2. La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es
finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La
representamos por f'(a) y es :
Función derivada.
La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es
una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en
ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por :
3.
4.
5. La recta tangente a a una curva
en un punto es aquella que pasa
por el punto (a, f(a)) y cuya
pendiente es igual a f '(a).
y-f(a)=f’(a)(x-a)
La recta normal a una curva en
un punto es aquella que pasa
por el punto (a, f(a)) y cuya
pendiente es igual a -1/f '(a).
y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)
6. La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x)
en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media
TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero,
es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite
existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral
por la izquierda y es :
7. La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el
punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h]
cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo
valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la
función tiene derivada lateral por la derecha y es:
8. Si en un punto x=a, las derivadas
laterales no coinciden, es decir, son
distintas, la función no es derivable
en el punto x=a.
Si la función tiene derivada en un
punto x=a, existen las derivadas
laterales y son iguales,es decir;
f’(a)=f’(a+)=f’(a-)
9. La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad,
una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto ,
varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo
expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado:
“Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto”
Demostración: Si existe y es finita f'(a)
Luego la función es continua en x=a .
16. TEOREMA 1 TEOREMA 2
Sea (f,D) derivable en c c R. Sea (f,D) derivable en c c R.
Entonces: Entonces:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Si una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es
mayor o igual que cero.
17. TEOREMA
Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo
relativo en a, entonces f´(a) = 0.
El recíproco no es cierto en general:
f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no
tiene máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente
creciente).
f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.
18. Ejemplo 1
Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero
invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la
rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en
cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución gráfica
19. Ejemplo 2
Tenemos dos piezas cuadradas de 36
cm de lado. Les cortamos a cada una,
una esquina cuadrada de lado x,
doblamos los bordes, para unir las
dos piezas y formar una caja. ¿Cuánto
debe valer x, el lado del cuadradito
que recortamos, para que el volumen
de la caja sea máximo?
La función que nos da el volumen de la
caja será: V=x(36-x)2
Donde el dominio de la función será
0<x<36 ya que el cuadradito que
recortamos no puede ser mayor que la
pieza completa