Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [2/5]

212 visualizações

Publicada em

Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.

Neste módulo é abordado o modelamento de dados sísmicos.

Publicada em: Ciências
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
212
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
50
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [2/5]

  1. 1. Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações Módulo 02: Modelagem - Extrapolação do Campo de Ondas Bruno Pereira Dias, Andé Bulcão, Djalma Manoel Soares Filho VII Semana de Inverno de Geofísica, 6 a 8 de Julho/2016 INCT-GP, UNICAMP, Campinas, SP, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 1 / 58
  2. 2. Ementa Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas Módulo 03 Métodos de Otimização Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...) Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar) Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 2 / 58
  3. 3. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 3 / 58
  4. 4. Full Waveform Inversion Ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em alta resolução através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 4 / 58
  5. 5. Problemas Direto e Inverso d = L(p) p = L−1 (d) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 5 / 58
  6. 6. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 6 / 58
  7. 7. Formulação do Problema Modelos Matemáticos Modo de onda compressional, cisalhante, conversões ρ ¨uii −τij,j = ρfi Somente modo de onda compressional 1 c2 ¨uii −u,jj = f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 7 / 58
  8. 8. Alguns Métodos Numéricos Método das Diferenças Finitas (M.D.F.) Simplicidade e fácil implementação computacional Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares para a motagem do sistema. Programas velozes e ecientes BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
  9. 9. Alguns Métodos Numéricos Método das Diferenças Finitas (M.D.F.) Simplicidade e fácil implementação computacional Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares para a motagem do sistema. Programas velozes e ecientes Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) Método integral; minimiza o resíduo da equação integral Requer montagem das matrizes do sistema Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas Permite renamento não uniforme BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
  10. 10. Alguns Métodos Numéricos Método das Diferenças Finitas (M.D.F.) Simplicidade e fácil implementação computacional Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares para a motagem do sistema. Programas velozes e ecientes Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) Método integral; minimiza o resíduo da equação integral Requer montagem das matrizes do sistema Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas Permite renamento não uniforme Método dos Elementos de Contorno (M.E.C.) Método integral Problemas com domínios innitos e semi-innitos Menor volume de dados para discretização das interfaces Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas Elevada precisão na resposta do interior do domínio BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
  11. 11. Domínios de Formulação Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas Domínio do Tempo ¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)] Discretização da derivada temporal Esquema iterativo de solução: marcha no tempo Não há inversão de matriz (esquema explícito) Geralmente utilizado em inversões sísmicas 3D BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 9 / 58
  12. 12. Domínios de Formulação Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas Domínio do Tempo ¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)] Discretização da derivada temporal Esquema iterativo de solução: marcha no tempo Não há inversão de matriz (esquema explícito) Geralmente utilizado em inversões sísmicas 3D Domínio da Frequência −ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω) Requer a solução de sistemas de equações lineares Frequentemente utilizado em inversões sísmicas 2D Eciente em problemas com grande número de experimentos (fontes) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 9 / 58
  13. 13. Domínios de Formulação Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas Domínio do Tempo ¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)] BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 10 / 58
  14. 14. Domínios de Formulação Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas Domínio do Tempo ¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)] Domínio da Frequência −ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 10 / 58
  15. 15. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 11 / 58
