SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 29
Baixar para ler offline
การสุ่มตัวอย่าง
2
2
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สาหรับตัวอย่าง (Sample)
N
X
N
i
i

=
= 1

N
X
N
i
i

=
−
= 1
2
2
)
( 

N
X
N
i
i

=
−
= 1
2
)
( 

การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
สาหรับประชากร (Population)
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
n
X
X
n
i
i

=
= 1
1
)
(
1
2
2
−
−
=

=
n
X
X
S
n
i
i
1
)
(
1
2
−
−
=

=
n
X
X
S
n
i
i
3
3
ค่าสัดส่วน
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรกลุ่มเดียว
การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร 2 กลุ่ม
X
=

 ˆ
n
x
p
p /
ˆ =
2
2
2
ˆ S
=


ค่าสัดส่วน
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
2
1
2
1
2
1
ˆ
ˆ X
X −
=
−
− 



2
1
2
1
ˆ
ˆ p
p
p
p −
−
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
ˆ
ˆ
S
S
=




ค่าสถิติ
พารามิเตอร์
ค่าสถิติ
พารามิเตอร์
4
4
มัธยฐาน (Median)
ฐานนิยม (Mode)
พิสัย (Range)
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
การวัดการกระจายของตัวอย่าง
ถ้า x1, x2, x3,…., xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ที่เรียงลาดับจากมากไปหาน้อย
min
x
x
R Max −
=
]
[
2
1
~
~
1
2
2
2
1
+





 +
+
=
=
n
n
n
x
x
x
x
x ถ้า n เป็นเลขคี่
ถ้า n เป็นเลขคู่
5
5
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn ค่าคงที่ c1, c2, …, cn
และ Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน
( )



+
+
+
=



=
j
i
j
i
j
i
n
n
n
n
X
X
Cov
c
c
X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V
X
E
c
X
E
c
X
E
c
Y
E
)
,
(
2
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1 n
n X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V +
+
+
=
ถ้ากาหนดให้ จะได้ว่า ดังนั้น
( ) 
=
+
+
+
= i
n
X
E
n
X
X
X
X
....
2
1 ( ) 
=
X
E
6
6
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
( ) 2

=
i
X
V
ถ้าตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน ด้วยค่า ดังนั้น
นั่นคือ ถ้ากาหนดให้ X1, X2,…, Xn มีการแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระต่อกัน
Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn ก็จะเป็นตัวแปรสุ่มปกติเช่นเดียวกัน
และ จะได้ว่า
( ) n
X
V
2

=
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
...
)
(
...
n
n
n
n
c
c
c
Y
V
c
c
c
Y
E






+
+
+
=



=
n
X
X
X
X n
+
+
+
=
....
2
1 ( )
2
2
)
( 



=
=
=
=
X
X
X
V
X
E
7
7
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด
2

ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน [N(0,1)]
โดยที่
ดังนั้น เมื่อ เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ
n
x
z


−
=

x
n
n
X
X
X






=
=
=
2
2
Example 1.
โรงงานแบตเตอรี่แห่งหนึ่ง ผลิตแบตเตอรี่ที่มีอายุการใช้งานมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ
ที่ค่าเฉลี่ย 800 ชม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 ชม. จงหาความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างหนึ่ง
ซึ่งมี 16 อัน จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยน้อยกว่า 775 ชม.
จากโจทย์พบว่า
(จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test)
40
,
800 =
= 

]
5
.
2
[
]
775
[ −

=

 z
P
x
P
5
.
2
16
40
800
775
−
=
−
=
−
=
n
x
z


0062
.
0
=
9
9
การแจกแจงของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 2 ชุด
2
2
2
1 

สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม มีค่าเฉลี่ย และ และมีความแปรปรวน และ
และถ้า และ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างกลุ่มที่ 1 และ 2 ตามลาดับ ซึ่งอิสระต่อกัน
และมีจานวนตัวอย่าง n1 และ n2 จากประชากรทั้งหมด ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็น
ของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง สามารถประมาณได้จาก
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
)
(
n
n
x
x
z




+
−
−
−
=
2
1 

2
1 x
x
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x









+
=
+
=
−
=
−
−
−
Example 2.
โรงงาน A ผลิตหลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.5 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.9 ปี โรงงาน B ผลิต
หลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.0 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 ปี จงหาความน่าจะเป็นตัวอย่าง
สุ่มของหลอดภาพขนาด 36 หลอด ซึ่งผลิตใน A จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยมากกว่าหลอดของโรงงาน B ซึ่ง
สุ่มออกมา 49 หลอด อย่างน้อย 1 ปี
จากโจทย์พบว่า
(จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test)
49
,
8
.
0
,
0
.
6
,
36
,
9
.
0
,
5
.
6 =
=
=
=
=
= B
B
B
A
A
A n
n 



9956
.
0
1
]
646
.
2
[
1
]
646
.
2
[
]
1
[ −
=

−
=

=

−
 z
P
z
P
x
x
P B
A
0044
.
0
=
646
.
2
189
.
0
5
.
0
0
.
1
)
(
)
(
2
2
=
−
=
+
−
−
−
=
B
B
A
A
B
A
B
A
n
n
x
x
z




11
11
การแจกแจงค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 1 ชุด
)
1
(
2
p
np −
=

ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และความแปรปรวน การแจกแจงของอัตราส่วนของความสาเร็จของตัวอย่าง 1 ชุด
หรือ จะสามารถประมาณได้จาก
กรณีกาหนดเป็นค่าสัดส่วน
กรณีกาหนดเป็นจานวนครั้งความสาเร็จ
)
1
(
)
1
(
)
ˆ
(
)
1
(
ˆ
p
np
np
x
p
np
p
p
n
n
p
p
p
p
z
−
−
=
−
−
=
−
−
=
np
=

p̂
Example 3.
ตัวอย่างสุ่มของเด็กเกิดใหม่ 100 คน จงหาความน่าจะเป็นของเด็กเกิดใหม่ที่จะเป็นชาย ตั้งแต่ 53-62%
ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเป็นหญิงและชายที่ค่าเท่ากัน
จากโจทย์พบว่า ความน่าจะเป็นของเด็กเกิดเป็นชาย p=0.5, n = 100
05
.
0
)
1
(
,
5
.
0 ˆ
ˆ =
−
=
=
n
p
p
p
p 






 −


−
=



05
.
0
5
.
0
62
.
0
05
.
0
5
.
0
53
.
0
]
62
.
0
ˆ
53
.
0
[ Z
P
p
P
2664
.
0
7254
.
0
9918
.
0 =
−
=
  )
6
.
0
(
)
4
.
2
(
4
.
2
6
.
0 
−

=


= Z
P
Z
P
Z
P
13
13
การแจกแจงของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด
)
1
(
)
1
( 2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 p
p
n
p
p
n −
=
−
= 

ถ้าสุ่มตัวอย่าง 2 ชุด n1 และ n2 ที่อิสระต่อกันจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และ และมีความแปรปรวน และ
ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด หรือ
สามารถประมาณได้จาก
โดยที่
(ค่า n1 และ n2 ควรมีค่าอย่างน้อย 30 ขึ้นไป)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
)
ˆ
ˆ
(
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
z
−
+
−
−
−
−
=
2
2
1
1 np
np =
= 

2
1 p
p −
2
2
2
1
1
1
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
ˆ
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
p
p
−
+
−
=
−
=
−
−


Example 4.
สุ่มตัวอย่างมา 2 ชุด จากผู้มีสิทธิเลือกตั้งชุดละ 200 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของอัตราส่วนที่
ออกเสียงให้กับผู้สมัครคนหนึ่งมากกว่า 10 % ถ้าผลการลงคะแนนในเขตนี้ปรากฏว่า ผู้สมัครคนนี้ได้รับ
คะแนนเสียง 65%
จากโจทย์พบว่า p1= p2 =0.65
)
200
)
35
.
0
(
65
.
0
200
)
35
.
0
(
65
.
0
0
1
.
0
(
]
1
.
0
ˆ
ˆ
[ 2
1
+
−

=

−
 Z
P
p
p
P
0366
.
0
)
0183
.
0
(
2
)
0964
.
2
(
2 =
=
−

= Z
P
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
( −

+

=

= Z
P
Z
P
Z
P
15
15
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย แต่ไม่ทราบความแปรปรวนว่าเป็นเท่าไหร่
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงได้จาก กรณี n มากกว่า 30
แต่หาก n มีค่าน้อยกว่า 30
จะใช้ค่าสถิติของการแจกแจงแบบ t
การหาค่า t สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง t [ ] โดยที่ คือพื้นที่ภายใต้
เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
n
s
x
z

−
=

n
s
x
n
S
n
n
x
z
t






−
=
−
−
−
=
=
1
/
)
1
(
/
2
2
2

,
t 
1
−
= n

16
16
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
17
17
องศาเสรี (degree of freedom : n – 1)
ถ้าตัวแปรตัวนั้น มี n ค่า จะแปรได้อย่างอิสระเพียง n-1 ค่า จะมีอยู่ 1 ค่า ที่ไม่มีอิสระในการแปร เช่น
EX ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 6
จานวนข้อมูลที่มีอิสระในการแปรค่าจะมีเพียง 4 จานวน เท่านั้น
จานวนที่ 5 จะไม่มีอิสระในการแปรค่า ต้องขึ้นอยู่กับอีก 4 จานวนที่แปรไปแล้ว
เช่น ถ้า จานวนที่ 1 แปรอย่างอิสระเป็น 8
จานวนที่ 2 แปรอย่างอิสระเป็น 7
จานวนที่ 3 แปรอย่างอิสระเป็น 10
จานวนที่ 4 แปรอย่างอิสระเป็น 2
จานวนที่ 5 ไม่มีสิทธิ์แปร ต้องเป็น 3 เท่านั้น จึงจะทาให้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เป็น 6
Example 5.
โรงงานผลิตหลอดไฟ พบว่าหลอดไฟมีอายุใช้งานเฉลี่ย 500 ชม. ในทุกๆ เดือนจะมีการทดสอบโดยสุ่ม
หลอดไฟ 25 หลอด จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยอายุใช้งานมากกว่า 518 ชม.
โดยตัวอย่างนี้มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) 40 ชม.
จากโจทย์พบว่า
(จากตาราง t) พบว่า t0.025,24 = 2.064 และ t0.01,24 = 2.492
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของตัวอย่างที่มีค่าเฉลี่ยมากกว่า 518 ชม. มีค่าประมาณ 0.02
]
25
.
2
[
]
518
[ 
=

 t
P
x
P
?
,
25
,
40
,
500 =
=
=
= 
 n
s
24
1
25
;
25
.
2
25
40
500
518
=
−
=
=
−
=
−
= 

n
s
x
t
2.25
0.02
19
19
)
( 2
2
2
2
1 

 =
=
สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน
ว่ามีค่าเท่าไหร่ แต่รู้ว่าเท่ากัน จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้
โดยที่ และ
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
s
x
x
t
p




