Kalkulus kelompok 1

SOAL – SOAL KALKULUS
SEMESTER I
OLEH
NAMA NPM
1. LAURENSIUS TAMBA 12100042
2. SARTIKA CANDRA DEWISINAGA 12150032
3. ROH DAME TINDAON 12150018
4. RIRISMARGARETA SIADARI 12150044
5. DEVIANRYSIAGIAN 12150001
6. HENNISINAGA 12150050
PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA- A
MATA KULIAH : KALKULUS I
DOSEN PEMBIMBING : YANTI MARBUN SPd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN
PEMATANGSIANTAR

2012/2013
Bab 1
pendahuluan
Sistem Bilangan Rill
1.
1
3
[
1
2
(
1
4
−
2
3
) +
1
6
] =
1
3
[
1
2
(
3−4
2
) +
1
6
]
=
1
3
[
1
2
(
−1
12
) +
1
6
]
=
1
3
(
−1
24
+
1
6
)
=
1
3
(
−1+4
24
)
=
1
3
(
3
24
)
=
3
72
=
1
24
2. 2+
3
1+
5
2
= 2 +
3
7
2
= 2 +
6
7
=
20
7

Ketaksamaan
3.
2
6𝑦−2
+
𝑦
9𝑦2−1
−
2𝑦+1
1−3𝑦
=
2
6𝑦−2
+
𝑦
9𝑦2−1
−
2𝑦+1
−(3𝑦−1)
=
2
6𝑦−2
+
𝑦
9𝑦2−1
+
2𝑦+1
(3𝑦−1)
=
2
2(3𝑦−1)
+
𝑦
(3𝑦−1)(3𝑦+1)
+
2𝑦 +1
(3𝑦−1)
=
(3𝑦+1)+𝑦+(3𝑦+1)(2𝑦+1)
(3𝑦−1)(3𝑦+1)
=
6𝑦2
+9𝑦+2
9𝑦2 −1
4. nyatakanlah apakah masing- masing yang berikut benar atau salah.
a) -2 < -20 salah
b) 1 > -39 benar
c) -3 <
5
9
benar
d) -4 > -16 benar
e)
6
7
<
34
39
benar
f) −
5
7
< −
44
59
salah
5. mana diantara yang berikut bilangan rasional dan bilangan tak rasional
a) √4 rasional
b) 0,375 tak rasional
c) 1+√2 tak rasional
d) (1+ √3 )² tak rasional
e) 5√2 tak rasional
1.gunakancara penulusanuntukmemerikanselang-selangberikut
a) 2( )7

peny:(2,7) HP:{ 𝑥│2 < 𝑥 < 7}
b) -2 -1 0
peny:(−∞,−2)HP:{ 𝑥|𝑥 ≤ −2}
Nyatakanhimpunanpenyelesaiandari ketaksamaandengancarapenulisanselang dansketsakan
grafiknya
3. 4𝑥 − 7 < 3𝑥+5
Dikurang3𝑥+5
(4𝑥 − 7) − (3𝑥 + 5) < (3𝑥 + 5) − (3𝑥 + 5)
(4𝑥 − 7) − (3𝑥 + 5) < 0
𝑥 − 12 < 0
Ditambah12
𝑥 − 12 + 12 < 0 + 12
𝑥 < 12
(−∞,12)
4. 2𝑥 + 16 < 𝑥 + 25
Dikurang 𝑥 + 25
(2𝑥 + 16) − ( 𝑥 + 25) < ( 𝑥 + 25) − ( 𝑥 + 25)
2𝑥 + 16 − 𝑥 − 25 < 0
𝑥 − 9 < 0
Ditambah9
𝑥 < 0 + 9
𝑥 < 9
(−∞,9)
5. 7𝑥 − 1 ≤ 10𝑥 + 4
dikurang10𝑥 + 4
(7𝑥 − 1) − (10𝑥 + 4) ≤ (10𝑥 + 4) − (10𝑥 + 4)

7𝑥 − 1 − 10𝑥 − 4 ≤ 0
−3𝑥 − 5 ≤ 0
Ditambah5
−3𝑥 − 5 + 5 ≤ 0 + 5
−3𝑥 ≤ 5
Dibagi(-3)
𝑥 ≥
−5
3
Carilahhimpunanpenyelesaiandari ketaksamaanberikut
1. | 𝑥 + 1| < 4=①│x+1│> 4
𝑥 + 1 > 4
𝑥 + 1 − 4 > 0
𝑥 − 3 > 0
𝑥 > 3
②│𝑥 + 1│ < −4
𝑥 + 1 < −4
𝑥 + 1 + 4 < 0
𝑥 + 5 < 0
𝑥 < −5
HP:{𝑋│ − 5 < 𝑋 < 3}
2.|
3𝑥
5
+ 1| ≤ 4
•|
3𝑥
5
+ 1| ≥ 4 •|
3𝑥
5
+ 1| ≤ −4
Nilai Mutlak,AkarKudrat,Kuadrat

3𝑥+5
5
≥ 4
3𝑥+5
5
≤ −4
3𝑥+5
5
− 4 ≥ 0
3𝑥+5
5
+ 4 ≤ 0
3𝑥+5−20
5
≥ 0
3𝑥+5+20
5
≤ 0
3𝑥−15
5
≥ 0
3𝑥+25
5
≤ 0
3𝑥 − 15 ≥ 0 3x+25≤ 0
3𝑥 ≥ 15 3x≤ −25
𝑥 ≥ 5 x≤
−25
3
HP:{𝑋│
−25
3
≤ 𝑋 ≤ 5}
Buktikanbahwaimplikasiyangdi tunjukkanadalahbenar
3. | 𝑥 + 2| < 0,3 => |4𝑥 + 8| < 1,2
PENY: 4|X+2|< 1,2
|X+2|<
1,2
4
|X+2|< 0,3
4. 2𝑋2 − 5X − 4 ≤ 0
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−5)±√(−5)2−4(2)(−4)
2(2)
=
5±√25+32
4
=
5±√57
4
=
5±1,88
4
X1=1,25+1,88=3.13 X2=1,25-1.88=−0,63
HP :{𝑋│− 0,63 ≤ 𝑋 ≤ 3,13}
Selesaikanketaksaman –ketaksamaanberikut

5. |2𝑥 − 5| < |𝑥 + 4|
(2𝑋 − 5)2 < (𝑋 + 4)2
4𝑋2 − 10X + 25 < 𝑋2 + 8X + 16
4𝑋2 − 10X + 25 − 𝑋2 + 8X + 16 < 0
3𝑋2 − 28𝑋 + 9 < 0
X=9 ATAU X=
1
3
HP :{𝑋│𝑋 ≤
1
3
𝑎𝑡𝑎𝑢 x ≥ 9}
1. Buktikan lah bahwa segitiga yang titik-titik sudut nya adalah ( 5,3 ),( -2, 4 ),dan ( 10, 8 ) adalah
Segitiga sama kaki.
Peny:
A(10,8),B(5,3) ,dan C(-2,4)
d(A,B)=√(𝑋2− 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)2 d(A,C)= √(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)2
= √(5 − 10)2 + (3 − 8)2 = √(−2 − 10)2 + (4 − 8)2
= √(−5)2 + (−5)2 = √(−12)2 + (−4)2
= √25 + 25 = √144 + 16
= √50 = √166
= 5 √2 = 4 √10
d(B,C) = = √(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)2
= √(−2 − 5)2 + (4 − 3)2
= √(−7)2 + (1)2
= √49 + 1
= √50
SistemKoordinatPersegi-Panjang
dikuadratkan

=5√2
2. Tentukan jarak antara (-2,3) dengan titik tengah potongan garis yang di gabungkan (-2,-2)dan
(4,3).
Peny: misalkan A(-2,3) dan titik tengah potong garis P(-2,-2),Q(4,3)
Maka titik tengah X=
𝑥1+𝑥2
2
=
−2+4
2
= 1
Maka titik tengah Y=
𝑦1+𝑦2
2
=
−2+3
2
= 1
2⁄
Maka B(1,1
2⁄ )
d(A,B)=√(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)2
=√[1 − (−2)]2 + (
1
2
− 3)2
=√32 + (−
5
2
)2
=√9 +
25
4
=√
36+25
4
d (A,B) =
√61
2
3. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang di berikan
Garis tengah AB, dengan A=(-1,2)dan B(3,8).
Peny: Maka titik tengah X=
𝑥1+𝑥2
2
=
−1+3
2
= 1
Maka titik tengah Y=
𝑦1+𝑦2
2
=
2+8
2
= 5
P(1,5)
d(B,P)= √(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)2
=√(3 − 1)2 + (5 − 8)2
=√(2)2 + (−3)2
=√4 + 9
=√13
PERSAMAAN LINGKARAN: 𝑑2 =(𝑋 − 𝑋1)2 + ( 𝑌 − 𝑌1)2

√13
2
=(𝑋 − 1)2 + ( 𝑌 − 5)2
13 =(𝑋 − 1)2 + ( 𝑌 − 5)2
4. dalam soal ini tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yang diberikan.
4 𝑥2+4 𝑦2+4x-12y+1=0
Peny: 4 𝑥2+4 𝑦2+4x-12y+1=0 dibagi dengan 4
𝑥2+ 𝑦2+x-3y+
1
4
=0
Pusat lingkaran: a=1 A=
−1
2
𝑎 =
−1
2
(1) =
−1
2
b=−3 → 𝐵 ==
−1
2
𝑏 =
−1
2
(−3) =
3
2
r=√
1
4
=
1
2
5. Sebuahtali secara ketatmengelilingi dualingkarn denganpersamaan( 𝑥 − 1)2 +( 𝑦+2)2 = 16 dan
(𝑥 + 9)2 + (𝑦 − 10)2 = 16 berapakah panjang tali ini?
Persamaan lingkaran 1: ( 𝑥 − 1)2 +( 𝑦+2)2 = 16
Pusat lingkaran= x:1 dan y:−2
R =√16=4
Persamaan lingkaran 2: (𝑥 + 9)2 + (𝑦 − 10)2 = 16
Pusat lingkaran:x=−9 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 10
R =√16=4
Soal 1.6
Cari sebuahpersamaanuntuktiapgaris,kemudiantuliskandalambentuk Ax+By+C=0
1 melaliu(2,3)dengankemiringan4
Garis Lurus

Jwb :
y-y1= m(x-x1)
y-3=4(x-2)
y-3=4x-8
y-3-4x+8=0
(-4x-y+5)0
4x+y-5=0
2 melaui(3,-4) denganm= -2
Jwb.
y+4= -2(x-3)
y+4= -2x+6
y= -2x+6-4
y= -2x+2
2x+y-2=0
3.melalui (4,1)dan(8,2)
Jwb.
m=
𝑦2− 𝑦1
𝑥2−𝑥1
m=
2−1
8−2
m=
1
4
persamaangaris
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 =
1
4
( 𝑥 − 4) × 4
4𝑦 − 4 = 𝑥 − 4
−𝑥 + 4𝑦 = 0
𝑥 − 4𝑦 = 0

4. Tuliskanpersamaangarismelalui(3,-3)
a. sejajargaris y= 2x+ 5
b. tegaklurusgarisy = 2x +5
c.sejajargaris2x+3y=6
Jwb.
a. sejajargarisy = 2x+5
𝑦 − 𝑦1 = (𝑥 − 𝑥1)
y –(-3)=2(x-3)
y+3 = 2x-6
y+3—2x+6=0
y-2x+9=0
2x-y-9=0
b. Tegaklurusgaris y = 2x+5
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
y- (-3) =2(x-3)
y+3= 2x-6
y+3-2x+6 =0
2x-y+9= 0
𝑚1. 𝑚2 = −1
2 X 𝑚1=-1
𝑚1 = −
1
2
Persamaangaris

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−3) = −
1
2
(𝑥 − 3)
𝑦 + 3 = −
1
2
𝑥+
3
2
× 2
2𝑦 + 6 = −𝑥 + 3
2𝑦 + 𝑥 + 6 − 3 = 0
2𝑦 + 𝑥 + 3 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
c.sejajargaris2x+3y=6
jwb:2x+3y=6
3y=-2x+6
𝑦 = −
2
3
𝑥 + 6
𝑚 = −
2
3
Persamaangaris:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−3) = −
2
3
(𝑥 − 3)
𝑦 + 3 = −
2
3
𝑥 + 2
𝑦 + 3 +
2
3
𝑥 − 2 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 3 = 0
5.melalui(2,3)dan(4,8)
jwb 𝑚 =
𝑦2− 𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =
8−3
4−2
𝑚 =
5
2
Melalui (2,3)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =
5
2
(𝑥 − 2)
(𝑦 − 3 =
5
2
𝑥 − 5 )× 2
2𝑦 − 6 = 5𝑥 − 10
−5𝑥 + 2𝑦 − 6 + 10 = 0
(−5𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0) × (−)
5𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0
Gambar sketsagrafikdari persamaanyangdiberikan.
1. y=x + 1
x= 0 y=1 A(0,1)
y=0 x= -1 B(0,-1)
0 = 𝑥3 + 3
−1 = 𝑥3
𝑥 = √−13
= −1
1
-1
GRAFIK PERSAMAAN

2.16𝑥2 + 𝑦2 = 16
Titikpotongpada sumbux maka y=0
Jawab:16𝑥2 + 02 = 16
16𝑥2=16
𝑥2 =
16
16
𝑥2 = 1
𝑥 = ±1
Tipot(1,0) (-1,0)
Tipotpada sumbux=0
𝑦2 = 16
𝑦 = 4
Tipot(0,4) (0, -4)
4
-1 1
-4

3. y= -3x + 15
y= 3𝑥2 − 3𝑥 + 12
jawab:-3x + 15 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 12
0=3𝑥2 − 3𝑥 + 3𝑥+12-15
0=3𝑥2-3
0 = 3(𝑥2 − 1)
𝑥2 = 1
𝑥 = ±1
x =1 , y = -1
x =3𝑥2 − 3𝑥 + 12
=3(1)2 – 3(1) + 12
=3 – 3 + 12
= 12 ( 1,12)
y=3𝑥2 − 3𝑥 +12
=3(-1)2 – 3(1) +12
=3-3+12
=6+12
=18 (-1, 18)