  16. 16. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  17. 17. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular Equação Viscoelástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  18. 18. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular Equação Viscoelástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25 Equação Elástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66 ⇒ 2+21= 23 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  19. 19. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular Equação Viscoelástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25 Equação Elástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66 ⇒ 2+21= 23 Equação Elástica Isotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,λ,µ,ρ ⇒ 2+3= 5 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  20. 20. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular Equação Viscoelástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25 Equação Elástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66 ⇒ 2+21= 23 Equação Elástica Isotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,λ,µ,ρ ⇒ 2+3= 5 Acústica Isotrópica ρ var. Campos: u ⇒ 1 Propriedades: vp,ρ ⇒ 2 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  21. 21. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular Equação Viscoelástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25 Equação Elástica Anisotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66 ⇒ 2+21= 23 Equação Elástica Isotrópica Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9 Propriedades: vp,vs,λ,µ,ρ ⇒ 2+3= 5 Acústica Isotrópica ρ var. Campos: u ⇒ 1 Propriedades: vp,ρ ⇒ 2 Equação Acústica Isotrópica Campos: u ⇒ 1 Propriedades: vp ⇒ 1 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
  22. 22. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  23. 23. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  24. 24. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  25. 25. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  26. 26. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal u: campo de deslocamento de partícula BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  27. 27. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal u: campo de deslocamento de partícula ρ: densidade BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  28. 28. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal u: campo de deslocamento de partícula ρ: densidade σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  29. 29. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal u: campo de deslocamento de partícula ρ: densidade σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente) f: fonte externa BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  30. 30. Lei de Newton ma = f , a ≡ ∂2u ∂t2 ≡ ¨u Equação da Onda Geral ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal u: campo de deslocamento de partícula ρ: densidade σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente) f: fonte externa Condições de contorno: condição de Sommerfeld Condições iniciais: u|t≤t0 = ˙u|t≤t0 = 0. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
  31. 31. Tensor de Tensões Modelo Visco-elástico Tensor de elasticidade C dependente do tempo: σ (x,t) = ∞ −∞ ˙C x,t −t : ∇u x,t dt BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 14 / 58
  32. 32. Tensor de Tensões Modelo Visco-elástico Tensor de elasticidade C dependente do tempo: σ (x,t) = ∞ −∞ ˙C x,t −t : ∇u x,t dt Permite a descrição de fenômenos de: Atenuação: decaimento de amplitude com a frequência Dispersão: dependência da velocidade com a frequência Absorção = Atenuação + Dispersão Mecanismos de atenuação: Domínio do tempo: variáveis de memória Domínio da frequência: velocidade complexa (v ∈ C) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 14 / 58
  33. 33. Tensor de Tensões Modelo Visco-elástico Tensor de elasticidade C dependente do tempo: σ (x,t) = ∞ −∞ ˙C x,t −t : ∇u x,t dt BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
  34. 34. Tensor de Tensões Modelo Visco-elástico Tensor de elasticidade C dependente do tempo: σ (x,t) = ∞ −∞ ˙C x,t −t : ∇u x,t dt Modelo Elástico Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo: Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x) Lei de Hooke (F = kx) generalizada BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
  35. 35. Tensor de Tensões Modelo Visco-elástico Tensor de elasticidade C dependente do tempo: σ (x,t) = ∞ −∞ ˙C x,t −t : ∇u x,t dt Modelo Elástico Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo: Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x) Lei de Hooke (F = kx) generalizada Contração tensorial σij = 3 ∑ k=1 3 ∑ l=1 Cijkl ∂kul BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
  36. 36. Tensor de Elasticidade Contração tensorial σij = 3 ∑ k=1 3 ∑ l=1 Cijkl ∂kul BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 16 / 58