+
−
−
−
=
2
1 

2
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2
−
+
−
+
−
=
n
n
s
n
s
n
sp
การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
กรณีที่ 1 )
( 2
2
2
2
1 

 =
=
2
2
1 −
+
= n
n

20
20
สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน
จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้
โดยที่ หรือ
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
)
(
n
s
n
s
x
x
t
+
−
−
−
=


2
1 

( ) ( )
2
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
+
+
+








+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
กรณีที่ 2 )
(
2
2
2
1 
 
)
(
2
2
2
1 
 
( ) ( )
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
+
−








+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

Example 6.
ตัวเร่งปฏิกิริยา 2 ยี่ห้อ ได้ถูกวิเคราะห์หาว่ามีผลต่อปฏิกิริยาเคมีหรือไม่ โดยตัวเร่ง 1 ใช้งานปัจจุบัน ตัวเร่งที่ 2 เป็นที่
ยอมรับและถูก การทดสอบเป็นดังตาราง จงหาความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยของตัวเร่งที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 2
อย่างน้อย 1 หน่วย กาหนดค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 1 และ 2 คือ 92.733, 90.255 ตามลาดับความแปรปรวนทั้ง 2 เท่ากัน
จากโจทย์พบว่า
)
095
.
1
(
]
1
)
(
[
]
1
[ 2
1
2
1 −

=
−

−
−
=

−
 t
P
P
P 



98
.
2
,
39
.
2
,
8 2
1
2
1 =
=
=
= s
s
n
n
ตัวอย่างที่ ตัวเร่ง 1 ตัวเร่ง 2
1
2
3
4
5
6
7
8
91.50
94.18
92.18
95.39
91.79
89.07
94.72
89.21
89.19
90.95
90.46
93.21
97.19
97.04
91.07
92.75
39
.
2
255
.
92
1
1
=
=
s
x
98
.
2
733
.
92
2
2
=
=
s
x
70
.
2
30
.
7
2
8
8
98
.
2
*
7
39
.
2
*
7
2
)
1
(
)
1
( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
=

=
−
+
+
=
−
+
−
+
−
= p
p s
n
n
s
n
s
n
s
095
.
1
8
1
8
1
70
.
2
)
255
.
90
733
.
92
(
1
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
−
=
+
−
−
=
+
−
−
−
=
n
n
s
x
x
t
p




14
;
)
095
.
1
( =

= 
t
P
15
.
0
=
22
22
ในการทดลองบางกรณีค่าสังเกตอาจถูกรวบรวมได้เป็นคู่ๆ โดยที่มีเงื่อนไขเดียวกัน แต่เงื่อนไขอาจ
ถูกเปลี่ยนแปลงไปสาหรับคู่อื่นๆ ให้ di เป็นผลต่างของค่าสังเกตแต่ละคู่ มีค่าเฉลี่ยของผลต่าง
ถ้ากาหนดให้ d1 , d2, … ,dn เป็นผลต่างค่าสังเกต n คู่ มีค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ความแปรปรวน
จากประชากรปกติที่มีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า
โดยที่
n
S
d
t
D
D
/

−
= 1
−
= n

การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยจากค่าสังเกตที่เป็นคู่
D

d 2
D
S
D
 2
D

Example 7.
ในการทดสอบความแข็ง ด้วยเครื่องจักร A และ B ให้ผลการทดสอบดังตาราง
)
84
.
3
(
]
1
.
0
[ 
=

 t
P
d
P
ชิ้นที่ A B แตกต่าง di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.186
1.151
1.322
1.339
1.200
1.402
1.365
1.537
1.559
1.061
0.992
1.063
1.062
1.065
1.178
1.037
1.086
1.052
0.119
0.159
0.259
0.277
0.138
0.224
0.328
0.451
0.507 0025
.
0
=
จงหาความน่าจะเป็นที่พบว่า ความแตกต่างกันของความแข็งที่วัดได้
ระหว่าง 2 เครื่องจักร มากกว่า 0.10
84
.
3
9
/
1356
.
0
10
.
0
2736
.
0
/
=
−
=
−
=
n
S
d
t
D
D

24
24
ถ้ากาหนดให้ S2 เป็นค่าความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรที่มีความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์
ได้จาก
โดยที่
2
2
2 )
1
(


S
n −
=
2

1
−
= n

การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง 1 ชุด
2

การหาค่า สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง [ ] โดยที่ คือพื้นที่
ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
2
 2
 2
,

 

25
25
การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง 1 ชุด
Example 8.
จงหาความน่าจะเป็นของตัวอย่างสุ่มขนาด 25 ที่เลือกจากประชากรปกติที่มีความแปรปรวน
เท่ากับ 6 จะมีความแปรปรวนของตัวอย่าง
(ก) มากกว่า 9.1
(ข) ระหว่าง 3.642 และ 10.745
24
1
;
6
1
.
9
)
1
25
(
)
1
(
]
1
.
9
[ 2
2
2
=
−
=







 −

−
=
 n
S
n
P
S
P 

)
( 2

)
( 2
S
05
.
0
]
4
.
36
[ 2
=

= 
P





 −


−
=


6
745
.
10
)
1
25
(
6
462
.
3
)
1
25
(
]
745
.
10
642
.
3
[ 2
2

P
S
P
94
.
0
01
.
0
95
.
0 =
−
=
]
98
.
42
[
]
848
.
13
[
]
98
.
42
848
.
13
[ 2
2
2

−

=


= 

 P
P
P
27
27
ถ้าตัวอย่างสุ่มขนาด n1 และ n2 ซึ่งสุ่มเลือกมาจากประชากรที่มีความแปรปรวน และ
ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของอัตราส่วนของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วย
การแจกแจงแบบเอฟ ดังนี้
โดยที่
2
2
2
2
2
1
2
1


S
S
F =
2
2
2
1 

1
,
1 2
2
1
1 −
=
−
= n
n 

การแจกแจงของอัตราส่วนของความแปรปรวนของตัวอย่าง 2 ชุด
การหาค่า F สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง F [ ] โดยที่ คือพื้นที่
ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
2
1 ,
, 


F 
2
1,

28
28
การแจกแจงของอัตราส่วนความแปรปรวนของตัวอย่าง 2 ชุด
Example 9.
ถ้า และ เป็นความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่ม ซึ่งเลือกมาโดยเป็นอิสระต่อกันจากประชากรปกติ
ซึ่งมีความแปรปรวน และ โดยมีขนาดตัวอย่าง n1= 25, n2= 31 ตามลาดับ
จงหาค่า
15
10 2
2
2
1 =
= 

2
2
2
1 S
S








 26
.
1
2
2
2
1
S
S
P
)
30
,
24
(
;
05
.
0
)
89
.
1
( =
=

= 
F
P
)
1
,
1
(
; 2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
−
−
=
= n
n
S
S
F 


2
2
2
1
10
15
S
S
=
)
89
.
1
(
10
15
*
26
.
1
10
15
26
.
1 2
2
2
1
2
2
2
1

=









=








 F
P
S
S
P
S
S
P

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

การวิจัยเชิงสำรวจ
การวิจัยเชิงสำรวจการวิจัยเชิงสำรวจ
การวิจัยเชิงสำรวจkhuwawa2513
 
แบบทดสอบ คิดคำนวณ ป.3
แบบทดสอบ  คิดคำนวณ ป.3แบบทดสอบ  คิดคำนวณ ป.3
แบบทดสอบ คิดคำนวณ ป.3Khunnawang Khunnawang
 
การจัดหมู่
การจัดหมู่การจัดหมู่
การจัดหมู่supamit jandeewong
 
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผล
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผลบทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผล
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผลมะม่วงกระล่อน จริงๆ
 
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐานการเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน0901326013
 
09เคมีไฟฟ้า
09เคมีไฟฟ้า09เคมีไฟฟ้า
09เคมีไฟฟ้าkanjanachem
 
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษา
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษาความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษา
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษาPitchayakarn Nitisahakul
 
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)Chantana Papattha
 
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3Tangkwa Dong
 
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์hoossanee
 
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนามวชิรญาณ์ พูลศรี
 
1.รับรู้ตอบสนอง
1.รับรู้ตอบสนอง1.รับรู้ตอบสนอง
1.รับรู้ตอบสนองWichai Likitponrak
 
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพ
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพข้อสอบ O net - การงานอาชีพ
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพSiwadolChaimano
 
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)kroofon fon
 
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1teerachon
 
กระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อกระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อwisheskerdsilp
 
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5Khunnawang Khunnawang
 
การเขียนบทสารคดี-01
การเขียนบทสารคดี-01การเขียนบทสารคดี-01
การเขียนบทสารคดี-01Apida Runvat
 

Mais procurados (20)

การวิจัยเชิงสำรวจ
การวิจัยเชิงสำรวจการวิจัยเชิงสำรวจ
การวิจัยเชิงสำรวจ
 
แบบทดสอบ คิดคำนวณ ป.3
แบบทดสอบ  คิดคำนวณ ป.3แบบทดสอบ  คิดคำนวณ ป.3
แบบทดสอบ คิดคำนวณ ป.3
 
การจัดหมู่
การจัดหมู่การจัดหมู่
การจัดหมู่
 
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผล
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผลบทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผล
บทที่ 8 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวัดผลและประเมินผล
 
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐานการเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน
การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน
 
09เคมีไฟฟ้า
09เคมีไฟฟ้า09เคมีไฟฟ้า
09เคมีไฟฟ้า
 
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษา
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษาความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษา
ความหมายและทฤษฏีการบริหารสถานศึกษา
 
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)
ทฤษฎีการเรียนรู้ (Learning theory)
 
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3
ข้อสอบ คณิตศาสตร์ ป.3
 
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์
ทฤษฎีพัฒนาการของฟรอยด์
 
โจทย์ปัญหาระคนป.3 4
โจทย์ปัญหาระคนป.3 4โจทย์ปัญหาระคนป.3 4
โจทย์ปัญหาระคนป.3 4
 
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนาม
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องพหุนาม
 
1.รับรู้ตอบสนอง
1.รับรู้ตอบสนอง1.รับรู้ตอบสนอง
1.รับรู้ตอบสนอง
 
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพ
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพข้อสอบ O net - การงานอาชีพ
ข้อสอบ O net - การงานอาชีพ
 
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
กิจกรรมสะเต็มศึกษา (สสวท.)
 
