1.
การแจกแจงความน่าจะเป็น

2.
การแจกแจงความน่าจะเป็น
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม คือ ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์
ของตัวแปรสุ่ม และโอกาสที่จะเกิดตัวแปรสุ่มนั้นๆ
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ประเภท ตามประเภทของตัวแปรสุ่ม
1) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มไม่ต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบเบอร์นูลี
❖ การแจกแจงแบบทวินาม
❖ การแจกแจงแบบพหุนาม/อเนกนาม
❖ การแจกแจงแบบปัวส์ซอง
❖ การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก
❖ การแจกแจงแบบเรขาคณิต
❖ การแจกแจงแบบทวินามเชิงลบ

3.
การแจกแจงความน่าจะเป็น
2) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบเอ็กโพเนนเชียน
❖ การแจกแจงแบบปกติ
❖ การแจกแจงแบบเออแลง
❖ การแจกแจงแบบแกมมา
❖ การแจกแจงแบบไวน์บูล
❖ การแจกแจงแบบเบต้า

4.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
1. การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Discrete Uniform Distribution) [x ~ U(k)]
ตัวแปรสุ่ม X มีค่าที่เป็นไปได้ k ที่แตกต่างกันคือ x1, x2, x3,…,xk และมีโอกาสหรือความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
P(X=xi) = f(xi)=1/k ; x=x1,x2,…,xk, k>0
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน 
 =

−
=
−
=
=
=
k
i
i
i
x
i x
k
x
X
P
x
X
V
1
2
2
2
2
)
(
1
)
(
)
( 



 =

=
=
=
=
k
i
i
x
i
i x
k
x
X
P
x
X
E
1
1
)
(
)
(


5.
Example 1.
ถ้าโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ x แทนแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋า
พบว่า โอกาสหรือความน่าจะเป็นในการเกิดขึ้น เท่าๆ กัน ดังนั้น [x ~ U(k=6)]
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
;
6
1
)
( =
=
= x
x
X
P

6.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Discrete Uniform Distribution)
ในกรณีค่าของ X อยู่ในช่วง [a,b] และเป็นจานวนนับที่ต่างกันเท่ากับ 1 และ a≤b ความน่าจะเป็นของ X หาได้โดย
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
12
1
)
1
(
)
(
2
−
+
−
=
=
a
b
X
V

2
)
(
)
(
)
(
a
b
x
X
P
x
X
E
x
i
i
+
=
=
=
= 


b
x
a
a
b
x
X
P 

+
−
=
= ;
1
1
)
(

7.
Example 2.
ถ้าโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง พบว่า a=1 และ b=6ให้ x แทนแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋า
7078
.
1
12
35
12
1
)
1
1
6
(
12
1
)
1
( 2
2
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
a
b

5
.
3
2
1
6
2
)
(
)
( =
+
=
+
=
=
a
b
X
E


8.
Example 3.
ระบบโทรศัพท์เอกชนแห่งหนึ่ง ติดตั้งไว้ 48 คู่สาย กาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X แทนจานวนสายที่ใช้งานอยู่ ณ เวลาที่สนใจและ
โอกาสในการใช้สายเท่าๆ กัน จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของจานวนสายที่ถูกใช้งาน
X = จานวนของสายโทรศัพท์ที่ใช้งานอยู่ ณ เวลาที่สนใจ ดังนั้น X = 0, 1, 2,…, 48
โอกาสในการใช้สายมีเท่าๆ กัน ดังนั้น [x ~ U(k=49)]
จะได้ว่า a=0 และ b=48
คู่สาย
คู่สาย
14
.
14
12
35
12
1
)
1
0
48
(
12
1
)
1
( 2
2
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
a
b

24
2
0
48
2
)
(
=
+
=
+
=
a
b

48
..,
,.
2
,
1
,
0
;
49
1
1
1
)
( =
=
+
−
=
= x
a
b
x
X
P

9.
2. การแจกแจงแบบเบอร์นูลี (Bernoulli Distribution)
ตัวแปรสุ่ม X มีค่าที่เป็นไปได้เพียง 2 ค่า คือ ถูก-ผิด สาเร็จ-ไม่สาเร็จ หรือ หัว-ก้อย และเกิดจากการทดลองเพียงครั้ง
เดียว (n=1) และมีโอกาสพบความสาเร็จคงที่ = p (0≤p≤1)
P(X=x) = pxq1-x ; x= 0, 1 และ q= 1-p
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
)
1
(
)
(
)
( 2
2
2
p
p
p
x
X
P
x
X
V
x
−
=
−
=
=
= 


p
x
X
P
x
X
E
x
i
i =
=
=
= 

)
(
)
(


10.
Example 4.
ในการโยนเหรียญ 1 ครั้ง ถ้าสนใจ X= จานวนครั้งที่ได้หัว (H) จากการโยน
P = โอกาสที่จะได้หัวจากการโยน = ½
ดังนั้น
1
,
0
;
)
( )
1
(
=
=
= −
x
q
p
x
X
P x
x
2
1
)
( =
= x
X
P
4
1
)
1
(
)
(
2
1
)
( =
−
=
=
= p
p
X
V
and
p
X
E

11.
3. การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution)
เป็นการทดลองที่ผลของตัวแปรสุ่ม X มีค่าที่เป็นไปได้เพียง 2 ค่า เช่นเดียวกับเบอร์นูลี แต่ทดลองซ้าๆ n ครั้ง (n>1)
สัญลักษณ์คือ [x ~ B(n,p)] n:จานวนครั้งการทดลอง p: โอกาสที่ความสาเร็จ
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
)
1
(
]
[
)
(
1
2
p
np
X
V
X
V
n
i
i −
=
=
= 
=

np
X
E
X
E i
n
i
=
=
= 
=
)
(
)
(
1

1
0
,...,
2
,
1
,
0
)
1
(
]
[ 

=
−








=
= −
p
n
x
p
p
x
n
x
X
P x
n
x

12.
Example 5.
ในการตรวจสอบคุณภาพสินค้าแบบสุ่มครั้งละ 4 ชิ้น จากข้อมูลในอดีตพบว่ามีโอกาสที่สินค้าจะบกพร่อง 10% ถ้ากาหนด
ให้ X แทนจานวนสินค้าที่บกพร่องจากการสุ่มตรวจ 4 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นในการตรวจสอบแต่ละครั้งพบว่าสินค้า
บกพร่อง 2 ชิ้น
กาหนดให้ X จานวนสินค้าที่บกพร่องจากการสุ่มตรวจจานวน 4 ชิ้น
N สินค้าบกพร่อง , S สินค้าไม่บกพร่อง
P(X=2) = P(SSNN)+P(SNSN)+P(SNNS)+P(NSSN)+
P(NSNS)+P(NNSS)
= P(S)P(S)P(N)P(N)+...+P(N)P(N)P(S)P(S)
= (0.9)(0.9)(0.1)(0.1)+...+(0.1)(0.1)(0.9)(0.9)
= (0.0081)*6
= 0.0486
ผลลัพธ์ x ผลลัพธ์ x ผลลัพธ์ x ผลลัพธ์ x
SSSS 0 SNSS 1 NSSS 1 NNSS 2
SSSN 1 SNSN 2 NSSN 2 NNSN 3
SSNS 1 SNNS 2 NSNS 2 NNNS 3
SSNN 2 SNNN 3 NSNN 3 NNNN 4

