numeros complejos

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
INGENIERÍA CIVIL
Profesor: Integrantes:
Pedro Beltrán
Santiago Barberi CI. 26000465
Barcelona, mayo de 2016

2. Los números complejos
Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con
la notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas
las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número
imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. En matemáticas, estos números constituyen
un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una
propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de
variable compleja, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo
diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales:
z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se
denota . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
•Suma
•Producto por escalar
•Multiplicación
•Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
•Resta
•División
Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un
isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro. Puesto
que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

3. Otras formas de representar los números complejos
1. Forma binómica
*Parte real.
*Parte imaginaria.
*Módulo.
*Conjugado.
*Opuesto.
*Suma de complejo.
2. Forma polar o módulo-argumento:
*Argumento.
*Argumento principal.
*Producto de complejos.
*Fórmula de Moivre.
*Cambio de forma binómica a polar y viceversa.
3. Forma exponencial

4. Forma binómica:
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a, de este modo se tiene:
Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se
denomina parte imaginaria. Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son
simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

5. Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores.
Dados dos vectores y su suma es
Calcular:
1.) (2+i) + (1+3i)
(2+i) + (5+3i) = (2+5)+(1+3)i
(2+i) + (5+3i) = 7+4i
2.) (4+5i) y (4+6i)
(4+5i) + (4+6i) = (4+4) + (5+6)i = 8 + 11i

6. “Se define el módulo” de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es
decir, si entonces el módulo de es El conjugado de un número”
complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si entonces el
conjugado de es
.“El opuesto de un número” complejo es su simétrico respecto del origen.
Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la
forma .
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas
polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

7. 2. Forma polar o módulo-argumento:
*Argumento.
*Argumento principal.
*Producto de complejos.
*Fórmula de Moivre.
*Cambio de forma binómica a polar y viceversa.
2. Forma polar o módulo-argumento: Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-
argumento,
Donde es el módulo de z , y donde q es un argumento de z , esto es, q es un ángulo tal que

8. Dos números complejos y , representados en forma polar son
iguales si y sólo si sus módulos son iguales y sus argumentos se diferencian en un número entero de
vueltas, es decir, , con . La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la
hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir,
si , y , entonces
Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los
argumentos
Siempre que
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si
, para entonces

9. Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada
números en su forma polar. Una alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere,
pasar el resultado a la forma polar.
Ejemplo
Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.
z1=630º z2=2−30º
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación trigonométrica
z1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)= 3√3+3i
z2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)= √3−1i
Entonces sumamos en forma binómica
=4√3−2i
Si se requiere pasamos a la forma polar.
El modulo |z1+z2|= √13
El argumento, θ=atan(2)
4√3
En definitiva,
z1+z2=√13atan (1)
. 2√3

10. Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:
Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,
La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo
múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre
y el desarrollo del binomio de Newton
De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para
en función del seno y del coseno de q, bastará con
considerar por un lado la fórmula de Moivre
y por otro el desarrollo del cubo

11. Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos
Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una expresión para
Cambio de forma binómica a polar y viceversa:
Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

12. Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonometrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)

13. 3. Forma exponencial: Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la
función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se
tiene
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma