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Alexand Andrade de Oliveira
Bolsista PADCT UFF 96/97
Lisete Godinho Lustosa (Prof. Orientador)
Mestre em Matemática - UFF
Professora Adjunta - GAN / UFF
A PROVA DOS NOVE
A PROVA DOS NOVE
Como bolsista do projeto PADCT/UFF me motivei a
escrever um trabalho baseado na leitura de um artigo da
Revista do Professor de Matemática número 14, 1989, da
autoria de Flávio Wagner Rodrigues (IME-USP), que recor-
dava a todos, velhos companheiros de gerações passadas
na Matemática de 1o
grau: o "noves-fora" e a prova dos
noves de um número natural. Neste artigo, o autor formula
as seguintes perguntas:
• O que é o “noves-fora” de um número natural?
• O que é a prova dos noves?
• Por que ela funciona?
• Por que, às vezes, ela falha?
• Por que prova dos noves e não dos sete, dos trezes
ou dos quinze?
I - Introdução
Exemplos:
Vamos justificar matematicamente a regra prática para
achar o noves-fora de um número natural. Para isso, em
primeiro lugar mostraremos por indução matemática o se-
guinte resultado:
a) 15 "noves-fora" 6, pois 15-9 = 6 ou porque o resto
da divisão de 15 por 9 é 6.
b) 35 "noves-fora" 8, pois 35-27 = 8 ou porque o resto
da divisão de 35 por 9 é 8.
Existe uma maneira prática para achar o “noves-fora”
de um número natural, que consiste em somar seus algaris-
mos e tirar do resultado o maior múltiplo de 9 nele contido.
Vejamos outros exemplos:
a) Para o natural 282, a soma de seus algarismos é 12.
Então 282 “noves-fora” 3, isto é, 3 é o resto da divisão de 282
por 9.
b) Para o natural 564, a soma de seus algarismos é 15.
Então 564 “noves-fora” 6, 6 é o resto da divisão de 564 por 9.
Tentaremos responder ao longo deste trabalho as
perguntas citadas acima. Primeiramente, trataremos do que é
o “noves-fora” de um número natural. Em seguida, falare-
mos do que se trata a prova dos noves, mostrando como ela
funciona e é aplicada nas operações fundamentais, alertando
a todos que a mesma em determinadas situações pode fa-
lhar. E por fim, mostraremos o porquê de utilizar a prova dos
noves, e não dos setes, dos quinzes ou dos dozes.
II - O noves - fora de um
número natural
Sendo a um número natural , “tirar o noves-fora” de a
significa subtrair de a o maior múltiplo de 9 menor que a, o
que é equivalente, achar o resto da divisão do número a por
9.
Se i = 0, 10 i
-1 = 10 0
-1 = 0 é múltiplo de 9.
Suponhamos que a propriedade seja válida para o nú-
mero natural k, isto é, 10 k
-1 é múltiplo de 9 ( hipótese de
indução).
Provemos que é válida para o número natural
i=k+1.
10 i
-1=10k+1
-1=10k
.10-1=10k
(9+1)-1=9.10k
+10k
-1.
Como 9.10k
é múltiplo de 9 e 10k
-1 também (pela
hipótese de indução), a soma 9.10 k
+ 10 k
-1 = 10 i
-1 é
múltiplo de 9.
Logo, mostramos que a propriedade é válida para todo
número natural.
Consideremos agora, a representação decimal do nú-
mero natural a como
( an
an-1
....a1
a0
) onde para todo número natural i,
0 ≤ i ≤ n , ai
é um algarismo do nosso sistema de numeração.
Então a decomposição decimal de a pode ser expressa
por:
para todo número i natural 10 i
-1 é múltiplo de 9.
Demonstração:
a = 10n
an
+ 10 n -1
an -1
+ ......... + 10 a1
+ a0
Mostraremos que:
a e a soma dos seus algarismos, quando divididos
por 9, deixam o mesmo resto.
