1.
ความน่าจะเป็น

2.
Definition
เซต (Set)
แซมเปิลสเปซ (Sample Space)
สมาชิก (Element)
ความน่าจะเป็น (Probability)
การทดลอง (Experiment)

3.
Definition
เหตุการณ์ (Event)
คอมพลีเมนต์ของ A (A’ or A)
อินเตอร์เซ็กชั่น
ยูเนียน
)
( B
A
)
( B
A

4.
Definition
เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
=
=



 )
( =
B
A

5.
Venn Diagram / Venn-Euler diagram
1.
2.
3.
4.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A










=
=
,
A
S
A =
 S
S
A =

,
'

=
S ,
'
S
=
 A
A =
'
'
)
(
)
(
)
( '
B
A
B
A
A 


=
(กฎการกระจาย)
A
B
C

6.
5.
6.
7.
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A








)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
'
'
'
)
( B
A
B
A 
 =
(กฎการจัดหมู่)
'
'
'
)
( B
A
B
A 
 =
(De’ Morgan Law)
Venn Diagram / Venn-Euler diagram

7.
Counting Rules (กฎการนับจุดตัวอย่าง)
กฎการคูณ (Multiplication Rule)
- ถ้างานที่แตกต่างกัน k ประเภท แต่ละประเภทมีวิธี
เลือกทาได้ ni วิธี จะได้ว่า ผลที่เป็นไปได้ทั้งหมด=
n1*n2*…*nk

8.
Example 1.
โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น
มีจานวนเท่าไร
6 X 6 = 36

9.
Example 2.
ต้องการซื้อรถยนต์ Honda มีให้เลือก 4 สี มีแบบเกียร์
ธรรมดาและอัตโนมัติ และสามารถเลือกมีล้อแม็กหรือล้อ
ธรรมดา จงหาผลลัพธ์ทางเลือกรถยนต์รุ่นนี้ทั้งหมด
4 X 2 X 2 = 16 วิธี

10.
Counting Rules (กฎการนับจุดตัวอย่าง)
การจัดลาดับ (Permutation)
1. การจัดลาดับสิ่งของ n อย่างที่ต่างกัน จะได้ n! วิธี
2. การจัดลาดับสิ่งของ n อย่างที่ต่างกัน โดยการเลือก
อย่างละ r สิ่ง จะได้วิธีทั้งหมด P(n,r)= nPr =
( )!
!
r
n
n
−

11.
Example 3.
มีน้าอัดลมแฟนต้า 5 สี คือ ส้ม แดง เขียว ม่วง เหลือง
ต้องการเรียงบนชั้นวางตามสี จะสามารถเรียงได้กี่วิธี
n! = 5X 4 X 3 X 2 X1 = 120 วิธี

12.
Example 4.
หยิบหวย 2 ใบ จากหวย 1 ชุด 100 ใบ แล้วถูกรางวัล
เลขท้าย 2 ตัวบนและล่าง หยิบได้กี่วิธี
nPr = 100!/98! = 100*99= 9,900 วิธี

13.
Counting Rules (กฎการนับจุดตัวอย่าง)
การจัดลาดับ (Permutation)
3. การเรียงของ n สิ่งที่ต่างกันเป็นวงกลม ได้ (n-1)! วิธี
4. การจัดลาดับของ n สิ่ง ซึ่งสามารถแบ่งได้ r กลุ่ม
จะได้วิธีทั้งหมด
!
!...
!
!
2
1 r
n
n
n
n

14.
Example 5.
ชาย 4 คน หญิง 4 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี
(n-1)! = (8-1)! = 5,040 วิธี
ถ้าให้นั่งสลับกันชาย-หญิง จะจัดได้กี่แบบ
กาหนดให้ ชาย 1 คนนั่งคงที่ ดังนั้น เหลือชาย 3 หญิง 4
3!*4! = 144 แบบ

15.
Example 6.
มีหลอดไฟ 9 หลอด สีแดง 3 หลอด สีเหลือง 4 หลอด
สีฟ้า 2 หลอด สามารถติดตั้งบนเสาไฟ 9 แห่งได้กี่วิธี
n!/(n1!n2!n3!) = 9!/(3!4!2!) = 1,260 วิธี

