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Árvores Balanceadas
AVL
Prof: Sergio Souza Costa
Sobre mim
Sérgio Souza Costa
Professor - UFMA
Doutor em Computação Aplicada (INPE)
prof.sergio.costa@gmail.com
https://sit...
Introdução
● As árvores binárias de busca permitem a
organização da informação com o objetivo a
otimizar as buscas.
Introdução
● As árvores binárias de busca permitem a
organização da informação com o objetivo a
otimizar as buscas.
● Ela ...
Introdução
● As Árvores binárias de busca (ABB)
estudadas têm uma séria desvantagem
que pode afetar o tempo necessário par...
Introdução
Insiram os seguintes valores em uma árvore
binária de busca (ABB):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3
O qu...
Introdução
A desvantagem é que o desempenho da ABB depende
da ordem em que os elementos são inseridos.
Introdução
A desvantagem é que o desempenho da ABB depende
da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-...
Introdução
A desvantagem é que o desempenho da ABB depende
da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-...
Introdução
A desvantagem é que o desempenho da ABB depende
da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-...
AVL
● O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis
(1962).
● Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL...
AVL
● Como saber se a árvore está
desbalanceada?
AVL
● Como saber se a árvore está
desbalanceada?
○ Verificando se existe algum nodo “desregulado”.
AVL
● Como saber se a árvore está
desbalanceada?
○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.
● Como saber se um no...
AVL
● Como saber se a árvore está
desbalanceada?
○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.
● Como saber se um no...
Fator de balanceamento
● O fator de balanceamento é dado por:
○ altura (SAE) – altura(SAD)
● Ou,
○ altura (SAD) – altura(S...
Fator de balanceamento
● O fator de balanceamento é dado por:
○ altura (SAE) – altura(SAD)
● Ou,
○ altura (SAD) – altura(S...
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Atividades
Insira os seguintes valores em uma árvore
binária, coloque os fatores de balanceamento e
diga se é ou não uma A...
Como balancear ?
Como balancear ?
Através de operações de
rotações!!!!
Rotações
Existem quatro operações de rotações:
Rotação simples à Esquerda
Rotação simples à Direita
Rotação Dupla à Esquer...
Rotações
Existem quatro operações de rotações:
Rotação simples à Esquerda
Rotação simples à Direita
Rotação Dupla à Esquer...
Rotações
● Quando usar as Rotações ?
○ Na inserção de um elemento
○ e na remoção de um elemento
● É provado que no máximo ...
Rotações e balanceamento
Vamos ver primeiro as operações de rotação e
depois usa-las para balanceamento.
Rotações
Rotação a direita
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Insiram os seguintes valores e depois rotacione
para a direita a partir da raiz:
a) [40,30, 2...
Rotação a esquerda
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Insiram os seguintes valores e depois rotacione
para a esquerda a partir da raiz:
a)[40, 50,...
Rotação dupla a esquerda
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Atividades
Insiram os seguintes valores e depois rotacione
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Rotação dupla a direita
Rotação dupla a direita
Atividades
Insiram os seguintes valores e depois rotacione
dupla a direita a partir da raiz:
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Como usar as rotações para
manter uma árvore balanceada, ou
seja, uma AVL ?
Balanceamento
Ao inserir um novo elemento em uma árvore,
pode ser que um dos seus nós ascendentes se
torne desbalanceado, ...
Balanceamento
Algoritmo:
A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.
Balanceamento
Algoritmo:
● Aplica-se, o mesmo algoritmo de inserção
da árvore binária de busca.
● A cada inserção, checa-s...
Exemplo
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altura (SAE) - altura (SAD)
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Exemplo
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FB: -1 - 0 = -1 OK
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FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
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Qual a rotação indicada
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FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Qual a rotação indicada
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altura (SAE) - altura (SAD)
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Atividades
A partir de uma árvore AVL, insiram os
seguintes valores:
a) [10, 20,15,45,67,81,91,10]
b) [1, 5,80,20,67,91,8,...