13.
Example 5.(ต่อ)
หรือหาความน่าจะเป็นจาก ความสัมพันธ์ตามรูปแบบการแจกแจงแบบทวินาม
x
n
x
q
p
x
n
x
X
P −








=
= )
(
4
,
3
,
2
,
1
,
0
;
)
9
.
0
(
)
1
.
0
(
4 4
=








= −
x
x
x
x
2
4
2
)
9
.
0
(
)
1
.
0
(
2
4
)
2
( −








=
=
X
P
0486
.
0
=

14.
Example 6.
ในการทอดลูกเต๋าคู่หนึ่ง 15 ครั้ง ถ้าให้ผลสาเร็จคือเหตุการณ์ที่ผลรวมของลูกเต๋าทั้ง 2 ลูกเท่ากับ 5 หรือ 6 จงหา
1) ความน่าจะเป็นที่ได้ความสาเร็จ อย่างมาก 4 ครั้ง
ให้ X คือจานวนครั้งที่พบผลรวมเท่ากับ 5 หรือ 6
โอกาสที่ทอดลูกเต๋าแล้วพบว่าผลรวมเท่ากับ 5 หรือ 6
2) ความน่าจะเป็นที่ได้ความสาเร็จ 5 ครั้ง
3) ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
4
0
)
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
4
(
i
x
i
x
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
  25
.
0
36
9
)
1
,
5
(
),
2
,
4
(
),
3
,
3
(
),
4
,
2
(
),
5
,
1
(
),
1
,
4
(
),
4
,
1
(
),
2
,
3
(
),
3
,
2
( =
=
=
p
6865
.
0
75
.
0
25
.
0
4
15
...
75
.
0
25
.
0
1
15
75
.
0
25
.
0
0
15
75
.
0
25
.
0
15
)
4
( 11
4
14
1
15
0
15
=








+
+








+








=








=

  − i
i x
x
i
x
X
P
1651
.
0
75
.
0
25
.
0
5
15
)
5
( 10
5
=








=
=
 X
P
81
.
2
)
75
.
0
)(
25
.
0
(
15
)
1
(
)
(
75
.
3
)
25
.
0
(
15
)
(
=
=
−
=
=
=
=
p
np
X
V
np
X
E

15.
Example 7.
ในการตรวจสอบคุณภาพน้าดื่ม ฝ่ายประกันคุณภาพมีสถิติว่า มีโอกาสตรวจพบสารแขวนลอย 10% ในการตรวจสอบ 18 ขวด
โดยการสุ่มแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน จงหา
1) ความน่าจะเป็นที่ผลตรวจสอบพบว่ามีสารแขวนลอยอยู่ 2 ขวด
ให้ X คือจานวนน้าดื่มที่ตรวจพบสารแขวนลอยจากการสุ่มตรวจ 18 ขวด ดังนั้น X ~ B(18,0.1)
2) ความน่าจะเป็นที่ผลตรวจสอบพบว่ามีสารแขวนลอยอย่างน้อย 4 ขวด
3) ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของน้าดื่มที่ตรวจสอบ
284
.
0
)
9
.
0
(
)
1
.
0
(
!
16
!
2
!
18
)
9
.
0
(
)
1
.
0
(
2
18
)
2
( 16
2
2
18
2
=
=








=
= −
X
P

=
−
=
+
+
+
−
=








−
=

−
=

−
=


3
0
18
098
.
0
)
168
.
0
284
.
0
3
.
0
15
.
0
(
1
9
.
0
1
.
0
18
1
)
3
(
1
)
4
(
1
)
4
(
i
i
i
x
x
x
i
x
X
P
X
P
X
P
62
.
1
)
9
.
0
)(
1
.
0
(
18
)
1
(
)
(
8
.
1
)
1
.
0
(
18
)
(
=
=
−
=
=
=
=
p
np
X
V
np
X
E

16.
Example 8.
จากข้อมูลการไฟฟ้าพบว่า 70% ของคนกทม. ชาระค่าไฟฟ้าภายในกาหนด ถ้าสุ่มตัวอย่างมา 20 ครอบครัว จงหา prob.ที่
1) ทั้ง 20 ครอบครัวชาระค่าไฟตรงตามกาหนด
ให้ X คือจานวนครอบครัวที่ชาระค่าไฟภายในกาหนด X~ B(n=20,p=0.7)
2) มีอย่างน้อย 1 ครอบครัวที่ไม่ชาระภายในกาหนด
3) มีอย่างน้อย 2 ครอบครัวที่ไม่ชาระภายในกาหนด
000798
.
0
)
3
.
0
(
)
7
.
0
(
20
20
)
20
( 0
20
=








=
=
X
P
999202
.
0
000798
.
0
1
)
20
(
1 =
−
=
=
− X
P
)]
19
(
)
20
(
[
1
)
0
(
...
)
17
(
)
18
(
=
+
=
−
=
=
+
+
=
+
=
=
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P

17.
4. การแจกแจงแบบพหุนาม/อเนกนาม (Multinomial Distribution)
เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงคล้ายกับแบทวินามทุกประการ แต่แตกต่างกันเพียงลักษณะผลลัพธ์แต่ละครั้งสามารถจัด
กลุ่ม (k) ได้หลายลักษณะที่แตกต่างกัน สัญลักษณ์คือ [x ~ Multi(n,p1,p2,..,pk)]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
ค่าความแปรปรวนร่วมของ Xi,Xj
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
k
i
p
np
X
V i
i
i ...,
,
3
,
2
,
1
;
)
1
(
)
(
2
=
−
=
=

k
i
np
X
E i
i ,...,
3
,
2
,
1
;
)
( =
=
=


 =
=
=
=
=
=
=
=
k
i
i
k
i
i
x
k
x
x
k
k
k p
n
X
p
p
p
x
x
x
n
x
X
x
X
x
X
P k
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1 1
,
;
...
!
!..
!
!
]
,..,
,
[ 2
1
j
i
p
np
X
X
Cov j
i
j
i 
= ;
)
,
(

18.
Example 9.
ถ้าความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรของโรงงานแห่งหนึ่งใน 1 เดือน จะไม่เสียเลย เสีย 1 ครั้ง เสีย 2 ครั้ง มีค่า 30%,65% และ5%
ตามลาดับ ถ้าสุ่มตรวจตั้งแต่เดือน กรกฎาคม – ธันวาคม เป็นเวลา 6 เดือน
1) หาความน่าจะเป็นที่จะพบว่า 2 เดือนเครื่องจักรไม่เสียเลย 3 เดือนเสีย 1 ครั้ง และ 1 เดือนเสีย 2 ครั้ง
ให้ X1 คือจานวนเดือนที่เครื่องจักรไม่เสียเลย X2 คือจานวนเดือนที่เครื่องจักรเสีย 1 ครั้ง
X3 คือจานวนเดือนที่เครื่องจักรเสีย 2 ครั้ง ดังนั้น x ~ Multi(n,p1,p2,..,pk)
2) ถ้าโรงงานชาระค่าเครื่องจักรทุกๆ 6 เดือน จะต้องเสียค่าใช้จ่ายในการซ่อมโดยเฉลี่ยเท่าใด ถ้า R คือค่าซ่อมที่เสีย และ
R=5000+2700Y โดยที่ Y=จานวนครั้งที่เครื่องจักรเสีย
3
3
2
2
1
1
!
3
!
2
!
1
!
)
3
,
2
,
1
( x
x
x
p
p
p
x
x
x
n
x
X
x
X
x
X
P =
=
=
=
07415
.
0
05
.
0
65
.
0
3
.
0
!
1
!
3
!
2
!
6
)
1
,
3
,
2
( 1
3
2
3
2
1 =
=
=
=
= X
X
X
P
5
.
4
)
05
.
0
*
6
(
2
)
65
.
0
*
6
(
]
[
2
]
[
]
[
2
)
*
2
(
)
*
1
(
)
*
0
(
3
2
3
2
3
2
1
=
+
=
+
=
+
=
+
+
=
X
E
X
E
Y
E
X
X
X
X
X
Y )
5
.
4
(
2700
5000
]
[
2700
5000
]
[ +
=
+
=
 Y
E
R
E
Baht
17150
=

19.
5. การแจกแจงแบบปัวส์ซอง (Poisson Distribution)
คือตัวแปรสุ่มที่สนใจในลักษณะ จานวนครั้งที่พบสิ่งที่สนใจหรือจานวนครั้งที่พบความสาเร็จต่อหน่วย โดยต่อหน่วยอาจ
เป็น เวลา พื้นที่ หรือระยะทางที่สนใจระยะหนึ่ง (มีขอบเขตชัดเจน) สัญลักษณ์คือ [x ~ P( )] : จานวนครั้งที่พบ
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

 =
= )
(
2
X
V

 =
= )
(X
E
,...
2
,
1
,
0
!
]
[ =
=
=
−
x
x
e
x
X
P
x


 

20.
Example 10.
การสารวจอุบัติเหตุถนนสายหนึ่ง พบว่ามีอุบัติเหตุเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย 3 ครั้ง/สัปดาห์
1) หาความน่าจะเป็นที่จะเกิดอุบัติเหตุบนถนนนี้ 6 ครั้ง/สัปดาห์
กาหนดให้ X คือจานวนครั้งที่เกิดอุบัติเหตุใน 1 สัปดาห์ x ~ P( )
2) หาความน่าจะเป็นที่จะเกิดอุบัติเหตุบนถนนนี้ไม่เกิน 10 ครั้ง/เดือน
กาหนดให้ Y คือจานวนครั้งที่เกิดอุบัติเหตุใน 1 เดือน = 3*4= 12 ครั้ง/เดือน
05
.
0
!
6
3
!
)
6
(
6
3
=
=
=
=
−
−
e
x
e
X
P
x



347
.
0
!
12
)
10
(
10
0
12
=
=
 
=
−
y
y
y
e
Y
P


21.
Example 11.
โรงงานแห่งหนึ่ง พบว่าลวดทองแดงที่ซื้อมามีตาหนิจากรอยขีดข่วน จากข้อมูลพบว่าโดยเฉลี่ยมีรอยขีดข่วน 2.3 รอย/mm.
ถ้ากาหนดให้ X คือตัวแปรสุ่มแทนค่าจานวนรอยตาหนิต่อความยาวลวดทองแดง 1 mm.( = 2.3รอย/mm.)
1) หาความน่าจะเป็นที่ตรวจพบตาหนิ 2 รอยในลวดยาว 1 mm.
กาหนดให้ X คือจานวนรอยตาหนิ ต่อลวดยาว 1 mm.
2) หาความน่าจะเป็นที่ตรวจพบตาหนิ 10 รอยในลวดยาว 5 mm.
กาหนดให้ X คือจานวนรอยตาหนิ ต่อลวดยาว 5 mm.
3) หาความน่าจะเป็นที่ตรวจพบตาหนิอย่างน้อย 1 รอยในลวดยาว 2 mm.
กาหนดให้ X คือจานวนรอยตาหนิในลวดยาว 2 mm.
265
.
0
!
2
3
.
2
!
)
2
(
2
3
.
2
=
=
=
=
−
−
e
x
e
X
P
x


3
.
2
)
( =
= 
x
E

5
.
11
)
5
(
)
( =
= 
x
E
113
.
0
!
10
5
.
11
!
)
10
(
10
5
.
11
=
=
=
=
−
−
e
x
e
X
P
x


6
.
4
)
2
(
)
( =
= 
x
E
9899
.
0
!
0
6
.
4
!
1
)
0
(
1
)
1
(
0
6
.
4
=
=
−
=
=
−
=

−
−
e
x
e
X
P
X
P
x



22.
Example 12.
ผจก.โรงงานแห่งหนึ่ง วางแผนซื้อเครื่องจักรใหม่ โดยพิจารณาจากเครื่องจักร A และ B ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจานวนครั้ง
ที่ต้องซ่อมเครื่อง A ค่าเฉลี่ย X จะเท่ากับ 0.1t โดยที่ t คือชั่วโมงในการทางานต่อวันและถ้าให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มแทนจานวน
ครั้งที่ต้องซ่อมเครื่อง B ค่าเฉลี่ย Y จะเท่ากับ 0.12t ถ้ากาหนดให้ค่าใช้จ่าย/วันในการใช้เครื่อง A คือ CA(t) และ B คือCB(t)
สมมุติว่า เครื่องจักรมีการทาความสะอาดทุกคืน เพื่อวันรุ่งขึ้นเหมือนเครื่องจักรใหม่ทุกวัน โรงงานควรใช้เครื่องจักรใด จึงจะ
ทาให้ค่าใช้จ่ายเฉลี่ยต่อวันต่าสุด ถ้าโรงงานทางานวันละ 10 ชม.
กาหนดให้ X, Y คือจานวนครั้งที่ต้องซ่อมเครื่อง A และ B ต่อวัน ดังนั้น X และ Y มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง
ดังนั้น ควรเลือกเครื่องจักร B เพราะมีค่าใช้จ่ายในการซ่อมต่ากว่า
2
2
30
8
)
(
30
10
)
( y
t
t
C
x
t
t
C B
A +
=
+
=
   
    2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
12
.
0
(
12
.
0
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
)
1
.
0
(
1
.
0
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
t
t
Y
E
Y
E
Y
E
Y
E
Y
E
Y
V
Y
E
t
t
X
E
X
E
X
E
X
E
X
E
X
V
X
E
+
=
−
=

−
=
=
+
=
−
=

−
=
=
 
  160
)
1
)
10
(
1
.
0
(
30
)
10
(
10
1
.
0
1
.
0
30
10
30
10
)
(
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
= t
t
t
x
t
t
CA
 
  20
.
159
)
44
.
1
)
10
(
12
.
0
(
30
)
10
(
8
12
.
0
12
.
0
30
8
30
8
)
(
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
= t
t
t
y
t
t
CB

23.
การแจกแจงแบบปัวส์ซอง (Poisson Distribution) มีความสัมพันธ์กับการแจกแจงแบบทวินาม
การแจกแจงแบบทวินาม
ถ้ากาหนดให้
และถ้ากาหนดให้ จากอัตราส่วนเพิ่ม/ลด ทาให้ มีค่าเท่าเดิม
ดังนั้น
ดังนั้น จึงสามารถประมาณค่าการแจกแจงทวินามด้วยปัวส์ซองได้ ถ้า
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
,...
2
,
1
;
!
)
1
(
lim
)
(
lim =
=
−








=
=
−
−

→

→ i
i
x
x
n
x
i
n
i
n x
x
e
p
p
x
n
x
X
P
i
i
i


,...
2
,
1
,
0
;
!
)
1
(
]
[
1
=

−








=
=
−
−
x
x
e
p
p
x
n
x
X
P
x
x
n
x 
np
=

1
0
,...,
2
,
1
,
0
)
1
(
]
[ 

=
−








=
= −
p
n
x
p
p
x
n
x
X
P i
x
n
x
i
i
i
i
n
x
n
n
x
n
x
X
P i
x
n
x
i
i
i
i
,...,
2
,
1
,
0
)
1
(
]
[ =
−














=
=
 −


0
→

→ p
and
n np
X
E =
)
(
0
→

→ p
and
n

24.
Example 13.
โรงงานผลิตหลอดไฟแห่งหนึ่ง พบว่ามีหลอดไฟเสีย 3% ถ้าสุ่มตรวจหลอดไฟ 100 หลอด จงหาความน่าจะเป็นที่ในการตรวจ
สอบจะมีหลอดไฟเสีย 5 หลอด
p = 3/100 = 0.03 , n = 100
การแจกแจงแบบทวินาม
ประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบปัวส์ซองแทนการแจกแจงแบบทวินามได้ เนื่องจาก n-->∞ และ p มีค่าเข้าใกล้ 0
1013
.
0
)
97
.
0
(
03
.
0
5
100
)
1
(
)
5
( 95
5
=








=
−








=
= −x
n
x
p
p
x
n
X
P
1008
.
0
!
5
3
!
)
5
(
5
3
=
=
=
=
−
−
e
x
e
X
P
x


3
)
03
.
0
(
100 =
=
= np


25.
6. การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก (Hypergeometric Distribution)
คือตัวแปรสุ่ม X ที่ผลลัพธ์เป็นได้ 2 ค่า เหมือนกับทวินาม ความน่าจะเป็นที่จะพบความสาเร็จในการทดลองแต่ละครั้งมี
ค่าไม่คงที่ (สุ่มตัวอย่างแล้วไม่ใส่คืน)จากการทดลอง n ครั้ง โดยประชากรมีจากัด(N) และทราบจานวนที่สนใจศึกษาใน
ประชากร(D) ใช้สัญลักษณ์คือ [x ~ H(N, D, n)]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง






−
−
−
=






−
−






−






=
−
=
=
1
)
1
(
1
1
}
]
[
{
]
[
)
( 2
2
2
N
n
N
np
np
N
n
N
N
D
N
D
n
X
E
X
E
X
V

N
D
p
np
N
D
n
X
E =
=
=
= ;
)
(

}
,
min{
,...,
}}
{
,
0
max{
;
]
[ D
n
D
N
n
x
n
N
x
n
D
N
x
D
x
X
P −
−
=
















−
−








=
=

26.
Example 14.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของจานวนชายที่รับการคัดเลือกเข้ามาเป็นกรรมการชุดหนึ่ง ซึ่งมี 5 คน โดยคัดเลือกจากชาย 3
คน หญิง 5 คน
กาหนดให้ X แทนจานวนของชาย ที่ได้รับคัดเลือกเข้ามาเป็นกรรมการ
N = 8 , n = 5 , D = 3 , x = 0, 1, 2 ,3
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ
3
,
2
,
1
,
0
5
8
5
5
3
)
( =
















−








=
= x
x
x
x
X
P

27.
Example 15.
บริษัทประกอบรถยนต์สั่งซื้ออุปกรณ์ในประเทศจานวน 100 ชิ้น และอีก 200 ชิ้น จะนาเข้าจากต่างประเทศ ถ้าแต่ละชั่วโมง
คลังสินค้าต้องส่งไปยังไลน์ประกอบ 4 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ทั้ง 4 ชิ้น ที่ส่งไปยังไลน์ประกอบมาจากในประเทศ
N = 300 , n = 4 , D = 100 , x = 4 ดังนั้น x ~ H(N=300,n=4,D=100)
ให้ตัวแปรสุ่ม X แทนจานวนทั้ง 4 ชิ้น ที่ส่งไปไลน์ประกอบมาจากในประเทศ
หากต้องการทราบความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ที่ส่งมาประกอบ 4 ชิ้นนั้น มาจากในประเทศตั้งแต่ 2 ชิ้นขึ้นไป
0119
.
0
4
300
0
200
4
100
)
4
( =
























=
=
X
P
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
2
( =
+
=
+
=
=
 X
P
X
P
X
P
X
P
408
.
0
0119
.
0
098
.
0
298
.
0
4
300
0
200
4
100
4
300
1
200
3
100
4
300
2
200
2
100
=
+
+
=
























+
























+
























=

28.
Example 15.(ต่อ)
หากต้องการทราบความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ที่ส่งมาประกอบ 4 ชิ้นนั้น มาจากในประเทศอย่างน้อยที่สุด 1 ชิ้น
หาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ของจานวนชิ้นส่วนที่ส่งมาจากโรงงานในประเทศ
ค่าเฉลี่ยของ X = E[X] = np = 4(100/300) = 1.33
ความแปรปรวนของ X = V[X] =
)
0
(
1
)
1
( =
−
=
 X
P
X
P
804
.
0
196
.
0
1
4
300
4
200
0
100
1 =
−
=
























−
=
88
.
0
1
300
4
300
3
2
3
1
4
1
)
1
( =






−
−












=
−
−
−
N
n
N
p
np

29.
7. การแจกแจงแบบเรขาคณิต (Geometric Distribution)
ตัวแปรสุ่ม X ที่สนใจ จานวนครั้งที่ทดลองจนพบความสาเร็จที่สนใจครั้งแรก และลักษณะผลลัพธ์เป็นได้ 2 ค่า
เหมือนกับทวินาม ใช้สัญลักษณ์คือ [x ~ G(p)]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
2
2 )
1
(
)
(
p
p
X
V
−
=
=

p
X
E
1
)
( =
=

,....
2
,
1
;
)
1
(
]
[ 1
=
−
=
= −
x
p
p
x
X
P x

30.
Example 16.
ในการตรวจสอบคุณภาพสินค้าอย่างสุ่มและอิสระต่อกัน จากข้อมูลในอดีตพบว่ามีโอกาสบกพร่อง 10% ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม X
แทนจานวนครั้งตรวจจนพบสินค้าบกพร่องชิ้นแรก จงหาความน่าจะเป็นที่จะพบสินค้าบกพร่องจากการสุ่มตรวจในครั้งที่ 5
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มดังกล่าว
กาหนดให้ X แทนจานวนครั้งตรวจจนพบสินค้าบกพร่องเป็นครั้งแรก ดังนั้น x ~ G(p=0.1)
ค่าเฉลี่ยของ X = E[X] = 1/p = 1/0.1 = 10
ความแปรปรวนของ X =
066
.
0
)
9
.
0
(
1
.
0
)
1
(
)
5
( 4
1
=
=
−
=
= −
x
p
p
X
P
06
.
90
)
10
.
0
(
)
10
.
0
1
(
)
1
(
)
( 2
2
2
=
−
=
−
=
=
p
p
X
V


31.
Example 17.
ในการทอดลูกเต๋าคู่หนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ผลรวมของลูกเต๋าเท่ากับ 5 หรือ 6 เป็นครั้งแรก ในการทอดลูกเครั้งที่ 3
จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้
กาหนดให้ X แทนจานวนครั้งทอดลูกเต๋า2 ลูกจนได้ผลรวมเท่ากับ 5 หรือ 6 เป็นครั้งแรก ดังนั้น x ~ G(p)
โอกาสที่ทอดลูกเต๋าแล้วพบว่าผลรวมเท่ากับ 5 หรือ 6
ค่าเฉลี่ยของ X = E[X] = 1/p = 1/0.25 = 4
ความแปรปรวนของ X =
141
.
0
)
75
.
0
(
25
.
0
)
1
(
)
3
( 1
3
1
=
=
−
=
= −
−
x
p
p
X
P
12
)
25
.
0
(
)
25
.
0
1
(
)
1
(
)
( 2
2
2
=
−
=
−
=
=
p
p
X
V

  25
.
0
36
9
)
1
,
5
(
),
2
,
4
(
),
3
,
3
(
),
4
,
2
(
),
5
,
1
(
),
1
,
4
(
),
4
,
1
(
),
2
,
3
(
),
3
,
2
( =
=
=
p

32.
8. การแจกแจงแบบทวินามเชิงลบ (Negative Binomial Distribution)
ตัวแปรสุ่ม X ที่สนใจ จานวนครั้งที่ทดลองจนพบความสาเร็จที่สนใจ r ครั้ง โดยลักษณะผลลัพธ์เป็นได้ 2 ค่า
เหมือนกับทวินาม ใช้สัญลักษณ์คือ [x ~ NB(r,p)]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง
2
2 )
1
(
)
(
p
p
r
X
V
−
=
=

p
r
X
E =
= )
(

,....
3
,
2
,
1
,
)
1
(
1
1
]
[ +
+
+
=
−








−
−
=
= −
r
r
r
r
x
p
p
r
x
x
X
P r
x
x

33.
Example 18.
ในการตรวจสอบคุณภาพสินค้า จากข้อมูลในอดีตพบว่า มีโอกาสที่สินค้าบกพร่อง 10 % ถ้ากาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X แทน
จานวนสินค้าที่ตรวจจนกระทั่งพบสินค้าบกพร่องชิ้นที่ 4 จงหาความน่าจะเป็นที่สินค้าที่ตรวจสอบจนกระทั่งตรวจพบสินค้า
บกพร่องชิ้นที่ 4 ในการทดลองครั้งที่ 10
พบสินค้าบกพร่อง 3 ชิ้น ในการทดลอง 9 ครั้ง ดังนั้น x ~ B(n=9,p=0.1)
และพบสินค้าบกพร่องชิ้นที่ 4 ในการทดลองครั้งถัดไป (ครั้งที่ 10)
3
9
3
)
9
.
0
(
1
.
0
3
9
)
1
(
)
3
( −
−