รวมแนวข้อสอบกรุข้อสอบผู้บริหาร
รวมแนวข้อสอบกรุข้อสอบผู้บริหารรวมแนวข้อสอบกรุข้อสอบผู้บริหาร
รวมแนวข้อสอบกรุข้อสอบผู้บริหาร
 
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1
แบบทดสอบ การงานอาชีพและเทคโนโลยี ม.1
 
กระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อกระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อ
 
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5
ข้อสอบ LAS ปี ๒๕๕๗ วิทยาศาสตร์ ป.5
 
การเขียนบทสารคดี-01
การเขียนบทสารคดี-01การเขียนบทสารคดี-01
การเขียนบทสารคดี-01
 

Semelhante a บทที่6.pdf

บทที่7.pdf
บทที่7.pdfบทที่7.pdf
บทที่7.pdfsewahec743
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 sensehaza
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)kroojaja
 
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ4821010054
 
Brandssummercamp 2012 feb55_math
Brandssummercamp 2012 feb55_mathBrandssummercamp 2012 feb55_math
Brandssummercamp 2012 feb55_mathR PP
 
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEO-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEFocusjung Suchat
 
Spc basic for training in thai
Spc basic for training in thaiSpc basic for training in thai
Spc basic for training in thaiKrissana Manoping
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]IKHG
 
วิทยาศาสตร์อุต
วิทยาศาสตร์อุตวิทยาศาสตร์อุต
วิทยาศาสตร์อุตSupa Kommee
 
8พลังงานภายในระบบ
8พลังงานภายในระบบ8พลังงานภายในระบบ
8พลังงานภายในระบบWijitta DevilTeacher
 

Semelhante a บทที่6.pdf (20)

บทที่7.pdf
บทที่7.pdfบทที่7.pdf
บทที่7.pdf
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)
 
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ
ว เคราะห แบบทดสอบ 5 ข_อ
 
Brandssummercamp 2012 feb55_math
Brandssummercamp 2012 feb55_mathBrandssummercamp 2012 feb55_math
Brandssummercamp 2012 feb55_math
 
Stat101 Module 1 สถิติเบื้องต้น
Stat101 Module 1 สถิติเบื้องต้นStat101 Module 1 สถิติเบื้องต้น
Stat101 Module 1 สถิติเบื้องต้น
 
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEO-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
 
Spc basic for training in thai
Spc basic for training in thaiSpc basic for training in thai
Spc basic for training in thai
 
4ชนิดของเซต
4ชนิดของเซต4ชนิดของเซต
4ชนิดของเซต
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]
 
666
666666
666
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]
 
Prob[3]
Prob[3]Prob[3]
Prob[3]
 
Prob[1]
Prob[1]Prob[1]
Prob[1]
 
วิทยาศาสตร์อุต
วิทยาศาสตร์อุตวิทยาศาสตร์อุต
วิทยาศาสตร์อุต
 
8พลังงานภายในระบบ
8พลังงานภายในระบบ8พลังงานภายในระบบ
8พลังงานภายในระบบ
 
สรุปสถิติ
สรุปสถิติสรุปสถิติ
สรุปสถิติ
 
Rain chain 609
Rain chain 609Rain chain 609
Rain chain 609
 
แบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริง
แบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริงแบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริง
แบบทดสอบ เรื่อง จำนวนจริง
 

Mais de sewahec743

บทที่10.pdf
บทที่10.pdfบทที่10.pdf
บทที่10.pdfsewahec743
 
บทที่9.pdf
บทที่9.pdfบทที่9.pdf
บทที่9.pdfsewahec743
 
บทที่8.pdf
บทที่8.pdfบทที่8.pdf
บทที่8.pdfsewahec743
 
บทที่5.pdf
บทที่5.pdfบทที่5.pdf
บทที่5.pdfsewahec743
 
บทที่4.pdf
บทที่4.pdfบทที่4.pdf
บทที่4.pdfsewahec743
 
บทที่3.pdf
บทที่3.pdfบทที่3.pdf
บทที่3.pdfsewahec743
 
บทที่2.pdf
บทที่2.pdfบทที่2.pdf
บทที่2.pdfsewahec743
 
บทที่1.pdf
บทที่1.pdfบทที่1.pdf
บทที่1.pdfsewahec743
 

Mais de sewahec743 (8)