  37. 37. Tensor de Elasticidade Contração tensorial σij = 3 ∑ k=1 3 ∑ l=1 Cijkl ∂kul Notação de Voigt A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único índice das seis combinações independentes de índices 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6, ou xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 16 / 58
  38. 38. Tensor de Elasticidade Contração tensorial σij = 3 ∑ k=1 3 ∑ l=1 Cijkl ∂kul Notação de Voigt A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único índice das seis combinações independentes de índices 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6, ou xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6. Modelo Elástico Anisotrópico C =        c11 c12 c13 c14 c15 c16 c22 c23 c24 c25 c26 c33 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c55 c56 c66        ⇒ 21 parâmetros independentes BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 16 / 58
  39. 39. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  40. 40. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  41. 41. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  42. 42. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  43. 43. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  44. 44. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  45. 45. Anisotropia BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 17 / 58
  46. 46. Tensor de Elasticidade Modelo Elástico Anisotrópico C =        c11 c12 c13 c14 c15 c16 c22 c23 c24 c25 c26 c33 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c55 c56 c66        ⇒ 21 parâmetros independentes BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 18 / 58
  47. 47. Tensor de Elasticidade Modelo Elástico Anisotrópico C =        c11 c12 c13 c14 c15 c16 c22 c23 c24 c25 c26 c33 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c55 c56 c66        ⇒ 21 parâmetros independentes Isotropia Mesma velocidade de propagação para cada direção BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 18 / 58
  48. 48. Tensor de Elasticidade Modelo Elástico Anisotrópico C =        c11 c12 c13 c14 c15 c16 c22 c23 c24 c25 c26 c33 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c55 c56 c66        ⇒ 21 parâmetros independentes Isotropia Mesma velocidade de propagação para cada direção Modelo Elástico Isotrópico C =        λ +2µ λ λ λ λ +2µ λ λ λ λ +2µ µ µ µ        ⇒ 2 parâmetros independentes λ,µ: Parâmetros de Lamé BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 18 / 58
  49. 49. Tensor de Elasticidade Notação Tensorial Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk δij = 1, i = j 0, i = j , delta de Kronecker BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 19 / 58
  50. 50. Tensor de Elasticidade Notação Tensorial Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk δij = 1, i = j 0, i = j , delta de Kronecker Notação de Voigt C =        λ +2µ λ λ λ λ +2µ λ λ λ λ +2µ µ µ µ        11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6, BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 19 / 58
  51. 51. Tensor de Elasticidade Notação Tensorial Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk δij = 1, i = j 0, i = j , delta de Kronecker Notação de Voigt C =        λ +2µ λ λ λ λ +2µ λ λ λ λ +2µ µ µ µ        11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6, Exemplo c1111 = λδ11δ11 + µδ11δ11 + µδ11δ11 = λ +2µ −→ C11 c1311 = λδ13δ11 + µδ11δ31 + µδ13δ11 = 0−→ C51 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 19 / 58
  52. 52. Formulações da Equação da Onda Elástica Formulação de deslocamento Sistema de 2a. ordem no tempo: ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
  53. 53. Formulações da Equação da Onda Elástica Formulação de deslocamento Sistema de 2a. ordem no tempo: ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t) Formulação Velocidade-Tensão Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de velocidade) ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) ˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
  54. 54. Formulações da Equação da Onda Elástica Formulação de deslocamento Sistema de 2a. ordem no tempo: ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t) Formulação Velocidade-Tensão Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de velocidade) ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) ˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0 Apesar de matematicamente equivalentes, essas formulações podem ter diferentes propriedades numéricas, quando discretizadas. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