=
−








=
= x
n
x
p
p
x
n
X
P
26785
.
0
)
9
.
0
(
10
.
0
3
9
)
10
.
0
(
)
9
.
0
(
10
.
0
3
9
)
4
( 6
4
6
3
=








=








=
=
X
P

34.
Example 19.
ในการตรวจสอบคุณภาพสินค้า จากข้อมูลในอดีตพบว่า มีโอกาสที่สินค้าบกพร่อง 10 % ถ้ากาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X แทน
จานวนสินค้าที่ตรวจจนกระทั่งพบสินค้าบกพร่องชิ้นที่ 4 จงหาความน่าจะเป็นที่สินค้าที่ตรวจสอบจนกระทั่งตรวจพบสินค้า
บกพร่องชิ้นที่ 4 ในการทดลองครั้งที่ 10
ดังนั้น x ~ NB(r=4,p=0.1)
ความน่าจะเป็น ที่จะตรวจพบสินค้าเสียชิ้นที่ 4 ในการทดลองครั้งที่ 10
,...
2
,
1
,
;
)
1
(
1
1
)
( +
+
=
−








−
−
=
= −
r
r
r
x
p
p
r
x
x
X
P r
x
r
26785
.
0
)
9
.
0
(
10
.
0
3
9
)
1
(
1
4
1
10
)
10
( 6
4
4
10
4
=








=
−








−
−
=
= −
p
p
X
P

35.
Example 20.
ในการสารวจปั้มน้าเก่าใช้แล้วที่กองไว้ พบว่า 20% ของจานวนปั้มน้าใช้การไม่ได้และต้องทาการซ่อม ช่างซ่อมคนหนึ่งถูกส่ง
ไปซ่อมด้วยเครื่องมือ 3 ชุด โดยทาการสุ่มทีละเครื่อง ถ้าพบว่าใช้ได้ดีก็สุ่มต่อไป แต่ถ้าพบว่าปั้มเสียจะซ่อมโดยใช้เครื่องมือ 1
ชุดต่อการซ่อม 1 เครื่อง ถ้ากาหนดเวลาที่ใช้ในการทดสอบว่าปั้มใช้ได้หรือไม่ได้ 10 นาที และใช้เวลาซ่อมปั้มที่เสีย 30 นาที
จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของเวลาทั้งหมด ที่ช่างซ่อมผู้นี้ใช้งานจนกว่าจะใช้เครื่องมือซ่อมที่นาเข้าไปจนหมด
กาหนดให้ X คือจานวนปั้มที่ตรวจจนกว่าจะพบปั้มน้าชารุด 3 เครื่อง (เครื่องมือหมดพอดี) X ~ NB(r=3,p=0.2)
เวลาที่ใช้ในการตรวจสอบปั้มจนกว่าจะใช้เครื่องซ่อมนาเข้าไปจนหมด
= 3*(จานวนเวลาที่ตรวจและซ่อม)+ 10*(จานวนปั้มน้าที่ตรวจแล้วไม่ต้องซ่อม) =3(10+30)+10(X-3) =90+10E[X]
ค่าเฉลี่ยของเวลาทั้งหมดที่ช่างซ่อมใช้งานจนกว่าจะใช้เครื่องซ่อมนาเข้าไปจนหมด
= E[90+10X] = 90+10E[X] = 90+10(15) = 240 นาที
ความแปรปรวนของเวลาทั้งหมดที่ช่างซ่อมใช้งานจนกว่าจะใช้เครื่องซ่อมนาเข้าไปจนหมด
= V[90+10X] = 100V[X] = 100(60) = 6,000 นาที2
60
/
)
1
(
)
( 2
2
=
−
=
= p
p
r
X
V

15
)
2
.
0
/(
3
/
)
( =
=
=
= p
r
X
E


36.
การแจกแจงความน่าจะเป็น
2) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มต่อเนื่อง
❖ การแจกแจงแบบเอ็กโพเนนเชียน
❖ การแจกแจงแบบปกติ
❖ การแจกแจงแบบเออแลง
❖ การแจกแจงแบบแกมมา
❖ การแจกแจงแบบไวน์บูล
❖ การแจกแจงแบบเบต้า

37.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
1. การแจกแจงแบบยูนิฟอร์มชนิดต่อเนื่อง (Continuous Uniform Distribution) [x ~ U(a,b)]
ตัวแปรสุ่ม X ชนิดต่อเนื่อง ถูกกาหนดโดยความสัมพันธ์ระหว่างช่วงของตัวแปรสุ่มใดๆ กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
b
x
a
a
b
x
f 

−
= ;
1
)
(
12
)
( 2
2 a
b −
=

2
b
a +
=

b
x
a
a
b
a
x
x
F 

−
−
= ;
)
(

38.
Example 21.
กาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X คือ ค่าของกระแสในขดลวด โดยค่าของกระแสอยู่ในช่วง [0,20mA] และสมมุติให้ฟังก์ชันความน่า
จะเป็นของ X คือ
จงหาความน่าจะเป็นที่พบว่ากระแสในขดลวดมีค่าระหว่าง 5-10mA ตลอดจนหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของกระแสใน
ขดลวด
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
20
0
;
20
/
1
)
( 

= x
x
f
10
2
)
( =
+
=
=
b
a
X
E

 =
=
=


10
5
25
.
0
)
05
.
0
(
5
)
10
5
( xdx
x
P
( ) 33
.
33
12
20
12
)
(
2
2
2
=
=
−
=
=
a
b
X
V


39.
2. การแจกแจงแบบเอ็กโปแนนเชียล (Exponential Distribution)
การแจกแจงนี้พบมากในการหาค่าความน่าเชื่อถือได้ และการรอคอย ตัวแปรสุ่มที่สนใจคือ เวลา ระยะทางหรือพื้นที่ ต่อ
การเกิดตัวแปรสุ่ม เช่น ช่วงเวลาในการเกิดอุบัติเหตุ บนถนนสายหนึ่งในช่วงสงกรานต์ สัญลักษณ์คือ [x ~ Exp( )]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย ฟังก์ชั่นสะสม
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
2
2 1
)
(

 =
= X
V


1
)
( =
= X
E



= −
x
e
x
f x
0
;
)
( 


0
;
1
)
(
0

−
=
= −
−
 a
e
dx
e
a
F a
a
x 



40.
Example 22. ความสัมพันธ์การแจกแจงงแบบปัวร์ซองกับเอ็กโปเนนเชียล
การสารวจการเกิดอุบัติเหตุบนถนนสายหนึ่ง พบว่าเกิดโดยเฉลี่ย 4 ครั้ง/สัปดาห์ ดังนั้น 1 สัปดาห์คือระยะเวลาที่ถูกกาหนด
ในค่าเฉลี่ยหรือ
ดังนั้น ถ้ากาหนดให้ N แทนจานวนรถที่เกิดอุบัติเหตุในช่วง X สัปดาห์ และค่าเฉลี่ยของจานวนที่เกิดอุบัติเหตุ 4 ครั้ง/สัปดาห์
ดังนั้น N จึงเท่ากับ x
ถ้าต้องการทราบจานวนอุบัติเหตุที่เกิดขึ้น หลังจาช่วงเวลาที่กาหนด หรือ X ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว
สามารถพิจารณาได้จาก
นั่นคือ จะได้ว่า
ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม X ซึ่งแสดงถึงระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นจนกระทั่งพบการเกิดเหตุการณ์สาเร็จในกระบวนการแบบปัวร์ซอง
[ด้วยค่าเฉลี่ยเท่ากับ ( >0)] จะมีฟังก์ชันน่าจะเป็นคือ
x
x
e
e
N
P
x
X
P 

