que satisfaça a igualdade sen x = 2k – 5 se, e
somente se:
a) 1 < k ≤ 3. b) 1 < k < 4. c) 2 ≤ k < 4. d) 2 ≤ k ≤ 3.
8) EEAR – 2/2006 – turma B – O quadrante em que as funções seno, cosseno e
tangente são, simultaneamente, crescentes é o:
a) 1º. b) 2º. c) 3º. d) 4º.

QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – EPCAR:
1) EPCAR – 1998 – Sejam f e g duas funções trigonométricas definidas no conjunto
dos números reais por f(x) = 4 cos 2x e g(x) = 2 cos (x/4). Se PF é o período de f e PG
é o período de g, pode-se afirmar que:
a) PG = PF. b) PG = (1/2)PF. c) PG = 8PF. d) PG = 4PF.
2) EPCAR – 1998 – Examine o gráfico abaixo e assinale a função correspondente:
a) y = cos 2x.                          y
b) y = 2 cos x.
c) y = 2 sen x.                     1
d) y = sen 2x.                                 π/2                   3π/2
                                        O                    π                  2π    x



3) EPCAR – 2002 – Se A = log (1 + cotg2 x) + log (1 + cos x) + log (1 – cos x), sendo 0 <
x < π/2, então A é igual a:
a) log (1/10). b) log (1/2). c) log 1. d) log 10.
4) EPCAR – 2002 – No sistema cartesiano abaixo, estão sobrepostos os gráficos de
três funções y1 = k1.cotg x, y2 = k2.cotg x e y3 = k3.cotg x. Tem-se, necessariamente,
que:
                                              y
a) k1 < k2. < k3.
b) k1 = k2. = k3.
c) k3 < k2. < k1.
d) k2 < k3. < k1.
                                             O         π/2          π




                                                      93
2x        2 5
   • cos α =          =       .
                x 5        5

                                                                    z 2x
      Pelo teorema das bissetrizes no triângulo ABC, ficamos com     =     ⇒ z = 2y.
                                                                    y x
                                                               x+ y
      Pelo triângulo ABC, podemos concluir que sen 2α =               . Substituindo z por 2y e
                                                                  z
                                                                          x+ y
desenvolvendo a expressão do arco duplo, ficamos com 2 . sen α . cos α =         . Substituindo os
                                                                           2y
                                                     5 2 5   x+ y   8y
valores do seno e do cosseno, ficamos com: 2 .        .    =      ⇒    = x + y ⇒ 5x = 3y
                                                    5   5     2y     5
     5    5
⇒y=    x = AD .
     3    3
RESPOSTA: alternativa b.

EXERCÍCIO RESOLVIDO: Provar que sen 10º . sen 50º . sen 70º = 1/8.
RESOLUÇÃO:
       Façamos x = sen 10º . sen 50º . sen 70º. No momento em que provarmos que o valor de x é
igual a 1/8, estaremos provando a igualdade da questão.
       Multiplicando ambos os membros por 2 cos 10º, ficamos com:
2 cos 10º . x = 2 sen 10º . cos 10º . sen 50º . sen 70º = sen 20º . sen 50º . sen 70º.
       Substituindo sen 70º por cos 20º e novamente multiplicando por 2 ambos os membros,
caímos em: 2 . 2 cos 10º . x = 2 . sen 20º . cos 20º . sen 50º = sen 40º . sen 50º, ou seja:
4 cos 10º . x = sen 40º . sen 50º.
       Substituindo sen 50º por cos 40º e, mais uma vez, multiplicando ambos os membros por 2,
chegamos a: 2 . 4 cos 10º . x = 2 . sen 40º . cos 40º ⇒ 8 cos 10º . x = sen 80º.
       Finalmente, substituindo sen 80º por cos 10º, cancelando cos 10º em ambos os membros e
                                                                1
isolando x, chegamos a: 8 cos 10º.x = cos 10º ⇒ 8 x = 1 ⇒ x = , c.q.d.
                                                                8
RESPOSTA: Veja desenvolvimento.