บทที่10.pdf
บทที่10.pdfบทที่10.pdf
บทที่10.pdf
 
บทที่9.pdf
บทที่9.pdfบทที่9.pdf
บทที่9.pdf
 
บทที่8.pdf
บทที่8.pdfบทที่8.pdf
บทที่8.pdf
 
บทที่5.pdf
บทที่5.pdfบทที่5.pdf
บทที่5.pdf
 
บทที่4.pdf
บทที่4.pdfบทที่4.pdf
บทที่4.pdf
 
บทที่3.pdf
บทที่3.pdfบทที่3.pdf
บทที่3.pdf
 
บทที่2.pdf
บทที่2.pdfบทที่2.pdf
บทที่2.pdf
 
บทที่1.pdf
บทที่1.pdfบทที่1.pdf
บทที่1.pdf
 

บทที่6.pdf

  • 2. 2 2 ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สาหรับตัวอย่าง (Sample) N X N i i  = = 1  N X N i i  = − = 1 2 2 ) (   N X N i i  = − = 1 2 ) (   การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation) สาหรับประชากร (Population) ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน n X X n i i  = = 1 1 ) ( 1 2 2 − − =  = n X X S n i i 1 ) ( 1 2 − − =  = n X X S n i i
  • 3. 3 3 ค่าสัดส่วน ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation) การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรกลุ่มเดียว การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร 2 กลุ่ม X =   ˆ n x p p / ˆ = 2 2 2 ˆ S =   ค่าสัดส่วน ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ X X − = − −     2 1 2 1 ˆ ˆ p p p p − − 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ˆ ˆ S S =     ค่าสถิติ พารามิเตอร์ ค่าสถิติ พารามิเตอร์
  • 4. 4 4 มัธยฐาน (Median) ฐานนิยม (Mode) พิสัย (Range) การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation) การวัดการกระจายของตัวอย่าง ถ้า x1, x2, x3,…., xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ที่เรียงลาดับจากมากไปหาน้อย min x x R Max − = ] [ 2 1 ~ ~ 1 2 2 2 1 +       + + = = n n n x x x x x ถ้า n เป็นเลขคี่ ถ้า n เป็นเลขคู่
  • 5. 5 5 การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution) ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn ค่าคงที่ c1, c2, …, cn และ Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน ( )    + + + =    = j i j i j i n n n n X X Cov c c X V c X V c X V c Y V X E c X E c X E c Y E ) , ( 2 ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1 n n X V c X V c X V c Y V + + + = ถ้ากาหนดให้ จะได้ว่า ดังนั้น ( )  = + + + = i n X E n X X X X .... 2 1 ( )  = X E
  • 6. 6 6 การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution) ( ) 2  = i X V ถ้าตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน ด้วยค่า ดังนั้น นั่นคือ ถ้ากาหนดให้ X1, X2,…, Xn มีการแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระต่อกัน Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn ก็จะเป็นตัวแปรสุ่มปกติเช่นเดียวกัน และ จะได้ว่า ( ) n X V 2  = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ... ) ( ... n n n n c c c Y V c c c Y E       + + + =    = n X X X X n + + + = .... 2 1 ( ) 2 2 ) (     = = = = X X X V X E
  • 7. 7 7 การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด 2  ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน [N(0,1)] โดยที่ ดังนั้น เมื่อ เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ n x z   − =  x n n X X X       = = = 2 2
  • 8. Example 1. โรงงานแบตเตอรี่แห่งหนึ่ง ผลิตแบตเตอรี่ที่มีอายุการใช้งานมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ ที่ค่าเฉลี่ย 800 ชม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 ชม. จงหาความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งมี 16 อัน จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยน้อยกว่า 775 ชม. จากโจทย์พบว่า (จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test) 40 , 800 = =   ] 5 . 2 [ ] 775 [ −  =   z P x P 5 . 2 16 40 800 775 − = − = − = n x z   0062 . 0 =
  • 9. 9 9 การแจกแจงของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 2 ชุด 2 2 2 1   สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม มีค่าเฉลี่ย และ และมีความแปรปรวน และ และถ้า และ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างกลุ่มที่ 1 และ 2 ตามลาดับ ซึ่งอิสระต่อกัน และมีจานวนตัวอย่าง n1 และ n2 จากประชากรทั้งหมด ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็น ของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง สามารถประมาณได้จาก 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( n n x x z     + − − − = 2 1   2 1 x x 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n x x x x x x          + = + = − = − − −
  • 10. Example 2. โรงงาน A ผลิตหลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.5 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.9 ปี โรงงาน B ผลิต หลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.0 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 ปี จงหาความน่าจะเป็นตัวอย่าง สุ่มของหลอดภาพขนาด 36 หลอด ซึ่งผลิตใน A จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยมากกว่าหลอดของโรงงาน B ซึ่ง สุ่มออกมา 49 หลอด อย่างน้อย 1 ปี จากโจทย์พบว่า (จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test) 49 , 8 . 0 , 0 . 6 , 36 , 9 . 0 , 5 . 6 = = = = = = B B B A A A n n     9956 . 0 1 ] 646 . 2 [ 1 ] 646 . 2 [ ] 1 [ − =  − =  =  −  z P z P x x P B A 0044 . 0 = 646 . 2 189 . 0 5 . 0 0 . 1 ) ( ) ( 2 2 = − = + − − − = B B A A B A B A n n x x z    