Sejam a e a’ números naturais tais que a = 9q + r
onde q e r são números naturais e
0 ≤ r < 9 e a’ = an
+ an -1
+ ....... + a1
+ a0
= 9q1
+ r1
onde
q 1
e r 1
são números naturais e 0≤ r1
< 9 .
Observe que r e r1
são os restos das divisões de a e a’
por 9 respectivamente.
Como a = 10n
an
+ 10 n -1
an -1
+ ....... 10a1
+ a0
então
a = (10n
-1 + 1) an
+ (10n -1
-1 +1) an -1
+ .... + (10-1+1) a1
+ a0
=
(10n
-1) an
+ (10 n -1
- 1 ) an -1
+ ....+ (10-1) a1
+ an
+ an -1
+.... a1
+ a0
20 Caderno de Licenciatura em Matemática
Considerando o número natural
b= (10n
-1)an
+ (10n-1
-1) an -1
+...+(10- 1) a1
que é múlti-
plo de 9, pois é soma de múltiplos de 9. Logo, temos b = 9q
2
onde q 2
é um número natural.
Assim a = b + a’ ou 9q + r = 9q 2
+ 9q 1
+ r1
= =
9(q2
+ q 1
) + r1
, donde podemos afirmar que r = r1 ,
pois r e r1
são menores que 9.
Portanto a e an
+ an-1
+ ..... + a1
+ a0
deixam o mesmo
resto quando divididos por 9 .
Logo, podemos garantir que os restos das divisões
de um número natural e da soma dos seus algarismos por 9
são iguais.
Isso justifica a regra prática de se determinar "noves-
fora" de qualquer número natural, principalmente aqueles
constituídos por vários algarismos.
A seguir, utilizaremos o "noves-fora" de números
naturais para verificar se o resultado de operações aritméti-
cas envolvendo tais números está correto.
Esse procedimento é conhecido como “prova dos
noves”.
Subtração:
Supondo-se a - b = c,
temos a = b + c
donde 9q1
+ r1
= 9q2
+ r2
+ 9q3
+ r3
então 9q1
+ r1
+ 9 (q2
+ q3
) + r2
+ r3
.
O que mostra que o "noves-fora" do minuendo é igual
ao "noves-fora" de soma dos noves-fora do subtraendo e
do resto , isto é , o noves-fora de r2
+ r3
é igual a r1
.
r1
"noves-fora" de
r1
x r2
r2
r3
O Esquema:
Multiplicação:
Supondo a . b = c,
temos ( 9q1
+ r1
) x (9q2
+ r2
) = 9q3
+ r3
daí 81.q1.
q2
+ 9q1
r2
+ 9q2.
r1
+ r1
. r2
= 9q3
+ r3
então 9 ( 9q1
q2
+ q1
r2
+q2
r1
) + r1
. r2
= 9q3
+ r3
.
O que mostra que o "noves-fora" do produto dos
"noves-fora" dos fatores é igual ao "noves-fora" do produ-
to, isto é, o noves-fora de r1
. r2
é igual a r3
.
r2
"noves- fora de"
r2
+ r3
r3
r1
O Esquema:
Ex.:
88
- 14
74
5 7
2 7
Ex.:
346
+ 683
1029
4 3
8 3⇒
Consideremos a, b, c e d números naturais tais que a =
9q1
+ r1
, b= 9q2
+r2 ,
c= 9q3
+ r3
e d= 9q4
+ r4
onde q1
, q2
, q3,
q4
são respectivamente os quocientes da divisão de a, b, c e d
por 9 e os números naturais r1
, r2
, r3 e
r4
são os respectivos
noves-fora de a, b, c e d .
Com estas hipóteses vejamos a aplicação da prova
dos noves para as operações de adição, subtração, multipli-
cação e divisão.
III - Prova dos Noves
Adição:
Supondo-se a + b = c
temos (9q1
+ r1
) + (9q2
+ r2
) = 9q3
+ r3
Daí 9 (q1
+ q2
) + (r1
+ r2
) = 9q3
+ r3
; r1
, r2
, r3
e r4
<9.
O que mostra que o "noves-fora" da soma dos noves
- fora das parcelas é igual ao "noves-fora" da soma , isto é ,
o noves-fora de r1
+ r2
é igual a r3
.
é um dispositivo prático de apresentar “os noves-fora”
dos termos da adição.
"noves-fora"de
r1
r1
+ r2
r2
r3
O esquema:
21Março 1998 - Número 1 - ano 1
1892
x 22
86 5 2
4 2
Sugerimos considerar quatro números naturais: a, b,
c e d, nas hipóteses iniciais, mesmo utilizando-se a d somen-
te na regra da divisão.
O Esquema:
Ex.:
29362
12
072
14
⇒
2 2
3 2
r2
"noves-fora" de
r2
x r3
+ r4
r3
r1
A verificação da prova dos noves em cada operação
consiste na obtenção dos dois números iguais à direita no
esquema, quando a conta está correta. Existe um perigo na
utilização dessa regra, ela pode não ser suficiente para de-
tectar uma operação errada.
Divisão:
Admitindo a = b . c + d, onde 0 ≤ d < b,
temos 9q1
+ r1
= (9q2
+ r2
) . (9q3
+ r3
) + (9q4
+ r4
)
daí 9q1
+ r1
= 9 (9q2
q3
+ q2
r3
+ q3
r2
+ q4
) + r2
. r3
+ r4
.
O que mostra que o "noves-fora" do produto dos
"noves-fora" do divisor pelo "noves-fora" do quociente so-
mado com o "noves-fora" do resto é igual ao noves-fora do
dividendo, isto é, o "noves-fora" de ( r2
. r3
+ r4
) é igual a r1
.
Observemos a seguinte multiplicação:
6 0
6 0
⇒
213
x 6
1287
Nós que pensamos no mundo matemático numa con-
cepção de ensino que valorize mais a percepção, a compre-
ensão e a formação do pensamento matemático do aluno,
concordamos com a não utilização da prova dos noves nos
moldes em que era utilizada, pois não passava da aplicação
de uma regra técnica que podia levar a conclusões incorre-
tas.
Com este trabalho, tivemos a oportunidade de com-
provar que a prova dos noves, tão utilizada em décadas
passadas, não deve ser vista como uma simples regra de
verificação para exatidão das operações fundamentais. Nela
se escondem diversos conceitos matemáticos, como
divisibilidade, decomposição decimal de um número natu-
ral, indução matemática e outros estudados pela Teoria dos
Números que justificam todos os procedimentos adotados
como regra.
Notem que a verificação pela prova dos noves pode
nos levar a garantir que esta multiplicação está correta. Mas
na verdade, houve a inversão na ordem dos algarismos do
resultado, o que não foi detectado pela prova, uma vez que
a ordem das parcelas não altera a soma.
De fato, a prova dos noves não saberá distinguir
1287 do resultado correto, 1278, da operação 213 X 6 .
Podemos então concluir que, quando a prova dos
nove acusa erro, é certeza de que o resultado da operação
está errada. Mas, quando ela não acusa erro, o resultado da
operação pode estar correta ou não.
Por que utilizar a prova dos noves, e não a dos setes
ou dos quinzes?
Não existe nenhuma restrição teórica em utilizarmos,
por exemplo, uma prova dos quinzes. O problema é essenci-
almente de ordem prática, pois o resto da divisão de um
número natural não nulo por 15 não é obtido tão simples-
mente quanto o resto da divisão por 9.
Usamos a prova dos noves porque a base do nosso
sistema de numeração é 10 e, conforme mostramos, cada
número natural e a soma dos algarismos da sua decomposi-
ção decimal deixam o mesmo resto quando divididos por
nove.
Se a base do nosso sistema fosse, por exemplo 21,
nós certamente teríamos a prova dos vintes e não dos noves.
IV - Conclusão
Obras consultadas
TRAJANO, Aritmética progressiva . 90a
edição Rio de Janeiro. Editora Paulo de Azevedo LTDA. 1962.
WATANABE, Vivendo a Matemática na Terra dos noves fora. Editora Scipione.