EXERCÍCIO RESOLVIDO: (MACK) Se y = 3 + sen x cos x, 0 ≤ x ≤ π/2, então o maior valor que
y pode assumir é:
a) 3. b) 13/4. c) 10/3. d) 7/2. e) 4.
RESOLUÇÃO:
        Multiplicando ambos os membros da lei de associação da função por 2 e isolando y, vem:
                              6 + sen 2 x      1
2 y = 6 + 2 sen x cos x ⇒ y =             = 3 + . sen 2 x .
                                   2           2
        O maior valor de sen 2x implicará o maior valor de y. Sabemos que o seno de um arco
varia de –1 até 1, isto é, o maior valor que sen 2x pode assumir é igual a 1. Então, o maior valor
                                    1      7
que y pode assumir é igual a 3 + .1 = .
                                    2      2
RESPOSTA: alternativa d.
                                                    122
                  π             5π              
S =  x ∈ R | x = 2kπ + ou x = 2kπ +    ,k∈Z          ou ainda, resumindo em uma única forma,
                      6              6              
                                                    π          
podemos dizer que S =  x ∈ R | x = kπ + (− 1)
                                               k
                                                       , k ∈ Z  , conforme alternativa “c” da
                                                    6          
questão.
RESPOSTA: alternativa c.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
        Neste item, veremos alguns sistemas de equações trigonométricas resolvidos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equações
r sen θ = 3
              , para r > 0 e 0 ≤ θ < 2π é:
r cos θ = 1
a) {2, π/6}. b) {1, π/3}. c) {2, 1}. d) {1, 0}. e) {2, π/3}.
RESOLUÇÃO:
                                                        r 2 sen 2 θ = 3
       Quadrando as duas equações do sistema, caímos em  2              . Somando as duas
                                                        r cos θ = 1
                                                                 2


equações, ficamos com r2 sen2 θ + r2 cos2 θ = 4 ⇒ r2 (sen2 θ + cos2 θ) = 4 ⇒ r2 = 4 ⇒ r = 2 (r >
0). Sendo r > 0, então, da primeira equação, deduzimos também que sen θ > 0.
       Substituindo o valor de r = 2 na segunda equação, vem: cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60º (π/3 rad) ou
θ = 300º (5π/3 rad), que não serve, porque o número sen 300º ficaria negativo (não satisfaria à
primeira equação do sistema). O par ordenado (r, θ) que é solução do sistema é, portanto, (2, π/3).
RESPOSTA: alternativa e.
                                                                        x + y = π
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) Para que valores de t o sistema 
                                                                        sen x + sen y = log 10 t
                                                                                                  2


admite solução?
a) 0 < t < 10. b) 0 < t < 10π. c) 0 < t < 102. d) 0,1 < t ≤ 10. e) NRA.
RESOLUÇÃO:
        Da primeira equação, tiramos x = π – y, então, sen x = sen (π – y) = sen y.
        Substituindo esse valor na segunda equação, vem: sen y + sen y = log t2 ⇒ 2 sen y = 2
log t ⇒ sen y = log t.
        Como o valor do seno de um número real varia entre –1 e 1, vem: –1≤ log t ≤ 1 ⇒ 10–1≤
t ≤ 101 ⇒ 0,1 < t ≤ 10.
RESPOSTA: alternativa d.
                                                               π
                                                       x + y =
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver o sistema                         2        no intervalo de 0 a 2π
                                                       sen x + cos y = 1
                                                       
radianos.
RESOLUÇÃO:
        Observe que os arcos x e y são complementares, isto é, a função trigonométrica de um é
igual à “co-função” do outro e vice-versa.
                                                181
DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x.


OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = kπ + π 4 , pois a função f(x) =
arc cotg x tem contradomínio ]0, π[, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas
aqueles compreendidos entre 0 e π.


FUNÇÃO ARCO-SECANTE:
                                              ]                ] ]             ]
    É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 , definida por f(x) = arc sec x (lê-se:
“f(x)” é igual ao arco cuja secante é “x”). O gráfico da função arco-secante é:


                                                           y
                                                               π
                                                                   2




                                        –1                 O               1                    x

                                                               −π
                                                                       2


                                                               –π




DICA: A igualdade y = arc sec x é equivalente a sec y = x.

OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc sec                            2 = kπ + π
                                                                                        , pois a função f(x) =
                                                                                      4
                              ]         ] ]
arc sec x tem contradomínio − π ,− π 2 ∪ 0, π 2       ]   , isto é, o arco não pode assumir infinitos valores,
mas apenas aqueles compreendidos nesses intervalos de números reais.



FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE:
                                                  ]                ] ]             ]
    É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π ∪ 0, π , definida por f(x) = arc cossec x
                                                2      2
(lê-se: “f(x)” é igual ao arco cuja cossecante é “x”). O gráfico da função arco-cossecante é:

                                                      213
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:
1) E.N. – 1988 – Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C =
60º, AB = x e BC = 6. Podemos afirmar que o problema:
a) sempre admite solução, se x > 0.
b) admite duas soluções, se x > 3.
c) admite solução única, se x = 3.
d) admite duas soluções, se 3 3 < x < 6.
e) não admite solução, se x > 6.
2) E.N. – 2003 – Considere a figura abaixo:
                                 B




                        α    β

                  A              D                        C
                          d1                   d2
         A área do triângulo BDC é:
          d1 + d 2
a)                   .
     cot gα − cot gβ
             d1 .d 2
b)                       .
     2(cot gα + cot gβ )
           d1 + d 2
c)                       .
     2(cot gα − cot gβ )
            d1.d 2
d)                     .
     2 cot gα − cot gβ
             d1.d 2
e)                       .
     2(cot gα − cot gβ )

RESPOSTAS:
QUESTÕES DE VESTIBULARES:
1) d 2) d 3) e 4) e 5) d 6) a 7) c 8) d 9) c 10) d 11) b

QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES:
CFT: 1) b.
EEAR: 1) b 2) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) c.
EPCAR: 1) a.
ESPCEX: 1) c.
                                     236

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  • 3. SUMÁRIO – TERCEIRO VOLUME CAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SER ENSINADO ................................................................................................................................ 013 CAPÍTULO 01: AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................ 018 TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NOTÁVEIS ................................................................................ 020 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 026 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 028 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 035 TABELA DE SENOS, COSSENOS E TANGENTES DE 0º ATÉ 90º ........................................... 036 CAPÍTULO 02: O CICLO TRIGONOMÉTRICO. MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO E COMPRIMENTO DE UM ARCO ................................ 037 CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................................................................... 041 ARCOS CÔNGRUOS ................................................................................................................... 043 ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO .............................................. 046 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 047 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 048 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 050 CAPÍTULO 03: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 051 ALGUMAS NOTAÇÕES IMPORTANTES .................................................................................. 051 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO ........................................... 052 FUNÇÃO PERIÓDICA ............................................................................................................... 060 FUNÇÃO y = sen x ...................................................................................................................... 060 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sen x ................................. 061 FUNÇÃO y = cos x ...................................................................................................................... 065 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cos x ................................. 066 FUNÇÃO y = tg x ........................................................................................................................ 071 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x ................................... 072 FUNÇÃO y = cotg x .................................................................................................................... 077 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cotg x ............................... 077 FUNÇÃO y = sec x ...................................................................................................................... 081 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sec x ................................. 081 FUNÇÃO y = cossec x ................................................................................................................. 083 DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cossec x ............................ 083 RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – IDENTIDADES ....................... 085 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 087 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 092 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 099
  • 4. CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE. SIMETRIAS .................................................................................................................................. 100 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ................................................................................ 100  π  ARCOS DA FORMA  n. ± x  ................................................................................................... 104  2  EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 109 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 110 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 114 CAPÍTULO 05:TRANSFORMAÇÕES. ADIÇÃO DE ARCOS ................................................................................................................... 116 SOMA DE VÁRIOS ARCOS ........................................................................................................ 117 SUBTRAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................... 119 DUPLICAÇÃO DE ARCOS ......................................................................................................... 120 SOMA DE SENOS OU DE COSSENOS DE ARCOS EM P.A. ................................................... 123 TRIPLICAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................ 123 FÓRMULAS DE SIMPSON ......................................................................................................... 124 CÁLCULO DO SENO E DO COSSENO DO ARCO nα ............................................................. 