LABERINTOS DE DISCIPLINAS DEL PENTATLÓN OLÍMPICO MODERNO. Por JAVIER SOLIS NO...
Superficies cuádricas
1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
MATEMÁTICA III
Superficies cuádricas
Superficies cuádricas
Integrante:
Samuel Ramsbott C.I: 19.411.907
Profesor:
Rafael Zerpa
Barquisimeto, Octubre 2012
2. INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación ܧሺݕ ,ݔሻ = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano ,ݕݔa la
ecuación ܧሺݕ ,ݔሻ = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
ݖ ݕ ݔ
También se conoce que todo se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
ܲ: 0 = ܦ + ݖܥ + ݕܤ + ݔܣ
De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura
geométrica, la cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única ecuación
rectangular de la forma:
݂ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ = 0
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie
esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación.
ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = ݎଶ
3. SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado.
ݔܣଶ + ݔܤଶ + ݔܥଶ + 0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦ
Cuando ܥ ݕ ܤ ,ܣno son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma
ݔܣଶ + ݔܤଶ + ݔܥଶ + 0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦes una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real. Por ejemplo
El cilindro elíptico
ݔଶ ݕଶ
+ =1
4 9
Como el cilíndrico parabólico
ݕ = ݖଶ
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas
adicionales y bien definidas.
ELIPSOIDE
Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ + =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es un elipsoide. Para|ݕ | < ܾ, la ecuación
ଶ
ݔଶ ݖଶ ݕ
+ ଶ =1− ଶ
ܽଶ ܿ ܾ
Representa una familia de elipses(o circunferencia si a=c) paralelas al plano ݔݖque se forman
cortando la superficie mediante planosݕ = ݕ . Eligiendo, cada uno a su vez,ݔ = ݔ , ݖ = ݖ,
encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos
,ݕݔ ݕ ݖݕrespectivamente.
4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano ݔ = ݖ , paralelo al plano ,ݕݔcorta la
superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si a = 0). Las ecuaciones de estas
elipses son
ଶ
ݔଶ ݕଶ ݖ
+ ଶ =1+ ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
La elipse más pequeña, ݖ = 0, corresponde a las traza en el plano .ݕݔ
5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una grafica de
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
− + − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para |ݕ | > ܾ la ecuación
ଶ
ݔଶ ݖଶ ݕ
+ ଶ = ଶ −1
ܽଶ ܿ ܾ
Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano ݕ = ݕ
6. PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ
+ = ܿݖ
ܽଶ ܾ ଶ
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para ܿ > 0, los planosݖ = ݖ > 0, paralelos al plano
,ݕݔcortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son
ݔଶ ݕଶ
+ = ܿݖ
ܽଶ ܾଶ
7. CONO
Las graficas de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ =
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Son llamados cono elípticos (o circular, si a=b). Para ݖ arbitrario, los planos paralelos al plano ݕݔ
cortan la superficie en elipses cuyas ecuaciones son
ଶ
ݔଶ ݕଶ ݖ
+ ଶ= ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
En la siguiente figura se muestra una grafica característica
8. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la
gráfica de toda ecuación de la forma
ݕଶ ݔଶ
− = ܿݖ
ܽଶ ܾ ଶ
ܽ > 0, ܾ>0
Observe que para ܿ > 0,los planos ݖ = ݖ , paralelos al plano ,ݕݔcortan la superficie en hipérbolas
cuyas ecuaciones son
ݕଶ ݔଶ
− = ܿݖ
ܽଶ ܾଶ
9. En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.
12. BIBLIOGRAFÍA
• Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
• Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
• G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica