Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Neste módulo é abordado o modelamento de dados sísmicos.
A Evolução das Técnicas de Aquisição Sísmica Marítima para a Coleta de Dados ...
Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [2/5]
1. Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações
Módulo 02: Modelagem - Extrapolação do Campo de Ondas
Bruno Pereira Dias, Andé Bulcão, Djalma Manoel Soares Filho
VII Semana de Inverno de Geofísica, 6 a 8 de Julho/2016
INCT-GP, UNICAMP, Campinas, SP,
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 1 / 58
2. Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 2 / 58
3. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 3 / 58
4. Full Waveform Inversion
Ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em alta resolução
através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 4 / 58
5. Problemas Direto e Inverso
d = L(p)
p = L−1 (d)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 5 / 58
6. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 6 / 58
7. Formulação do Problema
Modelos Matemáticos
Modo de onda compressional,
cisalhante, conversões
ρ ¨uii −τij,j = ρfi
Somente modo de onda
compressional
1
c2 ¨uii −u,jj = f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 7 / 58
8. Alguns Métodos Numéricos
Método das Diferenças Finitas (M.D.F.)
Simplicidade e fácil implementação computacional
Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares
para a motagem do sistema.
Programas velozes e ecientes
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
9. Alguns Métodos Numéricos
Método das Diferenças Finitas (M.D.F.)
Simplicidade e fácil implementação computacional
Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares
para a motagem do sistema.
Programas velozes e ecientes
Método dos Elementos Finitos (M.E.F.)
Método integral; minimiza o resíduo da equação integral
Requer montagem das matrizes do sistema
Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas
Permite renamento não uniforme
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
10. Alguns Métodos Numéricos
Método das Diferenças Finitas (M.D.F.)
Simplicidade e fácil implementação computacional
Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares
para a motagem do sistema.
Programas velozes e ecientes
Método dos Elementos Finitos (M.E.F.)
Método integral; minimiza o resíduo da equação integral
Requer montagem das matrizes do sistema
Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas
Permite renamento não uniforme
Método dos Elementos de Contorno (M.E.C.)
Método integral
Problemas com domínios innitos e semi-innitos
Menor volume de dados para discretização das interfaces
Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas
Elevada precisão na resposta do interior do domínio
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 8 / 58
11. Domínios de Formulação
Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas
Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Discretização da derivada
temporal
Esquema iterativo de
solução: marcha no tempo
Não há inversão de matriz
(esquema explícito)
Geralmente utilizado em
inversões sísmicas 3D
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 9 / 58
12. Domínios de Formulação
Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas
Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Discretização da derivada
temporal
Esquema iterativo de
solução: marcha no tempo
Não há inversão de matriz
(esquema explícito)
Geralmente utilizado em
inversões sísmicas 3D
Domínio da Frequência
−ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω)
Requer a solução de sistemas
de equações lineares
Frequentemente utilizado em
inversões sísmicas 2D
Eciente em problemas com
grande número de
experimentos (fontes)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 9 / 58
13. Domínios de Formulação
Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas
Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 10 / 58
14. Domínios de Formulação
Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas
Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Domínio da Frequência
−ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 10 / 58
15. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 11 / 58
16. Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 12 / 58
22. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
23. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
24. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
25. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
26. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
u: campo de deslocamento de partícula
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
27. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
u: campo de deslocamento de partícula
ρ: densidade
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
28. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
u: campo de deslocamento de partícula
ρ: densidade
σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
29. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
u: campo de deslocamento de partícula
ρ: densidade
σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente)
f: fonte externa
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
30. Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal
u: campo de deslocamento de partícula
ρ: densidade
σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente)
f: fonte externa
Condições de contorno: condição de Sommerfeld
Condições iniciais: u|t≤t0
= ˙u|t≤t0
= 0.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 13 / 58
31. Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 14 / 58
32. Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt
Permite a descrição de fenômenos de:
Atenuação: decaimento de amplitude
com a frequência
Dispersão: dependência da velocidade
com a frequência
Absorção = Atenuação + Dispersão
Mecanismos de atenuação:
Domínio do tempo: variáveis de memória
Domínio da frequência: velocidade
complexa (v ∈ C)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 14 / 58
33. Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
34. Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt
Modelo Elástico
Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo:
Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x)
Lei de Hooke (F = kx) generalizada
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
35. Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt
Modelo Elástico
Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo:
Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x)
Lei de Hooke (F = kx) generalizada
Contração tensorial
σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 15 / 58
37. Tensor de Elasticidade
Contração tensorial
σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul
Notação de Voigt
A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único
índice das seis combinações independentes de índices
11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,
ou
xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 16 / 58
38. Tensor de Elasticidade
Contração tensorial
σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul
Notação de Voigt
A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único
índice das seis combinações independentes de índices
11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,
ou
xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6.
