Dokumen tersebut membahas tentang pendugaan parameter populasi dengan menggunakan nilai statistik sampel. Terdapat beberapa metode pendugaan yang dijelaskan seperti pendugaan rata-rata, variansi, dan perbedaan rata-rata untuk sampel besar dan kecil dengan memberikan contoh soal.

1. PENDUGAAN PARAMETER
1 Pendahuluan
• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel
Misal :
1. x digunakan sebagai penduga bagi µ
2. s digunakan sebagai penduga bagi σ
3. p patau  digunakan sebagai penduga bagi π atau p
Catatan : Beberapa pustaka menulis p sebagai p (p topi)
p = proporsi "sukses" dalam sampel acak (ingat konsep percobaan binomial?)
1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak
• Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena
hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.
• Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval
 Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t)
 Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri)
 Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan = 1 - α
 α kemudian akan dibagi ke dua sisi
α/2 di atas batas atas dan α/2 di bawah batas bawah
• Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t
 Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175)
Nilai αα dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain :
Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9
α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =
Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95%
α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =
Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99%
α = 1 % → α/2 = 0.5 % z z0 5% 0 005 2 575. . .= =
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
1
Sri Wulan W.R..
1

2. Contoh Distribusi z untuk Selang Kepercayaan (SK) 99 %
luas daerah tidak terarsir ini diketahui
dari Tabel (hal 175)
luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini =
ini = α/2 = 0.5% α/2 = 0.5%
-2.575 0 2.575
 Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177)
Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel.
Perhatikan derajat bebas (db).
Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177)
Misal : Selang kepercayaan 99 %; db = 13 → 1 - α = 99%
α = 1 % → α/2 = 0.5 %
t tabel (db=13;α/2 = 0.5%) = 3.012
Contoh Distribusi t untuk SK 99 % ; db = 13
luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini =
ini = α/2 = 0.5% α/2 = 0.5%
-t = -3.012 0 t =3.012
 Selang Kepercayaan yang baik?
Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat
kepercayaan yang tinggi.
 Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah
Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya.
Contoh 1:
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
2
Sri Wulan W.R..
2

3. Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua
selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik?
A. Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahun
B. Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahun
C. Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahun
D. Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun
Jawab : D, karena................................
• Bentuk Umum Selang Kepercayaan
Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas
Untuk Sampel Berukuran Besar :
Statistik-( zα/2 ×Standard Error Sampel)<Parameter<Statistik+( zα/2 ×Standard Error
Sampel)
Untuk Sampel Berukuran Kecil :
Statistik-( t db( ; / )α 2 ×Standard Error Sampel)< Parameter<Statistik+( t db( ; / )α 2 × Standard
Error
Sampel)
2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata
2.1. Pendugaan Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)
• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui
• Jika nilai simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui → gunakan simpangan baku
sampel (s)
• Selang kepercayaan 1
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :
x z x z-
n
< < +
n
α α
σ
µ
σ
2 2
×





 ×






Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
3
Sri Wulan W.R..
3

4. • Ukuran Sampel bagi pendugaan µ
Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah
[ ] n
z
=
×α σ/2
2
Ε
n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling)
jika σ tidak diketahui, gunakan s
E : error maksimal → selisih x dengan µ
Contoh 2:
Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku =
0.3.
a. Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II?
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =
x = 2.6 s = 0.3
x z
s
x z
s
-
n
< < +
n
0 025 0 025. .×





 ×





µ
2.6 - 1.96
36
) < < 2.6 + 1.96
36
)×





 ×






0 3 0 3. .
µ
2.6 - 0.098 < µ < 2.6 + 0.098
2.502 < µ < 2.698
b. Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II?
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z z0 5 0 005 2 575. % . .= =
(selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)
c. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak
lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06 s = 0.3
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =
[ ] n
z
= α σ/2
2
Ε [ ] =
×1 96
0.06
2. 0.3
 = ( . )9 8 2
 = 96 04. = 97
d. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak
lebih dari 6 %?E = 6 % = 0.06 s = 0.3
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
4
Sri Wulan W.R..
4

5. Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z z0 5 0 005 2 575. % . .= =
(jawab : n = 166 → coba selesaikan dengan lengkap!!!)
2.2. Pendugaan Rata-rata dari sampel kecil (n < 30)
dan nilai simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui → gunakan simpangan baku
sampel (s²)
Selang Kepercayaan 2
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :
x t
s
x t
s
db db
-
n
< < +
n( ; ) ( ; )α αµ2 2
×