16.
Counting Rules (กฎการนับจุดตัวอย่าง)
การแบ่งกลุ่ม (Pertitioning)
จานวนวิธีที่ใช้ในการแบ่งเซ็ตของ n สิ่งด้วยจานวน n1
ในเซลที่ 1 … และ nr ในเซลที่ r
จะได้วิธีทั้งหมด
!
!...
!
!
2
1 r
n
n
n
n

17.
Example 7.
มีคน 7 คน เข้าพักในห้องคู่ 2 ห้อง ห้อง 3 คน 1 ห้อง
จะสามารถจัดได้กี่วิธี
n!/(n1!n2!n3!) = 7!/(3!2!2!) = 210 วิธี

18.
Example 8.
มีคน 7 คน (ชาย 4 หญิง 3 คน) เข้าพักในห้องคู่ 2 ห้อง
ห้อง 3 คน 1 ห้อง โดยกาหนดให้ ชาย-หญิง นอน
แยกกัน จะสามารถจัดได้กี่วิธี
n!/(n1!n2!n3!) = 4!/(1!2!2!) = 6 วิธี

19.
Counting Rules (กฎการนับจุดตัวอย่าง)
การจัดหมู่ (Combination)
จานวนวิธีการเลือกของ r สิ่ง จาก n สิ่ง ไม่สนใจลาดับ
จานวนวิธี = nCr =
( ) !
!
!
r
r
n
n
−

20.
Example 9.
มีนักเคมี 4 คน นักฟิสิกส์ 3 คน จงหาจานวนวิธีจัดตั้ง
คณะกรรมการที่ประกอบด้วย นักเคมี 2 คน นักฟิสิกส์
1 คน นักเคมี = 4C2 = 6
นักฟิสิกส์ = 3C1 = 3
จานวนวิธีทั้งหมด = 6*3 = 18 วิธี

21.
Example 10.
จากคาว่า “PROPERTY” จงจัดกลุ่มอักษร 4 ตัวมีกี่วิธี
มีอักษรต่างกัน 4 ตัว {P R O E T Y}ซ้ากัน 2 ตัว {P R}
• จัดอักษรซ้า 2 คู่ ได้ = = 1 วิธี
• จัดอักษรซ้า 1 คู่ ได้ = = 20 วิธี
• จัดอักษรต่างกัน ได้ = = 15 วิธี รวมเป็น 36 วิธี








2
2








1
2








2
5








4
6

22.
Example 10.(ต่อ)
จากคาว่า “PROPERTY”จงเรียงโดยใช้อักษร 4 ตัวมีกี่วิธี
มีอักษรต่างกัน 4 ตัว {P R O E T Y}ซ้ากัน 2 ตัว {P R}
• เรียงอักษรซ้า 2 คู่ ได้ = 1*2! = 2 วิธี
• เรียงอักษรซ้า 1 คู่ ได้ = 20*4!/(2!1!1!) = 240 วิธี
• เรียงอักษรต่างกัน ได้ = 15*4!=360 วิธี รวม 602 วิธี

23.
Probability (ความน่าจะเป็น)
กฎของความน่าจะเป็น(Rule of Probability)
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) =1 ; P(Ø)=0
3. P(A) = 1- P(A’)
4. P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A B)


24.
กฎของความน่าจะเป็น(Rule of Probability)
5. ให้ A1,A2,…An เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันใน S
6. ให้ A1,A2,…An เป็นเหตุการณ์ใดๆใน S
)
(
...
)
(
)
(
)
...
(
)
( 2
1
2
1
1
n
n
n
i A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
A
P +
+
+
=
= 



+
−
=
= 
 )
(
)
(
)
...
(
)
( 1
2
1
1
j
i
k
k
i A
A
P
A
P
A
A
A
P
A
P 




)
...
(
)
1
(
...
...
)
( 2
1
1
1 k
k
j
i A
A
A
P
A
A
A
P 



 −
−
+
+
−


25.
กฎของความน่าจะเป็น(Rule of Probability)
7. ถ้า A, B และ C เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
=
=




