1. Aplicación de la teoría de errores de mediciones directas e indirectas.
Lunes 12 de Septiembre de 2011.
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS:
Familiarizarse con el uso de instrumentos de medición.
Adquirir conceptos elementales sobre mediciones.
Calcular los errores de una magnitud luego de un proceso de medición.
Realizar el Histograma.
Trazar curva de Gauss.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS:
Se aplican los conceptos aprendidos sobre la teoría de los errores de medición que permiten
cumplir con los objetivos.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
PARTE I: Mediciones directas e indirectas.
Medir las dimensiones (Altura, diámetro, etc.) de varios cuerpos con diferentes
instrumentos, expresado correctamente los resultados.
Calcular el volumen y la superficie de los cuerpos medidos en el punto anterior y su error.
Expresar correctamente los resultados.
PARTE II: Errores estadísticos. Histograma y curva de Gauss.

2. Se medirá la longitud de una mesada del laboratorio para realizar el análisis estadístico. Un
alumno por comisión realizara 100 mediciones de la magnitud antes mencionada. Con dichos
resultados:
Realizar una tabla de intervalos y frecuencias para la serie de medidas con tantas filas
como intervalos (∆ x) se hayan elegido.
Trazar el histograma correspondiente en hoja milimetrada.
Determinar el valor medio de todos los valores obtenidos, la desviación estándar, el error
absoluto o error medio cuadrático del promedio y los errores relativo y porcentual de la serie.
Expresar correctamente el resultado de la serie.
Trazar la curva de ajuste de Gauss sobre el histograma correspondiente. Para ello
completar, con los parámetros previamente calculados, la tabla de la teoría.
Por último, comparar los resultados obtenidos entre todos los miembros de la comisión.
PARTE I:
RESULTADOS EXPERIMENTALES
TABLA 1: Mediciones directas
OBJETO INSTRUMENTO (± E [u]) MAGNITUD MEDIDA VALOR MAGNITUD [u] ± ERROR
[u]
Cilindro Calibre Diámetro 3.03 cm 0.05 mm
Cinta métrica 2.95 cm 0.1 mm
Calibre Altura 2.91 cm 0.05 mm
Cinta métrica 2.9 cm 0.1 mm
Esfera Tornillo micrométrico Diámetro 2.004 cm 0.1 mm
Calibre 2.000 cm 0.05 mm

3. TABLA 2: Expresión correcta de los resultados
OBJETO MAGNITUD MEDIDA EXPRESIÓN CORRECTA DEL RESULTADO
Cilindro Diámetro ( 3.030 ± 0.005) cm
( 2.95 ± 0.01) cm
Altura ( 2.91 ± 0.005) cm
( 2.9 ± 0.01) cm
Esfera Diámetro ( 2.004 ± 0.002) cm
( 2.000 ± 0.005) cm
TABLA 3: Mediciones Indirectas.
OBJETO INSTRUMENTO (± E [u]) MAGNITUD MEDIDA FÓRMULA VALOR MAGNITUD
[u] ± ERROR [u]
Cilindro Calibre Volumen πr2h 20.98 cm3 ± 0.085 cm3
Cinta métrica 19.82 cm3 ± 0.34 cm3
Calibre Superficie 2πrh + 2πr2 42.12 cm2 ± 0.008 cm2
Cinta métrica 40.55 cm2 ± 0.23 cm2
Esfera Tornillo micrométrico Volumen 4/3 πr3 4.21 cm3 ± 0.013 cm3
Calibre 4.19 cm3 ± 0.013 cm3
Tornillo micrométrico Superficie 4πr2 12.62 cm2 ± 0.025 cm2
Calibre 12.56 cm2 ± 0.125 cm2
TABLA 4: Expresión correcta de los resultados
OBJETO MAGNITUD MEDIDA EXPRESIÓN CORRECTA DEL RESULTADO

4. CILINDRO VOLUMEN ( 20.98 ± 0.085) cm3
( 19.82 ± 0.34) cm3
SUPERFICIE ( 42.12 ± 0.008) cm2
( 40.55 ± 0.23) cm2
ESFERA VOLUMEN ( 4.21 ± 0.010) cm3
( 4.19 ± 0.013) cm3
SUPERFICIE ( 12.62 ± 0.025) cm2
( 12.56 ± 0.125) cm2
NOTA: Cálculo de errores indirectos en ANEXO.
ANALISIS DE LOS RESULTADOS:
Observando los datos obtenidos de las mediciones para una misma magnitud con diferentes
instrumentos se puede apreciar a simple vista la discrepancia en los resultados entre los diferentes
instrumentos debido a los errores propios de cada uno de los mismos, además de estar afectados
por los errores que pueden llegar a cometer el o los observadores.
En la medición indirecta de las magnitudes se observa una mayor brecha de diferencia entre los
resultados obtenidos ya que estas se obtienen a través de fórmulas matemáticas que a su vez se
basan en mediciones directas, por lo que se acarrean más errores al momento de calcular los
mismos.
CONCLUSIÓN:
Realizado el trabajo práctico podemos concluir que para la realización de mediciones, los
instrumentos utilizados son importantes, ya que de acuerdo al utilizado, el valor obtenido va a ser
mayor o menor exactitud. Es importante tener en cuenta que nunca se obtienen mediciones con
error nulo, por lo que la apreciación del instrumento es un factor determinante del cual depende
la magnitud del mismo.