 ×






db = derajat bebas = n-1
Contoh 3 :
9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar
deviasi 1.8 hari.
a. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun
untuk seluruh mahasiswa!
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025
x = 10 s = 1.8
db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306
x t
s
x t
s
db db
-
n
< < +
n( ; ) ( ; )α αµ2 2
×





 ×






10-
9
< < 10 +
9
2 306
18
2 306
18
.
.
.
.
×





 ×





µ
10 - 1.3836 < µ < 10 + 1.3836
8.6164 < µ < 11.3836
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
5
Sri Wulan W.R..
5

6. 3. Pendugaan Beda 2 Rata-rata
3.1 Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar
dan nilai ragam populasi ( σ1
2
dan σ2
2
) diketahui
dan jika nilai ragam populasi ( σ1
2
dan σ2
2
) tidak diketahui → gunakan ragam
sampel ( s1
2
dan s2
2
)
Selang Kepercayaan 3
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ µ1 2− adalah :
x x
n n
x x
n n1 2 1 2- - z < - < - + zα α
σ σ
µ µ
σ σ
2 2
1
2
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
2
× +







 × +








σ1
2
dan σ2
2
tidak diketahui → gunakan s1
2
dan s2
2
Contoh 4:
64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan
dengan ragam= 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka
makan 28 kg ikan dengan ragam =7.
Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan
setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris
x1 = 48 x2 = 28 x x1 2− = |48 - 28| = 20
n1 = 64 n2 = 56
s1
2
= 8 s2
2
= 7
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =
x x
n n
x x
n n1 2 1 2- - z < - < - + zα α
σ σ
µ µ
σ σ
2 2
1
2
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
2
× +







 × +








20 - +
7
56
< < +
7
56
196
8
64
20 196
8
641 2. .×





 − + ×





µ µ
20 - 0.98 < |µ µ1 2− | < 20 + 0.98
19.02 < |µ µ1 2− | < 20.98
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
6
Sri Wulan W.R..
6

7. 3.2. Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil
dan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1
2
≠σ2
2
) dan
tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s1
2
dan s2
2
)
Selang Kepercayaan 4
Selang Kepercayaan sebesar (1-α)bagi |µ µ1 2− | adalah:
x x
s
n
s
n
x x
s
n
s
ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t( ; ) ( ; )α αµ µ2 2
1
2
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
2
× +







 × +








derajat bebas (db) =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
s
n
s
n
s
n
s
nn n
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
21 1
+
− + −
db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling)
Contoh 5:
12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter teh
dengan simpangan baku = 4. ( s1 4= dan s1
2 2
4 16= = )
10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter teh
dengan simpangan baku = 5. ( s2 5= dan s2
2 2
5 25= = )
Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :
a. derajat bebas bagi distribusi t
db =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
s
n
s
n
s
n
s
nn n
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
21 1
+
− + −
=
[ ] [ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
16
12
25
10
2
16
12
2 25
10
2
12 1 10 1
+
− + −
=
[ ] [ ]
( . . )
( . ) ( . )
1333 2 5
1333 11 2 5 9
2
2 2
+
+
= [ ] [ ]
14 6944
01616 0 6944
. ...
. ... .+
=
14 6944
0 8560
. ...
. ...
=  17.165  = 18
b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum
setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
7
Sri Wulan W.R..
7

8. db = 18
Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878
x x
s
n
s
n
x x
s
n
s
ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t( ; ) ( ; )α αµ µ2 2
1
2
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
2
× +







 × +








22 36 2
16
12
25
10
22 36 2
16
12
25
101 2- - .878 < - < - + .878× +





 × +





µ µ
14 - 5.53 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.63
8.37 < |µ µ1 2− | < 19.63
3.3 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil
dan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1
2
=σ2
2
) tidak diketahui
→ gunakan ragam sampel gabungan (sgab
2
)
Selang Kepercayaan 5
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:
x x
n n
x x
n ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s( ; ) ( ; )α αµ µ2 2
1 1 1 1
1 2
1 2
1 2
× × +





 × × +






s
n s n s
n ngab
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
=
− −
+ −
( ) ( )+
dan s sgab gab= 2
derajat bebas (db) = n n1 2 2+ −
Contoh 6:
12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter teh
dengan simpangan baku = 4.
10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 26 liter teh
dengan simpangan baku = 5.
Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :
a. derajat bebas
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
8
Sri Wulan W.R..
8

9. b. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampel
c Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum
setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris
(kerjakan sebagai latihan!!!)
a. db = n n1 2 2+ − = 12 + 10 - 2 = 20
b. s
n s n s
n ngab
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
=
− −
+ −
( ) ( )+
=
( ) ( )
.
11 16 9 25
20
401
20
20 05
× + ×
= =
s sgab gab= 2
= 20 05 4 477. . ...=
c. Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
db = 20
Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845
x x
n n
x x
n ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s( ; ) ( ; )α αµ µ2 2
1 1 1 1
1 2
1 2
1 2
× × +