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Árvores balanceadas - AVL

  1. 1. Árvores Balanceadas AVL Prof: Sergio Souza Costa
  2. 2. Sobre mim Sérgio Souza Costa Professor - UFMA Doutor em Computação Aplicada (INPE) prof.sergio.costa@gmail.com https://sites.google.com/site/profsergiocosta/home https://twitter.com/profsergiocosta http://gplus.to/sergiosouzacosta http://www.slideshare.net/skosta/presentations?order=popular
  3. 3. Introdução ● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas.
  4. 4. Introdução ● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas. ● Ela permite o acesso mais rapido aos elementos dado que os elementos estão organizados na árvore, obedecendo uma certa propriedade. ■ Esquerda são os menores que a raiz ■ Direita são os maiores que a raiz
  5. 5. Introdução ● As Árvores binárias de busca (ABB) estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado.
  6. 6. Introdução Insiram os seguintes valores em uma árvore binária de busca (ABB): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3 O que vocês concluem com isso ?
  7. 7. Introdução A desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.
  8. 8. Introdução A desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos. Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore.
  9. 9. Introdução A desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos. Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore. Como saber se a árvore está balanceada ?
  10. 10. Introdução A desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos. Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore. Como saber se a árvore está balanceada ? A altura dos nós é um importante dado.
  11. 11. AVL ● O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962). ● Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: ○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade. 20 30 10 40 35 20 30 10 4035 Qual é AVL ? Que nó esta desbalanceado ? a) b)
  12. 12. AVL ● Como saber se a árvore está desbalanceada?
  13. 13. AVL ● Como saber se a árvore está desbalanceada? ○ Verificando se existe algum nodo “desregulado”.
  14. 14. AVL ● Como saber se a árvore está desbalanceada? ○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”. ● Como saber se um nodo está desbalanceado ?
  15. 15. AVL ● Como saber se a árvore está desbalanceada? ○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”. ● Como saber se um nodo está desbalanceado ? ○ Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores.
  16. 16. Fator de balanceamento ● O fator de balanceamento é dado por: ○ altura (SAE) – altura(SAD) ● Ou, ○ altura (SAD) – altura(SAE)
  17. 17. Fator de balanceamento ● O fator de balanceamento é dado por: ○ altura (SAE) – altura(SAD) ● Ou, ○ altura (SAD) – altura(SAE) ● O fator de balanceamento de um nodo é dado pelo seu peso em relação a sua sub-árvore. ○ Um nodo pode ter um fator balanceado de 1, 0, ou -1. ○ Um nodo com fator de balanceamento -2 ou 2 (diferença de 2 elementos) é considerado desbalanceado e requer um balanceamento.
  18. 18. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 Coloque as alturas de cada nó
  19. 19. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 Coloque as alturas de cada nó 2 3 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  20. 20. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 Coloque as alturas de cada nó Calcule o fator de balanceamento altura (SAE) - altura (SAD) 2 3 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  21. 21. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 altura (SAE) - altura (SAD) 2 3 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 - 2 = -2
  22. 22. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 altura (SAE) - altura (SAD) 2 3 (-2) 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 - 2 = -2
  23. 23. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 altura (SAE) - altura (SAD) 2 3 (-2) 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - 1 = -2
  24. 24. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 1 altura (SAE) - altura (SAD) 2 (-2) 3 (-2) 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - 1 = -2
  25. 25. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 (0) 1 (1) altura (SAE) - altura (SAD) 2 (-2) 3 (-2) 0 (0) -1 -1 -1 -1 -1 -1
  26. 26. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 (0) 1 (1) altura (SAE) - altura (SAD) 2 (-2) 3 (-2) 0 (0) -1 -1 -1 -1 -1 -1 Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: ○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.
  27. 27. AVL - Calculando o fator 20 30 10 40 35 0 (0) 1 (1) altura (SAE) - altura (SAD) 2 (-2) 3 (-2) 0 (0) -1 -1 -1 -1 -1 -1 Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: ○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.
  28. 28. Atividades Insira os seguintes valores em uma árvore binária, coloque os fatores de balanceamento e diga se é ou não uma AVL e qual nó esta desbalanceado: a) [30,15, 50, 5,10, 20] b) [ 80, 40, 100, 120, 90, 30] c) [10, 50, 4, 90, 20, 8]
  29. 29. Como balancear ?
  30. 30. Como balancear ? Através de operações de rotações!!!!