124 BISSECÇÃO DE ARCOS ............................................................................................................. 124 SENO, COSSENO E TANGENTE EM FUNÇÃO DA TANGENTE DO ARCO METADE ......... 127 FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE (TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO) ............................. 127 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 132 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 136 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 143 CAPÍTULO 06:EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – INTRODUÇÃO .............................................................. 144 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES ............................................................... 144 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO ELEMENTARES ...................................................... 157 EQUAÇÕES SOLUCIONÁVEIS POR OUTROS ARTIFÍCIOS .................................................. 166 SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................. 181 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 183 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 188 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 195 CAPÍTULO 07:INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES ............................................................................................ 197 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 206 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 208 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 210
  • 5. CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS. FUNÇÃO ARCO-SENO ............................................................................................................... 211 FUNÇÃO ARCO-COSSENO ....................................................................................................... 211 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE ..................................................................................................... 212 FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE ............................................................................................... 212 FUNÇÃO ARCO-SECANTE ........................................................................................................ 213 FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE ................................................................................................ 213 SOMAS DE FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS .................................................................... 215 ALGUMAS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ........ 216 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 217 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 219 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 222 CAPÍTULO 09:RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS. LEI DOS COSSENOS .................................................................................................................. 223 LEI DOS SENOS OU TEOREMA DE LAMY .............................................................................. 224 ÁREA DE UM TRIÂNGULO ....................................................................................................... 226 LEI DAS TANGENTES OU TEOREMA DE NEPPER ................................................................ 227 FÓRMULAS DE BRIGGS ........................................................................................................... 227 TEOREMA DAS PROJEÇÕES OU DE CARNOT ...................................................................... 227 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 228 QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 230 RESPOSTAS ................................................................................................................................ 236 APÊNDICE FORMULÁRIO-RESUMO DO TERCEIRO VOLUME ............................................................... 241
  • 6. Outra solução: B sen α = 0,6 cos α = 0,8 α x tg α = 0,75 α 2α x2 + y2 = 2500 (I) D 50 C A x 3 150 + 3 y Pela tg α, temos: = ⇒x= (II) 50 + y y 4 Substituindo (II) em (I), encontramos: 2  150 + 3 y  22500 + 900 y + 9 y 2  + y = 2500 ⇒ + y 2 = 2500 . 2   4  16 Ou ainda: 25 y 2 + 900 y − 17500 = 0 ⇒ y 2 + 36 y − 700 = 0 , cujas soluções são y1 = 14 e y2 = – 50 (não serve). Para y = 14, encontramos x = 48. RESPOSTA: alternativa c. EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFGO) No triângulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordem, são: a) 2 e 3. b) 3 – 1 e 2. x 2 3 6− 2 c) e . y 135º 15º 3 3 6− 2 2 3 d) e . 2 3 3 e) 2 e 3 – 1. RESOLUÇÃO: O melhor truque a ser utilizado na resolução dessa questão é “completar” o triângulo retângulo conforme a figura abaixo, em que o ângulo A é reto: B x y 135º 15º C 2 D A 25
  • 7. CICLO TRIGONOMÉTRICO: Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a um sistema de coordenadas ortogonais com origem em seu centro. Convencionemos como sentido positivo de percurso dessa circunferência o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e, em contrapartida, o sentido negativo será o oposto (a favor do movimento dos ponteiros do relógio). A intersecção do semi-eixo positivo das abscissas do sistema de coordenadas com a circunferência (ponto A na figura abaixo) será a origem dos arcos, isto é, o ponto a partir do qual marcaremos os arcos que serão considerados sobre a circunferência. A esse conjunto chamamos de ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico ou circunferência trigonométrica. Os arcos com os quais trabalharemos, marcados sobre o ciclo, serão denominados arcos trigonométricos e esses, ao contrário do que ocorre na Geometria Plana, poderão ter medidas maiores do que 360º (bastando para isso que se percorra todo o ciclo mais de uma vez no sentido positivo) ou menores do que 0º (bastando para isso que se percorra o ciclo, a partir da origem dos arcos, no sentido negativo). Sempre que, para chegarmos à extremidade de um arco, precisarmos, a partir da origem dos arcos, percorrer o ciclo no sentido positivo, esse arco terá medida positiva; em caso contrário, terá medida negativa. Na figura, temos: B(0, 1) Γ O(0, 0) – origem do sist. cartesiano. A – origem dos arcos. F+ F – extremidade do arco AF (α > 0). E – extremidade do arco AE (γ < 0). α C(–1, 0) O(0, 0) γ A(1, 0) – E D(0, –1) Existe uma correspondência entre os pontos da reta real e os pontos do ciclo. A cada número real corresponde um único ponto do ciclo que é sua imagem. O ponto O do eixo real tem como correspondente o ponto A do ciclo. O sentido positivo de percurso do eixo real corresponde ao sentido positivo de percurso do ciclo (sentido anti-horário) enquanto que o sentido negativo de percurso do eixo real corresponde ao sentido negativo de percurso do ciclo (sentido horário). Dessa maneira, chamando o ciclo trigonométrico de Γ, e fixando uma origem A nesse ciclo, criamos uma função F : R → Γ, de forma que, para determinarmos a imagem de um número real x qualquer, devemos: • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido positivo, se x > 0; ou • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido negativo, se x < 0. 41
  • 8. OBS.: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome de tangentóide. As retas verticais que passam pelos pontos x = kπ + π 2 , k ∈ Z são as chamadas assíntotas. DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x: π Para funções do tipo y = a + b . tg (mx + n), temos período p = e temos imagem igual a m R. Na verdade, cada um dos números reais a, b e m provoca uma deformação no gráfico de y = tg x. Veja gráficos comparativos no intervalo [0, 2π] abaixo: x A) f(x) = tg x e g ( x) = tg   . 2 período de f = π rad período de g = 2π rad O π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π x f(x) = tg x g ( x) = tg   2 Houve uma dilatação horizontal no gráfico de y = tg x, porque 0 < m < 1; se tivéssemos m > 1, haveria uma compressão horizontal. 72
  • 9. 1 + cot g 2 x 6) EEAR – 2/2004 – turma A – A expressão é idêntica à (ao): 1 + tg 2 x a) tg2 x. b) sen2 x. c) cotg2 x. d) cos2 x. 7) EEAR – 2/2005 – Existirá x ∈ R que satisfaça a igualdade sen x = 2k – 5 se, e somente se: a) 1 < k ≤ 3. b) 1 < k < 4. c) 2 ≤ k < 4. d) 2 ≤ k ≤ 3. 8) EEAR – 2/2006 – turma B – O quadrante em que as funções seno, cosseno e tangente são, simultaneamente, crescentes é o: a) 1º. b) 2º. c) 3º. d) 4º. QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – EPCAR: 1) EPCAR – 1998 – Sejam f e g duas funções trigonométricas definidas no conjunto dos números reais por f(x) = 4 cos 2x e g(x) = 2 cos (x/4). Se PF é o período de f e PG é o período de g, pode-se afirmar que: a) PG = PF. b) PG = (1/2)PF. c) PG = 8PF. d) PG = 4PF. 2) EPCAR – 1998 – Examine o gráfico abaixo e assinale a função correspondente: a) y = cos 2x. y b) y = 2 cos x. c) y = 2 sen x. 1 d) y = sen 2x. π/2 3π/2 O π 2π x 3) EPCAR – 2002 – Se A = log (1 + cotg2 x) + log (1 + cos x) + log (1 – cos x), sendo 0 < x < π/2, então A é igual a: a) log (1/10). b) log (1/2). c) log 1. d) log 10. 4) EPCAR – 2002 – No sistema cartesiano abaixo, estão sobrepostos os gráficos de três funções y1 = k1.cotg x, y2 = k2.cotg x e y3 = k3.cotg x. Tem-se, necessariamente, que: y a) k1 < k2. < k3. b) k1 = k2. = k3. c) k3 < k2. < k1. d) k2 < k3. < k1. O π/2 π 93
  • 10. 2x 2 5 • cos α = = . x 5 5 z 2x Pelo teorema das bissetrizes no triângulo ABC, ficamos com = ⇒ z = 2y. y x x+ y Pelo triângulo ABC, podemos concluir que sen 2α = . Substituindo z por 2y e z x+ y desenvolvendo a expressão do arco duplo, ficamos com 2 . sen α . cos α = . Substituindo os 2y 5 2 5 x+ y 8y valores do seno e do cosseno, ficamos com: 2 . . = ⇒ = x + y ⇒ 5x = 3y 5 5 2y 5 5 5 ⇒y= x = AD . 3 3 RESPOSTA: alternativa b. EXERCÍCIO RESOLVIDO: Provar que sen 10º . sen 50º . sen 70º = 1/8. RESOLUÇÃO: Façamos x = sen 10º . sen 50º . sen 70º. No momento em que provarmos que o valor de x é igual a 1/8, estaremos provando a igualdade da questão. Multiplicando ambos os membros por 2 cos 10º, ficamos com: 2 cos 10º . x = 2 sen 10º . cos 10º . sen 50º . sen 70º = sen 20º . sen 50º . sen 70º. Substituindo sen 70º por cos 20º e novamente multiplicando por 2 ambos os membros, caímos em: 2 . 