4. 𝑥2 + 𝑦2=36
y=0 , 𝑥2 + 02 = 36
𝑥2 = 36 6
𝑥 = √36 = ±6 4
(6,0) dan (-6,0) 2
𝑥 = 0 , 02 + 𝑦2 = 36 -6 -4 -2 0 2 4 6 x
𝑦 = √36 2
𝑦 = ±6 4
(0,6) dan (0,-6) 6
5.( 𝑥 − 2)2 + 𝑦2=4
Jikax=0, maka: (0 − 2)2 + 𝑦2 = 4
4 + 𝑦2 = 4
𝑦2 = 4 − 4 = 0
𝑦 = 0
Sehinggakoordinat:(0,0)
Jikay=0, maka: ( 𝑥 − 2)2 + 02 = 4
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 4
𝑥( 𝑥 − 4) = 0 4
x=4 2
Sehinggakoordinatnya:(0,0);dan(4,0) -4 -2 0 2 4

Bab 2
Fungsi dan limit
1. Untuk φ ( 𝑡) =
√ 𝑡
(1+𝑡2)
hitunglah
a.φ(0)=
√0
(1+0)
= 0
b.φ(𝑥3) =
√𝑥3
(1+( 𝑥2)3)
=
𝑥
3
2
1+𝑥6
c.φ(−𝑡) =
√−𝑡
(1+(−𝑡)2)
=
−𝑡
1
2
1+𝑡2
d.ϕ( 𝑥 + 2) =
√( 𝑥+2)
(1+(𝑥+2)2
=
( 𝑥+2)
1
2
(1+𝑥2+4𝑥+4)
=
( 𝑥+2)
1
2
𝑥2+4𝑥+5
e.ϕ(
1
4
) =
√(1
4
)
(1+(1
4
)
2
)
=
1
2
(1+
1
16
)
=
1
2
17
16
=
16
34
=
8
17
f.ϕ(
1
𝑧4
) =
√
1
𝑧4
(1+𝑧2)
=
1
𝑧2
(1+𝑧2)
=
1
( 𝑧2+𝑧4)
2. Untuk 𝑔( 𝑢) =
3
( 𝑢−2)
,cari dansederhanakan
[ 𝑔( 𝑥+ℎ)−𝑔( 𝑥)]
ℎ
.
Penyelesaian:
[ 𝑔( 𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)]
ℎ
=
3
𝑥+ℎ−2
−
3
𝑥+2
ℎ
=
3𝑥−6−(3𝑥+3ℎ−6)
( 𝑥+ℎ−2)( 𝑥−2)
.
1
ℎ
=
3𝑥−6−3𝑥−3ℎ+6
( 𝑥+ℎ−2)( 𝑥−2)
.
1
ℎ
=
−3
( 𝑥+ℎ−2)( 𝑥−2)
3. Carilahdaerahasal muladari
FUNGSI DAN GRAFIK

a. 𝐹( 𝑧) = √2𝑧 + 3 → 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑢𝑠𝑎ℎ𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
maka daerahasal mulaselang[
3
2
, ∞)
b. 𝑔( 𝑣) =
1
(4𝑣+1)
→ 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑖𝑙𝑘𝑎𝑛 ∞
maka daerahasal mulaselang(−∞,
1
4
) ∪ (
1
4
,∞)
4. manakah dari grafiktersebut merupakangrafikfungsi
Syarat:daerahasaltidakdapatmemetakandua kali
a. b.
tidak fungsi fungsi
alasan:karna grafik berbentuk elips alasan:
c. d.
tidakfungsi fungsi
alasan:karna terdapat 2 titikyangsama alasan:
5. Sketsakangrafikdannyatakanapakah fungsi yangdi berikangenapatauganjil atautidaksama
Sekali
a. 𝑔( 𝑡) = {
1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 ≤ 0
𝑡 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 < 𝑡 < 2
𝑡2 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 ≥ 2

penyelesain:
𝒚
3
2
1
𝑥
-1 1 2
b. ℎ( 𝑥) = {
−𝑥2 + 4 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 1
3𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 1
penyelesaian:
𝒚
3
2
1
0 1 𝑥

1. Jika 𝑓( 𝑥) = √𝑥2 − 1 dan 𝑔( 𝑥) = 2
𝑥⁄ , cari rumus-rumus untukberikutdannyatakan
daerahasal nya
a) ( 𝑓. 𝑔)( 𝑥)=√𝑥2 − 1 .
2
𝑥
daerah asal
b) 𝑓4( 𝑥)+𝑔4( 𝑥) = (√𝑥2 − 1)
4
+ (
2
𝑥
)
4
= ( 𝑥2 − 1)2 +
8
𝑥4
daerah asal
c) ( 𝑓 ° 𝑔)(𝑥) =𝑓( 𝑔( 𝑥))=√(
2
𝑥
)
2
− 1=
2
𝑥
− 1=
2−𝑥
𝑥
daerah asal
d) ( 𝑔°𝑓)( 𝑥)=
2
√𝑥2−1
daerah asal
Penyelesaian:
2. Cari 𝑓 dan 𝑔 sedemikiansehingga 𝑝 = 𝑓 ° 𝑔
a. 𝑝( 𝑥) =
2
(𝑥2+𝑥+1)3
penyelesaian: 𝑓( 𝑥) =
2
𝑥3
𝑔( 𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1
b. 𝑝( 𝑥) = log( 𝑥3 + 3)
penyelesaian: 𝑓( 𝑥) = log 𝑥 𝑔( 𝑥) = 𝑥3 + 3
3. Sketsakan grafikdari 𝑔( 𝑥) = | 𝑥 + 3| − 4denganpetama-tamamensketsakan ℎ( 𝑥) = | 𝑥|dan
kemudiandanganmenggeserkan
penyelesaian:
𝒚 𝒚
𝒙 -3 -2 -1 1 2 3 𝑥
𝒚 = | 𝒙| 𝒚 = | 𝒙 + 𝟑|
Operasi pada Fungsi

𝒚 𝒚
𝑥 𝑥
-1 -3 -2 -1
-2 -1
-3 -2
-4 -3
-4
𝒚 = | 𝒙| − 𝟒 𝒚 = | 𝒙 + 𝟑| − 𝟒
4. Sketsakangrafikdari 𝑓( 𝑥) = (𝑥 − 2)2 − 4 denganmemanfaatkanpergeseran
Penyelesaian:
𝒚 𝒚
𝒙 𝒙
-2 -1 1 2
𝒚 = | 𝒙 𝟐| 𝒚 = | 𝒙 − 𝟐| 𝟐

𝑦 𝑦
𝑥 𝑥
-1 -1 1 2
-2 -2
-3 -3
-4 -4
𝒚 = | 𝒙| 𝟐 − 𝟒 𝒚 = | 𝒙 − 𝟐| 𝟐 − 𝟒
5. Sketsakangrafikdari 𝑔( 𝑥) = (𝑥 + 1)2-3 denganmemanfaatkanpenggeseran
Penyelesaian:
𝒚 𝒚
𝒙 𝒙
-1 1
-1 -1 -1

