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Distribuição F de Fisher-Snedecor


Denomina-se variável F com ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ graus
de liberdade e indica-se por ‫ܨ‬௩భ ,௩మ ou
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ), a função definida por:
                   మ
                  ఞభ /௩భ        మ
                               ఞభ         ௩మ
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) =      మ       =    మ     .
                  ఞమ /௩మ       ఞమ         ௩భ

Onde ‫ݒ‬ଵ e ‫ݒ‬ଶ são, respectivamente, os
                       ଶ    ଶ
graus de liberdade de ߯ଵ e ߯ଶ e estas
duas ߯ ଶ são independentes.
              ଶ    ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ            ଶ         ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ
Como ܵ =            భ
                                    e     ߯௡ିଵ   =    భ
                         ௡ିଵ                             ఙమ
temos
‫1−݊= ݒ‬
                             ௌమ        మ
                                      ఞೡ
‫.ݒ‬   ܵଶ   =   ߪ ଶ .	߯௩
                     ଶ   →        =
                             ఙమ       ௩

Substituindo-se na definição, temos:
మ
                ఞభ /௩భ        మ   మ
                             ௦భ ⁄ఙభ        మ
                                          ௦భ        మ
                                                   ఙమ         ଶ
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) =    మ       =    మ   మ   =    మ   .    మ   onde ‫ݏ‬ଵ ,
                ఞమ /௩మ       ௦మ ⁄ఙమ       ௦మ       ఙభ
 ଶ
‫ݏ‬ଵ são estimativas independentes de
  ଶ    ଶ
ߪଵ 	݁	ߪଶ
                   ଵ                       ௩మ          (௩భ ିଶ)
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) =                , ‫ܨ‬௠௔௫ =              .
                ୊(௩మ ,௩భ )                 ௩భ          (௩మ ାଶ)
                      ௩మ
‫ߤ = ) ܨ( ܧ‬ி = (௩              se ݊ > 2
                      మ ିଶ)
                                   మ
                               ଶ௩మ (௩భ ା௩మ ିଶ)
                 ଶ(
ܸ‫= ) ܨ ߪ = ) ܨ(ܴܣ‬                                         se ݊ > 4
                              ୴భ (௩మ ିଶ)మ (௩మ ିସ)



Uso de Tabelas
Exemplos:
1)Determ. ‫ܨ‬ఈ , tal que ܲ(‫ܨ ≥ )02,6( ܨ‬ఈ ) =
5%
2)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )51,6( ܨ‬ఈ ) = 0,05
3)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )02,01( ܨ‬ఈ ) =
0,95
4)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )01,8( ܨ‬ఈ ) = 0,01
5)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )02,01( ܨ‬ఈ ) =
0,95


I.C. para um Quociente de Variâncias
ࡼሼ‫ܨ‬ଵ ≤ ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૚ − 	ߙ
                                            ఈ
‫ܨ‬ଵ :	ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଵ ሽ =
                                            ૛
                                            ఈ
‫ܨ‬ଶ :	ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) > ‫ܨ‬ଶ ሽ =
                                            ૛
                                  మ
                                 ௦భ         మ
                                           ఙమ            మ
                                                        ௦భ
Como ‫ݒ( ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) =               మ    .    మ   →‫ܨ‬ଵ ≤    మ   .
                                 ௦మ        ఙభ           ௦మ
 మ
ఙమ
 మ   ≤ ‫ܨ‬ଶ
ఙభ
 మ
௦మ              మ
               ఙమ         మ
                         ௦మ
 మ 	.	‫ܨ‬
௦భ     ଵ   ≤    మ
               ఙభ
                    ≤     మ 	.	‫ܨ‬ଶ
                         ௦భ
                                    Invertendo-se a
                 మ
                ௦భ ଵ              మ
                                 ఙభ          మ
                                            ௦భ ଵ
relação,       → మ.          ≤    మ    ≤     మ.     logo o IC
                ௦మ ிమ            ఙమ         ௦మ ிభ
        మ
       ఙభ
para    మ 	é:
       ఙమ
   మ
  ௦భ ଵ               మ
                    ఙభ        మ
                             ௦భ ଵ
ࡼቄ మ.          ≤     మ   ≤    మ.   ቅ   = ૚ − 	ߙ
  ௦మ ிమ             ఙమ       ௦మ ிభ
     ଶ    ଶ
com ‫ݏ‬ଵ ≥ ‫ݏ‬ଶ
Exemplos:
1)De duas populações normais levantou-
se amostras de tamanhos 9 e 11,
             ଶ          ଶ
obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 7,14 e ‫ݏ‬ଶ = 3,21.
Construir um IC para o quociente das
variâncias das duas populações ao nível
de 10%.
2) De duas populações normais levantou-
se amostras de tamanhos 10 e 16,
             ଶ          ଶ
obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 5,22 e ‫ݏ‬ଶ = 16,9.
Construir um IC para o quociente das
variâncias das duas populações ao nível
de 10%.
T.H. para Quociente de Variâncias
మ
    ఙభ
‫ܪ‬଴ : మ    =݇
    ఙమ
     మ
    ఙభ                   మ
                        ఙభ                    మ
                                             ఙభ
‫ܪ‬ଵ : మ    ≠݇     ou      మ    >݇        ou    మ   <݇
    ఙమ                  ఙమ                   ఙమ
           మ
          ௦భ      మ
                 ఙమ            మ
                              ௦భ    ଵ
‫ܨ‬௖௔௟௖ =    మ
          ௦మ
               .ቂఙమ ቃ     =    మ
                              ௦మ
                                   .௞
                  భ ௛
                      బ

Exemplos:
1)De duas populações normais levantou-
se amostras com as seguintes
características :
Pop. A: ݊௔ =21, ∑ ‫ݔ‬௔ = 100, ∑ ‫ݔ‬௔ ଶ = 496
Pop. B: ݊௕ =9, ∑ ‫ݔ‬௕ = 45, ∑ ‫ݔ‬௕ ଶ = 273
Ao nível de 10%, testar as hipóteses :
     మ
    ఙభ
‫ܪ‬଴ : మ    =1
    ఙమ
      మ
     ఙభ
‫ܪ‬ଵ : ఙమ   ≠1
      మ

2)Deseja-se testar ao nível de 5% se
duas populações têm as mesmas
variâncias. Os dados obtidos nas
amostras são:
        ଶ
݊ଵ =10 ‫ݏ‬ଵ = 5,22
        ଶ
݊ଶ =21 ‫ݏ‬ଶ = 16,99. Qual a conclusão?


3)De duas populações normais A e B
extraíu-se amostras obtendo-se:
                               ଶ
Pop. A : ݊஺ୀ 13, ∑ ‫ݔ‬஺ = 91, ∑ ‫ݔ‬஺ = 697
                              ଶ
Pop. B : ݊஻ୀ 9, ∑ ‫ݔ‬஻ = 63, ∑ ‫ݔ‬஻ = 497
 a) Determinar um IC para o quociente
    das variáveis, ao nível de 2%
 b) Ao mesmo nível, testar as hipóteses;
          ଶ     ଶ
    ‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ
          ଶ    ଶ
    ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ ≠ ߪଶ


4)Deseja-se avaliar dois analistas quanto
à precisão na analise de uma certa
substância que contém carbono. A é
experiente e B é novo na empresa com
experiência na área desconhecida. Os
resultados (desvios dos teores reais de
carbono) obtidos foram:


A: -10, 16, -8, 9, 5, -5, 5, -11, 25, 25, 22,
16, -3, 40, 0, -5, 16, 30, 14, 22, 22
B: -8, -3, 20, 22, 3, 5, 10, 14, -21, 22, 8.
Em vista desses resultados, pode-se
concluir que os dois analistas têm a
mesma experiência no trabalho, ao nível
de 10%?
5) A variabilidade no levantamento de
impurezas de uma certa substância
depende da duração do processo usado.
Levantaram-se duas amostras, uma
utilizando o processo 1 e outra o 2 de
tamanhos 26 e 13 respectivamente,
               ଶ          ଶ
obtendo-se ܵଵ = 1,04 e ܵଶ = 0,51.
a) determinar um IC para o quociente das
variâncias, ao nível de 10%.
b) testar as hipóteses a 5%:
           ଶ      ଶ
     ‫ܪ‬଴ : ߪଵ 	= ߪଶ
           ଶ     ଶ
     ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ 	> ߪଶ

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10 distribuição f

  • 1. Distribuição F de Fisher-Snedecor Denomina-se variável F com ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ graus de liberdade e indica-se por ‫ܨ‬௩భ ,௩మ ou F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ), a função definida por: మ ఞభ /௩భ మ ఞభ ௩మ F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ . ఞమ /௩మ ఞమ ௩భ Onde ‫ݒ‬ଵ e ‫ݒ‬ଶ são, respectivamente, os ଶ ଶ graus de liberdade de ߯ଵ e ߯ଶ e estas duas ߯ ଶ são independentes. ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ Como ܵ = భ e ߯௡ିଵ = భ ௡ିଵ ఙమ temos ‫1−݊= ݒ‬ ௌమ మ ఞೡ ‫.ݒ‬ ܵଶ = ߪ ଶ . ߯௩ ଶ → = ఙమ ௩ Substituindo-se na definição, temos:
  • 2. ఞభ /௩భ మ మ ௦భ ⁄ఙభ మ ௦భ మ ఙమ ଶ F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ మ = మ . మ onde ‫ݏ‬ଵ , ఞమ /௩మ ௦మ ⁄ఙమ ௦మ ఙభ ଶ ‫ݏ‬ଵ são estimativas independentes de ଶ ଶ ߪଵ ݁ ߪଶ ଵ ௩మ (௩భ ିଶ) F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = , ‫ܨ‬௠௔௫ = . ୊(௩మ ,௩భ ) ௩భ (௩మ ାଶ) ௩మ ‫ߤ = ) ܨ( ܧ‬ி = (௩ se ݊ > 2 మ ିଶ) మ ଶ௩మ (௩భ ା௩మ ିଶ) ଶ( ܸ‫= ) ܨ ߪ = ) ܨ(ܴܣ‬ se ݊ > 4 ୴భ (௩మ ିଶ)మ (௩మ ିସ) Uso de Tabelas Exemplos: 1)Determ. ‫ܨ‬ఈ , tal que ܲ(‫ܨ ≥ )02,6( ܨ‬ఈ ) = 5% 2)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )51,6( ܨ‬ఈ ) = 0,05 3)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )02,01( ܨ‬ఈ ) = 0,95 4)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )01,8( ܨ‬ఈ ) = 0,01
  • 3. 5)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )02,01( ܨ‬ఈ ) = 0,95 I.C. para um Quociente de Variâncias ࡼሼ‫ܨ‬ଵ ≤ ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૚ − ߙ ఈ ‫ܨ‬ଵ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଵ ሽ = ૛ ఈ ‫ܨ‬ଶ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) > ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૛ మ ௦భ మ ఙమ మ ௦భ Como ‫ݒ( ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ . మ →‫ܨ‬ଵ ≤ మ . ௦మ ఙభ ௦మ మ ఙమ మ ≤ ‫ܨ‬ଶ ఙభ మ ௦మ మ ఙమ మ ௦మ మ . ‫ܨ‬ ௦భ ଵ ≤ మ ఙభ ≤ మ . ‫ܨ‬ଶ ௦భ Invertendo-se a మ ௦భ ଵ మ ఙభ మ ௦భ ଵ relação, → మ. ≤ మ ≤ మ. logo o IC ௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ మ ఙభ para మ é: ఙమ మ ௦భ ଵ మ ఙభ మ ௦భ ଵ ࡼቄ మ. ≤ మ ≤ మ. ቅ = ૚ − ߙ ௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ ଶ ଶ com ‫ݏ‬ଵ ≥ ‫ݏ‬ଶ