26.
Example 11.
จงคานวณหาความเชื่อถือของ R 2ตัว ที่มีความน่าจะเป็น
ทางานได้ 0.9 กับ 0.85 ถ้าต่อแบบอนุกรม แบบขนาน
• แบบอนุกรม จะทางานเมื่อต่ออนุกรมกัน
ความน่าเชื่อถือ = 0.9*0.85 = 0.765 = 76.5%
• แบบขนาน จะทางานเมื่อตัวใดตัวหนึ่งทางาน หรือเท่ากับ
(1-ไม่ทางาน) = 1-(0.1*0.15) = 0.985 = 98.5%

27.
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข(Conditional Probability)
เหตุการณ์ A มีเงื่อนไขเมื่อ B ได้เกิดขึ้นแล้ว
0
)
(
;
)
(
)
(
)
|
( 
= B
P
B
P
B
A
P
B
A
P

)
(
*
)
|
(
)
(
*
)
|
(
)
( A
P
A
B
P
B
P
B
A
P
B
A
P =
=


28.
Example 12.
จาก Venn Diagram จงคานวณหา )
|
'
(
),
|
(
),
(
),
( B
A
P
B
A
P
B
P
A
P
17
B
B’
73
3 7
A
20
/
17
)
|
'
(
)
100
/
20
/(
)
100
/
3
(
)
(
/
)
(
;
20
/
3
)
|
(
100
/
20
)
(
100
/
10
)
(
=
=
=
=
=
=
B
A
P
B
P
B
A
P
or
B
A
P
B
P
A
P


29.
เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน (Independent Event)
เหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ใด จะเป็นอิสระต่อกัน ถ้า
หรือ
และ )
(
*
)
(
)
|
(
*
)
(
)
(
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
A
P
B
P
A
B
P
A
P
B
A
P
=
=
=
=


30.
Example 13.
ถ้า prob.ที่บริษัท กก จะส่งของตรงเวลา = 0.90 บริษัท ขข = 0.95
จงหาความน่าจะเป็นที่บริษัททั้ง 2 ส่งของตรงเวลา
ให้ A คือเหตุการณ์ที่ กก ส่งของตรงเวลา
ให้ B คือเหตุการณ์ที่ ขข ส่งของตรงเวลา
Prob.ที่ทั้ง 2 ส่งตรงเวลา = )
( B
A
P 
855
.
0
95
.
0
*
9
.
0
)
(
*
)
( =
=
= B
P
A
P

31.
Example 14.
กาหนดให้ จงหา เมื่อ...
1). A และ B เป็นอิสระต่อกัน
6
.
0
)
(
,
4
.
0
)
( =
= B
A
P
A
P 
)
(
*
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P =

)
(B
P
)
(
)
(
)
(
6
.
0
)
( B
A
P
B
P
A
P
B
A
P 
 −
+
=
=
)
4
.
0
1
(
*
)
(
4
.
0
))
(
1
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
−
+
=
−
+
=
−
+
=
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
3
/
1
6
.
0
/
2
.
0
)
( =
=
B
P

32.
Example 14.ต่อ
กาหนดให้ จงหา เมื่อ...
2). A และ B ไม่เกิดร่วมกัน
6
.
0
)
(
,
4
.
0
)
( =
= B
A
P
A
P 
0
)
( =
B
A
P 
)
(B
P
)
(
)
(
)
(
6
.
0
)
( B
A
P
B
P
A
P
B
A
P 
 −
+
=
=
)
(
)
( B
P
A
P +
=
2
.
0
4
.
0
6
.
0
)
( =
−
=
B
P

33.
Example 14.ต่อ
กาหนดให้ จงหา เมื่อ...
3).
6
.
0
)
(
,
4
.
0
)
( =
= B
A
P
A
P 
3
.
0
)
|
( =
B
A
P
)
(B
P
)
(
6
.
0
)
(
4
.
0
)
|
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
|
(
3
.
0
)
(
)
(
)
|
(
B
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
−
+
=
−
+
=
=
=