5. En cuanto a los errores, las mediciones directas son más exactas que las indirectas ya que estas
últimas como analizamos anteriormente, se obtienen de una forma más compleja que involucra
un error mayor.
PARTE II:
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Mediciones de la longitud de una mesada del laboratorio:
299,2 299,4 299,3 299,2 299,3
299,3 299,2 299,2 299,1 299,4
299,3 299,4 299,4 299,1 299,3
299,3 299,2 299,4 299,3 299,4
299,3 299,3 299,5 299,5 299,3
299,4 299,4 299,4 299,4 299,3
299,3 299,4 299,2 299,2 299,3
299,3 299,4 299,3 299,4 299,4
299,6 299,3 299,4 299,4 299,4
299,4 299,3 299,4 299,5 299,4
299,3 299,6 299,4 299,3 299,5
299,4 299,4 299,5 299,4 299,4
299,4 299,3 299,4 299,4 299,4
299,5 299,4 299,3 299,4 299,4
299,5 299,4 299,5 299,5 299,4
299,3 299,4 299,4 299,4 299,5

6. 299,4 299,4 299,3 299,4 299,4
299,4 299,4 299,3 299,4 299,3
299,4 299,4 299,3 299,4 299,4
299,4 299,5 299,3 299,4 299,4
N: 100
∆x: 0,1 cm ∆x=Rango/√N=(299,6cm –299,1cm)/√100 =(0,5 cm)/10 =0,1 cm
TABLA 5: Intervalos del histograma y sus frecuencias.
(x0, x0 + ∆x) *u+ FRECUENCIA
[299,1 ; 299,2) 2
[299,2 ; 299,3) 7
[299,3 ; 299,4) 27
[299,4 ; 299,5) 51
[299,5 ; 299,6) 11
[299,6 ; 299,7) 2
Histograma
Hoja milimetrada en ANEXO.
TABLA 6: Valores estimadores estadísticos y errores.
Fórmula Cantidad

7. Valor medio [u]
=∑_(i=1)^N▒x_i/N [u]
=299,4 cm
σ_(n-1) [u] σ_(n-1)= √( ( ∑_(i=1)^n▒〖 - x_i )〗^2 )/(n-1)) [u]
σ_(n-1)≅0,096 c≅0,1 cm
σ_n [u] σ_n= √( ( ∑_(i=1)^n▒〖 - x_i )〗^2 )/n) [u] σ_n≅0,0959 cm ≅0,1 cm
Error del promedio [u]
ξ =σ/√N
ξ=0,01 cm
Error relativo
)
e≅3,34 ×〖10〗^(-5)
Error relativo %
e%= ( ξ ) ×100%
e%=0,00334%
x_i - x_i) 〖 - x_i)〗^2
299,1 (299,4 – 299,1) = 0,3 〖(0,3)〗^2=0,09

8. 299,2 (299,4 – 299,2) = 0,2 〖(0,2)〗^2=0,04
299,3 (299,4 – 299,3) = 0,1 〖(0,1)〗^2=0,01
299,4 (299,4 – 299,4) = 0 〖(0)〗^2=0
299,5 (299,4 – 299,5) = -0,1 〖(-0,1)〗^2=0,01
299,6 (299,4 – 299,6) = -0,2 (-0,2)^2=0,04
Expresión correcta del resultado de la serie: 299,4 ± 0,01
Curva de ajuste de Gauss, en ANEXO, hoja milimetrada sobre el histograma.
∆n≅ N/(σ√2π - -x_i )^2/(2σ^2 ))∆x
TABLA 7: Valores para Curva de Gauss.
xi Valor
∆n
299,4 1 41,59
- σ/2
299,35
36,71
+ σ/2
299,45
36,71
-σ

9. 299,3
25,23
+σ
299,5
25,23
- 2σ
299,2
5,62
+ 2σ
299,6
5,62
ANÁLISIS DE RESULTADOS:
Al observar los datos obtenidos de las mediciones, podemos afirmar que la distribución de los
valores es gaussiana ya que a simple vista en el histograma vemos que la barra central está
rodeada por barras decrecientes y, si se calcula la cantidad de valores medidos que están
comprendidos en el intervalo -
- +2σ).
Al momento de comparar el histograma con la Curva de Gauss lo hicimos teniendo en cuenta
siempre el valor medio, de ahí que llegamos a la conclusión de que existían ciertas similitudes
entre ambos gráficos. Una de ellas es que a medida que los valores se alejan del valor medio, la
frecuencia en que se los encuentra tiende a cero, tanto en la curva, como en el histograma, de
esto también depende que la mayor parte de los datos obtenidos estén concentrados en el
entorno del valor medio, lo que disminuye el error final de la medición.
Una cosa que nos llamó la atención gráficamente fue que el valor máximo de la curva no coincidía
con la frecuencia máxima obtenida en los datos medidos, luego de comprobar las formulas y los
procedimientos concluimos que se debía a que el rango de los datos es muy pequeño en
consideración con la cantidad de mediciones realizadas y, además es impar, lo que lleva a que no
haya la misma cantidad de barras de cada lado de la barra central y a que el valor medio no se
encuentre DENTRO de la barra central sino en un extremo del intervalo.

10. CONCLUSIONES:
Luego de todas estas observaciones deducimos que cuanto mayor sea el número de mediciones,
mayor va a ser la cantidad de valores que estén concentrados cerca del valor medios, lo que
implica también que disminuya el error, aunque sabemos que nunca va a llegar a cero. También
concluimos que es mucho más eficiente realizar el histograma ya que cuando la cantidad de datos
es muy grande puede haber confusiones que llevan a aumentar el error humano en cualquier
parte del proceso de medición. Para finalizar queremos resaltar que hay que ser sumamente
prolijos a la hora de la obtención de los datos y ordenados en el procedimiento, teniendo en
cuenta todas las fórmulas aprendidas y observando los datos que nos brindan los gráficos (Curva
de Gauss e histograma) indirectamente.