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Principais Distribuições Discretas


1.Distribuição Equiprovável
2.Distribuição de Bernoulli
                    para
                    para
        0           para




3.Distribuição Binomial



Como é uma variável aleatória resultante da soma de
variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli:
4.Distribuição de Poisson
Enquanto que na binomial a variável de interesse era o
número de sucessos em um intervalo discreto (n provas)
na Poisson o intervalo é contínuo (intervalo de tempo,
comprimento, superfície, etc.).
Dado λ a frequência média de sucessos
A fórmula da binomial                         →

                                          →



                                    e



Fixando         →



Exemplo
Na fabricação de perfil de alumínio aparece em média
uma falha a cada 400m. Qual a probabilidade de
aparecerem 3 falhas em 1000m produzidos?
5.Distribuição Geométrica
Repetir prova de Bernoulli k vezes até 1o sucesso.
                    ,




Geométrica é “sem memória”:


6.Distribuição de Pascal
Nas condições em que foi definida a geométrica, se
considerarmos X o número de tentativas até r-ésimo
sucesso, teremos uma “distribuição de Pascal”.
                                       →


           e               .
7.Distribuição Hipergeométrica
Conjunto de elementos, dos quais têm uma
determinada característica (    ). Extraindo
elementos          sem reposição.
A distribuição de probabilidade da variável aleatória ,
igual ao número de elementos com a referida
característica que estarão entre os retirados é dita
distribuição hipergeométrica.

                    com

Chamando

            =np,                 .
Se extração fosse com reposição, seria uma binomial. Na
verdade quando            é válida a aproximação pela
binomial.
8.Distribuição polinomial ou multinomial
Um experimento com as seguintes hipóteses:
  a) São realizadas provas independentes.
  b) Cada prova admite um único dentre possíveis
     resultados.
  c) As probabilidades de ocorrer um determinado
     resultado são constantes para todas as provas.




Exemplo
Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da
máquina A, 20%da máquina B e 50% da C. Retirando-se 9
peças da produção a) qual a probabilidade de serem 4 da
máquina A, 2 da máquina B e 3 da máquina C?b)qual a
probabilidade de não haver nas 9 peças nenhuma da
máquina B?
Aproximação da Binomial pela Poisson
Poisson resulta de um caso limite da Binomial (n cresce p
decresce mantendo-se                 constante →
O cálculo das probabilidades Binomiais quando é
pequeno (           e grande a aproximação tem boa
qualidade.

Exemplo
Se retirarmos 50 peças da produção de uma máquina
que produz 2% de defeituosos a probabilidade de
encontrarmos 2 peças defeituosas será?

Exemplos
1)Num determinado processo de fabricação 10% das
peças são consideradas defeituosas. As peças são
acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
a)Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças
defeituosas numa caixa?
b)Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças
defeituosas numa caixa?
c)Se a empresa paga uma multa de R$10 por caixa em
que houver alguma peça defeituosa, qual o valor
esperado da multa num total de 1000 caixas?
2)Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10
cm. Em média aparecem 50 defeitos em cada metro
quadrado de plástico, segundo uma distribuição de
Poisson.
a)Qual a probabilidade de uma determinada face
apresentar exatamente 2 defeitos?
b)Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo
2 defeitos?
c)Qual a probabilidade de pelo menos 5 faces serem
perfeitas?
d)Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma
do ponto com o número de defeitos da face obtida seja
menor do que 3?

3)João deve a Antonio R$130. Cada viagem de Antonio à
casa de João custa R$ 50, e a probabilidade de João ser
encontrado em casa é 1/3. Se Antonio encontrar João,
conseguirá receber a dívida.
a) Qual a probabilidade de Antonio ter de ir mais de 3
vezes à casa de João para conseguir receber a dívida?
b)Se na 2a vez em que Antonio foi à casa de João ainda
não o encontrou, qual a probabilidade de conseguir
cobrar na 3a vez?
4)Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir
3 peças complexas. A probabilidade de se conseguir um
molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído quando
da retirada da peça. O custo de cada molde é R$500 e se
o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo-
se R$700 de material.
a)Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças
para atender à demanda?
b)Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um
lucro esperado de R$1000 na encomenda?