2 cos 10º . x = 2 . sen 20º . cos 20º . sen 50º = sen 40º . sen 50º, ou seja: 4 cos 10º . x = sen 40º . sen 50º. Substituindo sen 50º por cos 40º e, mais uma vez, multiplicando ambos os membros por 2, chegamos a: 2 . 4 cos 10º . x = 2 . sen 40º . cos 40º ⇒ 8 cos 10º . x = sen 80º. Finalmente, substituindo sen 80º por cos 10º, cancelando cos 10º em ambos os membros e 1 isolando x, chegamos a: 8 cos 10º.x = cos 10º ⇒ 8 x = 1 ⇒ x = , c.q.d. 8 RESPOSTA: Veja desenvolvimento. EXERCÍCIO RESOLVIDO: (MACK) Se y = 3 + sen x cos x, 0 ≤ x ≤ π/2, então o maior valor que y pode assumir é: a) 3. b) 13/4. c) 10/3. d) 7/2. e) 4. RESOLUÇÃO: Multiplicando ambos os membros da lei de associação da função por 2 e isolando y, vem: 6 + sen 2 x 1 2 y = 6 + 2 sen x cos x ⇒ y = = 3 + . sen 2 x . 2 2 O maior valor de sen 2x implicará o maior valor de y. Sabemos que o seno de um arco varia de –1 até 1, isto é, o maior valor que sen 2x pode assumir é igual a 1. Então, o maior valor 1 7 que y pode assumir é igual a 3 + .1 = . 2 2 RESPOSTA: alternativa d. 122
  • 11. π 5π  S =  x ∈ R | x = 2kπ + ou x = 2kπ + ,k∈Z  ou ainda, resumindo em uma única forma,  6 6   π  podemos dizer que S =  x ∈ R | x = kπ + (− 1) k , k ∈ Z  , conforme alternativa “c” da  6  questão. RESPOSTA: alternativa c. SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Neste item, veremos alguns sistemas de equações trigonométricas resolvidos. EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equações r sen θ = 3  , para r > 0 e 0 ≤ θ < 2π é: r cos θ = 1 a) {2, π/6}. b) {1, π/3}. c) {2, 1}. d) {1, 0}. e) {2, π/3}. RESOLUÇÃO: r 2 sen 2 θ = 3 Quadrando as duas equações do sistema, caímos em  2 . Somando as duas r cos θ = 1 2 equações, ficamos com r2 sen2 θ + r2 cos2 θ = 4 ⇒ r2 (sen2 θ + cos2 θ) = 4 ⇒ r2 = 4 ⇒ r = 2 (r > 0). Sendo r > 0, então, da primeira equação, deduzimos também que sen θ > 0. Substituindo o valor de r = 2 na segunda equação, vem: cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60º (π/3 rad) ou θ = 300º (5π/3 rad), que não serve, porque o número sen 300º ficaria negativo (não satisfaria à primeira equação do sistema). O par ordenado (r, θ) que é solução do sistema é, portanto, (2, π/3). RESPOSTA: alternativa e. x + y = π EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) Para que valores de t o sistema  sen x + sen y = log 10 t 2 admite solução? a) 0 < t < 10. b) 0 < t < 10π. c) 0 < t < 102. d) 0,1 < t ≤ 10. e) NRA. RESOLUÇÃO: Da primeira equação, tiramos x = π – y, então, sen x = sen (π – y) = sen y. Substituindo esse valor na segunda equação, vem: sen y + sen y = log t2 ⇒ 2 sen y = 2 log t ⇒ sen y = log t. Como o valor do seno de um número real varia entre –1 e 1, vem: –1≤ log t ≤ 1 ⇒ 10–1≤ t ≤ 101 ⇒ 0,1 < t ≤ 10. RESPOSTA: alternativa d.  π x + y = EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver o sistema  2 no intervalo de 0 a 2π sen x + cos y = 1  radianos. RESOLUÇÃO: Observe que os arcos x e y são complementares, isto é, a função trigonométrica de um é igual à “co-função” do outro e vice-versa. 181
  • 12. DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x. OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = kπ + π 4 , pois a função f(x) = arc cotg x tem contradomínio ]0, π[, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas aqueles compreendidos entre 0 e π. FUNÇÃO ARCO-SECANTE: ] ] ] ] É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 , definida por f(x) = arc sec x (lê-se: “f(x)” é igual ao arco cuja secante é “x”). O gráfico da função arco-secante é: y π 2 –1 O 1 x −π 2 –π DICA: A igualdade y = arc sec x é equivalente a sec y = x. OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc sec 2 = kπ + π , pois a função f(x) = 4 ] ] ] arc sec x tem contradomínio − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 ] , isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenas aqueles compreendidos nesses intervalos de números reais. FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE: ] ] ] ] É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π ∪ 0, π , definida por f(x) = arc cossec x 2 2 (lê-se: “f(x)” é igual ao arco cuja cossecante é “x”). O gráfico da função arco-cossecante é: 213
  • 13. QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL: 1) E.N. – 1988 – Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C = 60º, AB = x e BC = 6. Podemos afirmar que o problema: a) sempre admite solução, se x > 0. b) admite duas soluções, se x > 3. c) admite solução única, se x = 3. d) admite duas soluções, se 3 3 < x < 6. e) não admite solução, se x > 6. 2) E.N. – 2003 – Considere a figura abaixo: B α β A D C d1 d2 A área do triângulo BDC é: d1 + d 2 a) . cot gα − cot gβ d1 .d 2 b) . 2(cot gα + cot gβ ) d1 + d 2 c) . 2(cot gα − cot gβ ) d1.d 2 d) . 2 cot gα − cot gβ d1.d 2 e) . 2(cot gα − cot gβ ) RESPOSTAS: QUESTÕES DE VESTIBULARES: 1) d 2) d 3) e 4) e 5) d 6) a 7) c 8) d 9) c 10) d 11) b QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES: CFT: 1) b. EEAR: 1) b 2) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) c. EPCAR: 1) a. ESPCEX: 1) c. 236