FILHO, Edgard de Alencar. Teoria Elementar dos números. 3a
edição, 4a
reimpressão, Editora Nobel, 1992.
IEZZI, DOLCE. Osvaldo e outros. Tópicos da Matemática. 2a
edição, Volume 2, Editora Atual.

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  • 1. Alexand Andrade de Oliveira Bolsista PADCT UFF 96/97 Lisete Godinho Lustosa (Prof. Orientador) Mestre em Matemática - UFF Professora Adjunta - GAN / UFF A PROVA DOS NOVE
  • 2. A PROVA DOS NOVE Como bolsista do projeto PADCT/UFF me motivei a escrever um trabalho baseado na leitura de um artigo da Revista do Professor de Matemática número 14, 1989, da autoria de Flávio Wagner Rodrigues (IME-USP), que recor- dava a todos, velhos companheiros de gerações passadas na Matemática de 1o grau: o "noves-fora" e a prova dos noves de um número natural. Neste artigo, o autor formula as seguintes perguntas: • O que é o “noves-fora” de um número natural? • O que é a prova dos noves? • Por que ela funciona? • Por que, às vezes, ela falha? • Por que prova dos noves e não dos sete, dos trezes ou dos quinze? I - Introdução Exemplos: Vamos justificar matematicamente a regra prática para achar o noves-fora de um número natural. Para isso, em primeiro lugar mostraremos por indução matemática o se- guinte resultado: a) 15 "noves-fora" 6, pois 15-9 = 6 ou porque o resto da divisão de 15 por 9 é 6. b) 35 "noves-fora" 8, pois 35-27 = 8 ou porque o resto da divisão de 35 por 9 é 8. Existe uma maneira prática para achar o “noves-fora” de um número natural, que consiste em somar seus algaris- mos e tirar do resultado o maior múltiplo de 9 nele contido. Vejamos outros exemplos: a) Para o natural 282, a soma de seus algarismos é 12. Então 282 “noves-fora” 3, isto é, 3 é o resto da divisão de 282 por 9. b) Para o natural 564, a soma de seus algarismos é 15. Então 564 “noves-fora” 6, 6 é o resto da divisão de 564 por 9. Tentaremos responder ao longo deste trabalho as perguntas citadas acima. Primeiramente, trataremos do que é o “noves-fora” de um número natural. Em seguida, falare- mos do que se trata a prova dos noves, mostrando como ela funciona e é aplicada nas operações fundamentais, alertando a todos que a mesma em determinadas situações pode fa- lhar. E por fim, mostraremos o porquê de utilizar a prova dos noves, e não dos setes, dos quinzes ou dos dozes. II - O noves - fora de um número natural Sendo a um número natural , “tirar o noves-fora” de a significa subtrair de a o maior múltiplo de 9 menor que a, o que é equivalente, achar o resto da divisão do número a por 9. Se i = 0, 10 i -1 = 10 0 -1 = 0 é múltiplo de 9. Suponhamos que a propriedade seja válida para o nú- mero natural k, isto é, 10 k -1 é múltiplo de 9 ( hipótese de indução). Provemos que é válida para o número natural i=k+1. 10 i -1=10k+1 -1=10k .10-1=10k (9+1)-1=9.10k +10k -1. Como 9.10k é múltiplo de 9 e 10k -1 também (pela hipótese de indução), a soma 9.10 k + 10 k -1 = 10 i -1 é múltiplo de 9. Logo, mostramos que a propriedade é válida para todo número natural. Consideremos agora, a representação decimal do nú- mero natural a como ( an an-1 ....a1 a0 ) onde para todo número natural i, 0 ≤ i ≤ n , ai é um algarismo do nosso sistema de numeração. Então a decomposição decimal de a pode ser expressa por: para todo número i natural 10 i -1 é múltiplo de 9. Demonstração: a = 10n an + 10 n -1 an -1 + ......... + 10 a1 + a0 Mostraremos que: a e a soma dos seus algarismos, quando divididos por 9, deixam o mesmo resto. Sejam a e a’ números naturais tais que a = 9q + r onde q e r são números naturais e 0 ≤ r < 9 e a’ = an + an -1 + ....... + a1 + a0 = 9q1 + r1 onde q 1 e r 1 são números naturais e 0≤ r1 < 9 . Observe que r e r1 são os restos das divisões de a e a’ por 9 respectivamente. Como a = 10n an + 10 n -1 an -1 + ....... 