UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO – UFTM
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Monografia:
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• Primeira tentativa de resolução das equações polinomiais: Dada pelos
babilônios, há cerca de 2000 a.C (BOYER, 2010);
•Os...
Solução (Dada pela notação moderna):
Considerar a polinomial: x² - px = q. A solução será dada pela
seguinte fórmula:
• Co...
• Estudar e discutir os métodos resolutivos das equações polinomiais
de graus 1, 2, 3 e 4;
• Impossibilidade de resolução ...
Iezzi (2005):
Dado um polinômio, cuja forma geral é dada na forma:
• Chama-se equação polinomial quando:
• Grau do polinôm...
Dado uma equação polinomial de grau n escrita na forma
se existir uma raiz racional da forma:
com p e q inteiros, mdc(p,q)...
Teorema do resto: Dado um polinômio
de grau n, existem polinômios
e tal que:
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Demonstração
2.2 – Dispositivo prático de B...
2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini
Primeira linha: Coeficientes de p(x);
Segunda linha: Raiz do polinômio divisor...
2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini
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Seja o polinômio tal que p(x) = 0. Então, de
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• Journal de Mathématique: Publicações de Galois, por Joseph Liouville (18...
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Algumas consequências deste teorema:
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Capítulo III: Considerações Finais
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• A sistematização dos critérios de resolução das e...
• Apenas as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser
resolúveis através de fórmulas algébricas;
• Os métodos...
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher,
2010
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Um Estudo Sistematizado sobre a resolução das equações polinomiais. (SLIDES)

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO – UFTM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Monografia: UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES POLIMOMIAIS Autor: Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira Orientador: Prof. Dr. Osmar Aléssio Banca Examinadora: Prof. Dr. Rafael Peixoto Profa. Mônica Siqueira Martines
  2. 2. • Primeira tentativa de resolução das equações polinomiais: Dada pelos babilônios, há cerca de 2000 a.C (BOYER, 2010); •Os números eram escritos em notação sexagesimal: 14;30 era escrito assim: Resolução do seguinte problema: “Encontrar o lado de um quadrado se a área menos o lado da 14;30”. Que é equivalente a resolver a seguinte polinomial: x² - x = 870 Solução (Dada pelos babilônios): “Tome a metade de 1, que é 0;30, (0,5 na notação decimal) e multiplique 0;30 por 0;30, o que dá 0;15 (0,25); some isto a 14,30 (870), o que dá 14;30;15 (870,25). Isto é o quadrado de 29;30 (29,5). Agora some 0;30 (0,5) a 29;30 (29,5) e o resultado é 30, o lado do quadrado.” Capítulo I: INTRODUÇÃO
  3. 3. Solução (Dada pela notação moderna): Considerar a polinomial: x² - px = q. A solução será dada pela seguinte fórmula: • Conforme Boyer (2010), os babilônios sabiam resolver polinomiais dos tipos:  x² + px = q  x² = px + q  x² + q = px Soluções: Encontradas em textos antigos dos babilônios. • Sabiam resolver polinomiais do tipo: x³ = a e x³ + x² = a. Soluções: dada através de tabelas de acordo com o valor de “a”; Capítulo I: INTRODUÇÃO