-2 -2
-3 -3
1. Konversikanukuranradianberikutmenjadi derejat
a)
7𝜋
6
=
7.180
6
=
126
6
= 21°
b) −
𝜋
3
= −
180
3
= −60°
c)
−𝜋
5
= −
180
5
= −35°
d)
−11𝜋
12
= −
11.180
12
= −
1980
12
= −165°
e)
7𝜋
4
=
7.180
4
=
1260
4
= 315°
2. Hitungtanpa menggunakankalkulator
a) tan (
𝜋
3
) = tan(
180
3
) = tan 60° =
sin60°
cos60°
=
√3
2
1
2
=
1
2
√3.
2
1
= √3
b) sec (
𝜋
3
) = sec (
180
3
) = sec 60° =
1
cos60°
=
1
1
2
= 2
c) cot(
𝜋
3
) = cot(
180
3
) = cot60° =
1
tan60°
=
1
√3
d) csc (
𝜋
4
) = csc (
180
4
) = csc 45° =
1
sin45°
=
1
1
2
√2
= 2√2
e) tan (−
𝜋
6
) = tan (−
180
6
) = −tan 30° = −(
sin 30°
cos30°
) = −(
1
2⁄
√3
2⁄
) = −(
1
2
∙
2
√3
) = −
1
√3
f) cos(−
𝜋
3
)=cos(−
180
3
) = cos−60° = −
1
2
3. Periksakebenaranberikut
a) (sec 𝑡 − 1)(sec 𝑡 + 1) = tan2 𝑡
sec2 𝑡 + sec 𝑡 − sec 𝑡 + 1 = tan2 𝑡
sec2 𝑡 + 1 = tan2 𝑡
tan2 𝑡 = tan2 𝑡 ( terbukti )
b) sec 𝑡 −sin 𝑡 tan 𝑡 =cos 𝑡
1
sin 𝑡
− sin 𝑡.
sin 𝑡
cos𝑡
= cos 𝑡
Fungsi Trigonometri

1
sin𝑡
− sin 𝑡(
sin 𝑡
cos𝑡
) = cos 𝑡
1−sin2 𝑡
cos𝑡
= cos 𝑡
cos2 𝑡
cos𝑡
= cos 𝑡
cos 𝑡 = cos 𝑡 ( terbukti )
c) cos 𝑡( tan 𝑡 cot 𝑡) =csc 𝑡
cos 𝑡(
sin 𝑡
cos𝑡
+
cos𝑡
sin 𝑡
) = csc 𝑡
cos 𝑡(
sin2 𝑡+cos2 𝑡
cos𝑡sin 𝑡
) = csc 𝑡
cos 𝑡 (
1
cos𝑡 sin 𝑡
) = csc𝑡
cos𝑡
cos𝑡 sin 𝑡
= csc 𝑡
1
sin 𝑡
= csc𝑡
csc𝑡 = csc𝑡 ( terbukti)
4. Periksabahwayangberikutini adalahkesamaan
a)
sin 𝑢
csc 𝑢
+
cos𝑢
sec 𝑢
= 1 →
sin𝑢 sec 𝑢 +csc𝑢 cos𝑢
csc 𝑢 sec 𝑢
= 1
sin𝑢
1
cos 𝑢
+
1
sin𝑢
cos𝑢
1
sin𝑢
1
cos 𝑢
= 1
sin𝑢
cos𝑢
+
cos𝑢
sin𝑢
1
sin𝑢
1
cos𝑢
= 1
sin2 𝑢+cos2 𝑢
sin 𝑢cos𝑢
(sin 𝑢 cos 𝑢) = 1
sin2 𝑢 cos2 𝑢 = 1
1 = 1 ( terbukti )
b) (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑥) = 1 → sin2 𝑥 (1 +
cos2 𝑥
sin2 𝑥
) = 1
sin2 𝑥 (
sin2 𝑥 + cos2 𝑥
sin2 𝑥
) = 1

sin2 𝑥 cos2 𝑥 = 1
1 = 1 ( terbukti)
5. Sketsakangrafikpada[−𝜋,2𝜋]
𝑦 = sin (𝑡 −
𝜋
4
)
t −𝝅
−
𝟑
𝟒
𝝅 −
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟒
𝟎 𝝅
𝟒
𝝅
𝟐
𝟑
𝟒
𝝅
𝝅 𝟓
𝟒
𝝅
𝟑
𝟐
𝝅
𝟕
𝟒
𝝅
𝟐𝝅
(𝒕 −
𝝅
𝟒
) −
5
4
𝜋
−𝜋
−
3
4
𝜋 −
𝜋
2
−
𝜋
4
0 𝜋
4
𝜋
2
3
4
𝜋
𝜋 5
4
𝜋
3
2
𝜋
7
4
𝜋
𝐬𝐢𝐧(𝒕
−
𝝅
𝟒
)
1
2
√2
0
−
1
2
√2
−1
−
1
2
√2
0 1
2
√2
1 1
2
√2
0
−
1
2
√2
−1
−
1
2
√2
1
1
2
√2
−𝜋
3
4
𝜋 −
𝜋
2
−
𝜋
4
0
𝜋
4
𝜋
2
3
4
𝜋 𝜋
5
4
𝜋
3
2
𝜋
7
4
𝜋 2𝜋
−
1
2
√2
−1
Soal2.4
1.Periksalahlimittersebut

a)
lim
x → 3
(2𝑥 − 8) = (2.3 − 8) = (6 − 8) = −2
b)
lim
x → 1
5𝑥−𝑥2
𝑥2+2𝑥−4
=
5(1)−(1)2
(1)1+2(1)−4
=
5−1
1+2−4
= −4
2.
lim
x → 0
tan𝑥
2𝑥
lim
x → 0
tan 𝑥
𝑥
.
1
2
=
1
2
3. Gambarkan gungsi 𝑓 dari limityangditunjukanataunilai fungsi ataunyatakanbahwalimit
tersebuttidakada
a.
lim
x → −3
𝑓(𝑥) = 2
b. 𝑓(−3) = 1
c. 𝑓(−1) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
d.
lim
x → −1
𝑓(𝑥) = 2,5
e. 𝑓(1) = 2
f.
lim
x → 1
𝑓( 𝑥) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
g.
lim
x → 1⁻
𝑓( 𝑥) = 1
h.
lim
x → 1⁻
𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
y
3
2 sketsa grafik

1
-3 -2 -1 1 2 3 x
4. Sketsakangrafikdari
𝑓( 𝑥) = {
𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 0
𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 𝑥 < 1
1 + 𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1
Kemudiancari masing-masingyangberikutataunyatakanjika tidakada.
a)
lim
x → 0
𝑓( 𝑥) = 0
b) 𝑓(1) = 2
c)
lim
x → 1
𝑓( 𝑥) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
d)
lim
x → 1⁻
𝑓 = 1
y
2
1
-1 0 1 x
5. Sketsakangrafikdari 𝑔( 𝑥) = {
−𝑥 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 1
𝑥 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 1 < 𝑥 < 2
5 − 𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 2
Kemudiancari masing-masingyangberikutataunyatakanjikatidakada

A.
lim
x → 1
𝑔(𝑥) = 0
B. 𝑔(1) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
C.
lim
x → 2
𝑔(𝑥) = 2
D.
lim
x → 2⁺
𝑔(𝑥) = 2
Sketsa grafik
1
-2 -1 0 1 2

Teorema Limit
GunakanteoremaA untukmencari limit.Berikanpembenarantiap langkahdenganmengacupada
pernyataanbernomor. 6
1.
lim
x → 0
[(4𝑥2 − 3)(7𝑥3 + 2𝑥)] =
lim
x → 0
(4𝑥2 − 3) lim
x → 0
(7𝑥3 + 2𝑥)
5,4
= ( lim
x → 0
4𝑥2 −
lim
x → 0
3)( lim
x → 0
7𝑥3 +
lim
x → 0
2𝑥)
8,1,3
= [4 ( lim
x → 0
𝑥)
2
− 3] .[7 ( lim
x → 0
𝑥)
3
+ 2 ( lim
x → 0
𝑥)]
2
= (4.0 − 3)(7.0 + 2.0) = 0
8 4
2.
lim
t → −2
(2𝑡3 + 15)13=[
lim
t → −2
(2𝑡3 + 15)]
13
= [
lim
t → −2
2𝑡3 +
lim
t → −2
15]
13
8,1,3 2
=[2 ( lim
t → −2
𝑡)
3
+ 15]
13
= [2(−2)3 + 15]13 = −1
8