  31. 31. Rotações Existem quatro operações de rotações: Rotação simples à Esquerda Rotação simples à Direita Rotação Dupla à Esquerda Rotação Dupla à Direita
  32. 32. Rotações Existem quatro operações de rotações: Rotação simples à Esquerda Rotação simples à Direita Rotação Dupla à Esquerda Rotação Dupla à Direita As duplas são derivadas das simples
  33. 33. Rotações ● Quando usar as Rotações ? ○ Na inserção de um elemento ○ e na remoção de um elemento ● É provado que no máximo uma rotação é suficiente para realizar o balanceamento de uma árvore quando é inserido ou removido um elemento
  34. 34. Rotações e balanceamento Vamos ver primeiro as operações de rotação e depois usa-las para balanceamento.
  35. 35. Rotações Rotação a direita Rotação a direita Rotação a esquerda
  36. 36. Rotação a direita
  37. 37. Rotação a direita 30 20 10 Imagine a seguinte árvore....
  38. 38. Rotação a direita 30 20 10 30 20 10 Imagine a seguinte árvore....
  39. 39. Rotação a direita 30 20 10 30 20 10 Imagine a seguinte árvore....
  40. 40. Rotação a direita Atividades Insiram os seguintes valores e depois rotacione para a direita a partir da raiz: a) [40,30, 20] b) [40, 30, 20, 35] c) [40, 50, 30, 20, 35]
  41. 41. Rotação a esquerda
  42. 42. Rotação a esquerda Atividades Insiram os seguintes valores e depois rotacione para a esquerda a partir da raiz: a)[40, 50, 60] b) [40, 50, 10, 60] c) [40, 20, 10, 50, 60, 70]
  43. 43. Rotação dupla a esquerda
  44. 44. Rotação dupla a esquerda Atividades Insiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a esquerda a partir da raiz: a)[20, 40, 30] b) [20, 40, 30, 50] c) [20, 10, 40, 30, 50, 12]
  45. 45. Rotação dupla a direita
  46. 46. Rotação dupla a direita Atividades Insiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a direita a partir da raiz: a) [40, 20, 30] b) [40, 20, 30, 50] c) [40, 20, 30, 10,50, 80]
  47. 47. Como usar as rotações para manter uma árvore balanceada, ou seja, uma AVL ?
  48. 48. Balanceamento Ao inserir um novo elemento em uma árvore, pode ser que um dos seus nós ascendentes se torne desbalanceado, avô, bisavô ...
  49. 49. Balanceamento Algoritmo: A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.
  50. 50. Balanceamento Algoritmo: ● Aplica-se, o mesmo algoritmo de inserção da árvore binária de busca. ● A cada inserção, checa-se os nós ascedentes. ● Caso o nó esteja desbalanceado, existem quatro diferentes configurações, como veremos a seguir. ○ Para cada configração, existe uma rotação indicada.
  51. 51. Exemplo 10 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30]
  52. 52. Exemplo 10 20 FB: -1 - 0 = -1 OK altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30]
  53. 53. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30
  54. 54. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30 FB: -1 - 0 = -1 OK
  55. 55. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
  56. 56. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado Qual a rotação indicada neste caso ?
  57. 57. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado Qual a rotação indicada neste caso ? Rotação simples a esquerda.
  58. 58. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30] 30
  59. 59. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40] 30 40
  60. 60. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 40 35
  61. 61. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 40 35 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
  62. 62. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 40 35 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado Qual a rotação indicada neste caso ?
  63. 63. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 40 35 FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado Qual a rotação indicada neste caso ? Rotação dupla a esquerda.
  64. 64. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 40 35 rotação direita
  65. 65. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 35 40
  66. 66. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 30 35 40 rotação esquerda
  67. 67. Exemplo 10 20 altura (SAE) - altura (SAD) [10, 20, 30, 40, 35] 35 30 40 FB: 0 - 1 = -1 OK continua a checagem com o no ascendente.
  68. 68. Atividades A partir de uma árvore AVL, insiram os seguintes valores: a) [10, 20,15,45,67,81,91,10] b) [1, 5,80,20,67,91,8,10] c) [10,20,30, 50, 5, 15, 30]

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