  • 11. 11 11 การแจกแจงค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 1 ชุด ) 1 ( 2 p np − =  ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน การแจกแจงของอัตราส่วนของความสาเร็จของตัวอย่าง 1 ชุด หรือ จะสามารถประมาณได้จาก กรณีกาหนดเป็นค่าสัดส่วน กรณีกาหนดเป็นจานวนครั้งความสาเร็จ ) 1 ( ) 1 ( ) ˆ ( ) 1 ( ˆ p np np x p np p p n n p p p p z − − = − − = − − = np =  p̂
  • 12. Example 3. ตัวอย่างสุ่มของเด็กเกิดใหม่ 100 คน จงหาความน่าจะเป็นของเด็กเกิดใหม่ที่จะเป็นชาย ตั้งแต่ 53-62% ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเป็นหญิงและชายที่ค่าเท่ากัน จากโจทย์พบว่า ความน่าจะเป็นของเด็กเกิดเป็นชาย p=0.5, n = 100 05 . 0 ) 1 ( , 5 . 0 ˆ ˆ = − = = n p p p p         −   − =    05 . 0 5 . 0 62 . 0 05 . 0 5 . 0 53 . 0 ] 62 . 0 ˆ 53 . 0 [ Z P p P 2664 . 0 7254 . 0 9918 . 0 = − =   ) 6 . 0 ( ) 4 . 2 ( 4 . 2 6 . 0  −  =   = Z P Z P Z P
  • 13. 13 13 การแจกแจงของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 p p n p p n − = − =   ถ้าสุ่มตัวอย่าง 2 ชุด n1 และ n2 ที่อิสระต่อกันจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และ และมีความแปรปรวน และ ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด หรือ สามารถประมาณได้จาก โดยที่ (ค่า n1 และ n2 ควรมีค่าอย่างน้อย 30 ขึ้นไป) 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ˆ ˆ ( n p p n p p p p p p z − + − − − − = 2 2 1 1 np np = =   2 1 p p − 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 1 n p p n p p p p p p p p − + − = − = − −  
  • 14. Example 4. สุ่มตัวอย่างมา 2 ชุด จากผู้มีสิทธิเลือกตั้งชุดละ 200 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของอัตราส่วนที่ ออกเสียงให้กับผู้สมัครคนหนึ่งมากกว่า 10 % ถ้าผลการลงคะแนนในเขตนี้ปรากฏว่า ผู้สมัครคนนี้ได้รับ คะแนนเสียง 65% จากโจทย์พบว่า p1= p2 =0.65 ) 200 ) 35 . 0 ( 65 . 0 200 ) 35 . 0 ( 65 . 0 0 1 . 0 ( ] 1 . 0 ˆ ˆ [ 2 1 + −  =  −  Z P p p P 0366 . 0 ) 0183 . 0 ( 2 ) 0964 . 2 ( 2 = = −  = Z P ) 0964 . 2 ( ) 0964 . 2 ( ) 0964 . 2 ( −  +  =  = Z P Z P Z P
  • 15. 15 15 การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน) ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย แต่ไม่ทราบความแปรปรวนว่าเป็นเท่าไหร่ จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงได้จาก กรณี n มากกว่า 30 แต่หาก n มีค่าน้อยกว่า 30 จะใช้ค่าสถิติของการแจกแจงแบบ t การหาค่า t สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง t [ ] โดยที่ คือพื้นที่ภายใต้ เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom) n s x z  − =  n s x n S n n x z t       − = − − − = = 1 / ) 1 ( / 2 2 2  , t  1 − = n 
  • 17. 17 17 องศาเสรี (degree of freedom : n – 1) ถ้าตัวแปรตัวนั้น มี n ค่า จะแปรได้อย่างอิสระเพียง n-1 ค่า จะมีอยู่ 1 ค่า ที่ไม่มีอิสระในการแปร เช่น EX ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 6 จานวนข้อมูลที่มีอิสระในการแปรค่าจะมีเพียง 4 จานวน เท่านั้น จานวนที่ 5 จะไม่มีอิสระในการแปรค่า ต้องขึ้นอยู่กับอีก 4 จานวนที่แปรไปแล้ว เช่น ถ้า จานวนที่ 1 แปรอย่างอิสระเป็น 8 จานวนที่ 2 แปรอย่างอิสระเป็น 7 จานวนที่ 3 แปรอย่างอิสระเป็น 10 จานวนที่ 4 แปรอย่างอิสระเป็น 2 จานวนที่ 5 ไม่มีสิทธิ์แปร ต้องเป็น 3 เท่านั้น จึงจะทาให้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เป็น 6
  • 18. Example 5. โรงงานผลิตหลอดไฟ พบว่าหลอดไฟมีอายุใช้งานเฉลี่ย 500 ชม. ในทุกๆ เดือนจะมีการทดสอบโดยสุ่ม หลอดไฟ 25 หลอด จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยอายุใช้งานมากกว่า 518 ชม. โดยตัวอย่างนี้มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) 40 ชม. จากโจทย์พบว่า (จากตาราง t) พบว่า t0.025,24 = 2.064 และ t0.01,24 = 2.492 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของตัวอย่างที่มีค่าเฉลี่ยมากกว่า 518 ชม. มีค่าประมาณ 0.02 ] 25 . 2 [ ] 518 [  =   t P x P ? , 25 , 40 , 500 = = = =   n s 24 1 25 ; 25 . 2 25 40 500 518 = − = = − = − =   n s x t 2.25 0.02
  • 19. 19 19 ) ( 2 2 2 2 1    = = สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน ว่ามีค่าเท่าไหร่ แต่รู้ว่าเท่ากัน จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้ โดยที่ และ ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n s x x t p     + − − − = 2 1   2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n sp การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน) กรณีที่ 1 ) ( 2 2 2 2 1    = = 2 2 1 − + = n n 