3.
lim
w → 5
(2𝑤4 − 9𝑤3 + 19)−1
2⁄
=[
lim
w → 5
(2𝑤4 − 9𝑤3 + 19)]
−1
2⁄
5,4
= [
lim
w → 5
2𝑤4 −
lim
w → 5
9𝑤3 +
lim
w → 5
19]
−1
2⁄
3,1
=[2 ( lim
w → 5
𝑤)
4
− 9( lim
w → 5
𝑤)
3
+ 19]
−1
2⁄
2
=[2.54 − 9.53 + 19]
−1
2⁄
=[2.625 − 9.125 + 19]−1
2⁄
=[(1250 − 1125 + 19)]−1
2⁄
=[144]−1
2⁄
=
1
√144
=
1
12
Cari limityangditunjukanataunyatakanbahwaitutidakada
4.
lim
x → −1
𝑥2+7𝑥+6
𝑥2−4𝑥−5
=
lim
x → −1
( 𝑥+6)( 𝑥+1)
( 𝑥−5)( 𝑥+1)
=
lim
x → −1
( 𝑥+6)
( 𝑥−5)
=
−1+6
−1−5
=
5
6
5.
lim
t → −1
𝑡2+7𝑡+7
𝑡2−4𝑡−5
=
(−1)2+7(−1)+7
(−1)2−4(−1)−5
=
1+7(−1)+7
1+4−5
=
1
0
=~ (tidakada)

Kekontinuan Fungsi
Nyatakanapakahfungsi yangditunjukankontinuatautidak,jikakontinujelasakansebabnya.
1) 𝑓( 𝑥) = 4𝑥2 − 2𝑥 + 12
Penyelesaian:fungsi tersebutkontinukarnatidakberbentukakarataubagi sehingga
memiliki Limit,fungsinyaada dan nilai limitdanfungsi nyasama.
2) 𝑔( 𝑥) =
3𝑥2
𝑥−2
Penyelesaian:fungsi tidakkontinukarnasalahsatusyarat dari ketigasyarat tak terpenuhi
yaitufungsi bentukpembagiansehingganilailimitdenganfungsitidaksama
3) 𝑓( 𝑥) = {
𝑥 + 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 2
𝑥2 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 2
Penyelesaian:
5
4
3
2

1
-1 0 1 2
Ket:
lim
x → 2+ 𝑓( 𝑥) = 5
lim
x → 2− 𝑓( 𝑥) = 5
lim
x → 2
𝑓( 𝑥) = 5
𝑓(2) = 5
Maka, fungsi tersebutkontinu
Fungsi yangdiberikantidakterdefenisi di suatutitiktertentu.bagaimanakahharusmendefenisikan
nya di sana agar kontinudi titikitu.
4) 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
Penyelesaian:
Fungsi tersebutkontinudi titikf(3)= 6
Dititikmanajikaada,fungsi takkontinu?
5)𝑓( 𝑥) = {
𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
2 − 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 1
Penyelesaian:
y
3
2
1
0 1 2 3

Ket: fungsi tersebutkontinu dititik 0 dan 1
Fungsi yang tidak kontinu tidak ada
Bab 3
Turunan
Dua masalah dengan satu tema
1.cari kemiringan garis singgung pada kurva y=x2-3x+2 dititik dengan x=-2;1,5;2;5
Jawab:
=
lim
h → 0
(𝑐+ℎ)2
−3( 𝑐+ℎ)+2−( 𝑐2
−3𝑐+2)
ℎ
=
lim
h → 0
𝑐2
+2𝑐ℎ+ℎ2
−3𝑐−3ℎ+2−𝑐2
+3𝑐−2
ℎ
=
lim
h → 0
ℎ(2𝑐+ℎ−3)
ℎ
=
lim
h → 0
2𝑐 + ℎ − 3
= 2c-3

 x→ −2
m=2(-2)-3
=-4-3
=-7
 x→ 1,5
m=2(1,5)-3
=3-3
=0
 x→ 2
m=2(2)-3
=4-3
=1
 x→ 5
m=2(5)-3
=10-3
=7
Jadi, m=(-7,0,1,7)
2. jika sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat sehinggah jarak berarah dari
Titik asal ke titik setelah t detik adalah (-t2+4t)meter,kapan partikel akan berhenti
(yaitu bilamana kecepatannya menjadi nol) ?
Jawab:
V= lim
h → 0
𝑓( 𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)
ℎ
=
lim
h → 0
𝑓( 𝑐+ℎ)2
+4( 𝑐+ℎ)+𝑐2
+4𝑐
ℎ
=
lim
h → 0
−2𝑐ℎ+4ℎ−ℎ2
ℎ
=
lim
h → 0
−2𝑐 + 4 − ℎ

V= -2c+4
0 = -2c+4
2c= 4
C= 2sekon
3. cari persamaan garis singgung pada y=
2
(𝑥−2)
dititik (0,-1)
Jawab:
Mtan =
lim
h → 0
𝑓(0+ℎ)−𝑓(0)
ℎ
lim
h → 0
2
0+ℎ−2
−
2
0−2
ℎ
lim
h → 0
2
ℎ−2
−
−2
−2
ℎ
lim
h → 0
−4−2(ℎ−2)
ℎ(−2(ℎ−2)
lim
h → 0
−4−2ℎ+4
ℎ(−2ℎ+4)
lim
h → 0
−2ℎ
ℎ(−2ℎ+4)
lim
h → 0
−2
(−2ℎ+4)
=
−2
−2.0+4
=
−2
4
=
−1
2
y-y1 = m(x-x1)
y-(-1) = -
1
2
(x-0)
y+1 = -
1
2
x+0
𝑦 +
1
2
𝑥 + 1 = 0(× 2)

2𝑦 + 𝑥 + 2 = 0
Soal 4 dan 5

Dari soal berikut taksirlah kemiringan (kemiringan = naik/jarak) dari garis singgung yang digambar pada
kurva!
y
7
5
3
2
1 2 3
Penyelesaian:
Kemiringan = naik/ jarak
=
6
2,5
= 4
Sama seperti soal diatas carilah kemiringannya!
y
14
10
6
4
1 2 3 4 5 6 x
Penyelesaian:
Kemiringan = naik/jarak
=
12
−6
= −2

Turunan
1.  )() xfhxffx 
0
_lim
44
















 
h
xhx
 
   
3
323
323
323
433
443334
4
0044
0
44
0
44
0
44
lim
0
44
lim
x
xx
h
hxxLim
h
h
hxhx
hLim
L
h
hxhhx
h
h
xhhxhhxx













2.   432
 xxxf
     
     
 
32
0
32
0
32
0
4343
0
2
22









x
h
h
hx
hLim
h
h
hhxh
Lim
h
h
xxhxx
Lim
k
h
cfhc
fLimxf

     
 
   
   
  
 2
0
0
0
0
0
6
2
1
.
66
2
1
.
6()6(
1222122
1
66
6262
6
2
6
2
'.3
lim
lim
lim
lim




















x
hxhx
h
hxhx
hx
hxhx
hxx
xhx
h
cfhc
fxf
h
h
h
h
h
Lim
 
   
 
   
x
hhxx
h
hx
hx
hx
x
x
h
hx
h
xfhx
x
x
h
h
h
h
3
1
1
.
3.33
1
.
3
3
33
3
3
1
3
1
3
1
9.4
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
















 
   
 
 
 
2
22
0
33222
0
33
0
0
3
6
266
332
22
2.5
lim
lim
lim
lim
x
h
hxhxh
h
xhxhhxx
h
xhx
h
xfhx
f
xxf
h
h
h
h










Aturan pencarian turunan
Carilah 𝐷𝑦 dari soal-soal berikut!
𝑦 = 2𝑥2
𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛:
𝑑𝑦 = 4𝑥
𝑦 = √2𝑥5
Penyelesaian: 𝐷𝑦 = 5√2𝑥4
𝑦 = 2𝑥−6 + 𝑥−1
Penyelesaian: 𝐷𝑦 = −12𝑥−7 − 1
𝑦 = ( 𝑥4 − 1)( 𝑥2 + 1)
Penyelesaian: 𝑓. 𝑔( 𝑥) = 𝑓′( 𝑥) 𝑔( 𝑥) + 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥)
𝑑𝑦 = 4𝑥3( 𝑥2 + 1) + ( 𝑥4 − 1)2𝑥

=(4𝑥5 + 4𝑥3)+ (2𝑥5 − 2𝑥)
=6𝑥5 + 4𝑥3 − 2𝑥
𝑦 =
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
Penyelesaian:
𝑓
𝑔
=
𝑓′( 𝑥) 𝑔( 𝑥)−𝑓( 𝑥) 𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑑𝑦 =
2( 𝑥 − 1) − (2𝑥 − 1)1
( 𝑥 − 1)2
=
(2𝑥−2)−(2𝑥−1)
𝑥2−2𝑥+1
=
−1
𝑥2−2𝑥+1
Jika 𝑓(3) = 7, 𝑓′(3) = 2, 𝑔(3) = 6 𝑔′(3) = −10,
(a) ( 𝑓 − 𝑔)′(3) = 2 − (−10) = 12
(b) ( 𝑓. 𝑔)′(3) = 2.6 + 7(−10) = 12 − 70 = −58
(c) (
𝑔
𝑓⁄ )
′
(3) =
2.6+(−70)
(6)2
=
−58
36
= −
29
12
Cari persamaangarissinggungpada 𝑦 =
1
( 𝑥2+1)
di titik (1,
1
2
)
Penyelesaian:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
0( 𝑥2+1)−1(2𝑥)
( 𝑥2+1)2
=
−2𝑥
𝑥2+2𝑥+1
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(1)
(1)2+ 2(1)
= −
2
3
Persamaangarissinggung
y - y1 = m(x-x1)
y -
1
2
= -
2
3
(x-1)
y-
1
2
=-
2
3
x +
2
3
y +
2
3
x -
1
2
-
2
3
= 0

6y +4x – 3 – 4 =0
4x +6y – 7 =0
Tinggi s dalamkaki dari sebuahboladi atas tanahpada saat t detikdi berikanoleh
𝑠 = −16𝑡2 + 40𝑡 − 100
(a) berapakecepatansesaatnyapadat=2?
(b) bilamanakecepatansesaatnya0?
Penyelesaian:
𝑠 = −16𝑡2 + 40𝑡 − 100
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑣 = −32𝑡 + 40 = 0
a).Kecepatansesaatnyasaatt = 2
𝑣 = −32(2) + 40
𝑣 = −64 + 40
𝑣 = −24 kaki/sekon
Jadi,kecepatanbolaketikat=2adalah -24 kaki/sekon
b). t pada saat v=0
𝑣 = −32𝑡 + 40
0 = −32𝑡 + 40
32𝑡 = 40
𝑡 =
40
32
= 1,25 sekon
Jadi bola berhenti(v=0) padasaatt=1,25 sekon
Sebuahbolamengelindingsepanjangbidangmiringsehinggajarak sdari titikawal setelah tdetik
adalah 𝑠 = 4,5𝑡2 + 2𝑡 kaki.kapankahkecepatansesaatnyaakansebesar30 kaki/detik?
Penyelesaian:
𝑠 = 4,5𝑡2 + 2𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑣 = 9𝑡 + 2

30 = 9𝑡 + 2
−9𝑡 = −28
𝑡 =
−28
−9
=
28
9
Jadi bolaakan memilikikecepatansesaatsebesar30 kaki/detikpadasaat t=
28
9
detik
Turunan sinus dan kosinus
CarilahDy dari 𝑦 = cot 𝑥 =
cos𝑥
sin 𝑥
!
Penyelesaian:
𝑦 = cot 𝑥 =
sin𝑥
cos𝑥
𝐷 𝑦 = 𝐷 (cot 𝑥) =
𝐷(sin 𝑥)cos𝑥−sin𝑥𝐷(cos𝑥)
(cos𝑥)2
=
cos𝑥 cos𝑥+sin𝑥sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
Carilahturunandari 𝑦 = sec 𝑥 =
1
cos𝑥
!
Penyelesaian:
𝑦 = sec 𝑥 =
1
cos𝑥
𝐷 𝑦 = 𝐷(sec 𝑥) = 𝐷 (
1
cos𝑥
)
=
𝐷(1)(cos𝑥)−(1) 𝐷(cos𝑥)
(cos𝑥)2
=
(0)(cos𝑥)−(1)(−sin𝑥)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥

=
Sin 𝑥
cos𝑥
(
1
cos𝑥
)
= tan 𝑥sec 𝑥
Carilahturunandari 𝑦 = csc 𝑥 =
1
sin 𝑥
Penyelesaian:
𝑦 = csc 𝑥 =
1
sin𝑥
𝐷 𝑦 = 𝐷(csc𝑥) = 𝐷 (
1
sin𝑥
)
=
𝐷(1)(sin𝑥)−(1) 𝐷(sin𝑥)
(sin 𝑥)2
=
(0)(sin𝑥)−(1)(cos𝑥)
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
= −
cos𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
= (−
cos𝑥
sin 𝑥
)(
1
sin 𝑥
)
= −cot 𝑥 csc𝑥
CarilahDy dari 𝑦 =
sin 𝑥
sin 𝑥+cos𝑥
Penyelesaian:
𝑦 =
sin 𝑥
sin𝑥+cos𝑥
𝐷 𝑦 = 𝐷 (
sin 𝑥
sin𝑥+cos𝑥
)
=
𝐷(sin𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)−(sin𝑥) 𝐷(sin𝑥+cos𝑥)
( 𝑠𝑖𝑛𝑥+cos𝑥)2
=
(cos𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)−(sin𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)
(sin𝑥+cos𝑥)2
=
[(cos𝑥)(sin𝑥)+(cos𝑥)(cos𝑥)]−[(sin𝑥)(cos𝑥)−(sin𝑥)(sin𝑥)]
(sin𝑥+cos𝑥)2
=
sin 𝑥 cos𝑥+𝑐𝑜𝑠2 𝑥−sin𝑥cos𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
(sin𝑥+cos𝑥)2
=
𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑐𝑜𝑠2 𝑥
(sin 𝑥+cos𝑥)2
=
1
(sin𝑥+cos𝑥)2