  4. 4. • Estudar e discutir os métodos resolutivos das equações polinomiais de graus 1, 2, 3 e 4; • Impossibilidade de resolução das equações polinomiais de grau 5 ou superiores por meio de uma fórmula resolutiva; •Trazer ao leitor uma maneira organizada e sistematizada da álgebra utilizada; • Permitir a sedimentação dos conhecimentos já adquiridos pelo leitor durante sua trajetória acadêmico-escolar; • Esclarecer certos “porquês” quando se fala sobre a equação do terceiro grau e se há uma forma de solucioná-la, como ocorre nas equações quadráticas OBJETIVOS: Capítulo I: INTRODUÇÃO
  5. 5. Iezzi (2005): Dado um polinômio, cuja forma geral é dada na forma: • Chama-se equação polinomial quando: • Grau do polinômio: n • Raiz do polinômio: Valor “r” tal que p(r) = 0; Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS
  6. 6. Dado uma equação polinomial de grau n escrita na forma se existir uma raiz racional da forma: com p e q inteiros, mdc(p,q)=1, então p divide e q divide . Demonstração Exemplo: Encontrar todas as raízes do seguinte polinômio: dado que uma de suas raízes seja racional. Solução Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS 2.1 - Teorema das raízes racionais :
  7. 7. Teorema do resto: Dado um polinômio de grau n, existem polinômios e tal que: . Demonstração 2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini
  8. 8. 2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini Primeira linha: Coeficientes de p(x); Segunda linha: Raiz do polinômio divisor e coeficientes de q(x);
  9. 9. 2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma: Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema anterior, e estes coeficientes compõem o polinômio: cujo grau é inferior ao de p(x). Exemplo
  10. 10. 2.3 – Relações de Girard Pode-se utilizar nas equações polinomiais para encontrar as suas possíveis raízes; 2.3 .1 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 2 Seja o polinômio quadrático p(x) = ax² + bx + c, e e as raízes deste polinômio, então:
  11. 11. 2.3 .2 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 3 Seja o polinômio cúbico e , e as suas raízes, então pode-se mostrar que:
  12. 12. 2.3 .3 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 4 Considerando o polinômio de quarto grau: Analogamente mostra-se as relações de Girard para equações quárticas, dadas da seguinte forma: Exemplos
  13. 13. Resolução: Tome a função f(x) = a.x+b. Queremos encontrar “x” tal que f(x)=0. Então: 2.4 – Equação polinomial do primeiro grau Dada por . O valor de “x” é a raiz da equação procurada. Teorema da decomposição, Iezzi (2005): Tal polinômio admite uma única raiz.
  14. 14. Seja a função quadrática . Desejamos encontrar “x” tal que f(x) = 0. Sejam x’ e x’’ as duas raízes da equação quadrática, então seus valores são dados pela seguinte fórmula: 2.5– Equação polinomial do segundo grau Demonstração e exemplos
  15. 15. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Breve histórico): • Scipione Del Ferro (1465 – 1526): Sabia resolver equações do tipo: Morreu antes de publicar seu feito científico, mas antes revelou seu segredo a Antônio Maria Del Fior. • Nicolo Fontana (Tartaglia – 1499 – 1557): Estudou a resolução de Fior e sabia resolver as cúbicas do tipo: •Disputa entre Fior e Tartaglia: Os 30 problemas que envolviam equações cúbicas. •Tartaglia vence a disputa. •Girolamo Cardano (1501 – 1576) : Acreditava na insolubilidade das cúbicas. •Estudo dos trabalhos de Tartaglia e o juramento de Cardano; • A publicação da ars magna, de Cardano (1545);
  16. 16. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resolução): Seja o polinômio tal que p(x) = 0. Então, de acordo com o teorema fundamental da álgebra tal polinômio admite exatamente 3 raízes, podendo ser reais e/ou complexas. (Iezzi, 2005) Fórmula de Cardano: Onde: O discriminante pode ser: •Positivo: O polinômio admite uma raiz real e duas complexas conjugadas; •Nulo: Admite uma raiz dupla e outra distinta; •Negativo: Três raízes reais.