10a1 + a0 então a = (10n -1 + 1) an + (10n -1 -1 +1) an -1 + .... + (10-1+1) a1 + a0 = (10n -1) an + (10 n -1 - 1 ) an -1 + ....+ (10-1) a1 + an + an -1 +.... a1 + a0
  • 3. 20 Caderno de Licenciatura em Matemática Considerando o número natural b= (10n -1)an + (10n-1 -1) an -1 +...+(10- 1) a1 que é múlti- plo de 9, pois é soma de múltiplos de 9. Logo, temos b = 9q 2 onde q 2 é um número natural. Assim a = b + a’ ou 9q + r = 9q 2 + 9q 1 + r1 = = 9(q2 + q 1 ) + r1 , donde podemos afirmar que r = r1 , pois r e r1 são menores que 9. Portanto a e an + an-1 + ..... + a1 + a0 deixam o mesmo resto quando divididos por 9 . Logo, podemos garantir que os restos das divisões de um número natural e da soma dos seus algarismos por 9 são iguais. Isso justifica a regra prática de se determinar "noves- fora" de qualquer número natural, principalmente aqueles constituídos por vários algarismos. A seguir, utilizaremos o "noves-fora" de números naturais para verificar se o resultado de operações aritméti- cas envolvendo tais números está correto. Esse procedimento é conhecido como “prova dos noves”. Subtração: Supondo-se a - b = c, temos a = b + c donde 9q1 + r1 = 9q2 + r2 + 9q3 + r3 então 9q1 + r1 + 9 (q2 + q3 ) + r2 + r3 . O que mostra que o "noves-fora" do minuendo é igual ao "noves-fora" de soma dos noves-fora do subtraendo e do resto , isto é , o noves-fora de r2 + r3 é igual a r1 . r1 "noves-fora" de r1 x r2 r2 r3 O Esquema: Multiplicação: Supondo a . b = c, temos ( 9q1 + r1 ) x (9q2 + r2 ) = 9q3 + r3 daí 81.q1. q2 + 9q1 r2 + 9q2. r1 + r1 . r2 = 9q3 + r3 então 9 ( 9q1 q2 + q1 r2 +q2 r1 ) + r1 . r2 = 9q3 + r3 . O que mostra que o "noves-fora" do produto dos "noves-fora" dos fatores é igual ao "noves-fora" do produ- to, isto é, o noves-fora de r1 . r2 é igual a r3 . r2 "noves- fora de" r2 + r3 r3 r1 O Esquema: Ex.: 88 - 14 74 5 7 2 7 Ex.: 346 + 683 1029 4 3 8 3⇒ Consideremos a, b, c e d números naturais tais que a = 9q1 + r1 , b= 9q2 +r2 , c= 9q3 + r3 e d= 9q4 + r4 onde q1 , q2 , q3, q4 são respectivamente os quocientes da divisão de a, b, c e d por 9 e os números naturais r1 , r2 , r3 e r4 são os respectivos noves-fora de a, b, c e d . Com estas hipóteses vejamos a aplicação da prova dos noves para as operações de adição, subtração, multipli- cação e divisão. III - Prova dos Noves Adição: Supondo-se a + b = c temos (9q1 + r1 ) + (9q2 + r2 ) = 9q3 + r3 Daí 9 (q1 + q2 ) + (r1 + r2 ) = 9q3 + r3 ; r1 , r2 , r3 e r4 <9. O que mostra que o "noves-fora" da soma dos noves - fora das parcelas é igual ao "noves-fora" da soma , isto é , o noves-fora de r1 + r2 é igual a r3 . é um dispositivo prático de apresentar “os noves-fora” dos termos da adição. "noves-fora"de r1 r1 + r2 r2 r3 O esquema:
  • 4. 21Março 1998 - Número 1 - ano 1 1892 x 22 86 5 2 4 2 Sugerimos considerar quatro números naturais: a, b, c e d, nas hipóteses iniciais, mesmo utilizando-se a d somen- te na regra da divisão. O Esquema: Ex.: 29362 12 072 14 ⇒ 2 2 3 2 r2 "noves-fora" de r2 x r3 + r4 r3 r1 A verificação da prova dos noves em cada operação consiste na obtenção dos dois números iguais à direita no esquema, quando a conta está correta. Existe um perigo na utilização dessa regra, ela pode não ser suficiente para de- tectar uma operação errada. Divisão: Admitindo a = b . c + d, onde 0 ≤ d < b, temos 9q1 + r1 = (9q2 + r2 ) . (9q3 + r3 ) + (9q4 + r4 ) daí 9q1 + r1 = 9 (9q2 q3 + q2 r3 + q3 r2 + q4 ) + r2 . r3 + r4 . O que mostra que o "noves-fora" do produto dos "noves-fora" do divisor pelo "noves-fora" do quociente so- mado com o "noves-fora" do resto é igual ao noves-fora do dividendo, isto é, o "noves-fora" de ( r2 . r3 + r4 ) é igual a r1 . Observemos a seguinte multiplicação: 6 0 6 0 ⇒ 213 x 6 1287 Nós que pensamos no mundo matemático numa con- cepção de ensino que valorize mais a percepção, a compre- ensão e a formação do pensamento matemático do aluno, concordamos com a não utilização da prova dos noves nos moldes em que era utilizada, pois não passava da aplicação de uma regra técnica que podia levar a conclusões incorre- tas. Com este trabalho, tivemos a oportunidade de com- provar que a prova dos noves, tão utilizada em décadas passadas, não deve ser vista como uma simples regra de verificação para exatidão das operações fundamentais. Nela se escondem diversos conceitos matemáticos, como divisibilidade, decomposição decimal de um número natu- ral, indução matemática e outros estudados pela Teoria dos Números que justificam todos os procedimentos adotados como regra. Notem que a verificação pela prova dos noves pode nos levar a garantir que esta multiplicação está correta. Mas na verdade, houve a inversão na ordem dos algarismos do resultado, o que não foi detectado pela prova, uma vez que a ordem das parcelas não altera a soma. De fato, a prova dos noves não saberá distinguir 1287 do resultado correto, 1278, da operação 213 X 6 . Podemos então concluir que, quando a prova dos nove acusa erro, é certeza de que o resultado da operação está errada. Mas, quando ela não acusa erro, o resultado da operação pode estar correta ou não. Por que utilizar a prova dos noves, e não a dos setes ou dos quinzes? Não existe nenhuma restrição teórica em utilizarmos, por exemplo, uma prova dos quinzes. O problema é essenci- almente de ordem prática, pois o resto da divisão de um número natural não nulo por 15 não é obtido tão simples- mente quanto o resto da divisão por 9. Usamos a prova dos noves porque a base do nosso sistema de numeração é 10 e, conforme mostramos, cada número natural e a soma dos algarismos da sua decomposi- ção decimal deixam o mesmo resto quando divididos por nove. Se a base do nosso sistema fosse, por exemplo 21, nós certamente teríamos a prova dos vintes e não dos noves. IV - Conclusão Obras consultadas TRAJANO, Aritmética progressiva . 90a edição Rio de Janeiro. Editora Paulo de Azevedo LTDA. 1962. WATANABE, Vivendo a Matemática na Terra dos noves fora. Editora Scipione. FILHO, Edgard de Alencar. Teoria Elementar dos números. 3a edição, 4a reimpressão, Editora Nobel, 1992. IEZZI, DOLCE. Osvaldo e outros. Tópicos da Matemática. 2a edição, Volume 2, Editora Atual.