  • 4. Exemplos: 1)De duas populações normais levantou- se amostras de tamanhos 9 e 11, ଶ ଶ obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 7,14 e ‫ݏ‬ଶ = 3,21. Construir um IC para o quociente das variâncias das duas populações ao nível de 10%. 2) De duas populações normais levantou- se amostras de tamanhos 10 e 16, ଶ ଶ obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 5,22 e ‫ݏ‬ଶ = 16,9. Construir um IC para o quociente das variâncias das duas populações ao nível de 10%. T.H. para Quociente de Variâncias
  • 5. ఙభ ‫ܪ‬଴ : మ =݇ ఙమ మ ఙభ మ ఙభ మ ఙభ ‫ܪ‬ଵ : మ ≠݇ ou మ >݇ ou మ <݇ ఙమ ఙమ ఙమ మ ௦భ మ ఙమ మ ௦భ ଵ ‫ܨ‬௖௔௟௖ = మ ௦మ .ቂఙమ ቃ = మ ௦మ .௞ భ ௛ బ Exemplos: 1)De duas populações normais levantou- se amostras com as seguintes características : Pop. A: ݊௔ =21, ∑ ‫ݔ‬௔ = 100, ∑ ‫ݔ‬௔ ଶ = 496 Pop. B: ݊௕ =9, ∑ ‫ݔ‬௕ = 45, ∑ ‫ݔ‬௕ ଶ = 273 Ao nível de 10%, testar as hipóteses : మ ఙభ ‫ܪ‬଴ : మ =1 ఙమ మ ఙభ ‫ܪ‬ଵ : ఙమ ≠1 మ 2)Deseja-se testar ao nível de 5% se duas populações têm as mesmas
  • 6. variâncias. Os dados obtidos nas amostras são: ଶ ݊ଵ =10 ‫ݏ‬ଵ = 5,22 ଶ ݊ଶ =21 ‫ݏ‬ଶ = 16,99. Qual a conclusão? 3)De duas populações normais A e B extraíu-se amostras obtendo-se: ଶ Pop. A : ݊஺ୀ 13, ∑ ‫ݔ‬஺ = 91, ∑ ‫ݔ‬஺ = 697 ଶ Pop. B : ݊஻ୀ 9, ∑ ‫ݔ‬஻ = 63, ∑ ‫ݔ‬஻ = 497 a) Determinar um IC para o quociente das variáveis, ao nível de 2% b) Ao mesmo nível, testar as hipóteses; ଶ ଶ ‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ ଶ ଶ ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ ≠ ߪଶ 4)Deseja-se avaliar dois analistas quanto à precisão na analise de uma certa substância que contém carbono. A é
  • 7. experiente e B é novo na empresa com experiência na área desconhecida. Os resultados (desvios dos teores reais de carbono) obtidos foram: A: -10, 16, -8, 9, 5, -5, 5, -11, 25, 25, 22, 16, -3, 40, 0, -5, 16, 30, 14, 22, 22 B: -8, -3, 20, 22, 3, 5, 10, 14, -21, 22, 8. Em vista desses resultados, pode-se concluir que os dois analistas têm a mesma experiência no trabalho, ao nível de 10%? 5) A variabilidade no levantamento de impurezas de uma certa substância depende da duração do processo usado. Levantaram-se duas amostras, uma utilizando o processo 1 e outra o 2 de tamanhos 26 e 13 respectivamente, ଶ ଶ obtendo-se ܵଵ = 1,04 e ܵଶ = 0,51.
  • 8. a) determinar um IC para o quociente das variâncias, ao nível de 10%. b) testar as hipóteses a 5%: ଶ ଶ ‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ ଶ ଶ ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ > ߪଶ