 −
−
=
=
=
=

!
0
)
0
(
)
(
0
x
e
x
X
P
X
F 
−
−
=

= 1
)
(
)
(


0
;
)
( 
= −
x
e
x
f x


  


= −
x
e
x
f x
0
;
)
( 


41.
Example 23.
ถ้าระบบ Network วงหนึ่ง ประกบด้วยคอมพิวเตอร์จานวนจากัด ถ้าพบว่าผู้ใช้งานจะ Log in ใช้งานด้วยการแจกแจงแบบ
ปัวส์ซอง ด้วยค่าเฉลี่ย 25 ครั้ง / ชั่วโมง จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีผู้เข้าใช้งานเลยใน 6 นาที
กาหนดให้ X : ระยะเวลาจากช่วงเริ่มต้นจนกระทั่งผู้ใช้สามารถ Log in ได้ครั้งแรก (ชั่วโมง)
Y : มีการแจกแจงแบบ Exponential ด้วยค่า
)
1
.
0
(
)
60
6
( 
=

 X
P
x
P
.
/
25 hour
in
Log −
=





−

−

=
=
=
1
.
0
25
1
.
0
1
.
0
25
)
( dx
e
dx
e
dx
x
f x
x


  082
.
0
)
25
( 1
.
0
25
1
.
0
25
=
−
=
−
=

−

−

x
x
e
x
d
e

42.
Example 24.
ถ้าระบบ Network วงหนึ่ง ประกบด้วยคอมพิวเตอร์จานวนจากัด ถ้าพบว่าผู้ใช้งานจะ Log in ใช้งานด้วยการแจกแจงแบบ
ปัวส์ซอง ด้วยค่าเฉลี่ย 25 ครั้ง / ชั่วโมง จงหาช่วงเวลาที่พบว่าค่าความน่าจะเป็นที่ไม่มีผู้เข้าใช้งานเลยในช่วงเวลานั้น=0.90
นอกจากนี้จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของระยะเวลาเริ่มต้นจนกระทั่งพบการเข้าใช้เครื่องหรือระยะห่างระหว่างของการ
เข้าใช้เครื่องสาหรับผู้ใช้คนที่ i และผู้ใช้คนที่ i+1
จากตารางความสัมพันธ์ จะได้
ชั่วโมง หรือ 0.25 นาที หรือ 15 วินาที
ค่าเฉลี่ยของระยะเวลาเริ่มต้นจนกระทั่งพบการเข้าใช้เครื่องของการเข้าใช้เครื่องสาหรับผู้ใช้คนที่ i และผู้ใช้คนที่ i+1
ชั่วโมง หรือ 2.4 นาที
ความแปรปรวนของระยะเวลาเริ่มต้นจนกระทั่งพบการเข้าใช้เครื่องของการเข้าใช้เครื่องสาหรับผู้ใช้คนที่ i และผู้ใช้คนที่ i+1
ชั่วโมง หรือ 0.096 นาที
x
e
x
x
P 25
90
.
0
)
( −
=
=

)
9
.
0
ln(
)
ln( 25
=
− x
e
00421
.
0
1054
.
0
25 =

=
− x
x
0016
.
0
25
/
1
/
1
)
( 2
2
2
=
=
=
= 
 X
V
04
.
0
25
/
1
/
1
)
( =
=
=
= 
 X
E

43.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

คุณสมบัติสาคัญของการแจกแจงเอ็กซ์โพแนนเชียลคือ
Memoryless Prob. นั่นคือถ้าตัวแปรสุ่ม x~Exp( )
แล้ว
0
,
)
(
)
|
( 

=


=


+
 
−
t
e
t
x
P
t
x
t
t
x
P t


44.
อายุการใช้งานของอุปกรณ์หนึ่งมีการแจกแจงแบบ Exponential ด้วยอัตราการเสื่อม 0.1 ครั้ง/ชม.
a) จงหาอายุการใช้งานเฉลี่ย
b) ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ใช้งานได้นานกว่า 20 ชม.
c) ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ใช้งานได้นานกว่า 20 ชม. เมื่อใช้มาแล้ว 10ชม.
กาหนด T เป็นอายุการใช้งานเสื่อม 0.1/ชม. ดังนั้น T~Exp(0.1)
a) อายุการใช้งานเฉลี่ย= 1/ = 10 ชม.
b) ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ใช้งานได้นานกว่า 20 ชม.
c) ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ใช้งานได้นานกว่า 20 ชม. เมื่อใช้มาแล้ว 10ชม.
จาก

1353
.
0
)
20
(
1
)
20
( 2
=
=

−
=
 −
e
T
P
T
P
Example 25.
0
,
)
(
)
|
( 

=


=


+
 
−
t
e
t
x
P
t
x
t
t
x
P t

( ) 3679
.
0
1
1
)
10
(
1
)
10
(
)
10
|
20
( 1
=
=
−
−
=

−
=

=


 −
−
e
e
T
P
T
P
T
T
P T


45.
3. การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
การแจกแจงแบบปกตินี้ ถูกใช้งานอย่างแพร่หลายมากที่สุด จากทฤษฎีข้อจากัดในการเข้าสู่ศูนย์กลาง Central Limit
Theorem ของ De Moivre ต่อมา Gauss ก็พัฒนาเพิ่มเติมจนใช้กันอย่างแพร่หลาย [x ~ N(µ, )]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย
ค่าความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
2
)
( 
=
X
V

=
)
(X
E
2

2
2
1
2
2
1
)
(





 −
−
= 


x
e
x
f
0
,
;
;
2




−



−


x

46.
คุณสมบัติของเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
1. ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม อยู่ที่ x = µ
2. รูปโค้งมีสมมาตรที่แกนตั้งที่ลากผ่าน µ
3. โค้งมีจุดเปลี่ยนเว้าที่ x = µ ± โดยเป็นจุดที่เปลี่ยนจากโค้งคว่าเป็นโค้งหงาย
4. ปลายโค้งจะเข้าใกล้แกน X แต่จะไม่สัมผัส โดย -∞< x <∞
5. พื้นที่ทั้งหมดที่อยู่ใต้โค้งมีค่าเท่ากับ 1 สอดคล้องกับคุณสมบัติความน่าจะเป็น
6. ค่าเฉลี่ย คือ µ และความแปรปรวนคือ
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

2


47.
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

48.
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

49.
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

50.
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
50
50
ฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นสะสม
จากรูปติดตัวแปร 2 ตัว ลดรูปลงไม่ได้ จึงไม่สะดวกในการคานวณ จึงต้องแปลงมาเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
จาก เป็น โดยกาหนดให้
ดังนั้นจะได้
ใช้สาหรับการหาพท.ใต้กราฟ
)
,
( 2


N


−





 −
−
=
a x
dx
e
x
F
2
2
1
2
2
1
)
( 






− z
)
1
,
0
(
N


−
=
x
z
2
2
1
2
2
1
)
(
z
e
x
f
−
=



−
−
=
a
z
dx
e
x
F
2
2
1
2
2
1
)
(


51.
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
ฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นสะสมเขียนได้ดังนี้
กาหนดให้ คือฟังก์ชั่นสะสมแบบปกติมาตรฐาน (ภาคผนวก) โดยค่า z ในตารางอยู่ระหว่าง -3.99 ถึง 3.99
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
)
(
)
(
)
( z
a
a
z
P
a
x
P
a
F 
=