5)Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão
queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso para a
iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que
a)Exatamente duas estejam queimadas?
b)Pelo menos uma esteja boa?
c)Pelo menos duas estejam queimadas?

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  • 1. Principais Distribuições Discretas 1.Distribuição Equiprovável 2.Distribuição de Bernoulli para para 0 para 3.Distribuição Binomial Como é uma variável aleatória resultante da soma de variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli:
  • 2. 4.Distribuição de Poisson Enquanto que na binomial a variável de interesse era o número de sucessos em um intervalo discreto (n provas) na Poisson o intervalo é contínuo (intervalo de tempo, comprimento, superfície, etc.). Dado λ a frequência média de sucessos A fórmula da binomial → → e Fixando → Exemplo Na fabricação de perfil de alumínio aparece em média uma falha a cada 400m. Qual a probabilidade de aparecerem 3 falhas em 1000m produzidos?
  • 3. 5.Distribuição Geométrica Repetir prova de Bernoulli k vezes até 1o sucesso. , Geométrica é “sem memória”: 6.Distribuição de Pascal Nas condições em que foi definida a geométrica, se considerarmos X o número de tentativas até r-ésimo sucesso, teremos uma “distribuição de Pascal”. → e .
  • 4. 7.Distribuição Hipergeométrica Conjunto de elementos, dos quais têm uma determinada característica ( ). Extraindo elementos sem reposição. A distribuição de probabilidade da variável aleatória , igual ao número de elementos com a referida característica que estarão entre os retirados é dita distribuição hipergeométrica. com Chamando =np, . Se extração fosse com reposição, seria uma binomial. Na verdade quando é válida a aproximação pela binomial.
  • 5. 8.Distribuição polinomial ou multinomial Um experimento com as seguintes hipóteses: a) São realizadas provas independentes. b) Cada prova admite um único dentre possíveis resultados. c) As probabilidades de ocorrer um determinado resultado são constantes para todas as provas. Exemplo Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da máquina A, 20%da máquina B e 50% da C. Retirando-se 9 peças da produção a) qual a probabilidade de serem 4 da máquina A, 2 da máquina B e 3 da máquina C?b)qual a probabilidade de não haver nas 9 peças nenhuma da máquina B?
  • 6. Aproximação da Binomial pela Poisson Poisson resulta de um caso limite da Binomial (n cresce p decresce mantendo-se constante → O cálculo das probabilidades Binomiais quando é pequeno ( e grande a aproximação tem boa qualidade. Exemplo Se retirarmos 50 peças da produção de uma máquina que produz 2% de defeituosos a probabilidade de encontrarmos 2 peças defeituosas será? Exemplos 1)Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a)Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? b)Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? c)Se a empresa paga uma multa de R$10 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
  • 7. 2)Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos em cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. a)Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos? b)Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos? c)Qual a probabilidade de pelo menos 5 faces serem perfeitas? d)Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o número de defeitos da face obtida seja menor do que 3? 3)João deve a Antonio R$130. Cada viagem de Antonio à casa de João custa R$ 50, e a probabilidade de João ser encontrado em casa é 1/3. Se Antonio encontrar João, conseguirá receber a dívida. a) Qual a probabilidade de Antonio ter de ir mais de 3 vezes à casa de João para conseguir receber a dívida? b)Se na 2a vez em que Antonio foi à casa de João ainda não o encontrou, qual a probabilidade de conseguir cobrar na 3a vez?
  • 8. 4)Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir 3 peças complexas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído quando da retirada da peça. O custo de cada molde é R$500 e se o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo- se R$700 de material. a)Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças para atender à demanda? b)Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucro esperado de R$1000 na encomenda? 5)Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso para a iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que a)Exatamente duas estejam queimadas? b)Pelo menos uma esteja boa? c)Pelo menos duas estejam queimadas?