O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.

Редукция на равнинна и пространствена система сили

2.523 visualizações

Publicada em

Publicada em: Carreiras
  • Seja o primeiro a comentar

Редукция на равнинна и пространствена система сили

  1. 1. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 1 /6 Равновесие на система въздействия Дефинираните операции със сили и двоици дава възможност да се анализирасъстоянието на тяло, върху което действат множество сили и двоици (концентриранимоменти). Операциите се използват, за да се преобразува изходната система сили и двоицитака, че да се получи еквивалентна система сили и двоици, с която по-лесно се анализирасъстоянието на тялото. Този процес на преобразуване се нарича редукция на система сили. Редукция на система равнинни сили На фигура 5.1а е показана равнинна система сили и двоици, с които са моделиранивъздействията върху един диск. Такава система силови въздействия се заменя с еквивалентнасистема, състояща се само от една сила и един концентриран момент. За целта се избираподходяща точка А и удобна координатна система. Пренасят се всички сили в тази точка,съгласно описаното в операцията „пренасяне на сили”. Така на всяка сила Fi съответствауспоредна и равна по големина на нея сила, приложена в точка А, и момент МiA= Fi ri, равенна момента на Fi спрямо точка А. На двоицата сили F4 съответства само момент М4= F4 d(фиг. 5.1б). F4 y y y F3 d M3 r3 F1 M2 r2 F4 F3 M4 A A R M F2 r1 F2 M1 F1 x x x а) б) в) Фиг. 5.1 Получената система от съначални сили Fi се свежда до една сила R, наречена главенвектор на равнинната система сили. За проекциите на R са в сила равенствата: n Rx = ∑ Fi x i =1 n (5.1) Ry = ∑ Fi y i =1 Големината и посоката на главния вектор не зависят от разположението наизбраната точка А. Всички моменти се събират и се получава един еквивалентен момент M . n M = ∑ M iA (5.2) i=1 Моментът M се нарича главен момент на системата от въздействия. Неговатаголемина и посока на въртене зависят от разположението на избраната точка А. Окончателният резултат е показан на фигура 5.1в. В реалните изследвания фигура 5.1б обикновено не се чертае. Използва се самоизходната схема на въздействията и след избор на точка А се изчисляват главният вектор иглавният момент. Тъй като при реализирането на всяка от операциите състоянието на тялото не сепроменя, то състоянията, показани на фигури 5.1а и 5.1в, са еквивалентни.
  2. 2. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 2 /6 Въздействията от фигура 5.1в позволяват по-лесно да се направи анализ насъстоянието на тялото. Възможни са следните случаи: - М ≠ 0 и R ≠ 0 – тялото се движи ускорително по посока на R и се върти с нарастваща ъглова скорост по посоката на въртене на М. - М ≠ 0, а R = 0 – тялото се върти около точка А с нарастваща ъглова скорост по посоката на въртене на М. - М = 0, а R ≠ 0 – тялото се движи равноускорително по посока на R. - М = 0 и R = 0 – тялото е неподвижно по отношение на околните тела. В този случай въздействията върху тялото взаимно се компенсират. Състоянието, при което тялото е неподвижно по отношение на околните тела, се нарича състояние на равновесие. Този случай е най-актуален за строителната механика, понеже телата, изграждащи строителните конструкции, трябва да са в равновесие. Условия за равновесие на равнинна система сили Системата от въздействия, под действието на която тялото е в равновесие, се нарича уравновесена система. Условията, които трябва да са изпълнени, за да бъде една система от въздействия уравновесена, са: М=0 и R=0 Математическият запис на тези две условия е: n n n ∑ Mi A = 0 i =1 ∑ Fi x = 0 i =1 ∑F i =1 iy =0 (5.3) Точка А може да бъде произволна точка от равнината. И трите равенства трябва да саизпълнени едновременно. Както вече бе отбелязано сумата от проекциите