 −

=





 −

=

=




( )
z


52.
การหาพื้นที่ใต้กราฟ
การหาความน่าจะเป็น P(x1<X<x2) หาได้จากพื้นที่ใต้กราฟ โดย
เปลี่ยนการแจกแจงแบบปกติ ไปเป็นแบบปกติมาตรฐาน ซี่งมี
ค่าเฉลี่ย =0 และความแปรปรวน = 1 โดยที่
ดังนั้น ในการหาความน่าจะเป็น P(x1<X<x2) จะถูกเปลี่ยนเป็น
P(z1<Z<z2) เมื่อ และ
การแจกแจงของตัวแปรสุ่มปกติซึ่งมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และความ
แปรปรวนเท่ากับ 1 เรียกว่า การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
(Standard Normal Distribution) หรือ N(0,1)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง


−
=
x
z


−
= 1
1
x
z


−
= 2
2
x
z

53.
การหาพื้นที่ใต้กราฟโดยใช้ตารางการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (Z-test)
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

54.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่
ในการวัดกระแสในขดลวดซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย 10 mA และความแปรปรวน 4 (mA)2 ถ้าพบว่า
ค่ากระแสที่วัดได้ต่ากว่าค่าเฉพาะค่าใดค่าหนึ่ง(x) ด้วยความน่าจะเป็น 0.98 จงหาค่ากระแสดังกล่าว
จากตาราง พบว่า ค่า z ที่ทาให้ P(Z<z)=0.98 คือ P(Z<2.05)=0.97982
ดังนั้น สรุปได้ว่าค่าความน่าจะเป็นที่วัดกระแสได้ต่ากว่า 14.1 mA. เท่ากับ 0.98
98
.
0
)
2
10
(
)
(
)
( =
−

=
−

=

x
Z
P
x
Z
P
x
X
P


05
.
2
2
10
=
=
−
z
x
mA
x 1
.
14
10
)
05
.
2
(
2 =
+
=


55.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่
จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X มีค่าอยู่ระหว่าง 45 และ 62 เมื่อตัวแปรสุ่ม X มีการการแจกแจงแบบปกติด้วย
ค่าเฉลี่ย (µ) = 50 และความแปรปรวน = 100
)
(
)
62
45
( 2
1



 −


−
=


x
Z
x
P
X
P
)
( 2

)
10
50
62
10
50
45
(
−


−
= Z
P
5763
.
0
3085
.
0
8848
.
0
)
5
.
0
(
)
2
.
1
(
)
2
.
1
5
.
0
(
=
−
=
−

−

=


−
= Z
P
Z
P
Z
P

56.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

57.
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

58.
58
58
ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนของ Ø ของเพลา=0.702 cm ,0.005 cm โดยประกอบกับ A ข้อกาหนดของ A คือ Ø อยู่ระหว่าง
0.6922-0.7118 cm . จงหา
a) สัดส่วนของเพลาที่ไม่ตรงข้อกาหนด
b) ค่า k ที่ทาให้ 5% ของเพลาทั้งหมดมี Ø>k
c) หยิบ A มา 10 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่ A> 1ชิ้น บกพร่อง
กาหนด x เป็นขนาด Ø ของเพลา จะได้ว่า x~N(0.702,0.000025)
a) หาสัดส่วนของเพลาที่ไม่ตรงข้อกาหนด
ตัวอย่างที่





 −

−
+





 −

−
=

+

005
.
0
702
.
0
6922
.
0
005
.
0
702
.
0
7118
.
0
)
6922
.
0
(
)
7118
.
0
(



 x
P
x
P
x
P
x
P
05
.
0
025
.
0
*
2
)
96
.
1
(
)
96
.
1
( =
=
−

+

= z
P
z
P
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

59.
59
59
b) หา 5% ของเพลาทั้งหมดมี Ø>k
P(x>k)=0.5
จากตาราง ผ3
c) กาหนดให้ y เป็น A ที่บกพร่อง
จากข้อ a) โอกาสที่ไม่ตรงข้อกาหนด=0.05 ดังนั้น y~binomial(10,0.05) ความน่าจะเป็นที่จะพบ A บกพร่อง
มากกว่า 1ชิ้น
645
.
1
)
(
05
.
0
005
.
0
702
.
0
=

=





 −

k
z
z
P
k
z
P
0861
.
0
)
95
.
0
)(
05
.
0
(
1
10
)
95
.
0
(
0
10
)
1
(
)
0
(
1
)
1
( 9
10
=








−








=
=
−
=
−
=
 y
P
y
P
y
P
7102
.
0
702
.
0
005
.
0
645
.
1
645
.
1
005
.
0
702
.
0
=


=
=
−
k
k
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

60.
การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ
โดยทั่วไปสามารถใช้การแจกแจงแบบปกติแทนการแจกแจงแบบทวินามได้ ตามเงื่อนไขที่ว่า np>5 เมื่อ p≤0.5 และ
nq>0.5 เมื่อ p≥ 0.5 หรือเมื่อ n -->∞ ก็สามารถประมาณด้วยการแจกแจงแบบปกติได้เช่นกัน
ถ้าตัวแปรสุ่มทวินาม X มีค่าเฉลี่ย µ=np และความแปรปรวน และเป็นไปตามเงื่อนไขข้างบน
ดังนั้น จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน N(0,1)
เมื่อ X~b(n,p) ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง แต่เมื่อจะประมาณค่าด้วยการ
แจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z~N(0,1) ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง จาเป็น
ต้องปรับค่าตัวแปรสุ่มทวินาม X ให้เป็นต่อเนื่อง โดยทาการขยายค่า X ให้
ครอบคลุมถึงค่าที่ต้องการ ดังแสดงในตารางด้านขวามือ
npq
=
2

npq
np
x
z
−
=

61.
การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ
เมื่อ X มีการแจกแจงแบบทวินาม มีความน่าจะเป็นของความสาเร็จ (p=10-5) และจานวนครั้งการทดลอง 16,000,000 ครั้ง
จงหาวามน่าจะเป็นที่ X> 150
สามารถใช้การแจกแจงแบบปกติคานวณหาได้ (n-->∞) จะได้ว่า X~N(np,np(1-p))
ตัวอย่างที่

=
−
−
−
=
−








−
=

−
=

150
0
16000000
5
5
773
.
0
)
10
1
(
)
10
(
16000000
1
)
150
(
1
)
150
(
x
x
x
x
X
P
X
P
7734
.
0
)
75
.
0
(
)
75
.
0
(
)
10
1
(
160
160
)
5
.
0
150
(
)
10
1
(
160
160
)
150
(
5
5
=

=
−

=










−
−
+

−
−
=

−
−
Z
P
Z
P
X
P
X
P
)
10
1
)(
10
16
(
)
1
(
,
160
)
10
)(
10
16
( 5
6
5
6 −
−
−

=
−
=

= p
n
np

62.
การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ

63.
การประมาณค่าการแจกแจงแบบปัวส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติ
สามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบปัวส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติได้ เมื่อ บางตาราเมื่อ หรือ
ยิ่ง มีค่ามาก จะยิ่งเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบปัวส์ซอง )
15

 10



 

 =
= 2
12



64.
การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ
ถ้าให้ X มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง ด้วยค่า จงหาวามน่าจะเป็นที่ X ≤ 950
สามารถใช้การแจกแจงแบบปกติคานวณหาได้ จะได้ว่า X~
ตัวอย่างที่

=
−
=
=

950
0
1000
059
.
0
!
1000
)
950
(
x
x
x
e
X
P
0594
.
0
)
56
.
1
(
)
1000
1000
))
2
/
1
(
950
(
(
)
950
( =
−