= (sin 𝑥 + cos 𝑥)−2
Carilahturunandari 𝑦 = 𝑥2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 !
Penyelesaian:
𝑦 = 𝑥2 sin 𝑥
𝐷 𝑦 = 𝐷( 𝑥2 sin 𝑥)
= 𝐷( 𝑥2)( 𝑠𝑖𝑛 𝑥) + ( 𝑥2) 𝐷(sin 𝑥)
= 2𝑥 sin 𝑥 + 𝑥2 cos 𝑥
= ( 𝑥)(2sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥)
Aturan rantai
1. y= (x3
-3x2
+11x)9
→y= u9
, u=x3
-3x2
+11x
Dxy= Du9
.Du
=9u8
.(3x2
-6x+11)
=9(x3
-3x2
+11x)8
.(3x2
-6x+11)
2. y=
3
(4𝑥3+11𝑥)7
→y=
3
𝑢7
= 3u-7
u= (4x3
+11x)
Dxy=D3u-7
.Du
=3.Du-7
.D(4x3
+11x)
=3.-7.u-8
.(12x2
+11)
=-21.u-8
. (12x2
+11)
=-21 (4x3
+11x)-8
(12x2
+11)

=
−21
(4𝑥3+11𝑥)8
.(12x2
+11)
=
−21(12𝑥2+11)
(4𝑥3+11𝑥)8
3. y =(
𝑥2−1
𝑥+4
)
4
→ y= u4
, u=
𝑥2−1
𝑥+4
Dxy = Du4
.Du
=4u3
. D(
𝑥2−1
𝑥+4
)
= 4u3
. (
𝐷( 𝑥2−1)( 𝑥+4)−( 𝑥2−1) 𝐷( 𝑥+4)
( 𝑥+4)2
)
= 4.(
𝑥2−1
𝑥+4
)
3
. (
2𝑥( 𝑥+4)−( 𝑥2−1)(1)
( 𝑥+4)2
)
=4.(
𝑥2−1
𝑥+4
)
3
. (
(2𝑥2+8𝑥)−( 𝑥2−1)
( 𝑥+4)2
)
=4. (
𝑥2−1
𝑥+4
)
3
.(
𝑥2+8𝑥+1
( 𝑥+4)2
)
4. y=sin (
3𝑥−1
2𝑥+5
) → y= sinu, u= (
3𝑥−1
2𝑥+5
)
Dxy= D(sinu).Du
= cos u.D(
3𝑥−1
2𝑥+5
)
= cos (
3𝑥−1
2𝑥+5
).(
𝐷(3𝑥−1)(2𝑥+5)−(3𝑥−1) 𝐷(2𝑥+5)
(2𝑥+5)2
)
=cos (
3𝑥−1
2𝑥+5
) .(
(3)(2𝑥+5)−(3𝑥−1)(2)
(2𝑥+5)2
)
= (
(6𝑥−15)−(6𝑥−2)
(2𝑥+5)2
) .cos(
3𝑥−1
2𝑥+5
)
= (
−13
(2𝑥+5)2
) . 𝑐𝑜𝑠(
3𝑥−1
2𝑥+5
)
5. Dt[ 𝑠𝑖𝑛3(cos 𝑡)] → y= u3
, u = sinv, v= cos t
Dty= Duy . Dvu . Dtv
= 3u2
.cos v. –sin t
= 3 . [ 𝑠𝑖𝑛(cos 𝑡)]2 . cos (cost). –sin t
= 3. [ 𝑠𝑖𝑛2(cos 𝑡)]. [cos(cos 𝑡)].− sin 𝑡
= -3.Sin t. [ 𝑠𝑖𝑛2(cos 𝑡)] . [cos(cos 𝑡)]

Notasi leibniz
1. y=
𝑥2+1
𝑥
→y= u
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
𝑑
𝑑𝑦
(
𝑥2+1
𝑥
)
=
2𝑥( 𝑥)−( 𝑥2+1)(1)
𝑥2
=
2𝑥2−𝑥2−1
𝑥2
=
𝑥2−1
𝑥2
2. y=
1
𝑢−2
= 𝑢−2 danu= sinx
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=-2.u-3
. Cosx
=
−2
𝑢3
.cos 𝑥
=
−2
(sin 𝑥)3
.cos 𝑥
=
−2
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
.cos 𝑥
= -2 .
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
.
cos𝑥
sin𝑥
= -2 csc2
x . cot x
3. y= (
𝑥2+1
cos𝑥
)
4
→y= u4
, u=
𝑥2+1
cos𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑢
(𝑢4).
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢)
= 4u3
. (
𝑑( 𝑥2+1).(cos𝑥)− ( 𝑥2+1) 𝑑(cos𝑥)
(cos𝑥)2
)
= 4 . (
𝑥2+1
cos𝑥
)
3
. (
2𝑥.cos𝑥− ( 𝑥2+1)(−sin 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
)

= 4 . (
𝑥2+1
cos𝑥
)
3
. (
2𝑥cos𝑥+ ( 𝑥2+1) (sin𝑥)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
)
4. y= sin3
[cos2
(x2
)] →y= u3
, u= sinv, v=w2
, w= cos z, z= x2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑤
.
𝑑𝑤
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
.
= 3u2
. cos v . 2w . sinz . 2x
= 3 (sin[cos2
(x2
)])2
.(cos(cos2
(x2
)) .2 (cos(x2
)) .(sin(x2
)) .2x
=3 sin2
(cos2
x2
) . cos (cos 2
x2
) . 2 cos x2
. sinx2
. 2x
= 12x sin2
(cos2
x2
) . cos (cos 2
x2
) .cos x 2
. sinx2
5.
𝑑
𝑑𝑠
[( 𝑠2 + 3)3 − ( 𝑠2 + 3)−3]
= (3. ( 𝑠2 + 3)2 .2𝑠) − (−3.( 𝑠2 + 3)−4 .2𝑠)
=6𝑠 ( 𝑠2 + 3)2 + 6𝑠( 𝑠2 + 3)−4

Turunan tingkat tinggi
Carilah 𝑑3 𝑦/𝑑𝑥3 dari soal 1-3!
1. 𝑦 = 2𝑥5 − 𝑥4
Jawab:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10𝑥4 − 4𝑥5
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= 40𝑥3 − 20𝑥4
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
= 120𝑥2 − 80𝑥3
2. 𝑦 =
1
𝑥−3
Jawab:
𝑦 = ( 𝑥 − 3)−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (−1)( 𝑥 − 3)−2(1) = −(𝑥 − 3)−2
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2
= (−2)[−( 𝑥 − 3)−3](1) = 2( 𝑥 − 3)−3
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
= (−3)[2( 𝑥 − 3)−4](1) = −6( 𝑥 − 3)−4
3. 𝑦 = cos( 𝑥2)
Jawab:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −sin( 𝑥2) (2𝑥) = −2𝑥 sin 𝑥2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= (−2)(sin 𝑥2) + (−2𝑥)(cos 𝑥2)(2𝑥) = −2sin 𝑥2 − 4𝑥2 cos 𝑥2
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
= (−2sin 𝑥2).(2𝑥) − (8𝑥)[(− sin 𝑥2)(2𝑥)]
Dalamsoal 4-5 carilah f’’(2)!
4. f(t)=
1
𝑡
jawab:
f’(t)=t-2
f’’(t)=−2𝑡−3 = −2
1
𝑡3
f’’(2)=(−2)
1
23
=−
1
4