7
/
2
7
.
0
/
2
.
0
)
( =
=
B
P

34.
Bayes’ Rule (กฎของเบย์)
)
(
*
)
/
(
)
(
)
(
1
1
i
k
i
k
i B
P
B
A
P
B
A
P
A
P 
 =
= 
1.
B1 B2
Bk
A

35.
แผนภูมิต้นไม้ (กฎของเบย์)
)
(
)
|
(
*
)
(
)
|
(
A
P
B
A
P
B
P
A
B
P i
i
i =
)
(
)
(
)
|
(
*
)
(
)
(
)
|
(
*
)
(
1
A
P
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
B
P
i
i
k
i
i
i
i
i
=
=
=

=


2.
ข้อสังเกตุ
)
( 1
B
P
)
( 2
B
P
)
( 3
B
P
)
( k
B
P
:
)
|
( 1
B
A
P
)
|
'
( 1
B
A
P
)
|
( 2
B
A
P
)
|
'
( 2
B
A
P
)
|
( 3
B
A
P
)
|
'
( 3
B
A
P
)
|
( k
B
A
P
)
|
'
( k
B
A
P

36.
Example 15.
บริษัท AAA ซื้อยางจากผู้ขาย 1 และ 2 โดยมีประวัติการส่งมอบดังนี้ ของที่ได้จาก 1
จะชารุด 10% โดยของที่ได้รับจาก 2 ชารุด 5% กาหนดให้ 40% ของยางที่ซื้อมาจาก 1
ถ้าหยิบยาง 1 เส้นมาตรวจพบว่าชารุด จงหา Prob.ที่ยางเส้นนั้นส่งมาจากผู้ขาย 1
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่สุ่มเลือกยางมาตรวจแล้วชารุด
Bi เป็นเหตุการณ์ที่ยางเส้นนั้นมาจากผู้ขายที่ i (i=1,2)
)
|
(
*
)
(
)
|
(
*
)
(
)
|
(
*
)
(
)
|
(
2
2
1
1
1
1
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
B
P i
+
=
6
.
0
)
(
05
.
0
)
|
(
4
.
0
)
(
1
.
0
)
|
(
2
2
1
1
=
=
=
=
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
5714
.
0
05
.
0
*
6
.
0
1
.
0
*
4
.
0
1
.
0
*
4
.
0
)
|
( 1 =
+
=
 A
B
P

37.
Example 16.
บริษัทแห่งหนึ่งเข้าร่วมประมูลงานก่อสร้างอุโมงค์ มีวิศวกร 4 คน ประเมินราคาโครงการ
โดยมีสัดส่วน 30%, 25%, 20% และ 15% ของแบบตามลาดับ วิศวกรทั้ง 4 มีโอกาส
ทางานผิดพลาด 1%, 2%, 3% และ 2% ตามลาดับ ถ้าบริษัทนี้ประเมินราคาผิดพลาด
จงหาว่าโอกาสเกิดจากวิศวกรคนใดมากที่สุด
ให้ Bi เป็นเหตุการณ์ที่วิศวกรคนที่ i ประเมินราคา
A เป็นเหตุการณ์ที่การประเมินราคาผิดพลาด
02
.
0
)
|
(
,
03
.
0
)
|
(
,
02
.
0
)
|
(
,
01
.
0
)
|
(
15
.
0
)
(
,
2
.
0
)
(
,
25
.
0
)
(
,
3
.
0
)
(
4
3
2
1
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
P
B
P
B
P
B
P

38.
Example 16.(ต่อ)
ดังนั้น โอกาสที่วิศวกรคนที่ i จะประเมินราคาผิดพลาด =
003
.
0
15
.
0
*
02
.
0
)
(
*
)
|
(
)
(
006
.
0
2
.
0
*
03
.
0
)
(
*
)
|
(
)
(
005
.
0
25
.
0
*
02
.
0
)
(
*
)
|
(
)
(
003
.
0
3
.
0
*
01
.
0
)
(
*
)
|
(
)
(
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
B
P
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P




)
( i
B
A
P 
ดังนั้น โอกาสที่วิศวกรคนที่ 3 มีโอกาสประเมินราคาผิดพลาดมากที่สุด
โอกาสที่จะเกิดความผิดพลาดทั้งหมด = %
7
.
1
017
.
0
)
(
)
(
1
 =
=
=
k
i
B
A
P
A
P 