具体例をいくつ観察すれば見たい対象の全体について理解出来るか
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日常生活で、もしくは、社会生活で役に立つであろう 「経験はどれだけ必要か」「調査にどれだけ手間をかけるのが良いだろうか」について目安となる数とその計算方法をまとめました。 How many experiences are necessary to understand something you do not know? I would like to answer this question from a numerical aspects using statistics.
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具体例をいくつ観察すれば見たい対象の全体について理解出来るか
- 2. 必要な標本数を算出したケース 1. 現象を複数例見ることで見逃しを防ぎたい 2. 全てのグループのサンプルを網羅的に取りたい 3. 多数決の結果が正しくなる可能性を高くしたい 4. 逸脱したサンプルを見つけたい 5. 標本から分布の範囲を把握したい 6. 2変量に相関があるかどうか検定したい
- 6. 平均μ 標準偏差σ のガウス乱数を何個か取り出した中から、 区間μ±2σの外にある値を1個でも見つかる確率を 90%以上確保するには、最低でも50個の取り出しが必要。 確率分布は、ガウス分布で近似できること が多い。たとえば多数の人の身長や体重の 分布はガウス分布で近似できる。ガウス分 布の形は左のグラフのような形になる。 (このグラフの場合は、平均μ は 0 , 標準偏 差σは 1 になるように調整してある。 μ とσの パラメータをいろいろ変えることであらゆる ガウス分布を表現できる。) “偏差値” にたとえると、 μ + 2σ は 70, μ - 2σ は 30 に相当する。この2個の値に挟まれた 部分の割合は95.45% ,その外の部分の割 合は 4.55%と決まっている。 この外の部分を1つでも見つけ出す可能性 を90%以上にするには、そのガウス分布か ら 丁度50個以上の値を取り出す必要があ る。
- 8. 2変量間の母相関係数が0.5の場合に、無相関の 片側検定を有意水準5%,検出力90%で行うには、 標本サイズが31以上が必要。 2つの変量の間の関係が大事なことは多い。その関係を捉え る有力な方法は、「無相関の検定」である。 しかし、元の分布に相関があっても、2桁の標本サイズではな かなか無相関の検定で対立仮説を ”棄却” することはできな い。 “対立仮説” を「相関係数は0より大きい」と設定して、有意水 準5%の無相関の検定を行う場合を考える。母相関係数0.5に 対して検出力90%以上を確保するために必要な標本数は31と 計算することができる。 図は母相関0.5の分布を表す雲のような分布の上に31個の標 本を重ねた例である。相関係数0.5程度の現象は、同一年齢 同性の親子の身長、プロ野球の年間総得点と総失点などに 現れる。 この場合の標本 相関係数は 0.421.. で、95%信頼区間は [0.13.. , 1.0]であり、p値は 0.009となり、帰無仮説を棄却するこ とができた。しかし、10%弱の確率で、このように棄却すること は出来ず、帰無仮説 “相関は正とは言えない” を支持すること になる。
- 9. [まとめ] 思ったことが正しい場合に 90% の確 率で正しい結果を得るための調査必要量 1. 多数決: 2:1の優勢 → 15人 3:2の優勢 → 41人 2. シール10色を全て集めたい → 44個 3. 10%の未知の現象の見逃しを防ぐなら → 38例 4. 2σ以上の逸脱したケースを探すなら → 50例 5. 標本から分布の範囲を把握したい→ 概ね 40例 6. 2変量に相関があるかどうか検定したい → 31例 ※ 上記の説明は詳細を省略している。解説は前のページを参照 3. 見逃しを避けるには複数例(2例以上) を必要とすると仮定している。 4.-6. はガ ウス分布を仮定している。5.は90%とは関係無い。 6. 片側検定でα=0.05, β = 0.1, ρ0=0.5 を設定している。(両側にすると37例になる。)
- 10. 最後に • 何かをきちんと調査したいときは、意外と多数のサンプル が必要であることを算出した。 • 簡単な問題でも20例程度では足りない。 • もちろん目的によるが、重要例をこの文書に示した。 • 無作為抽出は偏りのない調査に極めて重要。 • 他の方式を用いると異常例を多数観察することも多く、その異常を 取り除くことに多大な労力が発生する。 • 莫大なデータがあったとしても、全ては理解不能 • 人の目で100個以上の例をよく把握することは困難。 • 部分抽出したものが全体の傾向とあまり変わらないことは、超幾 何分布を二項分布で近似できることで理論的に正当化ができる。
- 11. (参考) R言語で本資料の数を算 出するためのプログラム ## (1) 1回で1/10の確率で起こる現象を2回以上観測したい pbinom(1,35:40,1/10) # 38回の所で0.1を切ることに注意。 # (2) シールを集めるのに何個買い集めたら良いのだろう。 # -- モンテカルロシュミレーションを採用したので、計算には時間がかかる。 M=10:80 # 何枚集めるかの数の候補 LL=3e3;pp=rep(1,10); # 各候補のシュミレート回数と多項分布に与えるパラメータ a<-matrix(0,max(M),3); # 格納する変数の準備 for(L in M){ temp<- prop.test(sum(apply(rmultinom(LL,L,pp),2,min)<1),LL,conf.level=.99) ; a[L,1]=temp$estimate; a[L,2]=temp$conf.int[1]; a[L,3]=temp$conf.int[2]; } a1=1-a plot ( M, a1[M,1],type="o",cex=0.7,pch=3,ylim=c(0,1), main="10色シールが全て揃っている確率", ylab="確率", xlab="収集枚数", yaxt="n" , yaxs="i"); axis(2,0:10/10,paste(0:10*10,"%",sep=""),las=1) abline( h=c(1:3/4,0.9,0.95),col="red3") abline( v=1:20*5,col="indianred1") arrows( M,a1[M,2], M,a1[M,3],angle=90,length=0.01) arrows( M,a1[M,3], M,a1[M,2],angle=90,length=0.01) ## (3) 賛成数の可能分布の考察 pbinom(c(6,7),c(13,15),2/3) # 13人中賛成6人以下の可能性は 0.103 だが 15人中7人以下は 0.088 pbinom(c(19,20),c(39,41),3/5)# 39人中賛成19人以下の可能性は 0.102 だが 41人中20人以下は 0.0965 # グラフを描く par(mfrow=c(2,1)) barplot(dbinom(0:13,13,2/3),col=c(rep("red1",7),rep("blue1",7)),names.arg=0:13,main="15人の各人が独立に2/3の確率で賛成する場合") barplot(dbinom(0:41,41,3/5),col=c(rep("red1",21),rep("blue1",21)),names.arg=0:41,main="41人の各人が独立に3/5の確率で賛成する場合") # (4) 逸脱を見つける もしくは pbinom(0,49:51,2*pnorm(-2)) # 両側を見る場合 pbinom(0,99:102,2*pnorm(-2)) # 片側を見る場合 # (6) L<-1e4 ; r<-0.5; r2<-sqrt(1-r^2) K<-31 prop.test(sum(replicate(L,{x<-rnorm(K);y<-rnorm(K)*r2+x*r;cor.test(x,y,"greater")$p.value})>=.05),L)$conf.int K<-30 prop.test(sum(replicate(L,{x<-rnorm(K);y<-rnorm(K)*r2+x*r;cor.test(x,y,"greater")$p.value})>=.05),L)$conf.int