5. 𝑓( 𝑥) = 𝑥( 𝑥2 + 1)3
Jawab:
𝑓′( 𝑥) = (1)[(3)( 𝑥 + 1)2](2𝑥) = 6𝑥(𝑥 + 1)2
𝑓′′( 𝑥) = (6)(𝑥2 + 1)2 + 6𝑥(2)( 𝑥2 + 1)(2𝑥) = 6( 𝑥2 + 1)2 + 24𝑥2(𝑥2 + 1)
𝑓′′(2) = 6(22 + 1)2 + 24(2)2(22 + 1) = 30 + 480 = 510
Pendifensialan implisit
1.cos( 𝑥𝑦) = 𝑦2 + 2𝑥
cos( 𝑥𝑦) − 𝑦2 = 2𝑥
−sin( 𝑥𝑦) (𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) − 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2
−y sin( 𝑥𝑦) − 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(sin( 𝑥𝑦) − 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
sin( 𝑥𝑦) − 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 + 𝑦 sin( 𝑥𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2+𝑦 sin(𝑥𝑦)
−𝑥sin( 𝑥𝑦)−2𝑦
2. cari persamaangaris singgung
𝑥2 𝑦2 + 3𝑥𝑦 = 10𝑦 (2,1)
𝑥2 𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 10𝑦 = 0
(2𝑥𝑦2 + 2𝑥2 𝑦𝑦′)+ (3𝑦 + 3𝑥𝑦′) − 10𝑦′ = 0
2𝑥2 𝑦𝑦′ + 3𝑥𝑦′ − 10𝑦′ = −2𝑥𝑦2 − 3𝑦
𝑦′(2𝑥2 𝑦 + 3𝑥 − 10) = −2𝑥𝑦2 − 3𝑦
𝑦′ =
−2𝑥𝑦2−3𝑦
2𝑥2 𝑦+3𝑥−10
subsitusikan(2,1)
𝑦′ =
−2.2.(1)2−3(1)
2(2)2.1+3.2−10
𝑦′ = −
7
4
Persamaangaris

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = −
7
4
(𝑥 − 2)
𝑦 = −
7
4
𝑥 +
7
2
+ 1
𝑦 = −
7
4
𝑥 +
9
2
7𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0
3.cari
𝑑𝑦
𝑑𝑥
dari 𝑦 = √ 𝑥3
+
1
√ 𝑥3
𝑦 = √ 𝑥3
+
1
√ 𝑥3
𝑦 = 𝑥
1
3+𝑥−
1
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3
𝑥−
2
3
1
3
𝑥−
4
3
4.jika 𝑦 = sin(𝑥2) + 2𝑥3cari
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Peny:
𝑦 = sin 𝑥2 + 2𝑥3
sin 𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦
cos( 𝑥2).2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 6𝑥2 𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥 cos( 𝑥2) + 6𝑥2) = 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
2𝑥cos( 𝑥2)+6𝑥2
5.cari
𝑑𝑦
𝑑𝑥
dari 𝑦 = √1 + cos( 𝑥2 + 2𝑥)4
Peny:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
(4 √1+cos( 𝑥2+2𝑥)4
)
3 . −2𝑥 − 2 sin( 𝑥2 + 2𝑥)
=
(−2𝑥−2)sin( 𝑥2+2𝑥)
(4 √1+cos( 𝑥2+2𝑥)4
)
3

Bab 4
Penggunaan turunan
Maksimum dan minimum
Carilahnilai maksimumdanminimum
1. 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥
𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 + 3
2𝑥 + 3 = 0
2𝑥 = −3
𝑥 = −
3
2
Maka titikkritis:−2,−
3
2
, 3
𝑓(−2) = 𝑥2 + 3𝑥
= −22 + 3(−3)
= 4 − 6
= −2 → titikminimum
𝑓 (−
3
2
) = 𝑥2 + 3𝑥
(−
3
2
)
2
+ 3 (−
3
2
)
9
4
−
9
2
=
9−18
4
=
−9
4
𝑓(3) = 𝑥2 + 3𝑥
= (3)2 + (3)
= 9 + 9
= 18 →maximum

2. 𝑓( 𝑥) =
𝑥
𝑥2+2
[−1,4]
𝑓′( 𝑥) =
𝐷( 𝑥)( 𝑥2+2)−𝑥𝐷(𝑥2+2)
( 𝑥2+2)2
𝐷 =
𝑥2+2−𝑥(2𝑥)
( 𝑥2+2)2
𝐷 =
−𝑥2+2
𝑥2+2
−𝑥2 + 2 = 0
−𝑥2 = −2
𝑥 = √2
Maka titik kritis: −1,√2, ,4
𝑓(−1) =
𝑥
𝑥2+2
=
−1
(−1)2+2
=
−1
3
→ minimum
𝑓(−1) =
√2
(√2)
2
+2
=
1,41
4
= 0.35
𝑓(4) =
4
(4)2+2
=
4
10
= 0,4 →maximum
3. 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1
𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2 − 3
3𝑥2 − 3 = 0
3𝑥2 = 3
𝑥2 = 1
𝑥 = √1
𝑥 = ±1
(−
3
2
, 3) → 𝑚𝑎𝑘𝑎 [−
3
2
,−1,1,3]
Titik kritis: −
3
2
, −1,1, 𝑑𝑎𝑛 3
𝑓 (−
3
2
) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1
= (−
3
2
)
3
− 3 (−
3
2
) + 1
= (−
27
8
) +
9
2
+ 1

=
−27+36+8
8
=
17
8
𝑓(−1) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1
= (−1)3 − 3(−1) + 1
= −1 + 3 + 1
= 3
𝑓(1) = ( 𝑥)3 − 3𝑥 + 1
= 1 − 3 + 1
= −1 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
𝑓(3) = (𝑥)3 − 3𝑥 + 1
= (3)3 − 3(3) + 1
= 27 − 9 + 1
= 19 → 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚
4.𝑔( 𝑥) = 𝑥
2
5 ; 𝐼 = [−1,32]
=
2
5
𝑥−
3
5
= 0
Maka,titik kritis nya [−1,0,32]
𝑔(−1) = 𝑥
2
5
= −1
2
5
= 1
𝑔(0) = 0
𝑔(32) = 32
2
5
= 2
5(2
5
)
= 4

5.dono mempunyai 200 meter kawat duri
x lebar=x=1
panjang=y=3
y
𝑥 + 3𝑦 = 200
𝑦 =
200
3
−
1
3
𝑥
Luas total yang di berikanoleh A=𝑥𝑦 =
200
3
𝑥 −
1
3
𝑥2
0 =
200
3
𝑥 −
1
3
𝑥2
Maka batas0 ≤ 𝑥 ≤ 200 interval [0,200]
𝑑𝐴
𝑑𝑥
=
200
3
−
2
3
𝑥
Jadi terdapat 3 titikkritis(0,
2
3
, 100)
Keduatitikujungnya0 dan100 memberikanA=0sedangkanx=−
2
3
menghasilkanA=44,59
X=200 meterdany=
200
3
meter

Kalkulus kelompok 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Kalkulus kelompok 1