Modelo Elástico Anisotrópico
C =
c11 c12 c13 c14 c15 c16
c22 c23 c24 c25 c26
c33 c34 c35 c36
c44 c45 c46
c55 c56
c66
⇒ 21 parâmetros independentes
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 16 / 58
52. Formulações da Equação da Onda Elástica
Formulação de deslocamento
Sistema de 2a. ordem no tempo:
ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
53. Formulações da Equação da Onda Elástica
Formulação de deslocamento
Sistema de 2a. ordem no tempo:
ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)
Formulação Velocidade-Tensão
Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de
velocidade)
ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t)
˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
54. Formulações da Equação da Onda Elástica
Formulação de deslocamento
Sistema de 2a. ordem no tempo:
ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)
Formulação Velocidade-Tensão
Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de
velocidade)
ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t)
˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0
Apesar de matematicamente equivalentes, essas formulações podem
ter diferentes propriedades numéricas, quando discretizadas.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 20 / 58
55. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
56. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
57. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
58. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
59. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
60. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
61. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
62. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f
Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
63. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f
Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f
Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
64. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f
Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f
Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f
Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
65. Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u
Pressão: p := −κ∇·u
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f
Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f
Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f
Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f
Velocidade da onda acústica: v := κ
ρ
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 21 / 58
66. Equação Acústica da Onda
¨p −v2∇2p = I
Campo de pressão: p
Velocidade da onda acústica: v
Assinatura da fonte: I = −v2∇·f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
67. Equação Acústica da Onda
¨p −v2∇2p = I
Campo de pressão: p
Velocidade da onda acústica: v
Assinatura da fonte: I = −v2∇·f
1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
68. Equação Acústica da Onda
¨p −v2∇2p = I
Campo de pressão: p
Velocidade da onda acústica: v
Assinatura da fonte: I = −v2∇·f
1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação.
2 Desconsidera efeitos de anisotropia.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
69. Equação Acústica da Onda
¨p −v2∇2p = I
Campo de pressão: p
Velocidade da onda acústica: v
Assinatura da fonte: I = −v2∇·f
1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação.
2 Desconsidera efeitos de anisotropia.
3 Desconsidera conversões de onda P para S, ondas Rayleigh etc.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 22 / 58
83. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 24 / 58
84. Discretização no Espaço
Para aplicações numéricas, o campo de onda contínuo u (x,t) deve ser
discretizado, isto é, amostrado em um número de pontos nitos:
u1 (t),...,uN (t).
Em 1D, ui (t) = u (i∆x,t). Em 2D, uik (t) = u (i∆x,k∆z,t).
Figura extraída de di Bartolo 2013.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 25 / 58
85. Aproximação das Derivadas
Expansão em série de Taylor
f (x +∆x) = f (x)+∆x ·f (x)+
1
2
∆x2f (x)+O ∆x3 (1)
f (x −∆x) = f (x)−∆x ·f (x)+
1
2
∆x2f (x)+O ∆x3 (2)
Somando as expressões: (1)+(2)
f (x +∆x)+f (x −∆x) = 2f (x)+∆x2f (x)+O ∆x3
f (x) ≈
1
∆x2 [f (x +∆x)−2f (x)+f (x −∆x)]
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 26 / 58
86. Modelagem no Domínio do Tempo*
Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é
realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por
diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
87. Modelagem no Domínio do Tempo*
Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é
realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por
diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]
Equação da onda acústica: 1
c2
∂2u
∂t2 −∇2u = f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
88. Modelagem no Domínio do Tempo*
Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é
realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por
diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]
Equação da onda acústica: 1
c2
∂2u
∂t2 −∇2u = f
Expressão para a marcha explícita no tempo:
u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 27 / 58
89. Aproximação das Derivadas Espaciais
Equação da onda discretizada no tempo:
u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f
Laplaciano em 2D: ∇2u = ∂2u
∂x2 + ∂2u
∂z2
Aproximação de segunda ordem:
∇2u ≈
1
∆x2 [u (x +∆x,z)−2u (x,z)+u (x −∆x,z)]
+
1
∆z2 [u (x,z +∆z)−2u (x,z)+u (x,z −∆z)]
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 28 / 58
90. Aproximações de Ordem mais Altas
∂2f (x)
∂x2
x=0
≈
1
∆x2 c0f0 +
N/2
∑
n=1
cn (fn +f−n)
N : ordem do operador (N ≥ 2)
cn: coecientes de diferenças nitas
fn = f (n∆x)
Referência Silva 2014.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 29 / 58
95. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 34 / 58
96. Modelagem no Domínio da Frequência
Vantagens da modelagem no domínio da frequência
1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na
frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências.
Fonte: Ajo-Franklin 2005.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
97. Modelagem no Domínio da Frequência
Vantagens da modelagem no domínio da frequência
1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na
frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências.
2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de
atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos
parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis
de memória, que aumentam o custo computacional.
Fonte: Ajo-Franklin 2005.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
98. Modelagem no Domínio da Frequência
Vantagens da modelagem no domínio da frequência
1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na
frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências.
2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de
atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos
parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis
de memória, que aumentam o custo computacional.
3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário
armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x
2, para cada frequência utilizada.
Fonte: Ajo-Franklin 2005.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
99. Modelagem no Domínio da Frequência
Vantagens da modelagem no domínio da frequência
1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na
frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências.
2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de
atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos
parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis
de memória, que aumentam o custo computacional.
3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário
armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x
2, para cada frequência utilizada.
4 Solução eciente para várias fontes através da decomposição LU: O uso da
decomposição LU permite o cálculo rápido e paralelizável para múltiplas fontes,
após o processo de fatorização
Fonte: Ajo-Franklin 2005.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 35 / 58
100. Modelagem no Domínio da Frequência*
Equação da onda acústica
1
c2
∂2u (t)
∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ −
ω2
c2 +∇2 U (ω) = F (ω)
u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C
dn
dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n
F (ω)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 36 / 58
101. Modelagem no Domínio da Frequência*
Equação da onda acústica
1
c2
∂2u (t)
∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ −
ω2
c2 +∇2 U (ω) = F (ω)
u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C
dn
dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n
F (ω)
Sistema Linear
Matriz impedância: S = discretização do operador ω2
c2 +∇2
S (ω)U (ω) = F (ω)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 36 / 58
102. Discretização do Campo u em 2D
Figura extraída de di Bartolo 2013.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 37 / 58
104. Formulação do Problema
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo)
1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
105. Formulação do Problema
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo)
1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
106. Formulação do Problema
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo)
1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2
Discretização das derivadas espaciais
∂2U
∂x2 ≈
Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j
∆x2
∆x: espaçamento da malha
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
107. Formulação do Problema
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo)
1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2
Discretização das derivadas espaciais
∂2U
∂x2 ≈
Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j
∆x2
∆x: espaçamento da malha
Discretização da equação
ω2
c2 Ui,j +
Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j
∆x2 +
Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1
∆z2 = −Fi,j
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 39 / 58
108. Formulação do Problema
Discretização da equação
ω2
c2 Ui,j +
Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j
∆x2 +
Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1
∆z2 = −Fi,j
Interior do Modelo
Mij = ω2
c −2 1
∆x2 + 1
∆z2
Eij = 1
∆x2
Wij = 1
∆x2
Nij = 1
∆z2
Sij = 1
∆z2
Fonte: Ajo-Franklin 2005.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 40 / 58
110. Propriedades da Matriz S
Propriedades
S é quadrada e esparsa:
dimensão N ×N, N = Nx Nz .
Discretização de 2a. ordem, 5
diagonais não nulas.
S é complexa: Devido às
condições de borda.
S é não-simétrica: Operador
dif. nitas é simétrico,
condições de borda quebram a
simetria.
S é indenida: possui
autovalores positivos e
negativos.Fonte: Ajo-Franklin 2005
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 42 / 58
111. Estêncil Otimizado de 9 Pontos
Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 43 / 58
112. Discretização do Operador Diferenças Finitas
Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 44 / 58
113. Decomposição LU
Sendo S uma matriz não-singular,
S = LU
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para uma matriz 3×3.
Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU
Fonte: Ajo-Franklin 2005
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
114. Decomposição LU
Sendo S uma matriz não-singular,
S = LU
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para uma matriz 3×3.
Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU
Passos para a solução do sistema
A ⇒ LU (fatorização)
Ly = b (substituição direta)
Ux = y (substituição reversa)
Fonte: Ajo-Franklin 2005
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
115. Decomposição LU
Sendo S uma matriz não-singular,
S = LU
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para uma matriz 3×3.
Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU
Passos para a solução do sistema
A ⇒ LU (fatorização)
Ly = b (substituição direta)
Ux = y (substituição reversa)
Complexidade computacional da fatorização: O n3
Fonte: Ajo-Franklin 2005
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
116. Decomposição LU
Sendo S uma matriz não-singular,
S = LU
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para uma matriz 3×3.
Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU
Passos para a solução do sistema
A ⇒ LU (fatorização)
Ly = b (substituição direta)
Ux = y (substituição reversa)
Complexidade computacional da fatorização: O n3
Complexidade computacional da substituição direta e reversa: O n2
Fonte: Ajo-Franklin 2005
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 45 / 58
117. Bibliotecas Computacionais
Bibliotecas computacionais para resolução de sistema linear
UMFPACK:
https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/cpp_src/umfpack/umfpack.html
SuperLU: http://crd-legacy.lbl.gov/~xiaoye/SuperLU/
MUMPS: http://mumps.enseeiht.fr/
PARDISO: http://www.pardiso-project.org/
PETSc: https://www.mcs.anl.gov/petsc/
TRILINOS: https://trilinos.org/
Intel MKL/LAPACK: https://software.intel.com/sites/products/
documentation/doclib/mkl_sa/11/mkl_lapack_examples/
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 46 / 58
118. Modelagem 3D no Domínio da Frequência
Fitchner p.19
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 47 / 58
119. Modelagem 3D no Domínio da Frequência
Fitchner p.19
15 anos depois...
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 47 / 58
120. Modelagem no Domínio da Frequência Método Direto
Desvantagem: excessivo uso de memória (especialmente em 3D).
Vantagem: paralelização da solução para várias fontes.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 48 / 58
121. Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 49 / 58
122. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
123. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
124. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
125. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
126. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
127. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
128. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
129. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
130. Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 50 / 58
131. Bordas Não-Reexivas
Condição de Contorno Não-Reexiva
Baseada em aproximações paraxiais:
Engquist Madja 1977
Clayton Engquist 1977
Reynolds 1978
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 51 / 58
132. Bordas Não-Reexivas
Condição de Contorno Não-Reexiva
Baseada em aproximações paraxiais:
Engquist Madja 1977
Clayton Engquist 1977
Reynolds 1978
Camada Não-Reexiva
Atenuação Gaussiana
Cerjan et al. 1985
Perfectly Matched Layer (PML)
Bérenger 1994
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 51 / 58
133. Aproximação Paraxial
Fatoração da equação da onda
1
c2
∂2
∂t2 −
∂2
∂x2 U (x,t) = 0−→
1
c
∂
∂t
−
∂
∂x
1
c
∂
∂t
+
∂
∂x
U (x,t) = 0
1
c
∂
∂t
+
∂
∂x
U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x −ct) : propagação para a direita
1
c
∂
∂t
−
∂
∂x
U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x +ct) : propagação para a esquerda
Figura extraída de Fitchner 2010.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 52 / 58
134. Atenuação Gaussiana
Multiplicar o campo de onda por uma função Gaussiana
G (x) = e−(x0−x)2/γ2
Figura extraída de Fitchner 2010.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 53 / 58
135. Perfectly Matched Layer (PML)
Método PML com Coordenadas estendidas
1
ξx (x)
∂
∂x
1
ξx (x)
∂u
∂x
+
1
ξz (z)
∂
∂z
1
ξz (z)
∂u
∂z
+
ω2
c2 u = f (ω)δ (x−xf )
ξx (x) = 1+iγx (x)/ω, ξz (z) = 1+iγz (z)/ω,
γx (x) e γz (z) dene o comportamento atenuante nas camadas PML.
Figura extraída de Fitchner 2010.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 54 / 58
136. Perl de Atenuação
Figura extraída de Fitchner 2010.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 55 / 58
137. Pontos Importantes
1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a
equação da onda acústica.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
138. Pontos Importantes
1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a
equação da onda acústica.
2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
139. Pontos Importantes
1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a
equação da onda acústica.
2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo.
3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da
frequência.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
140. Pontos Importantes
1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a
equação da onda acústica.
2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo.
3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da
frequência.
4 Testar perl de atenuação da borda não-reexiva em seu programa de
modelagem.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 56 / 58
141. Referências
Lines, Slawinski, Bording 1998. A recipe for stability analysis of nite-dierence
wave equation computations. CREWES Research Report Volume 10
di Bartolo, Leandro. 2013. Introdução à Modelagem Sísmica utilizando o MDF. IV
Semana de Inverno de Geofísica. Notas de Aula de Minicurso.
https://semanainvernogeosica.les.wordpress.com/2013/07/notas_v2-0.pdf
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nite-dierence schemes in 3D reverse-time migration. Geophysics, 61, (3), p.
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staggered-grid nite-dierence methods for frequency-domain acoustic wave
modeling. Geophys. J. Int. 157, 1269-1296.
Ajo-Franklin, Jonathan. 2005. Frequency-Domain Modeling Techniques for the
Scalar Wave Equation: An introduction.
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 57 / 58
142. Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)
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