  • 20. 20 20 สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้ โดยที่ หรือ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( n s n s x x t + − − − =   2 1   ( ) ( ) 2 1 / 1 / 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − + + +         + = n n s n n s n s n s  การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน) กรณีที่ 2 ) ( 2 2 2 1    ) ( 2 2 2 1    ( ) ( ) 1 / 1 / 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − + −         + = n n s n n s n s n s 
  • 21. Example 6. ตัวเร่งปฏิกิริยา 2 ยี่ห้อ ได้ถูกวิเคราะห์หาว่ามีผลต่อปฏิกิริยาเคมีหรือไม่ โดยตัวเร่ง 1 ใช้งานปัจจุบัน ตัวเร่งที่ 2 เป็นที่ ยอมรับและถูก การทดสอบเป็นดังตาราง จงหาความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยของตัวเร่งที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 2 อย่างน้อย 1 หน่วย กาหนดค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 1 และ 2 คือ 92.733, 90.255 ตามลาดับความแปรปรวนทั้ง 2 เท่ากัน จากโจทย์พบว่า ) 095 . 1 ( ] 1 ) ( [ ] 1 [ 2 1 2 1 −  = −  − − =  −  t P P P     98 . 2 , 39 . 2 , 8 2 1 2 1 = = = = s s n n ตัวอย่างที่ ตัวเร่ง 1 ตัวเร่ง 2 1 2 3 4 5 6 7 8 91.50 94.18 92.18 95.39 91.79 89.07 94.72 89.21 89.19 90.95 90.46 93.21 97.19 97.04 91.07 92.75 39 . 2 255 . 92 1 1 = = s x 98 . 2 733 . 92 2 2 = = s x 70 . 2 30 . 7 2 8 8 98 . 2 * 7 39 . 2 * 7 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 =  = − + + = − + − + − = p p s n n s n s n s 095 . 1 8 1 8 1 70 . 2 ) 255 . 90 733 . 92 ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 − = + − − = + − − − = n n s x x t p     14 ; ) 095 . 1 ( =  =  t P 15 . 0 =
  • 22. 22 22 ในการทดลองบางกรณีค่าสังเกตอาจถูกรวบรวมได้เป็นคู่ๆ โดยที่มีเงื่อนไขเดียวกัน แต่เงื่อนไขอาจ ถูกเปลี่ยนแปลงไปสาหรับคู่อื่นๆ ให้ di เป็นผลต่างของค่าสังเกตแต่ละคู่ มีค่าเฉลี่ยของผลต่าง ถ้ากาหนดให้ d1 , d2, … ,dn เป็นผลต่างค่าสังเกต n คู่ มีค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ความแปรปรวน จากประชากรปกติที่มีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า โดยที่ n S d t D D /  − = 1 − = n  การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยจากค่าสังเกตที่เป็นคู่ D  d 2 D S D  2 D 
  • 23. Example 7. ในการทดสอบความแข็ง ด้วยเครื่องจักร A และ B ให้ผลการทดสอบดังตาราง ) 84 . 3 ( ] 1 . 0 [  =   t P d P ชิ้นที่ A B แตกต่าง di 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.186 1.151 1.322 1.339 1.200 1.402 1.365 1.537 1.559 1.061 0.992 1.063 1.062 1.065 1.178 1.037 1.086 1.052 0.119 0.159 0.259 0.277 0.138 0.224 0.328 0.451 0.507 0025 . 0 = จงหาความน่าจะเป็นที่พบว่า ความแตกต่างกันของความแข็งที่วัดได้ ระหว่าง 2 เครื่องจักร มากกว่า 0.10 84 . 3 9 / 1356 . 0 10 . 0 2736 . 0 / = − = − = n S d t D D 
  • 24. 24 24 ถ้ากาหนดให้ S2 เป็นค่าความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรที่มีความแปรปรวน การแจกแจงความน่าจะเป็นของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์ ได้จาก โดยที่ 2 2 2 ) 1 (   S n − = 2  1 − = n  การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง 1 ชุด 2  การหาค่า สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง [ ] โดยที่ คือพื้นที่ ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom) 2  2  2 ,    
  • 26. Example 8. จงหาความน่าจะเป็นของตัวอย่างสุ่มขนาด 25 ที่เลือกจากประชากรปกติที่มีความแปรปรวน เท่ากับ 6 จะมีความแปรปรวนของตัวอย่าง (ก) มากกว่า 9.1 (ข) ระหว่าง 3.642 และ 10.745 24 1 ; 6 1 . 9 ) 1 25 ( ) 1 ( ] 1 . 9 [ 2 2 2 = − =         −  − =  n S n P S P   ) ( 2  ) ( 2 S 05 . 0 ] 4 . 36 [ 2 =  =  P       −   − =   6 745 . 10 ) 1 25 ( 6 462 . 3 ) 1 25 ( ] 745 . 10 642 . 3 [ 2 2  P S P 94 . 0 01 . 0 95 . 0 = − = ] 98 . 42 [ ] 848 . 13 [ ] 98 . 42 848 . 13 [ 2 2 2  −  =   =    P P P
  • 27. 27 27 ถ้าตัวอย่างสุ่มขนาด n1 และ n2 ซึ่งสุ่มเลือกมาจากประชากรที่มีความแปรปรวน และ ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของอัตราส่วนของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วย การแจกแจงแบบเอฟ ดังนี้ โดยที่ 2 2 2 2 2 1 2 1   S S F = 2 2 2 1   1 , 1 2 2 1 1 − = − = n n   การแจกแจงของอัตราส่วนของความแปรปรวนของตัวอย่าง 2 ชุด การหาค่า F สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง F [ ] โดยที่ คือพื้นที่ ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom) 2 1 , ,    F  2 1, 
  • 29. Example 9. ถ้า และ เป็นความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่ม ซึ่งเลือกมาโดยเป็นอิสระต่อกันจากประชากรปกติ ซึ่งมีความแปรปรวน และ โดยมีขนาดตัวอย่าง n1= 25, n2= 31 ตามลาดับ จงหาค่า 15 10 2 2 2 1 = =   2 2 2 1 S S          26 . 1 2 2 2 1 S S P ) 30 , 24 ( ; 05 . 0 ) 89 . 1 ( = =  =  F P ) 1 , 1 ( ; 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 − − = = n n S S F    2 2 2 1 10 15 S S = ) 89 . 1 ( 10 15 * 26 . 1 10 15 26 . 1 2 2 2 1 2 2 2 1  =          =          F P S S P S S P