  55. 55. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  56. 56. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  57. 57. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  58. 58. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  59. 59. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  60. 60. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  61. 61. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  62. 62. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  63. 63. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  64. 64. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  65. 65. Equação da Onda Acústica* Meios líquidos O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0 Módulo de Bulk: κ = λ + 2 3 µ µ=0 −→ κ = λ. Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk µ=0 −→ Cijkl = κδij δkl Rel. constitutiva: σij = ∑3 k=1 ∑3 l=1 Cijkl ∂k ul µ=0 −→ σij = κδij ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul ∑3 k=1 ∑3 l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u Pressão: p := −κ∇·u Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f Velocidade da onda acústica: v := κ ρ BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
  66. 66. Equação Acústica da Onda ¨p −v2∇2p = I Campo de pressão: p Velocidade da onda acústica: v Assinatura da fonte: I = −v2∇·f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
  67. 67. Equação Acústica da Onda ¨p −v2∇2p = I Campo de pressão: p Velocidade da onda acústica: v Assinatura da fonte: I = −v2∇·f 1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
  68. 68. Equação Acústica da Onda ¨p −v2∇2p = I Campo de pressão: p Velocidade da onda acústica: v Assinatura da fonte: I = −v2∇·f 1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação. 2 Desconsidera efeitos de anisotropia. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
  69. 69. Equação Acústica da Onda ¨p −v2∇2p = I Campo de pressão: p Velocidade da onda acústica: v Assinatura da fonte: I = −v2∇·f 1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação. 2 Desconsidera efeitos de anisotropia. 3 Desconsidera conversões de onda P para S, ondas Rayleigh etc. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
  70. 70. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  71. 71. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  72. 72. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  73. 73. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  74. 74. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  75. 75. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  76. 76. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  77. 77. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  78. 78. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  79. 79. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  80. 80. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  81. 81. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  82. 82. Exemplos de Propagação BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 23 / 58
  83. 83. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 24 / 58
  84. 84. Discretização no Espaço Para aplicações numéricas, o campo de onda contínuo u (x,t) deve ser discretizado, isto é, amostrado em um número de pontos nitos: u1 (t),...,uN (t). Em 1D, ui (t) = u (i∆x,t). Em 2D, uik (t) = u (i∆x,k∆z,t). Figura extraída de di Bartolo 2013. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 25 / 58
  85. 85. Aproximação das Derivadas Expansão em série de Taylor f (x +∆x) = f (x)+∆x ·f (x)+ 1 2 ∆x2f (x)+O ∆x3 (1) f (x −∆x) = f (x)−∆x ·f (x)+ 1 2 ∆x2f (x)+O ∆x3 (2) Somando as expressões: (1)+(2) f (x +∆x)+f (x −∆x) = 2f (x)+∆x2f (x)+O ∆x3 f (x) ≈ 1 ∆x2 [f (x +∆x)−2f (x)+f (x −∆x)] BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 26 / 58
  86. 86. Modelagem no Domínio do Tempo* Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por diferenças nitas: ∂2u ∂t2 ≈ 1 ∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)] BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
  87. 87. Modelagem no Domínio do Tempo* Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por diferenças nitas: ∂2u ∂t2 ≈ 1 ∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)] Equação da onda acústica: 1 c2 ∂2u ∂t2 −∇2u = f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
  88. 88. Modelagem no Domínio do Tempo* Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por diferenças nitas: ∂2u ∂t2 ≈ 1 ∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)] Equação da onda acústica: 1 c2 ∂2u ∂t2 −∇2u = f Expressão para a marcha explícita no tempo: u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
  89. 89. Aproximação das Derivadas Espaciais Equação da onda discretizada no tempo: u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f Laplaciano em 2D: ∇2u = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂z2 Aproximação de segunda ordem: ∇2u ≈ 1 ∆x2 [u (x +∆x,z)−2u (x,z)+u (x −∆x,z)] + 1 ∆z2 [u (x,z +∆z)−2u (x,z)+u (x,z −∆z)] BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 28 / 58
  90. 90. Aproximações de Ordem mais Altas ∂2f (x) ∂x2 x=0 ≈ 1 ∆x2 c0f0 + N/2 ∑ n=1 cn (fn +f−n) N : ordem do operador (N ≥ 2) cn: coecientes de diferenças nitas fn = f (n∆x) Referência Silva 2014. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 29 / 58
  91. 91. Aproximações de Ordem mais Altas ∂2f (x) ∂x2 x=0 ≈ 1 ∆x2 c0f0 + N/2 ∑ n=1 cn (fn +f−n) T. Fourier←−−−−−−−→ −(kx ∆x)2 = c0 +2 N/2 ∑ n=1 cn cos(nkx ∆x) Erro kx kxn = − c0f0 +2 N/2 ∑ n=1 cn cos kx kxn nπ − kx kxn π 2 Referência Silva 2014. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 30 / 58
  92. 92. Condição de Estabilidade Condição CFL em homenagem a R. Courant, K. Friedrichs e H. Lewy. ∆t ≤ a1 a2 min h max v a1: soma dos valores absolutos dos coecientes da derivada temporal ∂2u ∂t2 a2: soma dos valores absolutos dos coecientes das derivadas espaciais ∇2u Ordem 1D 2D 3D 2 1.00000 0.70711 0.57735 4 0.86603 0.61237 0.50000 6 0.81349 0.57522 0.46967 8 0.78437 0.55463 0.45286 10 0.76547 0.54127 0.44194 12 0.75202 0.53176 0.43418 14 0.74187 0.52458 0.42832 16 0.73388 0.51893 0.42371 Referência Lines, Slawinski, Bording 1998. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 31 / 58
  93. 93. Condição de Dispersão hmax ≤ vmin αfmax Ordem 2 4 6 8 10 12 14 16 α 10.0 4.61 3.58 3.15 2.91 2.76 2.66 2.58 Referência Wu, Lines, Lu 1996. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 32 / 58
  94. 94. Fonte Sísmica Ricker sfspike n1=100 d1=0.004 k1=50 | sfricker1 frequency=15. | sfgraph title=Ricker | sfpen sfspike n1=100 d1=0.004 k1=50 | sfricker1 frequency=15. | sfspectra | sfwindow max1=60 | sfgraph title=Ricker | sfpen BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 33 / 58
  95. 95. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 34 / 58
  96. 96. Modelagem no Domínio da Frequência Vantagens da modelagem no domínio da frequência 1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências. Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
  97. 97. Modelagem no Domínio da Frequência Vantagens da modelagem no domínio da frequência 1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências. 2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis de memória, que aumentam o custo computacional. Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
  98. 98. Modelagem no Domínio da Frequência Vantagens da modelagem no domínio da frequência 1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências. 2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis de memória, que aumentam o custo computacional. 3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x 2, para cada frequência utilizada. Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
  99. 99. Modelagem no Domínio da Frequência Vantagens da modelagem no domínio da frequência 1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências. 2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis de memória, que aumentam o custo computacional. 3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x 2, para cada frequência utilizada. 4 Solução eciente para várias fontes através da decomposição LU: O uso da decomposição LU permite o cálculo rápido e paralelizável para múltiplas fontes, após o processo de fatorização Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
  100. 100. Modelagem no Domínio da Frequência* Equação da onda acústica 1 c2 ∂2u (t) ∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ − ω2 c2 +∇2 U (ω) = F (ω) u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C dn dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n F (ω) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 36 / 58
  101. 101. Modelagem no Domínio da Frequência* Equação da onda acústica 1 c2 ∂2u (t) ∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ − ω2 c2 +∇2 U (ω) = F (ω) u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C dn dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n F (ω) Sistema Linear Matriz impedância: S = discretização do operador ω2 c2 +∇2 S (ω)U (ω) = F (ω) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 36 / 58
  102. 102. Discretização do Campo u em 2D Figura extraída de di Bartolo 2013. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 37 / 58
  103. 103. Sistema Linear Referência http://www.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture24/lecture24.html BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 38 / 58
  104. 104. Formulação do Problema Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo) 1 c2 ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 − ∂2u ∂z2 = f (t) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
  105. 105. Formulação do Problema Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo) 1 c2 ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 − ∂2u ∂z2 = f (t) Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência) ω2 c2 U + ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂z2 = −F (ω) k2 = ω2/c2 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
  106. 106. Formulação do Problema Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo) 1 c2 ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 − ∂2u ∂z2 = f (t) Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência) ω2 c2 U + ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂z2 = −F (ω) k2 = ω2/c2 Discretização das derivadas espaciais ∂2U ∂x2 ≈ Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j ∆x2 ∆x: espaçamento da malha BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
  107. 107. Formulação do Problema Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo) 1 c2 ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 − ∂2u ∂z2 = f (t) Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência) ω2 c2 U + ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂z2 = −F (ω) k2 = ω2/c2 Discretização das derivadas espaciais ∂2U ∂x2 ≈ Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j ∆x2 ∆x: espaçamento da malha Discretização da equação ω2 c2 Ui,j + Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j ∆x2 + Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1 ∆z2 = −Fi,j BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
  108. 108. Formulação do Problema Discretização da equação ω2 c2 Ui,j + Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j ∆x2 + Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1 ∆z2 = −Fi,j Interior do Modelo Mij = ω2 c −2 1 ∆x2 + 1 ∆z2 Eij = 1 ∆x2 Wij = 1 ∆x2 Nij = 1 ∆z2 Sij = 1 ∆z2 Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 40 / 58
  109. 109. Formulação do Problema Condição de borda ∂u ∂z = Ui,j+1 −Ui,j ∆z , Ui,2 −Ui,1 ∆z + iω ci,1 = 0 Borda Mij = − 1 ∆z − iω ci,1 Eij = 0 Wij = 0 Nij = 0 Sij = 1 ∆z Fonte: Ajo-Franklin 2005. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 41 / 58
  110. 110. Propriedades da Matriz S Propriedades S é quadrada e esparsa: dimensão N ×N, N = Nx Nz . Discretização de 2a. ordem, 5 diagonais não nulas. S é complexa: Devido às condições de borda. S é não-simétrica: Operador dif. nitas é simétrico, condições de borda quebram a simetria. S é indenida: possui autovalores positivos e negativos.Fonte: Ajo-Franklin 2005 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 42 / 58
  111. 111. Estêncil Otimizado de 9 Pontos Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 43 / 58
  112. 112. Discretização do Operador Diferenças Finitas Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 44 / 58
  113. 113. Decomposição LU Sendo S uma matriz não-singular, S = LU onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Para uma matriz 3×3. Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU Fonte: Ajo-Franklin 2005 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
  114. 114. Decomposição LU Sendo S uma matriz não-singular, S = LU onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Para uma matriz 3×3. Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU Passos para a solução do sistema A ⇒ LU (fatorização) Ly = b (substituição direta) Ux = y (substituição reversa) Fonte: Ajo-Franklin 2005 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
  115. 115. Decomposição LU Sendo S uma matriz não-singular, S = LU onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Para uma matriz 3×3. Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU Passos para a solução do sistema A ⇒ LU (fatorização) Ly = b (substituição direta) Ux = y (substituição reversa) Complexidade computacional da fatorização: O n3 Fonte: Ajo-Franklin 2005 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
  116. 116. Decomposição LU Sendo S uma matriz não-singular, S = LU onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Para uma matriz 3×3. Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU Passos para a solução do sistema A ⇒ LU (fatorização) Ly = b (substituição direta) Ux = y (substituição reversa) Complexidade computacional da fatorização: O n3 Complexidade computacional da substituição direta e reversa: O n2 Fonte: Ajo-Franklin 2005 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
  117. 117. Bibliotecas Computacionais Bibliotecas computacionais para resolução de sistema linear UMFPACK: https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/cpp_src/umfpack/umfpack.html SuperLU: http://crd-legacy.lbl.gov/~xiaoye/SuperLU/ MUMPS: http://mumps.enseeiht.fr/ PARDISO: http://www.pardiso-project.org/ PETSc: https://www.mcs.anl.gov/petsc/ TRILINOS: https://trilinos.org/ Intel MKL/LAPACK: https://software.intel.com/sites/products/ documentation/doclib/mkl_sa/11/mkl_lapack_examples/ BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 46 / 58
  118. 118. Modelagem 3D no Domínio da Frequência Fitchner p.19 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 47 / 58
  119. 119. Modelagem 3D no Domínio da Frequência Fitchner p.19 15 anos depois... BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 47 / 58
  120. 120. Modelagem no Domínio da Frequência Método Direto Desvantagem: excessivo uso de memória (especialmente em 3D). Vantagem: paralelização da solução para várias fontes. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 48 / 58
  121. 121. Sumário 1 Problema Direto 2 Equação da Onda 3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência 5 Bordas Não-Reexivas BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 49 / 58
  122. 122. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  123. 123. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  124. 124. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  125. 125. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  126. 126. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  127. 127. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  128. 128. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  129. 129. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  130. 130. Comparação Snapshots Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular problemas de propação em domínios não-limitados. Bordas Não-Reexivas dabc=y nb=100 Bordas Reexivas dabc=n nb=0 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
  131. 131. Bordas Não-Reexivas Condição de Contorno Não-Reexiva Baseada em aproximações paraxiais: Engquist Madja 1977 Clayton Engquist 1977 Reynolds 1978 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 51 / 58
  132. 132. Bordas Não-Reexivas Condição de Contorno Não-Reexiva Baseada em aproximações paraxiais: Engquist Madja 1977 Clayton Engquist 1977 Reynolds 1978 Camada Não-Reexiva Atenuação Gaussiana Cerjan et al. 1985 Perfectly Matched Layer (PML) Bérenger 1994 BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 51 / 58
  133. 133. Aproximação Paraxial Fatoração da equação da onda 1 c2 ∂2 ∂t2 − ∂2 ∂x2 U (x,t) = 0−→ 1 c ∂ ∂t − ∂ ∂x 1 c ∂ ∂t + ∂ ∂x U (x,t) = 0 1 c ∂ ∂t + ∂ ∂x U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x −ct) : propagação para a direita 1 c ∂ ∂t − ∂ ∂x U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x +ct) : propagação para a esquerda Figura extraída de Fitchner 2010. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 52 / 58
  134. 134. Atenuação Gaussiana Multiplicar o campo de onda por uma função Gaussiana G (x) = e−(x0−x)2/γ2 Figura extraída de Fitchner 2010. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 53 / 58
  135. 135. Perfectly Matched Layer (PML) Método PML com Coordenadas estendidas 1 ξx (x) ∂ ∂x 1 ξx (x) ∂u ∂x + 1 ξz (z) ∂ ∂z 1 ξz (z) ∂u ∂z + ω2 c2 u = f (ω)δ (x−xf ) ξx (x) = 1+iγx (x)/ω, ξz (z) = 1+iγz (z)/ω, γx (x) e γz (z) dene o comportamento atenuante nas camadas PML. Figura extraída de Fitchner 2010. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 54 / 58
  136. 136. Perl de Atenuação Figura extraída de Fitchner 2010. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 55 / 58
  137. 137. Pontos Importantes 1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a equação da onda acústica. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
  138. 138. Pontos Importantes 1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a equação da onda acústica. 2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
  139. 139. Pontos Importantes 1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a equação da onda acústica. 2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo. 3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da frequência. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
  140. 140. Pontos Importantes 1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a equação da onda acústica. 2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo. 3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da frequência. 4 Testar perl de atenuação da borda não-reexiva em seu programa de modelagem. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
  141. 141. Referências Lines, Slawinski, Bording 1998. A recipe for stability analysis of nite-dierence wave equation computations. CREWES Research Report Volume 10 di Bartolo, Leandro. 2013. Introdução à Modelagem Sísmica utilizando o MDF. IV Semana de Inverno de Geofísica. Notas de Aula de Minicurso. https://semanainvernogeosica.les.wordpress.com/2013/07/notas_v2-0.pdf Wu, Wen-Jing, Lines, Larry R., Lu, Han-Xing, 1996. Analysis of higher-order, nite-dierence schemes in 3D reverse-time migration. Geophysics, 61, (3), p. 845-856. Hustedt, Bernhard, Operto, Stéphane, Virieux, Jean. 2004. Mixed-grid and staggered-grid nite-dierence methods for frequency-domain acoustic wave modeling. Geophys. J. Int. 157, 1269-1296. Ajo-Franklin, Jonathan. 2005. Frequency-Domain Modeling Techniques for the Scalar Wave Equation: An introduction. BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 57 / 58
  142. 142. Ementa Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas Módulo 03 Métodos de Otimização Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...) Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar) Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015) BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 58 / 58

×