 × × +






22 36 2 4 477
1
12
1
10
22 36 2 4 477
1
12
1
101 2- - .845 < - < - + .845× × +





 × × +





. ... . ...µ µ
14 - 5.45 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.45
8.55 < |µ µ1 2− | < 19.45
3.4 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampel-
sampel kecil
Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan.
Selang Kepercayaan 6:
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:
d t
s
n
d t
s
n
db
d
db
d
− ×





 < − < + ×





; / ; /α αµ µ2 1 2 2
derajat bebas (db) = n-1
n : banyak pasangan data
di : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
9
Sri Wulan W.R..
9

10. d : rata-rata di
d
d
n
i
=
∑
sd
2
: ragam nilai d s
d d
nd
i2
1
=
−
−
∑( )
sd : simpangan baku d s sd d= 2
Contoh 7:
Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.
Banyak Produk yang rusak
Nama Shift Pagi (x1) Shift malam (x2) di d (di - d ) (di - d )²
A 3 10 7 8 -1 1
B 5 15 10 8 2 4
C 4 9 5 8 -3 9
D 2 12 10 8 2 4
Σ
di=32
Σ(di - d )²=18
n = 4
d
d
n
i
=
∑ = =
32
4
8
s
d d
nd
i2
1
=
−
−
∑( )
= =
18
3
6 dan s sd d= 2
= =6 2 449. ...
Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
db = n-1 = 4-1 = 3
Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
10
Sri Wulan W.R..
10

11. d t
s
n
d t
s
n
db
d
db
d
− ×





 < − < + ×





; / ; /α αµ µ2 1 2 2
8 5841
2 449
4
8 5841
2 449
4
1 2− ×





 < − < + ×





.
. ...
.
. ...
µ µ
8 7 15 8 7 151 2− < − < +. ... . ..µ µ
0 85 15151. .< − <µ µ
4. Pendugaan Proporsi
• Pengertian proporsi
π = proporsi populasi
p = proporsi "sukses" dalam sampel acak
1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak
Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood"
kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood"
4.1 Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar
Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan
Distribusi z.
Selang Kepercayaan 7:
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :
p z
p q
n
p z
p q
n
- < < +α απ2 2
×
×




 ×
×





ingat→ 1 - p = q
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
11
Sri Wulan W.R..
11

12. • Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi
Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E
n
z p q
E
=
× ×





α/2
2
2 n di ceiling!
n : ukuran sampel
E : error → selisih p dengan π
Contoh 8:
Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.
a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai
seafood!!!
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =
p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68
p z
p q
n
p z
p q
n
- < < +α απ2 2
×
×




 ×
×





0.32 - < < 0.32 +1 96
0 32 0 68
500
1 96
0 32 0 68
500
..
. .
..
. .
×
×




 ×
×




π
0.28 < π < 0.36
b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2%
n
z p q
E
=
× ×





α/2
2
2 =
196 0 32 0 68
0 02
2
2
. . .
.
× ×




= 2089.8304 = 2090
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
12
Sri Wulan W.R..
12

13. 4.2. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar
Selang Kepercayaan 8
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π π1 2− adalah :
p p
p q
n
p q
n
p p
p q
n
p q
n1 2 1 2- - z < - < - + zα απ π2 2
1 1
1
2 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
×
×
+
×




 ×
×
+
×





Contoh 9:
Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p1 =0.70)
Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru (
q2 0 25= . )
Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang
menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru!!!
kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru!!!
p1 = 0.70 → q p1 11= − = 1 - 0.70 = 0.30
q2 0 25= . → p q2 21= − = 1 - 0.25 = 0.75
p p1 2− = |0.70 - 0.75| = 0.05
Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =
p p
p q
n
p q
n
p p
p q
n
p q
n1 2 1 2- - z < - < - + zα απ π2 2
1 1
1
2 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
×
×
+
×




 ×
×
+
×





0 05
1000 800
0 05
1000 8001 2. .- 1.645
0.7 0.3 0.75 0.25
< - < + 1.645
0.7 0.3 0.75 0.25
×
×
+
×




 ×
×
+
×




π π
0 05 0 051 2. .- (1.645 0.02108...) < - < + (1.645 0.02108...)× ×π π
0 05 0 051 2. .- 0.03467... < - < + 0.03467...π π
0.01532... < - < 0.08467...π π1 2
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
13
Sri Wulan W.R..
13

14.  selesai 
Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman
14
Sri Wulan W.R..
14