  17. 17. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resumo): Caso >0, então utiliza-se a Fórmula de Cardano: Caso =0, utiliza-se a fórmula: (raiz dupla) Obs: A terceira raiz real pode ser obtida pelo dispositivo de Brioft-Ruffini; Caso <0, utiliza-se as fórmulas: Onde: Demonstração e exemplos
  18. 18. 2.7– Equação polinomial do quarto grau: • Lodovico Ferrari (Milão, 2 de fevereiro de 1522 — 5 de outubro de 1565): Era discípulo de Girolamo Cardano; • Ars Magna de Cardano: É citado o método de resolução das quárticas; Forma geral (reduzida): Obtida tomando o polinômio de quarto grau: com p(x) = 0. Então, de acordo com o teorema fundamental da álgebra, tal polinômio admite quatro raízes. • O método de Ferrari; Tome a equação geral: . Fazemos a seguinte substituição algébrica: Originando a seguinte equação, na variável “y”:
  19. 19. Onde: Considere a raiz desta equação tal que y = u + v + z. Então mostra-se que o seguinte sistema de equações: Pode ser resolvido fazendo . 2.7 – Equação polinomial do quarto grau:
  20. 20. 2.7 – Equação polinomial do quarto grau: Que é equivalente a resolver a seguinte equação cúbica, na variável “t”: (Ver relações de Girard para polinômios de 3º Grau). Seja e duas raízes da equação acima. Então temos que e . Precisamos verificar os sinais de u,v e z. Conhecendo o valor de uma raiz, graças à equação , podemos estudar os sinais das outras duas raízes, já que o sinal da terceira depende do sinal das demais. Veja o quadro a seguir:
  21. 21. 2.7 – Equação polinomial do quarto grau: Sinal de Sinal de Sinal de + + - + - + - - - - + - Quadro 1: Estudo de sinal das raízes quadradas de u, v e z Assim, as quatro raízes, na variável “x” serão dadas por: Exemplos
  22. 22. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4 • Questionamentos sobre a resolução da polinomial: • O Teorema de Abel-Ruffini e a insolubilidade das equações quínticas e superiores por meio de fórmulas algébricas. Èvarist Galois (1811-1832) •Nascido em Paris; •Aos 15 anos tentou por duas vezes ingressar-se na Escola Politécnica, mas não foi aceito devido a seu despreparo e às exigências impostas; •Em 1829, ingressou-se na Escola Normal, onde se habilitaria para o cargo de professor; •Em 1830 foi preso, devido ao seu envolvimento com a Revolução de 1830; •Morreu jovem aos 21 anos em um duelo, ao ter um caso amoroso com uma mulher comprometida; •Antes de morrer, escreveu o que sabia sobre a futura Teoria de Galois, um ramo da álgebra abstrata;
  23. 23. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4 • Journal de Mathématique: Publicações de Galois, por Joseph Liouville (1846); • Publicação do teorema que afirma que todo polinômio nessas condições não podem ser resolvidos por radicais. • Uma das consequências deste importante teorema é que as equações de graus inferior a cinco podem ser resolvidas por fórmulas expressas por radicais. • Prova: pode ser encontrada em Moreira (1990); • É consequência da Teoria de Galois; Pode ser entendido da seguinte maneira: 1)Todo polinômio de grau n está associado ao grupo de Galois; 2) Uma equação polinomial de grau n é solúvel por radicais se, e somente se, o seu grupo associado a esta equação for solúvel; 3) Estes grupos de polinômios podem ser entendidos como um tipo de estrutura algébrica que está contida em grupos de permutações, denotadas por .
  24. 24. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4 Algumas consequências deste teorema: 1) Se este grupo não for solúvel, então todos os grupos de polinômios contidos nele também não serão solúveis, e, portanto, as equações associadas a estes grupos não serão solúveis por radicais; 2) Se n < 5 , então todos os grupos de permutações são solúveis, concluindo que todas as equações de grau “n < 5 “ são resolúveis por radicais;
  25. 25. Capítulo III: Considerações Finais Este trabalho procurou mostrar que: • A sistematização dos critérios de resolução das equações polinomiais de graus um, dois, três e quatro e também um breve comentário acerca das equações de grau superior a quatro; • Ampliar os conhecimentos do leitor quando da resolução destas equações; • Muitas pessoas desconhecem os métodos de resolução das equações de grau maior que 2, ou talvez as considerem insolúveis;
  26. 26. • Apenas as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser resolúveis através de fórmulas algébricas; • Os métodos numéricos e computacionais; •Tentativa de diversos matemáticos de utilizarem métodos análogos de resolução das polinomiais de grau inferior a quatro nas de grau superior; Questionamento: A adoção de novas estratégias para a resolução de equações polinomiais poderá um dia se tornar um modelo unificado que tornará o seu manuseio e entendimento mais facilitado? Capítulo III: Considerações Finais
  27. 27. REFERÊNCIAS BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2010 FERREIRA, José Ferreira. História das soluções das equações por meio de radicais. p. 1-2. Disponível em: http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.p df>. Acesso em: 25 jul. 2013. IEZZI, Gerson. Equações polinomiais. In: IEZZI, Gerson. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. p. 101-148. MOREIRA, Carlos Gustavo Tamm de Araujo. Um teorema sobre solubilidade de equações polinomiais por radicais reais. Rio de Janeiro, n. 12, 1990. Disponível em: < http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/>. Acesso em: 25 jul. 2013.

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