върху произволноориентирана ос на всеки две сили, образуващи двоица, е равна на нула. Затова ако върхутялото е зададено въздействие със символа за концентриран момент, това въздействие неучаства в сумите на проекционните равенства, а участва само в първото равенство – всумата на моментите на всички въздействия. При записване на проекционните равенствавместо ортогонални оси x и y може да се използват каквито и да са две неуспоредни оси. Уравнения (5.3) се наричат уравнения за равновесие. Обикновено записът на уравненията за равновесие се прави, без да се чертаятфигури, съответстващи на фигури 5.1б и 5.1в. Към схема на изходното състояние,съответстваща на фигура 5.1а, се добавя подходяща координатна система, избира се точка Аи направо се записват равенства (5.3). Варианти на условията за равновесие В някои случаи е по-удобно вместо двете проекционни равенства от (5.3) да сезапишат равносилни на тях моментови равенства. Разсъждава се по следния начин: - записва се и се приема за изпълнено първото уравнение от (5.3) n ∑M i =1 iA = 0. (а) - избира се втора точка B (фиг 5.2а). - вместо проекционното равенство n ∑F i =1 ix =0 (б)се записва равносилното му равенство n ∑F i =1 il =0 (в) Оста l е перпендикулярна на отсечката AB (фиг. 5.2б). За да не се получи оста l да еуспоредна на оста y и равенство (в) да съвпадне с равенство (б), отсечката AB не трябва дае перпендикулярна на оста y.
  3. 3. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 3 /6 d F4 y y F3 B r3 B F1 r2 F4 F3 A A l F2 r1 F2 F1 x x а) б) Фиг 5.2 - умножава се равенство (в) n ∑F i =1 il =0на дължината на отсечката AB и се получава равенството n ∑M i =1 iB = 0. Условията за равновесие се записват в следния вариант: n ∑M i =1 iA =0 n ∑M i =1 iB =0 (5.4) n ∑F i =1 iy =0 На практика помощната ос l не се дефинира явно. В изходната схема от фигура 5.2а се избират оста y, точки A и B така, че отсечката AB да не е перпендикулярна на оста y, и се записват условията за равновесие (5.4). По същия начин и двете проекционни равенства от (5.3) може да се заменят сравностойни на тях моментови равенства. Избират се три точки А, В и С и се записват три d моментови равенства: F4 y n F3 ∑ Mi A = 0 i =1 r3 B n r2 F4 ∑ Mi B = 0 i =1 (5.5) A n F2 r1 C ∑M i =1 iC =0 F1 x За да се получат независими уравнения Фиг 5.3 трите точки А, В и С не трябва да лежат на една права линия. Трите записа на уравненията за равновесие са равностойни. За всеки конкретенслучай се работи с този вариант, който е най-удобен за записване.
  4. 4. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 4 /6 Има два често срещащи се частни случаи на въздействие, на които е добре да сеобърне специално внимание. Система сили с обща пресечна точка на директрисите им Такава система въздействия не съдържа концентрирани моменти. При записване на уравненията за равновесие в който y F2 F3 F4 и да е от трите варианта едно от уравненията може да е F1 сума от моментите на всички сили спрямо общата точка на F5 директрисите на силите О да е равна на нула. O n B ∑ Mi O = 0 А i =1 x Това равенство е удовлетворено винаги, защото Фиг. 5.4 рамената на всички сили спрямо тази точка са равни на нула. Затова това равенство не се записва, а се записватсамо останалие две равенства. Уравненията за равновесие може да са в следните варианти: n n ∑ Fi x = 0 i =1 и ∑F i =1 iy =0 или n n ∑ Fi y = 0 i =1 и ∑M i =1 iA = 0, или n n ∑ Mi A = 0 i =1 и ∑M i =1 iB = 0. За точките А и В важат формулираните вече ограничения – отсечката ОА да не еперпендикулярна на оста у и трите точки О, А и В да не лежат на една права линия. При система от сили с общо начало се записват само две уравнения заравновесие в един от горните три варианта. Система успоредни сили а) успоредни сили с еднаква посока (фигура 5.5). Такава система от сили се получава, когато