=
−
+

=
 Z
P
Z
P
X
P



 =
= 2
,
1000
=

)
15
( 
 )
,
( 

N

65.
4. การแจกแจงแบบเออแลง (Erlang Distribution)
ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบ Exponential ซึ่งแสดงถึงระยะทางจากเริ่มต้น จนถึงเกิดขึ้นสาเร็จครั้งแรก จาก
กระบวนการแบบปัวส์ซอง แต่สาหรับแบบ Erlang คือช่วงของการเกิดขึ้นสาเร็จ r ครั้ง (r>0)
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย ค่าความแปรปรวน
ในกรณี r=1 จะกลายเป็นการแจกแจงแบบเอ็กโปแนนเชียล นอกจากนี้ สามารถใช้Excel หาค่าความน่าจะเป็นของการแจก
แจงเออร์แลง โดยใช้ GAMMADIST(x,k, 1/λ, FALSE) สาหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(x)และ GAMMADIST(x,k, 1/λ,TRUE)
สาหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมF(x) โดย k เป็นจานวนเต็ม เช่น X ~ E (x; 2, 0.2) ดังนั้น GAMMADIST(10, 2, 1/0.2,FALSE)
= P(X = 10) = 0.0541 และ GAMMADIST(10, 2, 1/0.2, TRUE) = P(X ≤ 10) = 0.594
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
2
2
/ 
 r
=

 /
r
=
)!
1
(
)
( −
=
 r
r
.
,...
2
,
1
0
;
)!
1
(
)
(
1
=

−
=
−
−
r
and
x
r
e
x
x
f
x
r
r 


66.
66
66
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

67.
67
67
ความเสียหายที่พบในระบบประมวลผลกลางของคอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่มักเป็นกระบวนการปัวส์ซอง และมักจะเสียจากวงจร
ของเซมิคอนดักเตอร์ ถ้าจานวนความเสียหายโดยเฉลี่ยเท่ากับ 0.0001 ครั้ง/hr กาหนดให้ X เป็นเวลาที่พบระบบเสียหายรวม 4
ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เวลาดังกล่าวเกิน 40,000 hr
กาหนดให้ N คือความเสียหายใน 40,000 ชั่วโมง
ดังนั้นหากต้องการทราบระยะเวลาจนกระทั่งเกิดความเสียหาย 4 ครั้ง ณ เวลาที่มากกว่า 40,000 ชั่วโมง หรือกล่าวอีก
นัยหนึ่งก็คือ หาระยะเวลาที่เกิดความเสียหายน้อยกว่า 4 ครั้งภายในเวลา 40,000 ชั่วโมง นั่นคือ
จากโจทย์ X มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง จะได้
ตัวอย่าง
)
3
(
)
000
,
40
( 
=
 N
P
X
P
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
4
)
0001
.
0
(
000
,
40
)
(
000
,
40
)
( =
=
=
= 
 X
E
433
.
0
!
4
)
3
(
)
000
,
40
(
3
0
4
=
=

=

 
=
−
k
k
k
e
N
P
X
P

68.
5. การแจกแจงแบบแกมมา (Gamma Distribution)
เหมือนกับการแจกแจงแบบ Erlang แต่พิเศษกว่าที่แจกแจงแบบแกมมา ใช้กรณี r ไม่เป็นจานวนเต็มก็ได้ (แต่ r>0)
สัญลักษณ์ [x ~ Gamma(r, )]
ค่าเฉลี่ย/ค่าคาดหมาย ค่าความแปรปรวน
ในกรณี r=1 จะกลายเป็นการแจกแจงแบบเอ็กโปแนนเชียล เช่นกัน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
2
2
/ 
 r
=

 /
r
=
0
,
0
,
0
;
)
(
)
(
)
( 1




= −
−


 
r
x
e
x
r
x
f x
r



−
−

=

0
1
0
,
)
( r
dx
e
x
r x
r
)!
1
(
)
( −
=

 r
r

69.
69
69
ฟังก์ชั่นสะสมของการแจกแจงแบบแกมม่า คือ
เมื่อ r เป็นเลขจานวนเต็มจะได้ว่า
ฟังก์ชั่นสะสมของการแจกแจงแบบแกมม่าคือผลรวม
ของการแจกแจงแบบพัวซองด้วยพารามิเตอร์
จานวน r ครั้ง


−
−

−
=
a
x
r
e
x
r
a
F 

 1
)
(
)
(
1
)
(
!
)
(
1
)
(
1
0 k
x
e
a
F
k
r
k
x 


−
=
−
−
=
a

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

70.
70
70
อัตราการเข้าใช้บริการร้านสะดวกซื้อมีการแจกแจงแบบพัวซองด้วยค่าเฉลี่ย 30 คน/ชม. หาความ
น่าจะเป็นที่ลูกค้า 2 คนเข้ามาใน 5 นาที
กาหนดให้ x เป็นระยะเวลาในหน่วยนาที จนลูกค้าคนที่ 2 เข้ามาใช้บริการ จากการแจกแจงแบบ
พัวซอง มีค่าเฉลี่ย 30คน/ชม. X~Gamma(0.5,2) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกค้า 2 คนเข้ามาใน
5 นาทีหาได้จาก
ตัวอย่าง
7127
.
0
!
)
5
5
.
0
(
1
)
5
(
)
5
(
1
2
0
)
5
5
.
0
(
=

−
=
=
 
−
=

−
k
k
k
e
F
x
P
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

71.
6. การแจกแจงแบบไวล์บูล (Weibull Distribution)
เป็นการแจกแจงที่ใช้ศึกษาเรื่องเวลาการสึกหรอของอุปกรณ์และเวลารอคอย มีลักษณะคล้ายแบบเอ็กโปรแนนเชียล แต่
มีรูปแบบหลากหลายตามพารามิเตอร์เกี่ยวกับตาแหน่ง (location)( ) ,สเกล และรูปร่าง ตัวแปรสุ่ม x เขียนได้
เป็น x~Weibull
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
















+

−








+

=
2
2
2 1
1
2
1












+

+
=




1
1













 −
−





 −
=
− 






 x
x
x
f exp
)
(
1
)
(
 )
(
)
,
,
( 











−


x
0
0

72.
การแจกแจงแบบไวล์บูล (Weibull Distribution)
ฟังก์ชั่นน่าจะเป็นสะสมเขียนได้ดังนี้
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง













 −
−
−
=



a
a
F exp
1
)
(

73.
7. การแจกแจงแบบเบต้า (Beta Distribution)
เป็นการแจกแจงสาหรับตัวแปรสุ่มที่มีขอบเขตจากัดมีรูปร่างหลากหลาย ตามพารามิเตอร์เกี่ยวกับสเกล และรูปร่าง
ตัวแปรสุ่ม x เขียนได้เป็น x~Beta
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
)
( )
(
)
,
( 









+
+
+
=
)
1
(
)
( 2
2
2





 b








+
+
=



 b
a
1
1
)
,
(
1
1
)
(
−
−





 −
+





 −
=



 b
x
b
a
b
a
x
B
b
x
f
b
a
x
a +




0
0


 +



=
−
= −
−
1
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
,
(





 

dx
x
x
B

74.
การแจกแจงแบบเบต้า (Beta Distribution)
ฟังก์ชั่นน่าจะเป็นสะสมเขียนได้ดังนี้
การแจกแจงแบบเบต้า เมื่อ a=0 และ b=1 เรียกการแจกแจงแบบเบต้า
มาตรฐาน ซึ่งจะพบว่า การแจกแจงแบบเบต้าที่ คือการแจก
แจงUniform ต่อเนื่องที่ f(x)=1/b ตัวแปรสุ่มมีค่าระหว่าง a ถึง a+b
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง
dx
b
x
b
a
b
a
x
B
b
a
F
a

−
−





 −
+





 −
=
0
1
1
)
,
(
1
1
)
(




1
=
= 