със y F2 F3 силите се моделират тегла на тела върху конструкцията. F1 Такава система сили не може да бъде уравновесена F4 система сили. Тя мо же да се зaмени с една сила – тяхна равнодействаща R, която е успоредна на силите и е с F5 тяхната посока. Големината на равнодействаща R е сума от R големините на всички сили x n Фиг. 5.5 R = ∑ Fi i =1 Сумата от моментите на всички сили спрямо всяка точка от нейната директриса еравна на нула. От това условие се определя положението на директрисата на R . б) успоредни сили с различни посоки (фигура 5.6). При записване на условията за равновесие за такава y F1 F2 F3 система успоредни сили е удобно да се използва такава координатна система, на която едната ос е перпендикулярна F4 на направлението на силите (такава е оста х на фиг. 5.6). В При такава координатна система едно от проекционните F5 равенства е тъждество и не се записва - равенството А n x ∑F ix = 0 за системата от фиг. 5.6. Фиг. 3.6 i =1 Записват се две условия за равновесие.
  5. 5. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 5 /6 Например: n n ∑ Fi y = 0 i =1 и ∑M i =1 iA =0 или n n ∑ Mi A = 0 i =1 и ∑M i =1 iB = 0. Трябва само отсечката АВ да не е успоредна на направлението на силите. При система от успоредни сили се записват само две уравнения за равновесие ведин от горните два варианта. При записване на уравненията за равновесие се използват и други означения. Обикновено осите на координатната система са хоризонтална и вертикална. За такавакоординатна система проекционните уравнения се записват и по следния начин: ∑ Fi H = 0 и ∑ Fi V = 0или ∑H =0 и ∑V = 0 . Редукция на пространствена система сили Такава система силови въздействия също се заменя с еквивалентна система, състоящасе само от една сила и един концентриран момент. За целта се избира подходяща точка А иудобна координатна система. Пренасят се всички сили в тази точка, съгласно описаното воперацията „пренасяне на сили”. Така на всяка сила Fi съответства успоредна и равна поголемина на нея сила, приложена в точка А, и момент МiA= Fi ri, равен на момента на Fiспрямо точка А. Моментът МiA се представя с вектор, който е перпендикулярен на равнината,определена от точка А и директрисата на силата Fi. На двоица сили съответства само момент. Получената система от съначални сили Fi се свежда до една сила R, наречена главенвектор на равнинната система сили.  n  R = ∑ Fi (5.6) i =1 За проекциите на R са в сила равенствата: n n n Rx = ∑ Fi x Ry = ∑ Fi y Rz = ∑ Fi z (5.7) i =1 i =1 i =1 Големината и посоката на главния вектор не зависят от разположението наизбраната точка. Всички моменти се събират и се получава един еквивалентен им момент M, нареченглавен момент.  n  M = ∑ M iA (5.8) i =1 За проекциите на M са в сила равенствата: n n n M x = ∑ M iA x M y = ∑ M iA y M z = ∑ M iA z (5.9) i =1 i =1 i =1 Ако за начало на координатната система се избере точка А горните равенства сезаписват по следния начин: n n n M x = ∑ Mi x M y = ∑ Mi y M z = ∑ Mi z (5.10) i =1 i =1 i =1 За да се изчислят компонентите на главния момент се сумират моментите на силитеспрямо съответните оси.
  6. 6. Строителна механика за спец. Архитектура Редукция на сили стр. 6 /6 Уравнения за равновесие на пространствена система сили За да бъде уравновесена една пространствена система силови въздействия трябваглавният вектор и главният момент, изчислен за произволна точка в пространството, да саравни на нула.  n   n  = ∑ Fi 0 R = = ∑ M iA 0 M = (5.11) i =1 i =1 За да са изпълнени тези две условия трябва да са изпълнени следните шест условия заравновесие: n n n ∑F i =1 ix =0 ∑F i =1 iy =0 ∑F i =1 iz =0 (5.12) n n n ∑ Mi x = 0 i =1 ∑ Mi y = 0 i =1 ∑M i =1 iz =0 За записване на условията за равновесие може да се използва декартова координатнасистема, произволно разположена в пространството.

×